命题逻辑真值形式

第一章命题逻辑一、真值形式1．命题及其真值、原子命题和复合命题前题及其真值我们已经知道，作为逻辑研究主要对象的推理，是一个命题序列，是从某个或某些命题得到某个命题的思维过程。

那么，什么是命题呢？命题是表达判断的语句。

所谓判断，就是人对思维对象有所断定。

一切能被人思考的客体都构成思维对象，简称对象。

对象可以是有形的，也可以是无形的；可以是物质的，也可以是精神的；可以是存在的，也可以是不存在的。

总之，包罗万象。

对象要能被思考，必须具有一定的性质，处于——定的关系之中。

对象的性质和对象之间的关系．统称对象的属性。

没有属性的对象，是不存在的。

判断对对象有所断定，就是断定对象具有或不具有某种属性。

判断用语句的形式表达出来，就是命题。

例如：(1)所有不受外力作用的物体都作匀速直线运动。

(2)上帝是万能的追物主。

(3)如果上帝是万能的造物主，那么他既能又不能造出一块他自己都无法举起的石头。

这些都是命题。

命题都有真假。

没有真假的语切不表达确定的判断．因而不是命题。

命题的真或假，称为命题的真值。

也就是说，命题的真值包括两个值，一个值是“真”，另一个值是“假”。

真命题的真值是“真”，假命题的真值是“假”。

原子命题和复合命题原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。

例如：(1)癌症是遗传的。

(2)癌症不是遗传的。

(3)并非癌症是遗传的。

(4)如果癌症是遗传的，那么老李患癌症是不可避免的。

(5)老李知道癌症是遗传的。

其中，句(1)和句(2)是原子命题，因为其中不包合和自身不同的命题，而句(3)、句(4)和句(5)不是原子命题，因为这些命题中都包含了和自身不同的命题(划横线的部分)，这样的命题称为支命题。

像句(3)、句(4)和句(5)这样的命题，虽然都是包含支命题的非原子命题．但它们之间存在重要的区别。

句(3)和句(4)的真值是由其支命题的真值惟一地确定的，而句(5)则不是。

如果“癌症是遗传的”是真的，则句(3)是假的；如果“癌症是遗传的”是假的，则句(3)是真的。

如果“癌症是遗传的”是真的，并且“老李患癌症是不可避免的”是假的，则句(4)是假的；在支命题的其他真假情况下，句(4) 都是真的。

句（5）的真值却不是由其支题的真值性—地确定的：如果“癌症是遗传的”是真的，则句(5)可以是真的，也可以是假的。

像句(2)和句(4)这样的命题，称为复合命题。

在命题逻联中，复合命题指这样的命题：第—。

它包含和自身不同的命题作为支命题；第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。

复合命题的支命题可以是原子命题，也可以是复合命题。

复合命题最终是出原子命题依据一定的逻辑关系构成，依据这种逻辑关系，原子命题的真值，惟一地确定由其构成的复合命题的真值。

表达这种逻辑关系的语词，称为联结词。

因此，复合命题的终极构成成分只有两个，一个是原子命题，另一个是联结词。

例如，上例句(3)中的联结向是“并非”；句(4)中的联结词是“如果……，那么……”。

2．真值联结词·真值形式·常用真值联结词真值联结词和真值形式日常语言所表达的联结问，除了表达原子命题和复合真假关系之外，在特定的语境下，还会表达其他某些意思。

例如：(1)小张和小李结了婚，并见有了孩子。

如果交换句(1)中两个支命题的位置，得到：(2)小张和小李有了孩子，并且结了婚。

句(2)的含义显然较之句(1)有了变化。

这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其他什么意思。

如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。

因此，真值联结词是对联结词的一种抽象，它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复合命题之间的真假关系。

在命题逻辑中，真值联结词用专门的符号表示。

由真值联结词构成的复合命题p∧，其中，“∧”是真值联结词，的形式结构，就是真值形式。

例如，句(1)的真值形式是q读作“合取”，表示“并且”；p和q称作命题变项，表示原子命题。

因此，真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。

单个命题变项也是真值形式，真值联结词在其中零次出现。

特殊地，如果命题变项和真值联结词都零次出现，这样的真值形式称为空式。

空式也是真值形式。

在某些场合，空式的概念不可缺少。

另外，真值形式必须是有限构成的，即是有限长的符号串。

，在以后的讨论中，p，q，r…表示命题变项，A，B，C…表示任意的真值形式。

常用真值联结词这里定义五个常用真值联结词，即“∧”、“∨”、“→”、“↔”和“⌝”及相关的五个基本真值形式。

合取p∧”，读作“p合取q”，断定：p和q都是真的。

也就是说p和q中，真值形式“qp∧就是假的。

只要有—个是假的，qp∧”可如下定义：“q上面这样的表格，称为真值表。

其中，“1”表示真，“o”表示假。

真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。

因此，正如下面将要说明的，一个完整的真值表，就定义了—个真值函数。

不同的真值表，定义不同的真值函数。

以上的真值表说明，关于∧的真值运算，下面的等式成立：1∧1＝1；1∧0＝0∧1＝0∧0＝0。

在日常语言中，“p∧ q”表述为“P并且q”，“不但P，而且q”等等。

合取式相当于传统逻辑中的联言命题。

析取真值形式“q p ∨”，读作“p 析取q ”，断定：P 和q 中至少有一个是真的。

也就是说，只有当p 和q 都是假的，q p ∨才是假的。

“q p ∨”可如下定义：以上的真值表说明，关于∨的真值运算，以下的等式成立： 1∨1＝1∨0＝0∨1＝1；0∨0＝0。

在日常语言中，“q p ∨”表述为“p 或者q ”。

析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。

蕴涵真值形式“q p →”，读作“P 蕴涵q ”，断定：只有当p 真和q 假时，q p →才是假的；在其余情况下，q p →都是真的。

“q p →”可如下定义：如上定义的蕴涵．称为“实质蕴涵”。

以上的真值表说明，关于→的真值运算，以下的等式成立： 1→0＝0；1→ l=1→0=0→0=l 。

在日常语言中，“q p →”表述为“如果P ，那么q ”，“只要P ，就q ”，等等。

蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。

“q p →”和“如果P ，那么q ”的含义是有区别的。

“如果P ，那么q ”除了表示“不会P 真而q 假”这种p 和q 之间的真假关系以外，根据具体的语境，还可能表示P 和q 之间的其他联系；而“q p →”除了表示“不会P 真而q 假”以外，不表示P 和q 之间的任何其他联系。

因此，如果“如果p ，那么q ”成立．则“q p →”成立：但反过来，如果“q p →”成立，则“如果p ，那么q ”不一定成立。

在后面的情况下．就会出现所谓的“蕴涵怪论”。

根据“蕴涵”的定义，只有当一个真命题蕴涵一个假命题的时候，这个蕴涵式才是假的，因此，假命题可以蕴涵任何命题，而真命题可以被任何命题蕴涵。

这样，因为“废话是财富”是个假命题，因此，它既可以蕴涵“夸夸其谈者可以成为百万富翁”，又可以蕴涵“夸夸其谈者将一贫如洗”。

事实上，我们可以接受“如果废话是财富，那么夸夸其谈者可以成为百万富翁”为真命题，但不能接受“如果废话是财富。

那么夸夸其谈者将一贫如洗”为真命题，特别是不能把这两个内容正好相悖的命题，同时接受为真命题。

像“如果废话是财富．那么夸夸其谈者将一贫如洗”这样的在实质蕴涵的意义上被确认为真，在事实上难以成立或显 然不能成立的条件命题。

就称为“蕴涵怪论”。

为了排除蕴涵怪论，逻辑学家定义了一种有别于实质蕴涵的“严格蕴涵”，从而产生了一个重要的逻辑分支——模态逻辑。

基于实质蕴涵的一阶逻辑不排除蕴涵怪论。

这里的关键问题是，“p →q ”不完全等同于“如果p ，那么q ”，而只是对后者的一种真值抽象。

推理和蕴涵有着密切的联系。

我们说从前提A 能推出结论B ，意思就是说，如果A 是真的，那么B 就不会是假的，这正是A 蕴涵B 的意思。

因此，—个推理的真值形式就是一个蕴涵式。

等值真值形式“↔p q ”，读作“p 当且仅当q ”，也读作“p 和q 等值”，断定：p 和q 具有相同的真值。

“p ↔q ”可如下定义：以上的真值表说明，关于的真值运算，以下的等式成立： 1↔1＝0↔0=1；1↔0=0↔1=0。

在日常语言中，“p ↔q ”表述为“如果p ，那么q ；并且只有p 才q ”。

等值式相当于传统逻辑中的充分必要条件假言命题。

定义所表达的定义项和被定义项之间的关系就是—种常见的等价关系。

换句话说，如果两个命题之间具有等值关系，它们是可以互相定义的。

显然，如果P 蕴涵q ，并且q 蕴油p ，则p 和q 就是等值的。

反之亦然。

也就是说“p ↔q ”可定义为“()()p q q p →∧→”。

并非真值形式“p ⌝”，读作“并非p ”，断定p ⌝和p 具有不同的真值。

“p ⌝”可如下定义：关于⌝的真值运算，以下的等式成立⌝1＝0；⌝0＝1。

[例]完成以下的真值运算：()()()10001∨↔→⌝∧⌝[解] ()()()10001∨↔→⌝∧⌝ =()()1011↔→∧⌝ =()101↔→⌝ =10↔⌝=11↔=13．命题逻辑层次上的自然语言符号化·复合命题的真值形式·命题推理及其真值形式复合命题的真值形式基于上面所定义的常用真值联结词，就可以在命题逻辑的层次上对自然语言进行符号化，也就是对自然语言所表达的复合命题和命题推理，抽象出它们的真值形式。

把自然语言所表达的复合命题翻译成相应的真值形式，其步骤是：第一，确定复合命题所包含的所有不同的原于命题；第二，用同一命题变项表示所有相同的原子命题，用不同的命题变项分别表示所有不同的原子命题(表示命题变项的符号是小写英文字母p 、q 、r 、s 、t ……)；第三，确定复合命题所断定的支命题之间的逻辑关系，并用相应的真值联结词加以表达；第四，依据确定的层次，写出整个复合命题的真值形式。

下面通过实例加以说明。

[例1] 写出下列各复合命题的真值形式：(1)要么总经理辞职，要么董事长承担全部责任。

令P 表示总经理辞职，q 表示董事长承担全部责任。

命题(1)断定p 和q 两个命题有且只有一个为真，因此，其真值形式是：()()q p q p ∧⌝∨⌝∧。

p ∨q 表示传统逻辑中的相容选言命题；在传统逻辑中，表示不相容选言命题的联结词是“要么……，要么……”(2)只有确保产品质量，企业才能具备起码的竞争力。

令P 表示(企业)确保产品质量，q 表示企业具备起码的竞争力。

命题(2)断定p 是q 的必要条件，即无p 则无q 。

因此，其真值形式是：q p ⌝→⌝。

p →q 和p ↔q 分别表示传统逻辑中的充分条件和充分必要条件假言命题；在传统逻辑中，表示必要条件假言命题的联结词是“只有……才……”。

本例说明〔3〕除非制定的法律都能得到有力的实施，否则，依法治国就是一句空话。