材料力学动荷的概念及分类
材料力学13章 动荷载
3.选用弹性模量较低的材料 弹性模量较低的材料，可以增大静位移。但须注意强度问 题。
13-4 循环应力下构件的疲劳强度
1.特征： 1）强度降低：破坏时的名义应力值往 往低于材料在静载作用下的屈服应力； 2）多次循环：构件在交变应力作用下
发生破坏需要经历一定数量的应力 循环； 3）脆性断裂：构件在破坏前没有明显 的塑性变形预兆，即使韧性材料， 也将呈现“突然”的脆性断裂；
4）断口特征：金属材料的疲劳断裂断口上，有明显的光滑区 域与颗粒区域。
一、静荷载与动荷载 实验结果表明，材料在动载荷下的弹性性能基本上与静
载荷下的相同，因此，只要应力不超过比例极限，胡克定律 仍适用于动载荷下的应力、应变的计算、弹性模续也与静载 荷下的数值相同。 二、动载荷类型
根据构件的加速度的性质，动载荷问题可分为三类：
1.一般加速度运动（包括移动加速与转动加速）构件问题。此时不 会引起材料力学性能的改变，该类问题的处理方法是动静法。
水平冲击图示： 重物以一定的速度，沿水平方向冲击弹 性系统。当重物与弹性系统接触后，系统的最大水平位移 如下图所示。
冲击物： 动能改变：Ek=Qv2/2g
势能改变： Ep=0
被冲击物： 应变能改变：
V
1 2
Fd
d
能量方程 动荷因数
1 2
Q2
g
1 2
Qd d
Kd
d s
2
gs
第13章 动荷载
13.1 概述
材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
材料力学动荷系数
材料力学动荷系数材料力学动荷系数是指材料在受到外力作用下的变形程度与外力大小之间的关系。
它是材料力学性能的重要指标，可以反映材料的刚性、柔韧性以及抗震性能等方面的特性。
本文将从材料力学动荷系数的定义、计算方法以及应用等方面进行探讨。
一、定义材料力学动荷系数是指在单位应力作用下，材料产生的单位应变。
它描述了材料在外力作用下变形的程度。
动荷系数越大，材料的变形能力就越强；动荷系数越小，材料的变形能力就越弱。
二、计算方法材料力学动荷系数的计算方法主要有两种：拉伸试验法和压缩试验法。
拉伸试验法是指将材料拉伸后测量其应变，从而得到动荷系数。
压缩试验法则是将材料压缩后测量其应变，进而求得动荷系数。
三、应用材料力学动荷系数在工程中有着广泛的应用。
首先，它可以用来评估材料的变形能力。
对于柔软的材料来说，其动荷系数较大，可以承受较大的变形；而对于刚性的材料来说，其动荷系数较小，变形能力有限。
其次，动荷系数还可以用来评估材料的抗震性能。
在地震等自然灾害中，材料的抗震性能是十分重要的，动荷系数可以帮助工程师评估材料的抗震能力，从而选择合适的材料用于建筑结构的设计。
此外，动荷系数还可以用来评估材料的耐疲劳性能。
对于机械设备等需要长时间工作的材料来说，其耐疲劳性能是十分重要的，动荷系数可以帮助工程师评估材料的耐久性能，从而选择合适的材料用于制造。
四、材料力学动荷系数的影响因素材料力学动荷系数受到多种因素的影响。
首先，材料的组成和结构会影响其动荷系数。
材料的组成不同，其动荷系数也会有所不同。
其次，温度也是影响动荷系数的重要因素。
在高温下，材料的动荷系数会发生变化。
此外，材料的处理方式以及应力状态等因素也会对动荷系数产生影响。
五、材料力学动荷系数的改善方法对于动荷系数较小的材料，可以通过一些方法进行改善。
首先，可以通过改变材料的组成和结构来提高动荷系数。
其次，可以通过增加材料的温度来改变其动荷系数。
此外，还可以通过合理处理材料以及改变应力状态等方法来改善动荷系数。
材料力学课件-动载荷
材料力学课件-动载荷是一门关于结构承受动态荷载的力学课程。本课程包括 动载荷的定义、分类以及动力学分析的方法与应用等内容。
引言
动载荷是指作用在结构上的具有变化的力、加速度或位移。了解动载荷的特 点对于结构设计与分析至关重要。
单自由度系统动力学
1
自由振动
当结构受到激励时，会出现自由振动，即结构围绕着自身固有频率振动。
2
非自由振动
在存在阻尼的情况下，结构会出现非自由振动，时间的影响让振动不再是简单的周期 性。
3
减振措施
为了减少结构的振动响应，可以采取各种减振措施，例如引入阻尼器或减振器。
多自由度系统动力学
简化模型
多自由度系统可以用简化模型 进行分析，将结构转化为一系 列简谐振动的叠加。
模态分析
通过模态分析可以确定结构的 固有频率和振型，对于地震分 析和结构设计至关重要。
结构地震响应
地震动的特点
地震动具有复杂的时程特征， 包括频率、幅值、相位和持 续时间等方面的变化。
结构地震响应分析
通过结构地震响应分析可以 评估结构在地震作用下的振 动性能和安全性，以指导工 程设计与抗震设计。
结构抗震设计原则
结构抗震设计的原则包括提 高结构的刚度和强度、控制 位移和引入阻尼等方面的考 虑。
1 冲击响应定义
冲击响应是指结构在突然受到冲击载荷时的振动响应，常见于爆炸、碰撞或地震等情况。
2 冲击响应的计算
通过冲击响应计算可以预测结构在冲击载荷下的应力、变形和破坏情况，以评估结构的 安全性。
3 冲击响应的控制措施
为了减少冲击响应的影响，可以采取一些控制措施，如增加结构的刚度和引入冲击吸收 器。
地震反应分析
材料力学 动荷载
第十四章 动荷载/二、等加速运动构件的应力计算
1.惯性力的概念
等加速状态 构件处于加速运动状态 变加速状态
等加速运动状况—惯性力是个定值 变加速运动状况—惯性力是时间的函数 (是变荷载) 这里讨论等加速运动状态
2.等加速直线运动构件的应力计算
等加速直线运动：
FD
a W FD W a 1 W g g a
3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算： (1)圆环横截面上的应力
图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且
D o t 垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为γ,壁厚
an
为t,求圆环横截面上的应力。
解：求沿圆环轴线的均匀分布惯性力集度 qD
qD
A A D an 2 g g 2
H
H
A B 弹簧
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， Q
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 Nhomakorabea大值 d 。
H
Q Q
D
此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：
释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T Q(H D)
增加的变形能，在弹性极限内
材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
第十四章 动荷载
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第十四章 动荷载
一、动荷载的概念与实例 二、等加速运动构件的应力计算
三、受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算
第十四章 动荷载
一、动荷载的概念与实例
第十四章 动荷载/一、动荷载的概念与实例
静荷载:作用在构件上的荷载由零逐渐增加到最终
《材料力学》第十章 动载荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
《材料力学》13动荷载.
圆环以等角速度 w 旋转.
dθ
2 厚度t << D ( 平均直径 ).
θ
环横截面积为A， 比重γ ,
Nd
确定动应力.
（1）动荷载
可认为质量集中在环中线
各质点
an
Dw 2
2
惯性力 沿环圆周线均布
qd
ma n
(A
g
) ( Dw2 )
2
2g
ADω2
（2）动内力 环各向对称，仅截取1/4环分析： ( Y 0)
11
三. 构件转动
质点 质量m，等角速度 在水平面上绕O点旋转，惯性力？
惯性力 Fd
an m
动力分析:
向心加速度：an Rω2 v 2（线速度）
R
R
O
w
惯性力： Fd ma n
－号表示方向与 a n相反
Fd mR ω2
m v2 R
12
qd
an
D
w
t
D
Nd
qd
ds D d
动载荷下Hooke定律仍成立； 且弹性模量 E动 = E静 . 以下将Hooke定律直接用于动荷问题
7
§2 构件加速运动问题
Dynamic Stresses of Structure Members in Uniform Linear 重物加速起落M中o构ve件m及e吊nt索o受r动R力o，tation
郑州大学 工程力学系
Dynamic Loads
第十三章 动荷载
§13–1 基本概念 §13–2 构件加速运动问题 §13–3 冲击问题
2
§1 基本概念 Basic Concept
材料力学第十三章 动载荷
M st max 2.25 ×103 × 6 = = Wz 20 × 30 2
1m
4m
1m 0.75kN.m
200
= 0.75MPa
0.75kN.m
2.25kN.m
a 3 Kd = 1+ = 1+ = 1.306 g 9.8 σ d max = K d σ st max = 1.306 × 0.75 = 0.98MPa
第十三章 动载荷
沈阳建筑大学 侯祥林 刘杰民
第十三章 动
荷
载
§13–1 等加速和等转速杆件的动应力计算
§13–2 冲击应力
§13–1 等加速和等转速杆件的动应力计算 13– 一、基本概念 静荷栽：缓慢施加、 ⒈ 静荷栽：缓慢施加、在杆件内部不产生明显加速度的 荷栽。 荷栽。 动荷栽：明显随时间变化、 ⒉ 动荷栽：明显随时间变化、或在杆件内部产生明显加 速度的荷栽。 速度的荷栽。 二、等加速杆件的动应力计算
三、等转速杆件的动应力计算 长为l 横截面面积为A、重为P的均 长为 、横截面面积为 、重为 的均
x
质杆， 饶铅直轴转动。 质杆，以匀角速度ω 饶铅直轴转动。
l
ω
(l+x)/2
Nd
l -x
FI
任一横截面的轴力为： 任一横截面的轴力为： P l−x l+x 2 N d = FI = ( ⋅ )⋅ ω g l 2 P(l 2 − x 2 ) 2 = ω 2 gl N d P (l 2 − x 2 ) 2 σd = = ω A 2 gAl P x = 0, σ d max = lω 2 2 gA
[例13－1]已知 、H、a、EI，求图示刚架在自由落体冲击下 例 － 已知Q ， 已知 A点的动位移和最大动弯矩。 点的动位移和最大动弯矩。 点的动位移和最大动弯矩 C EI EI D a 解： a
材料力学动载荷范文
材料力学动载荷范文材料力学是研究物质在受力下变形和断裂的科学，动载荷是指所施加在物体上的变化的力，包括动态载荷、瞬变载荷和疲劳载荷等。
本文将重点讨论材料力学动载荷的相关知识。
材料力学动载荷主要包括冲击载荷、振动载荷和疲劳载荷。
冲击载荷是指物体在一瞬间所受到的非常大的力，其作用时间很短。
振动载荷是指物体在一定时间内重复作用的力，其作用时间相对较长。
疲劳载荷是指物体在重复作用下逐渐累积的力，导致材料疲劳失效。
冲击载荷是材料力学中研究的重要内容之一、冲击载荷是一种非常短暂的载荷作用，其载荷幅值很大，而载荷作用时间相对较短。
受到冲击载荷作用的材料容易发生塑性变形或破坏。
在冲击载荷下，材料的变形和破坏通常与其断裂韧性密切相关。
冲击载荷的作用时间短暂，会导致快速的应变速率，进而引发材料的高速塑性变形和损伤。
材料的断裂韧性则决定了其在冲击载荷下的抗裂性能。
振动载荷是指物体在一定时间内重复作用的载荷。
振动载荷是材料力学中的重要分支之一、振动载荷对材料的影响主要体现在疲劳寿命、共振和谐振等方面。
在振动载荷作用下，材料会发生疲劳损伤，最终导致疲劳失效。
材料的疲劳寿命取决于应力幅值、平均应力水平和载荷频率等因素。
共振是指物体在受到与其固有频率相同的振动载荷作用时，会发生剧烈的振动现象。
共振往往会导致物体产生过大的振幅，并可能引发断裂和破坏。
谐振是指物体在受到周期性载荷作用下，其振动与载荷的周期保持一致。
谐振现象也可能导致材料的破坏。
疲劳载荷是指物体在受到重复作用下逐渐累积的载荷。
疲劳载荷是材料力学中研究的重要内容之一、在疲劳载荷下，材料会逐渐累积损伤，导致材料的疲劳失效。
疲劳失效表现为材料在较小的应力幅值下发生裂纹并扩展，最终导致断裂。
材料的疲劳性能受到应力幅值、平均应力水平、载荷频率和应力比等因素的影响。
总的来说，材料力学动载荷的研究对于材料的设计和使用具有重要的意义。
不同的载荷类型会引发不同的材料行为和破坏机制。
材料力学：第14章 动荷载
变加速运动状况—惯性力是时间的函数 (是变荷载)
这里讨论等加速运动状态
2.等加速直线运动构件的应力计算
等加速直线运动：
a
FD
FD
a
W
W g
a
1
a g
W
D
W A
W Ag
a
1
a g
st
惯性力
W 静荷载
W a 动荷载
g
D kD st
k D
1
a g
动荷系数
2.等加速直线运动构件的应力计算
max j
M max j Wy
36.7MPa
dk d max j 59.1MPa
第十四章 动荷载/二、等加速运动构件的应力计算
3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算：
(1)圆环横截面上的应力
图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且
an
t
Do
垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为γ,壁厚 为t,求圆环横截面上的应力。
b＝1m。
q
F 运动方向
o
qL qb 2 qb 2 2
qL qb 2 qb 2
2
b
L
b a vt v0 6 m s2
＋
t
q 22.639.8 222kN m
qd
qst
a g
qL2 qb2 g2
Wy 24.2106 m3
qst 22.63kg m
kd
1
a g
1.61
q
qst qst g
转动惯量为 Ix 0.5KNMS2 。轴的直径 d 100mm
刹车时使轴在10秒内均匀减速停止。求轴内最大动应力。
《材料力学基础》10动载荷
水平方向冲击 。
求：杆在危险点处的 d 。
B
C
v
A
52
解：
B
冲击过程中小球动能减少为
C
v
T 1 mv2 1 P v2
2
2g
位能 没有改变
A
V=0
d
B
C
G
Pd
A
53
杆的应变能可用冲击力
B
Pd 所作的功表示。
C
v
Ud
1 2
Pd
d
d 是被击点处的冲击挠度
A
d
Pd a3 3EI
d
B
C
G
Pd
A
Pd
3EI a3
mn 截面上的轴力 FN(x) 等于 P
F N ( x) 0l
g
2
(
R0
)
A(
)d
d
l n
x
m
R1 R0
x dP
n FN(x)
转轴
27
最大的惯性力发生在叶根截
面上
F
N
max
2 A0[l2
g3
3 4
R0 l]
在叶根截面上的拉应力为
顶部
m 叶根
F N max 2 (1 R0)(1 5 R0)
A0 3g R1 4 R1
o
D
D 2 2
因为环是等截面的，所以相同长度的任一段质量相等。
19
加在环上的惯性力必然是沿轴线 均匀分布的线分布力。
其上的惯性力集度为
qd
(1
A )( D 2) g2
A 2 2g
D
qd
o
20
qd
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第14章动载荷14.1 动载荷的概念及分类在以前各章中，我们主要研究了杆件在静载荷作用下的强度、刚度和稳定性的计算问题。
所谓静载荷就是指加载过程缓慢，认为载荷从零开始平缓地增加，以致在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以忽略不计，并且载荷加到最终值后不再随时间而改变。
在工程实际中，有些高速旋转的部件或加速提升的构件等，其质点的加速度是明显的。
如涡轮机的长叶片，由于旋转时的惯性力所引起的拉应力可以达到相当大的数值；高速旋转的砂轮，由于离心惯性力的作用而有可能炸裂；又如锻压汽锤的锤杆、紧急制动的转轴等构件，在非常短暂的时间内速度发生急剧的变化等等。
这些部属于动载荷研究的实际工作问题。
实验结果表明，只要应力不超过比例极限，虎克定律仍适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量也与静载下的数值相同。
动载荷可依其作用方式的不同，分为以下三类：1．构件作加速运动。
这时构件的各个质点将受到与其加速度有关的惯性力作用，故此类问题习惯上又称为惯性力问题。
2．载荷以一定的速度施加于构件上，或者构件的运动突然受阻，这类问题称为冲击问题。
3．构件受到的载荷或由载荷引起的应力的大小或方向，是随着时间而呈周期性变化的，这类问题称为交变应力问题。
实践表明：构件受到前两类动载荷作用时，材料的抗力与静载时的表现并无明显的差异，只是动载荷的作用效果一般都比静载荷大。
因而，只要能够找出这两种作用效果之间的关系，即可将动载荷问题转化为静载荷问问题处理。
而当构件受到第三类动载荷作用时，材料的表现则与静载荷下截然不同，故将在第15章中进行专门研究。
下面，就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2 构件作加速运动时的应力计算本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形，即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1 构件作匀加速直线运动设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆，如图14-1(a)所示。
杆件长度为l，横截面面积为A，杆件单位体积的重量为 ，现在来分析杆内的应力。
由于匀质等直杆作匀加速运动．故其所有质点都具有相同的加速度a，因而只要在每质点上都施加一个大小等于其质量m 与加速度a 的乘积、而方向与a 相反的惯性力，则整个杆件即可认为处于平衡状态。
于是这一动力学问题即可作为静力学问题来处理。
这种通过施加惯性力系而将动力学问题转换为静力学问题的处理方法，称为动静法。
对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来说，在单位长杆上应施加的惯性力，亦即它所受到的动载荷显然为 a g A γp d = 它的方向与a 相反，并沿杆件的轴线均匀分布。
为了计算此杆的应力，首先来分析它的内力。
为此，应用截面法，在距下端为x 处将杆假想地切开，并保留下面一段杆，其受力情况如图14-1(b)所示。
此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用，其集度即单位长杆所受到的载荷为)1(ga A γa g A γA γp p p d st +=+=+= 式中，γ=A st p 是单位长杆所受到的重力，即a =0时单位长杆所受到的载荷，亦即静载荷。
在上述轴向载荷作用下，直杆横截面上的内力应为一轴力，由平衡条件0=∑x F 得此轴力的大小为x ga A γpx F Nd )1(+== (14-1) 轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力，于是，该截面上的动应力为)1(ga γx A F σNd d +== (14-2) 由式(14-2)可知，这一动应力是沿杆长按线性规律变化的，其变化规律如图14-1(c)所示。
若此杆件静止悬挂或匀速提升时，亦即受静载荷作用时，由于a =0，由公式(14-2)得其静应力为γx σst =于是动应力又可以表示为st )1(σK ga σσd st d =+= (14-3) ga σσK d +==1st d (14-4) K d 称为动荷系数。
于是，构件作匀加速直线运动的强度条件为][σ.K σσd max st max d ≤= （14-5）由于在动载荷系数d K 中已经包含了动载荷的影响，所以][σ即为静载下的许用应力。
动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的，因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题，即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所需要的结果。
但应注意，对不同类型的动力问题，其动载荷系数d K 是不相同的。
14.2.2 构件作匀角遮转动时的应力计算构件作匀角速转动时，构件内各点具有向心加速度，施加离心惯心力后，可采用动静法求解。
图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O (垂直于纸面)作匀角速转动。
现求杆内最大动应力及杆的总伸长。
设匀角速度为ω(rad/s)，杆的横截面积为A ．杆的重量密度为ρ，弹性模量为E 。
因杆绕O 轴作匀角速转动，杆内各点到转轴O 的距离不同，而有不同的向心加速度。
对细长杆距杆右端为ξ的截面上各点的加速度为)(l 2n ξ-ω=a该处的惯性力集度为)()(2ξl gρAωξq d -= 取微段ξd ，此微段上的惯性力为ξξωρ)d (g A d 2-=l F计算距杆右端为x 处截面上的内力，运用截面法，保留杆x 截面以右部分，在保留部分上作用有轴力F N (x)及集度为q d 的分布惯性力，如图14-2(b)所示，由平衡条件0=∑x F 得ξξl gρAω(x)F xN )d (20-=⎰ 由此得出 )2()(22x lx g ρAωx F N -= 最大轴力发生在x =l 处22max2l gρAωF N = 最大动应力为 22max 2l gρωσ= 可见，本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。
下面计算杆的总伸长。
距杆右端为x 处取微段d x ，应用虎克定律，此微段的伸长为x EA(x)F l N d )d(∆ 进行积分，求得杆的总伸长为 Egl ρωx x lx Eg ρωx EA (x)F Δl l l N 3)d 2(d 322200=-==⎰⎰ 例14-1 图14-3(a)所示之薄壁圆环，以匀角速ω绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴转动，试求圆环的动应力及平均直径D 的改变量。
已知圆环的横截面面积为A ，材料单位体积的质量为ρ，弹性模量为E 。
解 因圆环作匀角速运动，所以环内各点只有向心加速度。
对于薄壁圆环，其壁厚远小于平均直径D ，可近似认为环内各点向心加速度大小相同，且等于平均直径为D 的圆周上各点的向心加速度，即22ωD a n = 于是，沿平均直径为D 的圆周上均匀分布的离心惯性力集度q d 为22D ωA ρA ρρq n d == 按动静法，离心惯性力q d 自身组成一平衡力系。
为了求得圆环的周向应力，先求通过直径截面上的内力。
为此将圆环沿直径分成两部分。
研究上半部分，见图14-3(c)，内力以Nd F 表示，由平衡条件0=∑y F ，得d θD θq F πd Nd 2sin 20⎰= 解得 4222ωA ρρ q D F d Nd ==， 圆环的周向应力为 422ωρD A F σNd d == 根据强度条件 ][422σ≤=ωρD σd 可确定圆环的极限匀角速度为ρD ωu ][2σ=。
可见u ω与横截面面积无关，即面积A 对强度没有影响。
下面计算平均直径的改变量δ。
若周向应变为d ε，有D δπD πD δ)π(D εd =-+=即D εδd =根据虎克定律Eσεd d =，代入上式，得平均直径的改变量为 EωρD D E σδd 423== 若圆环是飞轮的轮缘，它与轮心采用过盈配合，当转速过大时，则由于变形过大而可能自行脱落。
例14-2 在AB 轴的B 端有一个质量很大的飞轮(图14-4)。
与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。
轴的另一端A装有刹车离合器。
飞轮的转动惯量为20.5kNms =x I ，轴的直径d =100mm ，转速n =300r/min ，刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。
试求轴内最大动应力。
解 轴与飞轮的角速度(rad/s)为πππω1030300300===n 刹车时的角加速度(rad/s 2)为 ππωω-=-=-=1010001t a 等号右边的负号只是表示a 与0ω的方向相反。
按动静法，飞轮的惯性力偶矩d m 与轮上的摩擦力矩f m 组成平衡力系。
惯性力偶矩(kN ·m)为5.0x d π=-=a I m由平衡条件 0=∑x M ，得0.5πd f==m m 轴横截面上的最大切应力为 8MPa Pa 0.116π100.5π33max =⨯⨯==n d W m τ 14-3 构件受冲击时的应力与变形当不同速度的两个物体相接触，其速度在非常短的时间内发生改变时，或载荷迅速地作用在构件上，便发生了冲击现象。
例如汽锤锻造、金属冲压加工、传动轴的突然制动等情况下都会出现冲击问题。
通常冲击问题按一次性冲击考虑，对多次重复性冲击载荷来说将产生冲击疲劳。
14.3.1 冲击问题的理想化冲击应力的计算是一个复杂问题。
其困难在于需要分析物体在接触区内的应力状态和冲击力随时间变化的规律。
冲击发生时，冲击区和支承处因局部塑性变形等会引起能量损失。
同时，由于物体的惯性作用会使冲击时的应力或位移以波动的形式进行传播。
考虑这些因素时，问题就变得十分复杂了，其中许多问题仍是目前正在研究和探索的问题。
因此，在工程中通常都在假设的基础上，采用近似的方法进行分析计算。
即首先根据冲击物被冲击物在冲击过程中的主要表现，将冲击问题理想化，以便于求解。
这里介绍一种建立在一些假设基础上的按能量守恒原理分析冲击应力和变形的方法，可对冲击问题给出近似解答。
假设当冲击发生时：1．冲击物为刚体，即略去其变形的影响。
2．被冲击物的惯性可以略去不计，并认为两物体一经接触就附着在一起，成为一个运动系统。
3．材料服从虎克定律，并略去冲击时因材料局部塑性变形和发出声响等而引起的一切其它能量损失。
基于上述假设，任何受冲击的构件或结构都可视为一个只起弹簧作用，而本身不具有质量的受冲击的弹簧。
例如图14-5(a)、(b)、(c)、(d)所示的受自由落体冲击时的构件或结构，都可简化为图14-6所示的冲击模型。
只是各种情况下与弹簧等效的各自的弹簧常数不同而已。
例如图14-5(a)、(b)所示的构件，其等效的弹簧常数应分别为l EA 和33lEA 。
14.3.2 简单冲击问题的解法1．自由落体冲击设一简支梁(线弹性体)受自由落体冲击如图14-7所示，试分析此梁内的最大动应力。
设重物的重量为G ，到梁顶面的距离为h ，并设冲击时梁所受到的冲击力为F d ，其作用点的相应位移d ∆。
则冲击物在冲击前的瞬间所具有的速度为gh v 2=而在它与被冲击物一起下降d ∆后，这一速度变为零。
于是，冲击物在冲击过程中的能量损失包括两部分，一部分是动能损失22v gG T =另一部分是势能损失d G ΔV =而被冲击物在这一过程中所储存的变形能，即等于冲击力所作的功。