5谱估计(概述和经典法)分解
谱估计(复习大纲)
第一章 经典谱估计经典谱估计方法是以傅里叶变换为基础的方法，主要有两类：周期图法和布莱克曼—图基法（简称BT 法，又称为谱估计的自相关法）。
这两类方法都与相关函数有着密切的联系，由维纳——欣钦定理可知，功率谱和相关函数之间的关系是一对傅里叶变换，因而可以从观测数据直接估计相关函数，根据估计出来的相关函数，求它的傅立叶变换，就可以得到功率谱的估计值。
一、 相关函数和功率谱若 ==x x m n m )(常数，)(),(2121n n r n n r xx xx -=即)](*)([)(n x k n x E k r xx += 则称)}({n x 为广义平稳序列。
若)}({n x 和)}({n y 均为广义平稳序列，且)(),(2121n n r n n r xy xy -=即)](*)([)(n y k n x E k r xy +=，则称)}({n x 和)}({n y 为广义联合平稳序列。
广义平稳随机序列)}({n x 的相关函数)(k r xx 和它的功率谱密度)(ωxx P 之间是傅立叶变换对的关系，即∑+∞-∞=-=k kj xx xx d ek r P ωωω)()( (1.6)⎰-=ππωωωπd eP k r kj xx xx )(21)( (1.7)这一关系式常称为维纳——欣钦定理。
由自相关函数和功率谱密度的定义，不难得出它们的一些基本性质，主要有：1、当)}({n x 为复序列时，)(*)(k r k r xx xx =-；若)}({n x 为实序列，则相关函数为偶函数，即)()(k r k r xx xx =-。
2、相关函数的极大值出现在0=k 处，即)0()(xx xx r k r ≤。
3、若)(n x 含有周期性分量，则)(k r xx 也含有同一周期的周期性分量，否则，当∞→k 时，0)(→k r xx 。
4、当)(n x 为实序列时，)(ωxx P 为非负实对称函数，即)()(ωωxx xx P P =-和0)(≥ωxx P 。
现代信号处理经典的功率谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
第五章 线谱估计
ˆ 如果在 [ , ] 内改变 ，画出 P MVDR ( ) 曲线。在 i , i 1, 2, , K 处的信号和噪声都被
滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；当 i , i 1, 2, , K 时，频率为 i 的信号可以无失 真地通过滤波器，因此曲线呈现出一个峰值。 在上面 MVDR 线谱估计方法的推导中，涉及了横向滤波器，但在进行信号频率估计时，无需构 建滤波器，而直接计算式(5.1.13)就可以得到复正弦信号的线谱。 应该指出，上面的 PMVDR (e ) 被称为最小方差谱，它并不是功率谱，它描述了信号功率谱的相 对强度。 Capon 提出的 MVDR 线谱估计方法的谱估计分辨率不高于基于 AR 模型的功率谱估计方法。
其中，矩阵 R
M M
(5.1.6)
为矢量 x(n) 的 M 维自相关矩阵，即
r (1) r (0) r (1) r (0) R E x(n)x H (n) r (1 M ) r (2 M )
r ( M 1) r ( M 2) r (0)
根据式(5.1.9)，求其梯度 J (w ) ，并令其为零，有
(5.1.9)
J (w ) 2Rw 2a(e j ) 0
考虑到自相关矩阵 R 是非奇异的，所以有
(5.1.10)
w R 1a(e j )
将其代入到约束条件 w a(e ) 1 中，并考虑 R 的共轭对称性，可得
x(n) k e jk n v(n)
k 1
K
(5.1.1)
其中， v(n) 是零均值，方差 为加性白噪声， k 和 k 分别是第 k 个复正弦信号复幅度和角频率，
第11章_经典谱估计
所以：
加在自相关函数上。目的是将 其截短。第二次加窗。
直接法和间接法之间的关系
11.4经典谱估计的质量
也分两种情况讨论 M N 1 M N 1
均值 主要考察的是
方差
无偏估计 一致估计
（一） M N 1
周期图和 自相关法 是等效的， 统一考虑
1. 偏差
估计值的均值
自相关 函数估 计的性 质
（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝16
0
0
-20
-20
-40
-40
-60 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 (e)
-60 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 (f)
经典功率谱估计的特点：
1. 物理概念明确，可用FFT快速算法。所以 是大众化的谱估计方法；
2. 对周期图，分辨率受到 对自相关法，分辨率受到
任务：改进
对 估计的性能；
目标：主要是改进方差的性能
方法：平滑与平均；
1. 平滑（Smoothing)
用 对 的加窗来实现 平滑
2. 平均（Average） 理论依据: L个独立同分布随即变量和的
分布，方差减小 倍，即：
将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功 率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平 均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中 缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的， 且每一段的统计特性基本一样。
（2） 若
的主瓣宽度为 ；
假定 在主瓣外为零；
那么，在频率范围
有
内：
D0 ()
B 2 B 2
D0 (2 ) D0 (1 )
1 2 B
2
1
D0 (1 ) D0 ( 2 )
谱估计法的应用
确地确定。在非语音地区的噪音也初步减弱。然而，仍然
有大量的噪音残留在讲话中地区。因此，有必要使用在非 语音地区获得的准确的噪声功率谱进行进一步的去噪。特 别的，我们有； 2 2 2 S ( w) X ( w) 2 ( w)
其中 2 =0.9也是一个实验值，表示的是在谱估法中噪音功 1 和 ( w) 2 是在非语音去的 率谱在讲话中占的比例。例如；
音帧的短时能量和短时过零率是可以计算的。短的时间内能 源零产品 j，然后计算： EZ
Ej和
Z j 是分别短时能源和短时过零率的第j个语音帧，他们
E j s (n)
N
EZ j E j * Z j
N
可以表示为：
n 1
1 Z j sign s (n) sign s (n 1) 2 n 1
(.)是SIGNUM函数。
由于短时能量的语音信号的平方，信号幅度的差异是增加了。
s( 其中N为每个语音帧的长度， n) 是整个讲话的采样点，符号sign
短时过零率描述签署的语音信号的采样点的变化，所以在一 定程度上，这是反映了讲话的频率。
当决定开始和结束时，当噪音水平都很高时短时能量值得到
结果表明， 1 = 1.2时，去噪效果最好。 2.3 语音帧检测 语音帧首先应检测的是去噪步骤2.2，短时能零积分的确切性 被EZ j 所表示，然后是计算去噪语音帧，需要用到公式 TH （5）—（7），噪音的阀值， j 1 .第 j 1 次噪音语音帧是：
TH j 1 EZ j
2
2
2
n 最后，由于阶段的讲话对的人的兴趣不大，(t )项取代x(t )。
在整个去噪过程结束时，通过所采取的IFFT是很容易获得纯 粹的讲话得（快速傅立叶逆变换）。 1.2 短时能零积分
经典谱估计与现代谱估计
x4 (t) x2 (t)
3
高斯信号： 零峰度 亚高斯信号: 负峰度 超高斯信号： 正峰度
21
高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质 (8个性质)
最重要的性质如下:
➢ 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 ➢ 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号
的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积 ➢信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，
• 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。
• 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。
• 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。
内容
❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
1Hale Waihona Puke 内容❖ 随机信号的特征 ❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
• 结论: ....................
－ 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为
零时, 就是二、三阶相关(矩)
－四阶以上的累积量不等于相应的中心矩 13
高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢高斯随机变量的高阶矩与累积量
• 高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯
随机变量的k 阶矩(或零均值的k 阶中心矩)为
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计是一种常用的信号处理方法，其中自相关法是其中一种常见的实现方式。
经典谱估计的主要目的是通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号与自身在不同时间点的相关性，通过对自相关函数进行合适的处理，可以得到信号的频谱信息。
自相关法的基本原理是利用信号的自相关函数来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号在不同时间点上的相关性，它可以通过计算信号与其自身在不同时间延迟下的乘积来得到。
在实际应用中，可以使用不同的自相关函数估计方法，如周期图谱法、傅里叶变换法等。
在进行自相关法时，需要考虑一些关键因素。
首先是选择合适的信号长度和时间窗口大小，这会影响到自相关函数的准确性和分辨率。
其次是对信号进行预处理，如去除噪声、进行平滑处理等，以提高自相关函数的稳定性和可靠性。
另外，还需要考虑自相关函数的计算方法和参数选择，以确保得到准确的频谱估计结果。
自相关法在实际应用中有着广泛的应用，特别是在信号处理、
通信系统和频谱分析等领域。
它可以用于估计信号的频谱特性，如频率成分、功率谱密度等，对于信号的特征提取和分析具有重要意义。
同时，自相关法也可以用于信号的调制识别、信道估计和系统建模等方面，为工程实践提供了有力的工具和方法。
总的来说，经典谱估计中的自相关法是一种重要的信号处理方法，通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
在实际应用中，需要综合考虑信号处理的各个环节，合理选择方法和参数，以获得准确可靠的频谱估计结果。
经典谱估计方法
经典谱估计方法嘿，咱今儿就来唠唠经典谱估计方法。
你说这谱估计啊，就像是给一个神秘的信号画像，让咱能看清它的真面目。
想象一下，信号就像一个调皮的小精灵，在我们面前蹦来蹦去，一会儿藏起来，一会儿又冒出来。
而经典谱估计方法呢，就是我们用来抓住这个小精灵的工具啦。
常见的经典谱估计方法有好几种呢，比如周期图法。
这就好像是给小精灵拍了一张快照，能大致看出它的模样。
不过呢，这张快照有时候可不太准哦，会有一些偏差和误差呢。
还有自相关法，这就像是跟小精灵玩一个追踪游戏，通过它留下的痕迹来推测它的样子。
它能让我们对小精灵的了解更深入一些，但也不是十全十美的呀。
你可能会问了，那这些方法都有啥用呢？哎呀，用处可大了去啦！比如说在通信领域，我们得搞清楚信号的特点，才能让信息准确无误地传递呀。
就好像你给朋友发消息，总不能乱码一堆吧。
在音频处理里，经典谱估计方法能帮我们把声音变得更好听，更清晰。
就像给声音化了个妆，让它更漂亮。
在科学研究中，那更是少不了它。
研究各种现象，分析数据，都得靠它来帮忙呢。
可是啊，经典谱估计方法也不是完美无缺的。
它就像一个有点小脾气的朋友，有时候会闹点小情绪，给咱出点难题。
比如说分辨率不高啦，容易受到噪声干扰啦。
那怎么办呢？咱就得想办法哄好它呀，或者找些其他的办法来弥补它的不足。
就像你有个朋友脾气不太好，你得有耐心，还得想办法和他好好相处。
总之呢，经典谱估计方法是我们探索信号世界的重要工具，但我们也得清楚它的优缺点，灵活运用，才能让它发挥最大的作用呀。
别小看了这些方法，它们可是能帮我们解开很多信号的秘密呢！这就是经典谱估计方法，有趣吧？嘿嘿！。
谱分解求法
谱分解求法一、引言谱分解求法是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的数值分析方法。
它通过将复杂的问题分解为多个简单的子问题，利用谱理论将无限维问题转化为有限维问题，从而实现对复杂系统的精确或近似求解。
谱分解求法具有高效、精确和广泛的应用价值，是解决复杂问题的有力工具。
二、谱分解求法的原理谱分解求法的原理主要基于谱理论和投影方法。
谱理论是一种描述线性算子的性质及其对函数空间作用的理论，可以用来揭示函数空间的内部结构。
投影方法则是通过将待求解的问题投影到某个低维空间中，以实现从无限维空间到有限维空间的转化。
在谱分解求法中，通常将原始问题定义在一个无限维的函数空间中，然后利用谱理论分析该函数的性质，选择适当的正交基函数或展开函数，将原函数展开成这些基函数的线性组合。
通过这种方式，我们可以将原始的无限维问题转化为有限个基函数的线性组合，从而实现从无限维空间的求解到有限维空间的求解的转化。
三、谱分解求法的主要算法谱分解求法有多种具体的算法实现方式，以下是其中几种主要的算法：1.傅里叶变换法：该方法通过傅里叶级数展开将周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，从而将原函数在时域中的求解转化为频域中的求解。
2.小波变换法：小波变换是一种能够同时在时间和频率域分析信号的方法，通过小波变换可以将复杂的信号分解为一系列小波函数的线性组合，从而实现对信号的精确分析。
3.谱元方法：该方法是一种数值流形方法，通过选取合适的基函数和参数，将连续的问题离散化为有限元的计算，以实现高效数值计算。
4.谱方法：谱方法是一种基于正交多项式展开的数值计算方法，通过对原函数进行正交多项式展开，可以将复杂的微分方程近似为代数方程，以实现高效数值求解。
四、谱分解求法的应用谱分解求法在数学、物理和工程领域有广泛的应用，以下是其中的几个例子：1.流体动力学：在流体动力学中，谱分解求法可以用于求解Navier-Stokes 方程等偏微分方程，从而对流体的流动特性进行数值模拟和分析。
谱估计与谱分析第一章
（4）所谓修正的周期图方法 试图补救基本周期图方法的上述困难。但是， “改进的方法”减少所估计谱的方差，是以增加 其偏差（因而降低平均分辨力）为代价的。 所以 偏差与方差或分辨力与统计变化性/稳定性/精度的 折衷是谱分析方法研究的关键所在。
（10）周期图/相关图是一个渐近无偏谱估 计器
如果有可能增加N，φˆ p (ω) 中的偏差将随着N 增加逐步消失。然而，周期图方法的主要问题是p (ω)的有限采样方差和渐近方差 （N>>1) •φˆ (ω)的有限采样方差只是在某些特殊情况下 （像白高斯噪声情况）容易建立。 •φˆ (ω)的渐近方差（N>>1 ）可对更一般的信号 导出：足以说明周期图的统计精度差。 （2）高斯复/圆白噪声信号 {e(t )} 之φˆ(ω) 的渐 近方差/协方差
（3）一般线性信号{y(t)}（有色噪声信号：高斯白 噪声序列 {e(t)} 线性滤波
（式中 表示一个随机变量的二阶矩平方根， 对于某些a>0的值，随着 N →∞，趋向于0的速度 至少为 ）
3.4 周期图/相关图是一个非一致谱估计器
（1）对于相当一般的信号，周期图值是渐近地 (N>>1)不相关随机变量，它的均值和标准偏差都 等于真正的PSD值φ(ω)
（2）周期图φˆ(ω) 围绕着真正的PSDφ(ω)起伏 （非0方差），甚至处理的采样长度N增至无限， 依然如此。 （3）周期图值φˆ p (ω) 对于大N值是不相关的， 类似于白噪声的情况，使得周期图呈现一种 erratic behavior （飘忽不定的行为） ——形成 周期图方法 作PSD估计的主要限制。
有偏自协方差序列ACS估计
均值
（2）将 表为两个序列乘积DTFT→ 两个序列各自DTFT的卷积
谱估计算法范文
谱估计算法范文常见的谱估计算法包括：周期图法、傅里叶变换法、自相关法、功率谱估计法、最大熵法、高分辨率谱估计法等。
下面我将针对几种常用的谱估计算法进行详细介绍。
1.傅里叶变换法：傅里叶变换法是最基本的频谱估计方法，它将信号从时域转换到频域。
通过计算信号的傅里叶变换，可以得到信号的频谱密度。
这种方法简单直观，但需要计算大量数据，适用于信号长度较短的情况。
2.自相关法：自相关法是通过计算信号与自身的相关性来估计频谱。
它通过计算信号的自相关函数，再进行傅里叶变换，得到频谱密度。
自相关法适用于信号长度较长的情况，但由于计算自相关函数耗时较长，不适用于实时处理。
3.周期图法：周期图法是一种经典的频谱估计算法，它通过将信号分解为多个周期信号，再进行傅里叶变换得到频谱。
周期图法可以提高频谱估计的分辨率，适用于周期性信号的处理。
4.最大熵法：最大熵法是一种通过最大化信号熵来估计频谱的方法。
最大熵法在保持信号统计特性的同时，尽量减小估计误差。
最大熵法具有较好的频谱估计精度，但计算复杂度较高，适用于对精度要求较高的应用场景。
5.功率谱估计法：功率谱估计法通过计算信号的平均功率来估计频谱。
常见的功率谱估计方法有周期图法、自相关法、Welch法等。
功率谱估计法适用于宽带信号的处理，可以提高频谱估计的稳定性和准确性。
6.高分辨率谱估计法：高分辨率谱估计法是一种通过增加信号长度或使用多个不同的子信号来提高频谱估计分辨率的方法。
常见的高分辨率谱估计方法有MUSIC算法、ESPRIT算法等。
高分辨率谱估计法适用于对频谱分辨率要求较高的场景，如雷达信号处理、声音处理等。
综上所述，谱估计算法是用于估计信号频谱密度的一类方法，常见的谱估计算法包括傅里叶变换法、自相关法、周期图法、最大熵法、功率谱估计法和高分辨率谱估计法。
每种算法有各自的适用场景和优缺点，根据不同的需求和数据特点选择合适的谱估计方法可以获得更准确和可靠的频谱估计结果。
经典谱估计算法性能比较
经典谱估计算法性能比较经典谱估计算法是信号处理领域中常用的一类算法，用于从观测到的信号样本中估计信号的频率、振幅、相位等相关参数。
常见的谱估计算法有传统谱估计法、非参数谱估计法和最小二乘谱估计法等。
本文将从算法原理、性能指标和实际应用等方面，对这些经典谱估计算法进行比较和分析。
一、算法原理传统谱估计法是最简单、常用的一类谱估计算法，其基本思想是通过对信号进行线性变换，将频谱估计问题转化为参数估计问题。
常见的传统谱估计算法有周期图法、自相关函数法、特定窗函数法等。
非参数谱估计法则是基于信号样本的统计特性，通过对信号样本进行直接分析来估计信号的频谱。
最常用的非参数谱估计算法有周期图法、Welch法、多普勒谱估计法等。
这类算法通常具有计算量大、辨识能力强的特点。
最小二乘谱估计法是利用线性最小二乘法原理，通过优化目标函数来估计信号的谱。
最小二乘谱估计法的核心是通过最小化残差平方和来获得最佳估计值。
常见的最小二乘谱估计算法有波前源谱估计法、Capon谱估计法等。
二、性能指标1.分辨率：性能指标之一是分辨率，即算法在估计信号频谱时，能否分辨出不同频率成分的能力。
分辨率越高，代表信号的频谱估计结果越精确。
2.偏差：性能指标之二是偏差，即估计结果与真实值之间的差异。
偏差越小，代表算法的估计结果越接近真实值。
3.方差：性能指标之三是方差，即估计结果的波动程度。
方差越小，代表算法的稳定性较好，估计结果相对较稳定。
4.频谱动态范围：性能指标之四是频谱动态范围，即算法在估计信号频谱时，能够估计到的最小和最大频率的能力。
频谱动态范围越宽，代表算法的适用范围越广。
1.分辨率比较：传统谱估计法的分辨率相对较低，非参数谱估计法的分辨率较高，而最小二乘谱估计法的分辨率介于传统谱估计法和非参数谱估计法之间。
2.偏差比较：传统谱估计法的偏差较大，非参数谱估计法的偏差较小，而最小二乘谱估计法的偏差相对较小。
3.方差比较：传统谱估计法的方差较大，非参数谱估计法的方差较小，而最小二乘谱估计法的方差相对较小。
功率谱估计的经典方法
功率谱估计的经典方法周期图法是最早被提出的功率谱估计方法之一、它基于信号的周期性，将信号分解成一系列频率分量，然后计算每个频率分量的功率谱密度。
周期图法主要分为周期自相关法和周期平均法两种。
周期自相关法通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
周期平均法则是通过对多个信号周期进行平均得到功率谱估计结果。
平均法是功率谱估计的另一种常用方法。
它通过对信号进行多次采样，然后计算采样信号的傅里叶变换得到频谱，再对多个频谱进行平均得到功率谱估计结果。
平均法的优点是抗噪声能力强，可以提高功率谱估计的准确性。
自相关法是一种基于信号自身特性的功率谱估计方法。
它通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
自相关法的优点是计算简单，但是对信号的平稳性要求较高。
递归方法是一种实时性较好的功率谱估计方法。
它通过对信号进行递推计算，每次计算结果作为下一次计算的输入，以此来估计信号的功率谱。
递归方法通常会使用窗函数来平滑信号，减小频谱分辨率。
递归方法的优点是计算效率高，可以用于实时信号处理。
除了这些经典方法，还有一些其他的功率谱估计方法，如Yule-Walker方法、Burg方法、最大熵方法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法需要根据具体需求和信号特性进行判断。
在实际应用中，功率谱估计可以用于信号处理、通信系统设计、频谱分析等领域。
它可以帮助我们了解信号的频谱分布特性，对信号进行分析和处理，从而实现更好的信号传输和处理效果。
无论是音频信号、图像信号还是通信信号，功率谱估计都具有重要的意义。
因此，掌握功率谱估计的经典方法是进行信号处理和频谱分析的基础。
矩阵论-谱分解
i 1
i 1
6)因为E j =U j UHj ，由上节引理知r(E j )=r(U j )=n j.
r
r
r
r
: AAH j E j ( j E jH ) i i Ei EiH i i Ei
j 1
j 1
i 1
i 1
r
且AH A i i Ei , i 1
所以AAH =AH A.
正规矩阵谱分解步骤：
第五节 谱分解
1.正规矩阵的谱分解
设A是正规矩阵，则U Unn , 满足：A=Udiag{1, ,n}UH ,
若令U=(1, ,n ),则
A=(1,
,n )diag{1,
,n
}
1H
H 2
111H
H n
n
n
H n
(1)
其中
i是矩阵A的特征值i所对应的单位特征向量，i
H是
i
n阶矩阵.(1)式称为A的谱分解.由于i可能是重根，所以上式
任取z V1 V2,有z Ex, Ez ,这里为原点对应的向量. 则 =Ez=E2x Ex z,所以V1 V2 ={}，
x Cn，有x=Ex+(I-E)x,其中Ex V1，(I-E)x V2， 所以Cn =V1 V2.
=(1,
0,
1),
2
=
(0,
1 5
,
2 5
),
3
=(0,
2 5
,
1 5
)
1
1 0 1
则E1
=11
=
0
(1,
0,
1)=
0
0
0
0
0 0 0
0
2 5
第五章功率谱估计1-2节
经FFT变换,得:
ˆ ˆ ˆ Pxx (k ) FFT xx (m) xx (m)e
m0 L -1 -j 2 km L
k 0,1, 2, L -1
29/113
三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到 ˆ 自相关函数的估计 ( m)，
13/113
（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值 对自相关函数的估计进行加权 对加权的自相关函数做傅里叶变换 获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
14/113
（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换 取模的平方，再除以N 得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
15/113
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。 主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
N
2 xx (l ) xx (l m)xx (l - m) (N - m - l )
N - m -1 2 l -( N - m -1) N - m -1 2 l -( N - m -1)
N - m
N
所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求来适当选择信号仍然是均值为方差为的白噪声观察数据长度为了利用平均周期法估计其功率谱将它分成段分别按照平均周期图法估计其功率谱得到功率谱曲线如图从图中可以看出随着分段数的增加功率谱估计值在附近的幅度愈来愈小显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果
谱分解定理证明
谱分解定理是数学中的一个重要概念，它主要应用于线性代数、泛函分析和量子力学等领域。
谱分解定理的证明方法有很多种，其中最常见的是利用谱理论进行证明。
首先，我们需要了解谱的概念。
对于一个复数矩阵A，其特征值和特征向量构成了其谱，即A的特征值和对应的特征向量的集合。
谱分解定理的主要内容是将一个矩阵分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，这些子空间构成了矩阵的谱。
接下来，我们可以通过定义投影算子来证明谱分解定理。
投影算子是将一个向量投影到某个子空间中的一种线性算子。
对于一个矩阵A，我们可以定义其投影算子P为：Pv = v -λ_1 v_1 -λ_2 v_2 - ... -λ_k v_k，其中v是输入向量，λ_i是A对应的特征值和对应的特征向量。
通过定义投影算子，我们可以证明矩阵A可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和。
具体证明过程如下：假设矩阵A可以表示为：A = P + Q其中P是一个投影算子，Q是一个与P无关的子空间的张成向量。
由于P是投影算子，所以它可以将一个向量投影到某个子空间中，即对于任意向量v，有Pv ∈S。
同时，由于Q是一个与P无关的子空间的张成向量，所以它张成的子空间与S是线性无关的。
因此，矩阵A 可以表示为两个线性无关的子空间的和，即A = P + Q = S + T，其中S和T分别是与P和Q张成的子空间。
这样，我们就证明了谱分解定理。
在实际应用中，谱分解定理可以用于分解一个矩阵或者一个系统，以便于分析和求解问题。
在量子力学中，谱分解定理可以用于描述一个量子系统的能级和跃迁概率；在泛函分析中，谱分解定理可以用于求解一个泛函的边值问题。
总之，谱分解定理的证明需要利用谱理论和投影算子的定义。
通过定义投影算子并利用线性代数的性质，我们可以证明矩阵可以分解成若干个线性无关的特征向量张成的子空间的和，从而证明了谱分解定理。
谱分解定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
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xx (m)Ex(n) x (n m)
N 1 jm Pxx () Pxx () lim x(n) x (n m) e N 2 N 1 m n N
1 N jn j ( n m ) lim x(n)e x (n m)e N 2 N 1 n N m
N 1 n 0 2
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
jn
1 2 X N ( ) N
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
1
引
言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号
的功率谱密度(或自相关函数)。
常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数
估计。
从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的 二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。 例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振 幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是 正弦波功率的10％)。
N
2
功率谱的 真实值
2
才有意义
N 1 j n Pxx ( ) lim E x ( n ) e N 2 N 1 n N
1
• 谱分析
引
言
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过 程的功率谱密度。
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N n
1967 Burg 最大熵 1968 Parzen 自回归AR 用参数模型来模拟信号 实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近 目前常用的求自回归模型系数的算法有三种： ①Levinson递推算法； ②Burg递推算法； ③正反向线性预测最小二乘算法。
2
经典谱估计
• 自相关函数的估计 • 周期图作为功率谱的估计 • 平滑后的周期图作为PSD的估计
令l nm
则上式可写成
1 jn jl Pxx ( ) lim x(n)e x(l )e N 2 N 1 n N l
N
1 jn lim x(n)e N 2 N 1 n N 实际上只有将上式求平均，成为
不难证明：
E e B
2 2
2 ˆ
1
• 估计质量的评价
一致估计：
引
言
当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。
N N
ˆ 0 Bias ˆ 0 Var
正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件 反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的
n
x
N
(n) xN (n m)
对自相关函数进行估计，然后再通过式 作傅氏变换得功率谱估计值。
m
jm ˆ ˆ P xx ( ) xx (m)e
已知数据取样自相关函数功率谱
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
直接法(周期图法 )
将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直 接按式
x
N
(n) xN (n m)
功率谱的 估计值
ˆ (m)e jm ˆ ( ) P xx xx
或 其中
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
n 0
N 1
m
2 jn
1 2 X N ( ) N
周期图
xN (n) RN (n) x(n) xN (n m) RN (n m) x(n m)
1
• 估计质量的评价
无偏估计
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ 的偏差(Bias)为零 。所谓偏差(用B表示)定义为 ˆ] E ( ˆ) B Bias[
估计1和估计2 都属于无偏估计； 估计2较之估 计1方差小；
1
• 估计质量的评价
最小方差估计
方差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ
2
ˆ] Var[
2 ˆ ˆ E E[ ]
为最小的估计。
2 2 ˆ ˆ ˆ Var[ ] E[ ] E [ ]
1
• 估计质量的评价
均方误差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
2 2 ˆ ˆ MS ( ) E e E ( )
频谱能量向旁瓣泄漏 原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限 窄的现象。 周期图的缺陷：非一致估计 当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零， 而是趋近于常数。
“加窗效应”
矩形序列 其傅立叶变换为
幅度谱
“加窗效应”
各种窗函数的频谱
1
• 研究现状
现代谱估计：引来自言以随机过程的参数 模型为基础
用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。
(a) 经典BT PSD法
(b) 最大熵谱估计法
(c) Pisavcnko 谐波分解法
1
• 研究现状
引
言
功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1
1
• 研究现状
经典谱估计：
先通过式
引
言
以傅立叶变 换为基础
间接法(BT PSD估计法 )
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N
谱 估 计
主要内容
• 引言
• 经典谱估计 • 现代谱估计
1
引
言
概述 估计质量的评价 功率谱估计的应用 研究现状
1
引
言
• 随机信号的功率谱密度(函数)，是 其自相关函数的傅氏变换。
前提：均值为零
Pxx ( )
m
jm ( m ) e xx
X(n)的自 相关函数