2.1.1 实际问题中导数的意义
第3章 2.1 实际问题中导数的意义
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义学习目标 1.了解导数在实际问题中的意义.2.能用导数解释一些实际问题．知识点实际问题中导数的意义(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数．瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度．(2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数．(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．(4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．1．对功关于时间的函数，W′(t)就是表示t s内的功率．(×)2．气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度．(√)3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．(√)类型一导数在函数图像中的应用例1如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 D解析选项A表示面积的增速是常数，与实际不符，选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符．选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符．选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.反思与感悟解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像．跟踪训练1如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是________________．考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案①→B②→A③→D④→C类型二导数在实际问题中的应用命题角度1导数在物理学中的应用例2某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)＝2t3－5t2，则当t＝2时，汽车的加速度是________ m/s2.考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用答案14解析汽车的速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以汽车的加速度为v′(t)＝12t－10，则v′(2)＝14 m/s2.反思与感悟(1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值．(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)．(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．跟踪训练2某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．考点导数在实际问题中的应用题点导数在物理学中的应用解(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为W(3)－W(1)3－1＝21－113－1＝5(J/s)．它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W′(t)，根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.命题角度2导数在经济生活中的应用例3某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C (20)－C (10)20－10＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．引申探究若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．解 因为C ′(x )＝12x ＋60， 所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．反思与感悟 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．跟踪训练3 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；(3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义．考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在经济生活中的应用解 (1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为c (1 000)1 000＝5 000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600－5 000 600500＝2 000(元)． (3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000，∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)．c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)．c ′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． c ′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.1．在一次降雨过程中，降雨量y 是时间t 的函数，用y ＝f (t )表示，则f ′(10)表示( )A ．t ＝10时的降雨强度B ．t ＝10时的降雨量C ．t ＝10时的时间D ．t ＝10时的温度考点 导数在实际问题中的应用题点 导数在气象学中的应用答案 A解析 f ′(t )表示t 时刻的降雨强度．故选A.2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h (t )＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( )A ．500 m/hB ．1 000 m/hC ．400 m/hD ．1 200 m/h 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析 ∵h ′(t )＝－200t ＋800，∴当t ＝2时，h ′(2)＝400.3．圆的面积S 关于半径r 的函数关系式是S (r )＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( )A ．6B ．9C ．9πD ．6π考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析∵S′(r)＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.4．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s 末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案 C解析∵s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是_____．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案4边长每增加一个单位，周长增加4个单位1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．2．实际问题中导数的意义(1)功关于时间的导数是功率．(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．(4)路程关于时间的导数是速度．(5)速度关于时间的导数是加速度.一、选择题1．吹气球时，气球的体积V (r )与半径r (dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，当半径为2 dm 时体积的瞬时变化率为( )A.43π B ．4π C ．12π D ．16π 考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 D解析 ∵V ′(r )＝4πr 2，∴V ′(2)＝4π·22＝16π，∴气球的体积V (r )在半径为2 dm 时的瞬时变化率为16π.2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1 s 时的位移考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 C解析由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．3．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，增加的幅度变大考点导数在某点处的导数的几何意义题点导数在经济生活中的应用答案 B解析因为导数的含义是变化率，f′(10)>f′(20)>0.4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()考点实际问题中导数的意义题点导数在函数图像中的应用答案 A解析根据变化率的大小判断．5．细杆AB的长为20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2 cm时，AM的质量为8 g，那么当AM＝x cm时，M处的细杆线密度ρ(x)为() A．2x B．3x C．4x D．5x考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 C解析设m(x)＝kx2，当AM＝2时，m(2)＝k·22＝8，∴k＝2.∴m(x)＝2x2.∴ρ(x)＝m′(x)＝4x.6．设球的半径关于时间t的函数为R(t)，若球的体积V以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案 D解析根据题意知，V＝43πR3(t)，S＝4πR2(t)，球的体积增长速度为V′＝4πR2(t)·R′(t)，球的表面积增长速度为S′＝2·4πR(t)·R′(t)．∵球的体积以均匀速度C增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C.二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.考点求瞬时速度题点瞬时速度在实际问题中的应用答案3 2解析s′＝6t＋1＝10，∴t＝3 2.8．若某段导体通过的电量Q(单位：C)与时间t(单位：s)的函数关系为Q＝f(t)＝120t2＋t－80，t∈[0,30]，则f′(15)＝________，它的实际意义是__________________．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案52t＝15 s时的电流强度为52C/s9．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)的函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年．(1.0510≈1.628，ln 1.05≈0.049，结果精确到0.01)考点导数在实际问题中的应用题点导数在经济生活中的应用答案 0.08解析 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t ，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05，所以p ′(10)＝1.0510×ln 1.05≈0.08.因此，在第10个年头，这种商品的价格以约0.08元/年的速度上涨．10．如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用答案 25 000π解析 ∵面积S ＝πr 2，半径r ＝50t ，∴S ＝2 500πt 2.令r ＝50t ＝250，∴t ＝5，又S ′＝5 000πt ，∴当t ＝5时的膨胀率为5 000π×5＝25 000π.三、解答题11．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－1200＋5－15＝－16 ℃， 所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率是－1.6 ℃/min ，它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)由已知得T ′(t )＝－120(t ＋5)2，所以T ′(5)＝－1.2，它表示t ＝5 min 时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.12．江轮逆水上行300 km ，水速为6 km /h ，船相对于水的速度为x km/h ，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x 2 L ，即与船相对于水的速度的平方成正比．(1)试写出江轮在此行程中耗油量y 关于船相对于水的速度x 的函数关系式：y ＝f (x )；(2)求f ′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度—水速)．考点 导数定义的应用题点 导数定义在实际问题中的应用解 (1)船的实际速度为(x －6) km/h ，故全程用时300x －6 h ，所以耗油量y 关于x 的函数关系式为y ＝f (x )＝300×0.01x 2x －6＝3x 2x －6(x >6)． (2)f ′(x )＝3·2x (x －6)－x 2(x －6)2＝3x (x －12)(x －6)2， f ′(36)＝3×36×(36－12)(36－6)2＝2.88(L km/h )， f ′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h 时，耗油量增加的速度为2.88 L km/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km /h 时，船的航行速度每增加1 km/h ，耗油量就要增加2.88 L.四、探究与拓展13．在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt； (2)求t ＝20时的瞬时速度考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05(m)，所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)因为s ′＝10＋10t ，所以当t ＝20时，s ′＝10＋10×20＝210(m/s)，即当t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.14．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径为12 m ，试求当水深10 m 时，水面上升的速度．考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 设容器中水的体积在t min 时为V ，水深为h ，则V ＝20t ，V ＝13πr 2h (r 如图所示)．由图知r h ＝630，∴r ＝15h ， ∴V ＝13π·⎝⎛⎭⎫152·h 3＝π75h 3， ∴20t ＝π75h 3，∴h ＝ 3 1 500πt ， 于是h ′＝ 3 1 500π·13·t －23， 当h ＝10时，t ＝2π3，此时h ′＝5π， ∴当水深10 m 时，水面上升的速度为5πm/min.。
高中数学同步教学 第2章 §2 导数的概念 导数的几何意义
3.掌握利用导数求切线方程的方 3.通过导数实际意义的学习，培养
法．(难点)
了学生数学抽象的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x0 点的 瞬时变化率 称为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，
通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝xl1i→mx0
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1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3 3
C [∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝Δlixm→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由 f′(x0)＝3，得 3x20＝3，∴x0＝±1．]
第二章 变化率与导数
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
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学习目标
核心素养
1．理解导数的概念及导数的几何 1．通过导数几何意义的学习，培
意义．(重、难点)
养了学生直观想象的核心素养.
2．会求导数及理解导数的实际意 2．通过求函数的导数的学习，提
义．(重点)
升了学生数学运算的核心素养.
fxx11－ －fx0x0＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 ______Δ_x_______.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
_切__线__的__斜__率__．函数 y＝f(x)在 x0 处 切线的斜率反映了导数的几何意义．
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
§2 导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义
Δ x趋于零时，点B将沿着曲
线y=f(x)趋于点A，割线AB
l
将绕点A转动，最后趋于 直线l _____，直线l和曲线y=f(x)
“相切” 在点A处________,称直线l为 曲线y=f(x)在点A处的切线.
A o
△x
x
导数的几何意义 函数 y=f(x) 在 x0 处的导数 f(x0), 就是曲 线 y=f(x) 在 点 P(x0, f(x0)) 处的切 线 的 斜 率 k, 即k=tan=f(x0). 函数 y=f(x) 在点 x0 处的切线的斜率反映了 导数的几何意义.
探究点2
导数的几何意义
问题 1：函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变 Δy 化率为Δx，你能说出它的几何意义吗？
提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，
f(x0＋Δx))两点的直线的斜率.
问题 2：当 Δx 变化时，直线如何变化？
提示：直线AB绕点A转动.
问题 3：当 Δx 趋于 0 时，直线变化到哪里？
x 0 x 解析： 2 lim
x 0
2
4 x 0 x x 0 2 4x 0 x
=2x0+4,所以x0=-1.
1 7 5．求曲线 y＝x－ x上一点 P(4，－4)处的切线方 程．
Δy 解析: Δx
1 1 － －( x＋Δx x
故质点在 3 秒时的瞬时速度为 14 米/ 秒．
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函
数值y关于x的平均变化率.
fx0＋Δx－fx0 Δy fx1- fx0 提示：Δx＝ x -x = . Δx 1 0
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是.
常见函数导数
常见函数导数1. 导数的定义和意义在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
给定一个函数f(x)，在某一点x上的导数表示了该点的斜率。
导数可以用来解决很多问题，如求函数的最大值和最小值、判断函数在某一点的增减性、求曲线的切线等。
2. 常见函数导数2.1 常数函数（Constant Function）常数函数是指在定义域上恒定取某个特定值的函数。
常数函数的导数为0，因为它没有变化。
定义： f(x) = c (c为常数)导数：f’(x) = 02.2 幂函数（Power Function）幂函数是指形如f(x) = x^n (n为实数)的函数。
幂函数的导数可以通过幂规则来计算。
定义： f(x) = x^n (n为实数)导数：f’(x) = nx^(n-1)2.3 指数函数（Exponential Function）指数函数是以常数e为底的指数幂形式表示的函数。
指数函数具有特殊性质，即它自身等于它的导数。
定义： f(x) = e^x导数：f’(x) = e^x2.4 对数函数（Logarithmic Function）对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为常数。
对数函数的导数可以通过对数规则来计算。
定义： f(x) = log_a(x)导数：f’(x) = 1 / (x * ln(a))2.5 三角函数（Trigonometric Function）三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数可以通过三角函数的导数公式来计算。
定义： - 正弦函数：f(x) = sin(x) - 余弦函数：f(x) = cos(x) - 正切函数：f(x) = tan(x)导数： - 正弦函数的导数：f’(x) = cos(x) - 余弦函数的导数：f’(x) = -sin(x) - 正切函数的导数：f’(x) = sec^2(x)2.6 反三角函数（Inverse Trigonometric Function）反三角函数是指反向表示三角函数的逆运算的一类特殊函数。
实际问题中导数的意义
在实际生活中,导数也有着重要的应用,在具 应用过程中,要结合实际情况来分析.
f(t) 10t,求f(40)并解释它们的实 . 际意义
解: (1)当t从0变到10时,降雨量y从0变到10,此时, 降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(10) y(0) 100 1(mm/ min). 100 100
它表示从0min到10min这段时间内 ,平均每分钟 降雨量为1mm.
当t从50变到60时,降雨量y从22变到24,此时, 降雨量y关于时间t的平均变化率为
(1)当x从100变到120时,建筑成y本 关于建筑面x的 积平均 变化率是多?它 少代表什么实际. 意义 (2)求f (100)并解释它的实际. 意义
解 : (1)当 x从 100 变到 120 时 , 建筑成本 y关于建筑面积 x的 平均变化率为
f (120 ) f (100 ) 120 100
它指的是 t 40 min 时降雨量 y 关于时间
的瞬时变化率 , 即降雨强度 .
f ( 40 ) 0 .25 就是说 t 40 min 这个时刻
的降雨强度为 0 .25 mm / min .
例3建造一幢面积 xm为 2的房屋需要成 y万本元, y是x的函
数,设函数y为 f (x) x x 0.3. 10 10
知识解释,0～10min这段时间的平均降雨 强度是1mm/ min,而50～60min这段时间的
平均降雨强度为0.2mm/ min.
( 2 )首先求导数 , 根据导数公式表可得
:
f (t) 5 . 10 t
将 t 40 代入 f ( t ), 得到
2.1-导数的概念及几何意义(理)
导数的概念与几何意义一. 教学内容导数的概念与几何意义1. 导数的概念设函数)(x f y =在0x 及其近旁有定义，用x ∆表示x 的改变量，于是对应的函数值改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在极限，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，此极限值叫函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，函数)(x f y =在点0x 处的导数即平均变化率当0→∆x 时的极限值。
2. 导数的几何意义函数)(x f y =在一点0x 的导数等于函数图形上对应点))(,(00x f x 的切线斜率，即)(tan 0x f '=α，其中α是过),(000y x P 的切线的倾斜角，过点),(000y x P 的切线方程为))((000x x x f y y -'=-3. 导数的物理意义函数)(x f y =在0x 的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数)(x f 表示运动路程，则)(0x f '表示在0x 时刻的瞬时速度。
4. 导函数的概念如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，就说)(x f 在),(b a 内可导，这时，对于开区间),(b a 内每个确定的值0x 都对应一个确定的导数)(0x f '，这就在),(b a 内构成一个新的函数，此函数就称为)(x f 在),(b a 内的导函数，记作)(x f '或)(x y y ''或，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0而当x 取定某一数值0x x =时的导数是上述导函数的一个函数值。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。
导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。
导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。
掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。
了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。
在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。
导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。
导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。
通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。
导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。
在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。
通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。
2.1导数概念
2.1.1 引入导数概念的实例 1.变速直线运动的瞬时速度
设 一物体作变速直线运动, 其运动方程为 S S(t ), 求物体在 t0 时刻的瞬时速度.
( 1 ) 求物体在[t0 , t0 t] 上所经过的路程 : S S(t0 t) S(t0 ) ,
( 2 ) 求 物 体 在[t0 , t0 t] 上 的 平 均 速 度:
及相应的曲线在点 (0, 0) 处切线的存在性.
（1） y 3 x2 ；
∵ lim y lim 3 (x)2 0 ，
x0 x0
∴函数 y 3 x2 在点 x0 连续.
y
y3 x2
o
x
∵
y lim x0 x
3
lim
x0
(x)2 x
lim
x0
3
1 x
，
∴函数 y3 x2 在点 x0 点不可导.
曲线 y3 x2 在点(0, 0) 处有垂直于 x 轴 的切线：x0 .
解： y cos x,
y
x
4
2, 2
∴切线的斜率为 k1
2 2
,法线斜率为
k2
2，
∴ 切线方程为 y 2 2 ( x ) ，
22
4
即4x 4 2y 4 0;
法线方程为 y 2 2( x ) ，
2
4
即 4 x 2 2 y 2 0.
例 9．讨论下列函数在点 x0 处的连续性和可导性
2x
例 3．求 f ( x)sinx 的导函数及它在 x0 和 x 处的导数. 2
解： f ( x) lim f ( xx) f ( x) lim sin(xx)sinx
x0
x
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的应用广泛而深远。
在物体运动的描述中，导数可以帮助我们准确地预测物体的速度和加速度。
在经济学中，导数被用来分析市场趋势和制定最优的经济政策。
医学领域中，导数可以帮助医生更好地理解生命体征数据，提高诊断和治疗的准确性。
工程领域中，导数在设计和优化各种系统、结构和器件中扮演着重要角色。
环境保护方面，导数可以帮助我们预测污染物在环境中的传播和影响。
导数在各个领域中的普遍性表明了其对现代社会的重要性。
通过对导数的深入研究和应用，我们能够更好地理解世界的运行规律，促进科技进步和社会发展。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、经济学、医学领域、工程领域、环境保护、普遍性、重要性1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远。
在日常生活中，我们可能并不经常意识到导数的存在，但实际上，导数在我们生活的方方面面都有着重要的应用。
导数可以帮助我们描述物体的运动，预测经济的发展趋势，提高医学诊断的准确性，优化工程设计的效率，以及保护环境资源的可持续性。
物体运动的描述是导数在实际生活中的最常见应用之一。
通过导数，我们可以精确地描述物体在空间中的位置、速度和加速度变化，从而帮助我们进行准确的运动分析和预测。
在交通规划中，导数可以帮助我们优化车辆的行驶路线，缓解交通拥堵问题；在体育比赛中，导数可以帮助我们分析选手的表现，并优化训练计划。
除了物体运动，导数在经济学、医学、工程和环保领域中也有着重要的应用。
在经济学中，导数可以帮助我们分析市场的供需关系，预测商品价格的波动趋势，优化投资组合的收益率。
在医学领域，导数可以帮助医生精确地分析患者的病情，提高诊断和治疗的效率。
在工程领域，导数可以帮助工程师优化产品设计，提高生产效率和质量。
在环境保护领域，导数可以帮助我们优化资源利用，减少能源消耗和环境污染，实现可持续发展。
导数在各个领域中都有着重要的应用，对现代社会的发展起着至关重要的作用。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分重要。
物体运动的描述与预测中，导数可以帮助我们计算速度、加速度等参数，从而更好地预测物体的运动轨迹。
在成本与收益优化中，导数可以帮助企业优化生产成本，最大化利润。
在信号处理与数据分析中，导数可以帮助我们提取信号中的有用信息，进行数据分析和预测。
医学和工程领域中，导数也有着广泛的应用，比如在医学影像分析和工程设计中起着至关重要的作用。
导数在实际生活中有着丰富的应用场景，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、成本、收益、优化、信号处理、数据分析、医学、工程技术、应用、广泛应用1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用的重要性导数在实际生活中的运用是非常重要的。
导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
在实际生活中，导数可以帮助我们描述和预测物体的运动。
通过对物体位置或速度的导数进行计算，我们可以更准确地预测物体未来的位置或速度，这在航天飞行、交通运输等领域具有重要意义。
除了物体运动的描述与预测，导数还在成本与收益优化中扮演着重要角色。
在商业领域，通过对成本函数或收益函数的导数进行分析，我们可以找到使利润最大化或成本最小化的最优决策方案，从而提高企业的竞争力。
导数在信号处理与数据分析、医学、工程技术等领域也有着广泛的应用。
在信号处理中，导数可以帮助我们分析信号的频率、幅度等特性；在医学中，导数可以帮助医生分析患者的生理数据；在工程技术领域，导数可以帮助工程师设计更高效的系统和设备。
导数在实际生活中有着广泛的应用，对于提高生产效率、提升科技发展水平具有重要意义。
通过深入理解和应用导数，我们可以更好地解决现实生活中的问题，推动社会的发展和进步。
2. 正文2.1 物体运动的描述与预测物体运动的描述与预测是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学和工程学中，导数被广泛用于描述和预测物体的运动状态。
通过对物体位置关于时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度，进而了解物体运动的特性。
导数的概念及几何意义
利用导数求切线的方程
已知曲线 C：y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解] (1)将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4. ∴切点 P(2,4)． ∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43 ＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3， ∴ΔΔxy ＝4＋2Δx＋13(Δx)2， 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋13(Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝2 处 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x －y－4＝0.
也称为 y＝f(x)在 x0 点的__导__数____．
(2)记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝_xl_1i→m_x_0 _f_x_x1_1_－ －__fx_0x_0__＝_Δl_ixm→_0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0___.
2．导数的几何意义 函数y＝fx在x0处的导数;是曲线y＝fx在点_______x_0_;f_x_0__处的 切线的______斜__率．函数y＝fx在点x0;fx0处切线的斜率反映了 导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝St在点t0处的导数S′t0;就是 当物体的运动方程为S＝St时;物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v; 即v＝S′t0；函数v＝vt在点t0处的导数v′t0;就是当物体的运动 速度方程为v＝vt时;物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a;即a＝ v′t0．
方法归纳 求函数y＝fx在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数fx＝x2＋3在x＝2处的导数．
解：因为Δy＝f a＋Δx －f a
2.1导数的概念
时间/s [2，2.1] [2，2.01] [2，2.001] [2，2.0001] [2，2.00001] ……
时间/s [1.9,2] [1.99,2] [1.999,2] [1.9999,2] [1.99999,2] ……
间隔/s 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
问：在2秒时刻运动员的速度（瞬时速度）为多少？
分析： 该运动员在2秒到2.1秒（记为[2，2.1]）的平均速度为
H (2.1) H (2) 2.041 3.4 13.59
2.1 2
0.1
同样，可以计算出[2，2.01]，[2，2.001]，…的平均速度，
也可以计算出[1.99，2]，[1.999，2]，…的平均速度。
切线方程为 x x0
法线方程为 y y0
例例86 求等边双曲线 y 1 在点 (1 , 2) 处的切线的斜率
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程
解 y 1 所求切线及法线的斜率分别为 x2
k1
(
1 x2
)
x1 2
4
k2
1 k1
1 4
所求切线方程为
y
2
4(x
1) 2
即4xy40
所求法线方程为
由导数的定义，可以得到求导数的一般步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
例1 求函数 f(x)C （ C 为常数）的导数 解 (1) 求增量 y f (x x) f (x)
播放
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分广泛。
在物理学中，导数被应用于描述运动的速度和加速度，帮助工程师设计出更高效的机械系统。
在经济学中，通过导数可以计算出边际效益，指导决策者进行资源配置。
工程学中的优化问题也常常需要用到导数，以找到最优解决方案。
医学领域中的生物动力学则利用导数来研究生物体的运动和力学特性。
而在计算机科学中，算法优化更是离不开导数的帮助。
导数在各个领域中都扮演着重要角色，学习导数对解决实际问题至关重要。
导数的运用不仅使生活更加便利和高效，还推动了科技和社会的发展。
【关键词】导数、实际生活、物理学、运动学、经济学、边际效益、工程学、优化问题、医学、生物动力学、计算机科学、算法优化、重要作用、解决实际问题、便利、高效。
1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远，它是微积分的重要概念之一，通过对函数的变化率进行研究，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
导数的应用涵盖了物理学、经济学、工程学、医学和计算机科学等多个领域。
在物理学中，导数被广泛运用于运动学的研究中。
通过对位置、速度和加速度的导数进行推导，可以得到物体的运动状态，从而更准确地预测其未来的运动轨迹。
在经济学中，导数被用来研究边际效益。
通过对边际成本和边际收益的导数进行计算，可以帮助企业决定最优化的生产方案，提高效益和降低成本。
在工程学中，导数被广泛应用于优化问题的求解。
通过对函数的导数进行分析，可以找到最优解，实现工程设计和生产过程的高效运行。
在医学中，导数在生物动力学的研究中发挥重要作用。
通过对生物体内部各种生理变量的导数进行分析，可以帮助医生更好地理解疾病的发展过程，并制定更有效的治疗方案。
在计算机科学中，导数被运用于算法优化。
通过对算法的导数进行计算，可以提高算法的效率和准确性，加快计算速度，实现更快速的数据处理和分析。
导数在各个领域中都发挥着重要作用，学习导数对于解决实际问题具有重要意义。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用非常广泛。
在物体运动中，导数可以帮助我们计算速度和加速度，从而预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数也被广泛应用，帮助我们找到函数的最大值和最小值。
在经济学中，导数被用于边际分析，帮助企业和政府做出决策以最大化利润或效益。
在医学领域，导数可以帮助分析身体的变化和疾病的发展趋势。
而在工程领域，导数则被用于解决各种实际问题，例如设计建筑结构和优化生产过程。
导数在不同领域中都起着重要作用，通过综合运用导数，我们能够更好地解决各种实际生活中的问题。
【关键词】导数、实际生活、物体运动、速度、加速度、最优化、边际分析、医学、工程领域、重要作用、解决问题1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用是一种重要的数学概念，它广泛应用于各个领域，为解决实际生活中的问题提供了有效的数学工具。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以帮助我们理解事物的变化规律，并从中得出一些有用的结论。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动速度和加速度，帮助我们预测物体的运动轨迹。
在最优化问题中，导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产和经营活动。
在经济学中，导数被应用于边际分析中，帮助我们确定最优的生产和消费决策。
在医学领域，导数被用来描述生物体的变化规律，帮助医生做出诊断和治疗方案。
工程领域的实际情况中，导数被广泛应用于设计和优化工程系统，提高生产效率和质量。
导数在不同领域中均起着重要作用，综合运用导数能够解决各种实际生活问题，为我们的生活带来更多便利和效率。
2. 正文2.1 物体运动的速度和加速度物体运动的速度和加速度是导数在实际生活中的一个重要应用领域。
在物理学中，我们经常需要研究物体在运动中的速度和加速度变化情况，而导数提供了一种有效的工具来描述这些变化。
我们知道速度是描述物体在单位时间内所经历的位移量，而加速度则是描述速度在单位时间内的改变量。
简单来说，速度是位移关于时间的导数，而加速度则是速度关于时间的导数。
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h(t) 1 gt2 2
（1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描
述其运动状态，那么
在0 t 1这段时间内 在1 t 2这段时间内
-v1
h(1) 1
h(0) 0
4.9(m
/
s)
-v2
h(2) h(1) 2 1
14.7(m / s)
（2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么
y(10) y(0) 10 0 1(mm / min). 10 0 10 0
它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(60) y(50) 24 22 0.2(mm / min). 60 50 60 50
它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分降雨 量为0.2 mm.
1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min
比后10 min的雨下的大.用气象学的知识解释，0～
10 min这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50～
60 min这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min.
在t =1时的瞬时速度v1= h(1) g 1 9.8(m / s)
在t =2时的瞬时速度v2= h(2) g 2 19.6(m / s)
在学习过程中，有许多词语与导数有关.如物理 上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降 水强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实 际问题中导数的含义.
功5J.
Байду номын сангаас
（2）首先求 W (t) .根据导数公式和求导法则可得 W (t) 3t 2 12t 16
于是，W (1) 7 J/s,W (2) 4 J/s
W (1)和W (2) 分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人 每秒做的功为7J和4J.
【举一反三】 若函数W（t）变为 t3－2t＋1 ，其他问题不变，应 如何求解？
10 10
（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（2）求 f (100) 并解释它的实际意义.
解:（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积 x的平均变化率为
f (120) f (100) (12
120 0.3) (10 10
（2）首先求导函数，根据导数公式表可得 f '(t) 5
10t
将t=40代入f'(t)可得
f
'(40)
5 20
0.25(mm/
min)
它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时变化
率，即降雨强度.
f'(40)=0.25就是说t=40 min这个时刻的降雨强度为
0.25mm/min.
探究点3 边际成本与导数
第三章 导数应用
2.1 实际问题中导数的意义
导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有 许多问题与导数有关.我们先观看高空蹦极的动画：
观看
动画
4.9米 14.7米
观察小男孩蹦极时 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段时间内
第1秒到第2秒这段时间内
作蹦极时,小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后
的时间t (单位：s)存在函数关系
解析：(1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从
W(1)＝1－2＋1＝0 J 变到 W(3)＝33－2×3＋1＝22 J
其平均变化率为
W
(3) 3
W 1
(1)
＝232－－10＝11
J/s
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，这个人平均每
秒做功 11 J.
(2)因为W′（t）＝3t2－2, 所以W′(1)＝3－2＝1(J/S)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/S). W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时， 这个人每秒做的功为1 J 和10 J.
并解释它的实际意义. (2)求 W (1),W (2) ，并解释它们的实际意义.
解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J变 到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率为
W (3) W (1) 21 11 5(J/s)
31
31
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做
显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y 关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它 们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为
f(t)= 10t ，求 f (40) 并解释它的实际意义.
解:（1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本 f (x0 ) 指的是 当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量
为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f (x0 ) 个
单位的成本.
例3 建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x 的函数：y f (x) x x 0.3.
探究点2 降雨强度与导数
在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标.常用的单位是毫米／天、毫米／小时.
例2 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨 量的数据：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24
100 0.3) 10
120 100
20
0.105(万元 / m2 ).
它表示建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每 增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元.
（2）首先求 f (x) ，利用导数公式表和导数的
1.理解导数在实际问题中的意义. （重点） 2.掌握导数的意义在实际生活中的应用.（难点）
探究点1 导数在物理学中的应用 例1 如图所示，某人拉动一个物体前进，
他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s)
的函数，设这个函数可以表示为
W W (t) t3 6t2 16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，