数理方程试卷

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数理方程练习题(1)

一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。

2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。

数理方程30题

所以初边值问题的解为
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y

数理方程试题

太原科技大学数学物理方程课程试卷卷一．填空（每小题3分，共15分）（1）三维热传导方程的一般形式为_____________。

（2）设函数的傅里叶变换为 , 则方程的傅里叶变换为______________。

（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题是否有解________。

（4）区域的格林函数在区域边界上 =______。

（5）一维热传导方程的基本解为_____________________。

二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。

()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--=⎧⎪⎨==⎪⎩三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。

241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。

22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩五．用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。

六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第二公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂，证明：二维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线方向。

数理方程模拟试题1X

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号一二三四五六总分得分一、选择题(每题只有一个正确答案，每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、抛物 B 、双曲 C 、椭圆 D 、混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。

数理方程试题

2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为；4．当时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。

二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。

课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。

西安邮电大学期末数理方程试题+答案

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===ì¶¶=ï¶¶ï¶¶ï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=ì¶¶=-<<>ï¶¶ïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

数理方程6

4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n

[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、（13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、（14 分）用本征函数展开法求解定解问题

数理方程试卷

utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
(x,
0)
sin
x
l
.
• 三. 求解问题
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
• 四. 用固有函数法求解 utt
a2uxx
tsinx,(0 x l,t
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
固有函数 Rm(r)J0(m (0)r).
Tm(t)Cme(m (0)a)2t.
u(r,t)
Ce J( (m (0)a)2t
m
0
m (0)r).
由 m 1
u(r,0) C mJ0( m (0)r)1r2,
得 Cm0 1r(1 m 1 2 1rJ212)(J0m ((0))m (0)r)dr( m (4 0)J)2 2(J12m ((0))m (0)).
0)
u(r,0) 1 r2.
答（p122例1）：
u(r,t)R (r)T(t).
Ta2T 0.
r2RrR(r2 02)R0,
R(1) 0,| R(0)|.
R (r) C J 0 ( r) D Y 0 ( r).D 0.
固有值 m (m (0 )) 2 ,m (0 ) 为 J 0 (x ) 正零点 .

数理方程题库

第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、抛物B 、双曲C 、椭圆D 、混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、抛物B 、双曲C 、椭圆D 、混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、抛物 B 、双曲 C 、椭圆 D 、混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、抛物B 、双曲C 、椭圆D 、混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。

数理方程期末试题14~15A(另一版本)

u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u

∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题

∂u = B ∂x x=0

u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −

数理方程试卷

工程数学一. (10分)填空题1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xxt u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w xu 03.方程0=xyu 的通解为)()(),(y G x F y x u +=4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 61),(223-++=y x y x y x u二. (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型，并化成标准形式．解：因为)0(02≠<-=∆y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。

……2分它的特征方程是 022=+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy ……5分即iy dxdy±=特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-作变换：⎩⎨⎧==x yηξln ……7分求偏导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====)(112ξξξξηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式ξηηξξu u u =+ ……10分三. (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020解：x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ利用达朗贝尔公式⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分得)]2sin()2[sin(414cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u tx tx --+-+=+-++=⎰+-ξξt x t x 2sin cos 21422++= ……10分四. (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解先求满足方程和边界条件的解.设解为)()(),(t T x X t x u = ……2分代入方程得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''除以)()(2t T x X a 有λ-=''='')()()()(2t T a t T x X x X 得到两个常微分方程0)()(=+''x X x X λ ……3分0)()(2=+''t T a t T λ ……4分由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X由0)(≠t T ，得0)(,0)0(='='l X X ……5分于是固有值问题为⎩⎨⎧='='=+''0)(,0)0(,0)()(l X X x x X λ解之得一系列固有值,2,1,0,)(2===n ln n πλλ 相应的固有函数为x ln x X n πcos)(= ……8分再解方程 0)()()(2=+''t T la n t T π，通解为t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos )(+= ……10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解∑∞=+=1cos )sin cos(),(n n n x ln t l a n D t l a n C t x u πππ ……12分由初始条件0|0==t t u ，得0=n D ， ……13分由得,0x u t == ∑∞==1cos n n x l n C x π其中⎰==l lxdx l C 0021 ⎰=--==l nn n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()(2cos 1 ππ ……14分将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解∑∞=--+=122cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u πππ……15分五. (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00 解先确定固有函数)(x X n .令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(πλX X x X x X固有函数为 ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分设解为∑∞==1sin )(),(n n nx t T t x u （1） ……7分其中)(t T n 是待定函数.显然),(t x u 满足边界条件.为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞==1sin )(n n nxt f x （2） ……8分其中nnxdx x t f n n 2)1(sin 2)(10+-=⋅=⎰ππ……9分再将（1）,(2)代入方程得∑∞=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+'1120sin 2)1()()(n n n n nx n t T n t T比较系数,有,2,1,2)1()()(12=-=+'+n nt T n t T n n n ……10分由初始条件得0sin )0(1=∑∞=n n nx T所以0)0(=n T ……11分解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=+''+,0)0(2)1()()(12nn n n T n t T n t T得)1(2)1()(231t n n n e n t T -+--=……14分将)(t T n 代入级数(1)，得定解问题的解.nx e n t x u n tn n sin )1()1(2),(1312∑∞=-+--= ……15分六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ 本题所用公式：ta x ta eta eF 22224121][---=πλ解对x 作傅氏变换，记=),(~t uλ F )],([t x u=)(~λϕF )]([x ϕ ……2分对方程和初始条件关于x 取傅氏变换，有⎪⎩⎪⎨⎧=-==)(~~~~022λϕλt u u a dtu d ……7分解常微分方程的初值问题，得t a e t u 22)(~),(~λλϕλ-= ……10分再对),(~t uλ进行傅氏逆变换得=),(t x u F])(~[221t a e λλϕ-- ……13分ta x eta x 22421)(-*=πϕ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et ata x 224)()(21 ……15分七. (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx解先求格林函数，由电学知在上半平面0>y 的点),(000y x M 处置单位负电荷，在0M 关于x 轴的对称点),(001y x M -处置单位正电荷，则它与0M 产生的电势在x 轴上互相抵消，因此上半平面0>y 的格林函数为)1ln 1(ln 21),(100MM MM r r M M G -=π[][]}{20202020)()(ln )()ln(41y y x x y y x x ++---+--=π……7分下面求==∂∂-=∂∂y y yG nG0)()()(2)()()(2412020020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+--+--=y y y x x y y y y x x y y π2200)(1y x x y +-⋅-=π ……10分所以dx y x x x f y dl n Gu y x u ⎰⎰+∞∞-Γ+-=∂∂-=220000)(1)(),(π……15分八. (10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f ．证明：假设有两个调和函数),,(1z y x u 和),,(2z y x u ，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满足方程0=∆u ，且0|=Γu 。

数理方程试题

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数理方程试题

六、（13 分）用 laplace 变换法求解定 2u 2 xy x y, u |x 1 sin y 2 u | y 0 x
y 0, x 1
〇
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注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
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C 、弱相等意义下－函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是（）
〇
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A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
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w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
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三、（9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题

数理方程4

六、（13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
0 x l, t 0
utt a 2u xx , x , t 0 u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
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注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
考试方式：（开卷闭卷）
教研室主任：
年
月
日
S
dS
〇
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4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是( A、空间任意一点的扰动他们都有清晰的“前锋”和“阵尾” B、空间任意一点的扰动他们都有清晰的“前锋” ，但二维波无“阵尾” C、三维波出现“有后效现象” D、二维波出现“无后效现象”
4、泛函 J ( y) = 5、
教研室主任：年来自月日数学物理方程
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课试卷
诚信承诺：本人在考试中真实答卷，学号______________ 姓名_______________ 班级_______________ 学院_______________ 没有作弊行为！
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三、（8 分）初始位移 ( x) e x ，初始速度 ( x) sin x 的无界弦作自由振动，求其振

石大数理方程试卷(A)答案

2011-2012学年第二学期《数学物理方法》试卷A 答案一、选择题1. C2. D3. C4. A5. C 二、填空题1、 ()11,:23,03535x y y x y y ⎧⎫+≤≤+>⎨⎬+-⎩⎭或过(2,0)点以35+为斜率的直线和过(3,0)点以35-为斜率的直线所围成的上开口梯形区域.2、 ()2000,0|0,|00|0t xx x x x l t u a u x l t u u t u x x l ϕ===⎧=<<>⎪==>⎨⎪=<<⎩.3、 ()()()2233y x AJ x BY x =+．4、114r r π⎛⎫ ⎪⎝⎭或，111ln ,ln 2r r π． 5、()11()n n J x J x -++=()()()212101221!mm n n m n m n n J x x x m n m ∞+-+-=⎛⎫- ⎪ ⎪Γ++⎝⎭∑或．三、（本题15分）利用分离变量法求解如下定解问题：22222000,0,0|0,|0,0|,|0,0x x l t t u u a x l t t x uut x x uu x x l t====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪∂∂==>⎨∂∂⎪⎪∂==<<⎪∂⎩第一步：分离变量 (5分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得''''''2''2()()()()()()()()X x T x X x T t a X x T t X x a T x λ=⇒==-，其中λ为常数。

将)()(),(t T x X t x u =代入边界条件得,0)()()()0(''==t T l X t T X 从而可得特征值问题''''()()0(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ 第二步：求解特征值问题 (5分) 1) 若0<λ，方程的通解形式为：xxBe Aex X λλ---+=)(由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。

数理方程

一、选择题（每题4分，共8分）1．偏微分方程2x x y x u yu u xy += ____线性的，它 _____齐次的。

（） A ）是，是 B)是，不是 C)不是，是 D)不是，不是2. 设01|()x x u t μ==，2|()x x l u t μ==，若令(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+，取(,)____________w x t =，则可使0|0x x v ==；|0x x l v == （） A ）211()()()u t u t x u t l-+ B) 21()()u t x u t + C) 121()()()u t x u t u t l +- D) 2211()()()2u t u t x u t x l-+二、填空题（每空3分，共36分）1．定解问题中的定解条件包含____________________________________； 2. ''()()0'(0)0,()0X x X x X X l λ+=⎧⎨==⎩的固有值_________________n λ=;固有函数()___________________n X x =，___________________n = 3．分离变量法的思想是什么？______________________________________________。

4. 贝塞尔方程22'''(34)0x y xy x y ++-=的通解为______________________=y其满足(0)0,(1)3y y ==的特解为_____________________________=y 5. 3/2()__________________________J x -=（要求用初等函数表示） 6. 第一类贝塞尔函数1()J x 的幂级数表示式为：_____________________ 7．10__________________________J dx =⎰8．求解球域上的狄氏问题22220(,,)u x y z R u f x y z Γ⎧∆=++<⎪⎨=⎪⎩，其格林函数为：0(,)G M M =__________________________________________；该狄氏问题的解为：0()u M =__________________________，其中Γ为球面，0M 为球内任意一点。