北师版数学高二-选修2-2课时作业实际问题中导数的意义

合集下载

数学北师大版高中选修2-2导数在实际生活中的应用

2019/2/23 16
例3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 1 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的道理吗? 2是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 背景知识某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 .瓶子的制造成本是 0.8πr 2分, 其中r 是瓶子的半径,单位是厘米 .已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子最大半径为6cm. 问题 1 瓶子半径多大时 ,能使每瓶饮料的利润最大? 2019/2/23 17 2 瓶子半径多大时 , 每瓶饮料利润最小 ?
2019/2/23
课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
最值是相对函数定义域整体而言的.
2
课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
2019/2/23
13
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC ， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 0 1 2 3 3 60 h 2b)h ( h b)h ① ∴ S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
2019/2/23
22
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.

北师大数学选修2-2(成盘)第3章2.1实际问题中导数的意义(1)

能
计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示
优化
函数值减少或不变，解释导数的实际意义时要
训练
注意用词的不同．
山东水浒书业有限公司·
返回
优化方案系列丛书
第3章导数应用
课
功与功率问题
前
自
主
学
案
功率是功W关于时间t的导数，实际意义解课
堂
释为单位时间里所做的功。
互动讲
练
【思路点拨】 (1) 求出f1及f4 →
知能
优
化
计算从1 h到4 h的平均变化率 → 解释其实际意义
训练
(2) 求f′x → 计算f′1，f′4 → 解释其意义
山东水浒书业有限公司·
返回
优化方案系列丛书
第3章导数应用
【解】当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1)
优化方案系列丛书
第3章导数应用
课
前
学习目标
自主
学
案
1.理解平均变化率与导数的关系．
课
堂
互
2．理解导数的实际意义．
动讲
练
3．体会导数意义在实际生活中的应用．
知
能
优
化
训
练
山东水浒书业有限公司·
返回
优化方案系列丛书
第3章导数应用
课前自主学案
课
前
自
温故夯基
主学
案
返回
优化方案系列丛书
第3章导数应用
(2)f′(x)＝1x0＋
2 ，于是 x
f′(1)＝2110
(g/h)，f′(4)
课前自
主

高中数学北师大版选修2-2课时作业3.2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析

选修第三章§课时作业一、选择题．做一个容积为升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( )．分米．分米．分米．分米解析：设底面边长为分米，则高为＝，其表面积＝＋··＝＋，′＝－，令′＝，则＝.当<<时′<，当>时′>，故＝时最小．答案：．某商场从生产厂家以每件元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为元，销售量为，则销售量(单位：件)与零售价(单位：元)有如下关系：＝－－.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )．元．元．元．元解析：设毛利润为()，由题意知()＝－＝(－)＝(－－)(－)＝－－＋－，所以，′()＝－－＋.令′()＝，解得＝，或＝－(舍去)．此时，()＝.根据实际问题的意义知，()是最大值，即零售价定为每件元时，最大毛利润为元．答案：．[·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )．，．，．，．，解析：如图所示，设矩形横断面的宽为，高为，由题意知当取最大值时，横梁的强度最大．∵＝－，∴＝(－)(<<)．令()＝(－)(<<)，求导数，得′()＝－.令′()＝，解得＝或＝－(舍去)．当<<时，′()>；当<<时，′()<，因此，当＝时，()取得极大值，也是最大值．综上，当矩形横断面的高为，宽为时，横梁的强度最大．答案：．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为( ) ．．．．解析：如右图，设底面边长为(>)则底面积＝，∴＝＝.表＝·×＋×＝＋.′表＝－，令′表＝，＝.∵表只有一个极值，故＝为最小值点．答案：二、填空题．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．解析：依题意可设每月土地占用费＝，每月库存货物的运费＝，其中是仓库到车站的距离．于是由＝，得＝；由＝，得＝.因此两项费用之和为＝＋，′＝－＋，令′＝－＋＝得＝(＝－舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站千米处时，两项费用之和最小．答案：．某厂生产某种产品件的总成本：()＝＋，又产品单价的平方与产品件数成反比，生。

高中数学选修2-2 北师大版 2.1实际问题中导数的意义学案

§1导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义 2.2最大值、最小值问题（1）【学习目标】1.了解导数在实际问题中的意义，能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解；2.理解函数的最值与极值的区别和联系，能利用导数研究函数的最值.【重点难点】重点：导数的实际意义及函数的最值的求法难点：利用导数求函数的最值【导学流程】一、知识链接1. 函数的平均变化率和导数：对于一般函数y=f(x)，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设△x=x 1-x 0，△y=f(x 1)-f(x 0)，则函数的平均变化率是()()()()xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆000101.则函数y=f(x)在x=x 0处的导数为：()()()x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00000lin lin . 2. 函数的导数与单调性的关系：设函数y=f(x)在区间A 内可导，若()0>'x f ，则f(x)在A 上是增函数；若()0<'x f ，则f(x)在A 上是减函数.3. 用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()x f '；（2）解()0>'x f 或()0<'x f 与定义域的交集；（3）确定单调区间.二、课前预习1.阅读课本第63-65页内容，理解导数的时间意义，完成：（1）功率是________关于________的导数；降雨强度是________关于_______的导数；边际成本是_________关于__________的导数；速度是_______关于________的函数；加速度是________关于_________的导数.2.阅读课本第66-67页内容，了解最大（小）值的概念，完成：（1）函数在区间[a ，b]上满足：①x 0∈[a ，b]，且f(x)____f(x 0)，则____为最大值点，______为最大值；②x 0∈[a ，b]，且f(x)____f(x 0)，则____为最小值点，______为最小值.（2）函数y=f(x)的图像如图，回答：函数的极大值为__________，极小值为_________，最大值为_________，最小值为_________.（3）函数()x x x f 1+=在其定义域内是否有最值？在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡231，上呢？若有，求出最大值、b x 3 x 2 x 1a O y x最小值，若没有，说明理由.3.认真分析例4，归纳利用导数求函数最值的步骤，完成：课本第67页练习._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容三、课堂探究1.做简谐振动的小球的运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23sin 20πt x ，其中x(单位：m)是小球相对于平衡点的距离，t(单位：s)为时间，求小球在4π=t 时刻的速度. 【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.函数f(x)=x(1-x 2)在[0，1]上的最大值为（） A.932 B.922 C.923 D.83 2.已知x ≥0，y ≥0，x+3y=9，则x 2y 的最大值为（）A.36B.18C.25D.423.函数f(x)=sinx+cosx ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 时，函数的最大值为______________. 4.课本第69页习题3-2A 组2.。

高中数学选修2-2 北师大版 3.2.1 实际问题中导数的意义教案

第七课时导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。

2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。

3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法二、教学重点：函数建模过程教学难点：函数建模过程三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法（二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0q <<1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =84时，利润L （三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题（五）、课后作业：第69页A 组中1、3 B 组题。

高中数学北师大版选修2-2第3章2《第1课时实际问题中导数的意义》ppt课件

• (2)电荷量对于时间的导数是电流．
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时
电荷量关于时间t的平均变化率为
Q2－Q1 2－1
＝
3×22－ln2－3×12－ln1 1
≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时
间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间
＝4Δx＋ΔΔxx2－7Δx＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ lim
Δx→0
Δy Δx
＝lim (Δx－3)＝－3.
Δx→0
• 同理可得f′(6)＝5.
• 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以
内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－1t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是：在t＝
2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时
刻内电路的电流为11.5A．
•导数在生活中的应用
•
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋
Δt→0
s1＋Δ含义是t＝1时的瞬时速度．
• 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.
则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．
• [答案] 10
[解析]
由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－
1 2
gt2，
∴h′(t)＝100－gt.
(1)求c′(x)； (2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．

高二数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1234
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1234
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1234
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI

2.1实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案

2.1 实际问题中导数的意义-北师大版选修2-2教案
一、教学目标
•理解导数的概念及其作用；
•掌握求导数的方法；
•理解导数的物理意义；
•能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容
本课时主要探讨导数的意义及其应用，包括以下几个方面：
1.导数定义的引入；
2.导数的物理意义；
3.导数的计算方法；
4.应用于实际问题，如最优化问题、极值问题等。

三、教学重点与难点
1.理解导数的概念及其作用；
2.掌握求导数的方法；
3.理解导数的物理意义。

四、教学方法
通过引入实例、图像等方式，引导学生探究导数的概念、物理意义及其应用，同时配合小组讨论等方式，提高学生互动性和课堂效率。

五、教学流程
5.1 热身（5分钟）
复习前几节课所学内容，如函数的极限、连续性等。

5.2 引入（10分钟）
引入导数定义，引导学生观察函数图像，并通过观察、思考，引入导数的概念。

5.3 实验探究（20分钟）
将学生分为小组，探究导数的物理意义，通过实例、图像等方式，引导学生理解导数在实际问题中的应用。

5.4 讲解（20分钟）
讲解导数的计算方法，包括基本公式、求导法则等。

5.5 练习（20分钟）
布置练习题，要求学生运用导数解决实际问题，如最优化问题、极值问题等。

5.6 总结（5分钟）
回顾本节课所学内容，引导学生总结导数的概念及其应用。

六、教学资源
1.教师课件；
2.学生练习册。

七、教学评估
1.课堂讨论及小组合作情况的观察；
2.练习题及作业的完成情况。

高中数学选修2-2北师大版教案：3..2.1实际问题中导数的意义

课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：本章知识网络:二、典例精析例1.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围变式：若函数(]21()2,0,1f x ax x x =-∈在(]0,1x ∈上单调递增，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. 令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e -. 22.（2011·江西高考理科·Ｔ19）设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. （2）当02a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值.三、作业必做题：课本71页1题（2）（4）（6）（8）2题（2）3、4题选做题;B组1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

北师大版选修22高中数学321《实际问题中导数的意义》同步训练

§2导数在实际问题中的应用2、1实际问题中导数的意义双基达标限时20分钟1.物体运动规律是s＝s(t）,物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度为( ）。

A、错误!＝错误!＝错误!B、错误!＝错误!C、错误!＝错误!错误!＝错误!错误!D、错误!＝错误!答案A2.设函数f(x）在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx）－f（x0)＝aΔx＋b(Δx)2（a,b为常数),则( ).A.f′(x)＝a B。

f′(x）＝bC。

f′（x0）＝a D。

f′(x0)＝b答案C3。

如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )。

A.6 B。

18C。

54 D。

81解析瞬时速度v＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!3(6＋Δt)＝18、答案B4。

球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________。

答案错误!5。

如图,水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时,一水波面的圆面积的膨胀率是________。

答案25 000π cm2/s6。

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f(x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2）和f′(6).根据导数的定义，错误!＝错误!＝错误!＝4Δx＋Δx2－7ΔxΔx＝Δx－3，所以，f′（2)＝错误!错误!＝错误!(Δx－3）＝－3、同理可得f′（6)＝5、在第2 h与第6 h时，原油的温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降;在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升。

f′（x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况。

综合提高限时25分钟7。

一根金属棒的质量y(单位:kg)是长度x(单位:m)的函数,y＝f（x)＝3错误!,则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( )。

2012-2013高二北师大数学选修2-2第三课时3.2.1实际问题中导数的意义教学设计

第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义教学目的：1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x ) =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。

【金版优课】高二数学北师大版选修2-2课时作业：3.2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析

选修2-2 第三章 §2 课时作业17一、选择题1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( ) A ．5分米 B ．6分米 C ．7分米D ．8分米解析：设底面边长为x 分米，则高为h ＝256x 2，其表面积S ＝x 2＋4·256x 2·x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8.当0<x <8时S ′<0，当x >8时S ′>0，故x ＝8时S最小．答案：D2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170P －P 2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28000元D ．23000元解析：设毛利润为L (P )，由题意知 L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20) ＝(8300－170P －P 2)(P －20) ＝－P 3－150P 2＋11700P －166000，所以，L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30，或P ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23000.根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：D3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )A ．3d ，33d B ．33d ，63d C ．63d ，33d D ．63d ，3d 解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x ，高为y ，由题意知当xy 2取最大值时，横梁的强度最大． ∵y 2＝d 2－x 2，∴xy 2＝x (d 2－x 2)(0<x <d )．令f (x )＝x (d 2－x 2)(0<x <d )，求导数，得f ′(x )＝d 2－3x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝33d 或x ＝－33d (舍去)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，因此，当x ＝33d 时，f (x )取得极大值，也是最大值．综上，当矩形横断面的高为63d ，宽为33d 时，横梁的强度最大．答案：C4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34VD ．23V解析：如右图，设底面边长为x (x >0)则底面积S ＝34x 2， ∴h ＝V S ＝4V 3x 2.S 表＝x ·4V 3x 2×3＋34x 2×2＝43V x ＋32x 2.S ′表＝3x －43V x 2，令S ′表＝0，x ＝34V .∵S 表只有一个极值，故x ＝34V 为最小值点．答案：C二、填空题5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：56．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知502×100＝k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．答案：257．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y ′＝－4500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2.∴当0<x <15时y ′<0，当15<x <150时y ′>0.故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：10 15000 三、解答题8．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a (kx 2＋400x )．∴f (x )＝a (1200x 2＋400x )(0<x ≤100)．由f ′(x )＝a (x 3－40000)100x2＝0，得x ＝2035. 当0<x <2035时，f ′(x )<0；当2035<x <100时，f ′(x )>0.∴当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少．9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值．解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。

高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第三章 §2 2.1 实际问题中导数的意义

实际问题中导数的意义[例]物体作自由落体运动，其方程为()＝.(其中位移单位：，时间单位：，＝ )()计算当从变到时位移关于时间的平均变化率，并解释它的意义；()求当＝时的瞬时速度，并解释它的意义．[思路点拨]()平均变化率为位移的变化量与相应的时间变化量的比值．()瞬时速度为时间变化量趋于时的平均变化率，或由导数的意义得＝时的瞬时速度，即()在＝时的导数值．[精解详析]()当从变到时，位移从()变到()，此时，位移关于时间的平均变化率为＝＝×＝()．它表示物体从到这段时间平均每秒下落 .()∵′()＝，∴′()＝＝()．它表示物体在＝时的速度为 .[一点通]()函数＝()在处的导数′()就是导函数在处的函数值；()瞬时速度是运动物体的位移()对于时间的导数，即()＝′()；()瞬时加速度是运动物体的速度()对于时间的导数，即()＝′()．．某一做直线运动的物体，其位移()与时间()的关系是＝－，求′()并解释它的实际意义．解：∵′＝－，∴′()＝，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是 .．线段长米，在它的两个端点处各有一个光源，线段上的点距光源米，已知点受两个光源的总光照度()＝＋，其单位为：勒克斯．()当从变到时，求点处的总光照度关于点与的距离的平均变化率，它代表什么实际意义？()求′()并解释它的实际意义．解：()当从变到时，点处的总光照度关于点与的距离的平均变化率为＝＝＝(勒克斯米)，它表示点与光源的距离从米增加到米的过程中，距离每增加米，光照度平均增强勒克斯．()∵()＝＋，∴′()＝·(－·－)＋＝－＋.∴′()＝－＋＝－＝－(勒克斯米)．它表示点与光源距离米时，点受两光源总光照度减弱的速度为勒克斯米．[例]东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润元与生产量台之间的关系式为()＝－＋＋.()求产量为台的总利润与平均利润；()求产量由台提高到台时，总利润的平均改变量；()求′( )与′( )，并说明它们的实际意义．[思路点拨]()平均利润指平均每台所得利润；()总利润的平均改变量指()的平均变化率；()′()表示产量为台时，每多生产一台多获得的利润．[精解详析]()产量为台时的总利润为( )＝－×＋×＋＝(元)，平均利润为( )＝ (元)．()当产量由台提高到台时，总利润的平均改变量为(－( ( －)＝－)＝ (元)．()∵′()＝(－＋＋)′＝－＋，∴′( )＝－×＋＝ (元)．′( )＝－×＋＝ (元)．′( )＝表示当产量为台时，每多生产一台机械可多获利元．′( )＝表示当产量为台时，每多生产一台机械可多获利元．[一点通]实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．．某企业每天的产品均能售出，售价为元吨，其每天成本与每天产量之间的函数为()＝＋＋.()写出收入函数；。