2.1.1 实际问题中导数的意义
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y(10) y(0) 10 0 1(mm / min). 10 0 10 0
它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(60) y(50) 24 22 0.2(mm / min). 60 50 60 50
在t =1时的瞬时速度v1= h(1) g 1 9.8(m / s)
在t =2时的瞬时速度v2= h(2) g 2 19.6(m / s)
在学习过程中，有许多词语与导数有关.如物理 上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降 水强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实 际问题中导数的含义.
100 0.3) 10
120 100
20
0.105(万元 / m2 ).
它表示建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每 增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元.
（2）首先求 f (x) ，利用导数公式表和导数的
h(t) 1 gt2 2
（1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描
述其运动状态，那么
在0 t 1这段时间内 在1 t 2这段时间内
-v1
h(1) 1
h(0) 0
4.9(m
/
s)
-v2
h(2) h(1) 2 1
14.7(m / s)
（2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么
探究点2 降雨强度与导数
在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标.常用的单位是毫米／天、毫米／小时.
例2 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨 量的数据：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24
1.理解导数在实际问题中的意义. （重点） 2.掌握导数的意义在实际生活中的应用.（难点）
探究点1 导数在物理学中的应用 例1 如图所示，某人拉动一个物体前进，
他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s)
的函数，设这个函数可以表示为
W W (t) t3 6t2 16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，
在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本 f (x0 ) 指的是 当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量
为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f (x0 ) 个
单位的成本.
例3 建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x 的函数：y f (x) x x 0.3.
显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y 关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它 们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为
f(t)= 10t ，求 f (40) 并解释它的实际意义.
解:（1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
并解释它的实际意义. (2)求 W (1),W (2) ，并解释它们的实际意义.
解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J变 到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率为
W (3) W (1) 21 11 5(J/s)
31
31
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做
（2）首先求导函数，根据导数公式表可得 f '(t) 5
Байду номын сангаас10t
将t=40代入f'(t)可得
f
'(40)
5 20
0.25(mm/
min)
它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时变化
率，即降雨强度.
f'(40)=0.25就是说t=40 min这个时刻的降雨强度为
0.25mm/min.
探究点3 边际成本与导数
10 10
（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（2）求 f (100) 并解释它的实际意义.
解:（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积 x的平均变化率为
f (120) f (100) (12
120 0.3) (10 10
第三章 导数应用
2.1 实际问题中导数的意义
导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有 许多问题与导数有关.我们先观看高空蹦极的动画：
观看
动画
4.9米 14.7米
观察小男孩蹦极时 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段时间内
第1秒到第2秒这段时间内
作蹦极时,小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后
的时间t (单位：s)存在函数关系
它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分降雨 量为0.2 mm.
1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min
比后10 min的雨下的大.用气象学的知识解释，0～
10 min这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50～
60 min这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min.
解析：(1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从
W(1)＝1－2＋1＝0 J 变到 W(3)＝33－2×3＋1＝22 J
其平均变化率为
W
(3) 3
W 1
(1)
＝232－－10＝11
J/s
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，这个人平均每
秒做功 11 J.
(2)因为W′（t）＝3t2－2, 所以W′(1)＝3－2＝1(J/S)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/S). W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时， 这个人每秒做的功为1 J 和10 J.
功5J.
（2）首先求 W (t) .根据导数公式和求导法则可得 W (t) 3t 2 12t 16
于是，W (1) 7 J/s,W (2) 4 J/s
W (1)和W (2) 分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人 每秒做的功为7J和4J.
【举一反三】 若函数W（t）变为 t3－2t＋1 ，其他问题不变，应 如何求解？
它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量 为1 mm.当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
y(60) y(50) 24 22 0.2(mm / min). 60 50 60 50
在t =1时的瞬时速度v1= h(1) g 1 9.8(m / s)
在t =2时的瞬时速度v2= h(2) g 2 19.6(m / s)
在学习过程中，有许多词语与导数有关.如物理 上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降 水强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实 际问题中导数的含义.
100 0.3) 10
120 100
20
0.105(万元 / m2 ).
它表示建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每 增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1050元.
（2）首先求 f (x) ，利用导数公式表和导数的
h(t) 1 gt2 2
（1）如果用小男孩在某段时间内的平均速度来描
述其运动状态，那么
在0 t 1这段时间内 在1 t 2这段时间内
-v1
h(1) 1
h(0) 0
4.9(m
/
s)
-v2
h(2) h(1) 2 1
14.7(m / s)
（2）如果用小男孩在某时刻的瞬时速度来描述其 运动状态，那么
探究点2 降雨强度与导数
在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标.常用的单位是毫米／天、毫米／小时.
例2 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨 量的数据：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24
1.理解导数在实际问题中的意义. （重点） 2.掌握导数的意义在实际生活中的应用.（难点）
探究点1 导数在物理学中的应用 例1 如图所示，某人拉动一个物体前进，
他所做的功W(单位：J)是时间t (单位：s)
的函数，设这个函数可以表示为
W W (t) t3 6t2 16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，
在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本 f (x0 ) 指的是 当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量
为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加 f (x0 ) 个
单位的成本.
例3 建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x 的函数：y f (x) x x 0.3.
显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y 关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它 们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为
f(t)= 10t ，求 f (40) 并解释它的实际意义.
解:（1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为
并解释它的实际意义. (2)求 W (1),W (2) ，并解释它们的实际意义.
解： （1）当t从1 s变到3 s时，功W从 W(1)=11J变 到W(3)=21J ，此时功W关于时间t的平均变化率为
W (3) W (1) 21 11 5(J/s)
31
31
它表示从t=1 s到t=3 s这段时间，这个人平均每秒做
（2）首先求导函数，根据导数公式表可得 f '(t) 5
Байду номын сангаас10t
将t=40代入f'(t)可得
f
'(40)
5 20
0.25(mm/
min)
它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时变化
率，即降雨强度.
f'(40)=0.25就是说t=40 min这个时刻的降雨强度为
0.25mm/min.
探究点3 边际成本与导数
10 10
（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（2）求 f (100) 并解释它的实际意义.
解:（1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积 x的平均变化率为
f (120) f (100) (12
120 0.3) (10 10
第三章 导数应用
2.1 实际问题中导数的意义
导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有 许多问题与导数有关.我们先观看高空蹦极的动画：
观看
动画
4.9米 14.7米
观察小男孩蹦极时 的平均速度变化 第0秒到第1秒这段时间内
第1秒到第2秒这段时间内
作蹦极时,小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后
的时间t (单位：s)存在函数关系
它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分降雨 量为0.2 mm.
1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min
比后10 min的雨下的大.用气象学的知识解释，0～
10 min这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50～
60 min这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min.
解析：(1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从
W(1)＝1－2＋1＝0 J 变到 W(3)＝33－2×3＋1＝22 J
其平均变化率为
W
(3) 3
W 1
(1)
＝232－－10＝11
J/s
它表示从 t＝1 s 到 t＝3 s 这段时间内，这个人平均每
秒做功 11 J.
(2)因为W′（t）＝3t2－2, 所以W′(1)＝3－2＝1(J/S)， W′(2)＝3×22－2＝10(J/S). W′(1)，W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时， 这个人每秒做的功为1 J 和10 J.
功5J.
（2）首先求 W (t) .根据导数公式和求导法则可得 W (t) 3t 2 12t 16
于是，W (1) 7 J/s,W (2) 4 J/s
W (1)和W (2) 分别表示t=1 s和t=2 s时，这个人 每秒做的功为7J和4J.
【举一反三】 若函数W（t）变为 t3－2t＋1 ，其他问题不变，应 如何求解？