暑假五年级奥数几何长方体与正方体涂色与三视图A级教师版
小学五年级奥数-长方体和正方体(一)知识讲解共19页
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是—海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
五年级下册数学 奥数经典培训讲义——长方体和正方体 基础部分 全国通用
长方体和正方体姓名：一、长方体和正方体的认识1、长方体的特征：长方体是由6个长方形围成的立体图形。
○1观察长方体，长方体有几个面？每个面都是什么形状？比一比相对面是不是完全相同？○2两个面相交的边叫做棱。
数一数，长方体有几条棱？这些棱可以分成几组？每组中的几条棱是不是相等？○3三条棱相交的点叫做顶点。
长方体有几个顶点？2、长方体通常画成下图那样：相交于通一丁点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
3、正方体的特征：正方体是有6个完全相同的正方形围成的立体图形。
你也能从面、棱、顶点角度，说说可见，正方体是一种特殊的长方体。
如图1图1 图另外，还有一种特殊的长方体，如图2。
它的长厘米，宽厘米，高厘米，它的左面和面完全相同，都是正方形。
其余四个面。
都是长厘米，宽厘米的形。
4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4正方体的棱长总和=棱长×12练一练：1、请你画一个长方体和一个正方体。
长方体：正方体：2、一个长方体长4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的前面是（）形，长是（）厘米，宽是（）厘米；它的右面是（）形，长是（），宽是（）；长方体的下面、左面、前面分别和（）面、（）面、（）面完全相同。
3、小学数学课本的长是21厘米，宽14.5厘米，高0.8厘米，则它的底面是（），面积是（）。
4、用一根48厘米的铁丝围成一个正方体，其棱长是（）厘米。
5、李师傅用两根一样长的铁丝分别围成一个长方体和一个正方体，已知长方体的长10厘米，宽6厘米，高5厘米。
那么正方体的棱长是（）厘米。
6、一个长方体是由3个棱长4厘米的正方体拼成的，这个长方体的长是（），宽是（），高是（）。
他最多有（）面完全相同，面积为（）。
7、用一根长为60厘米的铁丝扎成一个正方体框架，长7厘米，宽5厘米，高是（）厘米。
8、用5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体所有棱长总和是112厘米，求长方体的底面积是（），原来一个正方体的棱长总和是（）厘米。
小学数学5年级培优奥数讲义 第12讲-长方体和正方体(教师版)
第12讲长方体和正方体教学目标1、能够以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决.知识梳理一、专题简析在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题.解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决.二、常见问题在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积.解答上述问题，必须掌握这样几点：1、将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗)，体积不变；2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积.解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍.典例分析考点一：重合或者挖出立体的面积及体积例1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？(单位：厘米)【解析】(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米)，右边的长方体的体积是10×(6－2)×2=80(立方厘米)，整个零件的体积是80×2=160(立方厘米)；(2)求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等.因此，此零件的表面积就是(10×6＋10×4＋2×2)×2=232(平方厘米).例2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔(如图)，你能算出它的体积和表面积吗？(单位：厘米)【解析】(1)先求出长方体的体积，8×5×6=240(立方厘米)，由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米)，这个零件的体积是240－8=232(立方厘米)；(2)长方体完整的表面积是(8×5＋8×6＋6×5)×2=236(平方厘米)，但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252(平方厘米).例3、一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米.原正方体的表面积是多少平方厘米？【解析】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米).正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米).考点二：已知面积求体积或者已知体积求面积例1、把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体.已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积.【解析】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高.我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a，2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3.由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8，h=1/4*12=3.大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了.例2、一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数.这个长方体的体积和表面积各是多少？【解析】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×(宽＋高)，由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×(17＋2)，即长、宽、高分别为11、17、2厘米.知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了.考点三：体积转换例1、有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着.从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米.将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【解析】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度.这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：40×32×20=25600(立方厘米)，再除以两只水箱的底面积和：40×32＋30×24=2000(平方厘米)，就能得到后来水面的高度.例2、有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米.如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？【解析】铁块的体积是2×2×2=8(立方分米)，把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积(5×4)就能得到水上升的高度了.例3、有一个长方体容器(如下图)，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米.如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【解析】首先求出水的体积：30×20×6=3600(立方厘米).当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体.只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了.例4、长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米.这个长方体的体积是多少立方厘米？【解析】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的.因此，15×10×6=(长×宽×高)×(长×宽×高)，而15×10×6=900=30×30.所以，这个长方体的体积是30立方厘米.考点四：分割图形例1、一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？【解析】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积.因此，锯好后表面积增加432平方厘米.例2、有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？【解析】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面.所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米.例3、一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：(1)三个面涂有红色的有几个？(2)二个面涂有红色的有几个？(3)一个面涂有红色的有几个？(4)六个面都没有涂色的有几个？【解析】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个.(1)三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；(2)二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个；(3)一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个；(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－(8＋12＋6)=1个.例4、一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？【解析】这个长方体原来的表面积是(6×5＋6×4＋5×4)×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2个面.切成三个体积相等的小长方体要切2刀，一共增加2×2=4个面.要求表面积和最大，应该增加4个6×5=30平方厘米的面.所以，三个小长方体表面积和最大是148＋6×5×4=268平方厘米.➢课堂狙击1、一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后(如图)，剩下部分的表面积和体积各是多少？【解析】表面积与原来相等.体积比原来少了一个长、宽、高都是1厘米的一块.原来表面积=实战演练剩下部分的表面积=(5×1+1×3+3×5)×2=46(平方厘米)，原来体积=5×1×3=15(立方厘米)，剩下部分的体积=15-1×1×1=14(立方厘米).2、有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积.(单位：厘米).【解析】表面积就是正方体与长方体表面积之和减去2个正方体的底面面积.体积就是长方体与正方体体积之和.表面积=2×(2×6+2×4+4×6)+2×2×2×3=112(平方厘米)，体积=2×6×4+2×2×2=56(立方厘米)3、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少【解析】表面积没有发生变化，体积就是大正方体减去挖去的小正方体.表面积=4×4×6=48(平方厘米)，体积=4×4×4-1×1×1=63(立方厘米)4、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍.如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？【解析】由图可以看出，减少的表面积就是原来2倍的长方体的宽×高.所以大长方体侧面表面积是23平方厘米.所以大长方体的体积=23×24=552立方厘米.5、一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？【解析】小正方体的表面积是6平方厘米，其长就是1厘米.1000个这样的小正方体所组成的大正方体的长是100×1=100(厘米)，其表面积=100×100×6=6立方米6、有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？【解析】前面和上面的面积和是88平方厘米.即长×(宽+高)=88=11×(3+5)，所以长方体的体积=11×3×5=165立方厘米.7、将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗)，求这个大正方体的体积.【解析】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×(3×3)，所以这个正方体的棱是3厘米.用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×(4×4)，棱长是4厘米；150=6×(5×5)，棱长是5厘米.知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和.➢课后反击1、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体(如图)，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【解析】表面积减少了4个1×1，面积=2×(8×1+8×3+1×3)-4=66平方厘米.体积=8×1×3-2×1×1×1=22立方厘米2、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？【解析】减少了4个正方体的底面面积即4×12×12=576平方厘米.3、有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米.把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米.这块假山石的体积是多少立方分米？【解析】假山石的体积=4×3×0.8=9.6立方分米4、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？【解析】35=3×5，21=3×7，15=3×5.所以体积=3×5×7=105立方厘米5、一个长方体的体积是48立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数.这个长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】48=2×4×6.表面积=2×(2×4+4×6+2×6)=88平方厘米6、把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米.求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？【解析】没有涂颜色的面的对面合起来就是正方体的表面积.所以涂上红色面积是60平方厘米在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积.解答上述问题，必须掌握这样几点：1、将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗)，体积不变；2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积.解答有关长方体和正方体的拼、切问题，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍.在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题.解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决.➢本节课我学到➢我需要努力的地方是重点回顾名师点拨学霸经验。
(完整版)五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义
学科教师辅导讲义班级：年 级： 五年级 辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展----三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是知识图谱错题回顾三视图知识精讲相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．上 后 前右左下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．高宽长右面左面 后面下面 前面 上面三点剖析题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对．正方体有三个对面，因B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E【解析】 由已知条件，标有C ，D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有D ，或B 的对面标有D ．如果标有D ，A 的两个面相对，那么“标有C ，D 的两个面不能相对”，“标有E ，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前的面上，那么只能是标有E ，C 的两个面相对，而标有F ，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有E ，A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有F 的面，而标有C 的对面就是标有E 的面．此时D 在朝后的面上，E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把E 转到朝上的面，BFA EBC FED A BCD CCEAEF D此时朝前的面上标的是A ，而朝后的面上标的是F ，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E ．例1.1.3 如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】 字母A【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A ．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A ，B 的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A ，B ，C 的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A 面，B 面都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有1的面与C 面相对，即C 面上写的是4．1 AB C 2D 3 121A B C 2D1A B C 2D1与C 相对，C 面上写的是421 5920 19观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________． 图3 1A B 4 2D2与B 相对， B 面上写的是5图41 A 54 2DBPEAD CB GHQFAEDCB HGFA ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B【解析】 根据实线还原，体积为4． 题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】C【解析】 5个在原图均已看到，易知C 符合要求．例1.2.2 右图是由18个棱长为1cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A ． 44B ． 46C ． 48D ． 50【答案】C【解析】 从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为()21879248cm ⨯++⨯=．例1.2.3 右图中的一些积木是由16块棱长为2cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】 200D ．B ．C ．A ．【解析】 从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩162572---=块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到()7982250++⨯+=个面，表面积为22250200cm ⨯=．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少【答案】 37；三视图如下图所示；102【解析】 将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16956137++++=块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为()17151632102+++⨯=⎡⎤⎣⎦．例1.2.5 图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积． 题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．正视图 俯视图 左视图A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：122412113++++++=．例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为3166⨯=．例 1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例 1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？1412212从正面看从左面看【答案】16，13【解析】43416+⨯=块，424113+⨯+=块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．图1 图2 图3从前面看1001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：于是这一堆立方体一共有21321110+++++=个． 接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是()2666642⨯+++=平方厘米．从左边看1 0 0 012 1 0 0 012 1 0 0 2 0 112 1 03 0 2 011随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216++++=．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图随堂练习形是__________．序号）【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练1.5 由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为()11458234⨯⨯++⨯=．随练1.6 如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是()26672138++⨯⨯=平方米．随练1.7 如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．① ② ③ ④【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是()2++⨯⨯=．1415162190随练 1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．图1图2从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．所以立体图形的表面积为927446⨯+⨯=平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．【答案】3，1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5C 2B 0A 1自我总结课后作业对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．．作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________2cm．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计()11811260++⨯=个正方形，所以它的表面积是2260160cm⨯=．作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有1175730+++=块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为()1312112276+++⨯=⎡⎤⎣⎦．作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】按如图方式摆放即可．正视图俯视图左视图作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。
五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义
学科教师辅导讲义班级：年级：五年级辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题立体几何拓展---- 三视图知识图谱错题回顾三视图知识精讲一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是1 / 17相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．二．正方体的展开图上后展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形左下右面的面积都相等．前我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11 种展开图．三．长方体的展开图后面左面下面右面高前面宽长上面观察上图可以发现，长方体的展开图由 6 个长方形组成，相对面的面积相等，即上面= 下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高．四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．三点剖析重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．题模精选2 / 17立体几何拓展----三视图(教师版)题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A，B，C，D，E，F六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________A C DB F E B F E【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对【解析】由于正方体的 6 个面上写了 6 个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现 1 次，如果 2 个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前 2 种摆放情况：在这 2 种摆放情况中，只有字母 B 出现了 2 次，那么由第一种摆放可知， B 不与 A 相对，也不与 F 相对；由第二种摆放可知， B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中， B 只能与 D 相对．第二步，再看后 2 种摆放情况：在这 2 种摆放情况中，只有字母 E 出现了 2 次，那么由第二种摆放可知， E 不与 B 相对，也不与 C 相对；由第三种摆放可知， E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中， E 只能与 A 相对．正方体有三个对面，因 B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是 C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母？EDFADAB C CC E【答案】 A 的对面标有D，B 的对面标有F，C 的对面标有 E【解析】由已知条件，标有C，D 的两个面不能相对，那么或 A 的对面标有D，或 B 的对面标有D．如果标有D，A 的两个面相对，那么“标有C，D 的两个面不能相对”，“标有E，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当 D 在朝右的面， E 在朝上的面时， F 在朝前的面上，那么只能是标有E，C 的两个面相对，而标有F，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D，B 的两个面相对，那么由于标有E，A 的两个面也不能相对，于是标有 A 的对面就是标有 F 的面，而标有 C 的对面就是标有 E 的面．此时 D 在朝后的面上， E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把 D 转到朝右的面，并把 E 转到朝上的面，3 / 17立体几何拓展----三视图(教师版)此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个： A 的对面标有D，B 的对面标有F，C 的对面标有E．例1.1.3 如图，第 1 个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDE六F个字母．其中A与D相对，B与E相对，C与F 相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第 1 个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21 格时，木块向上的面上写的是哪个字母？5921 20 19【答案】字母 A【解析】发现木块向左滚 4 格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚 4 格，它的各个面上标的字母不变．所以木块向左滚 4 格到第 5 格时，各个面上标的字母与在第 1 格时的情况完全一致．再向下滚4 格到第9 格，再向右滚 4 格到第13 格，再向下滚 4 格到第17 格，最后向左滚 4 格到第21 格，每次都是朝同一方向滚 4 格，因此在第 5 格，第9 格，第13 格，第17 格，第21 格木块向上的面上总是写的字母A．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6 这6 个自然数，并且 1 对着4，2 对着5，3 对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道 1 和2 所在的面，那么 6 应该在哪个面上（写出字母代号）？31 A1 2 B C 2D【答案】 A【解析】对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．1 A 1 A1 与C 相对，B C 2 B C 2C 面上写的是 4D D图1 图2如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A，B 的三个面两两相邻；再观察图 2 的虚线圈住的部分，发现写有A，B，C 的三个面也两两相邻．此时，写有 1 的面与 A 面，B 面都相邻， C 面也与 A 面，B 面都相邻，因此写有 1 的面与 C 面相对，即 C 面上写的是4．4 / 17立体几何拓展----三视图(教师版)1 A 1 A2 与B 相对，B 4 2 5 4 2B 面上写的是 5D D图3 图4观察图 3 中的虚线圈住的部分，容易看出写有 2 的面与 B 面相对，因此 B 面上写的是5．则立方体展开图就如图 4 所示．还剩下 A 面与 D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有 3 和6．由于写有 1 的面，写有5 的面与 A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图 2 所示的立方体中， 5 与2 相对，在立方体朝左的侧面上； 1 在朝前的侧面上．在展开图中以写有 1 的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有 5 的面恰好在朝左的侧面上．此时写有 1 的面，写有 5 的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此 A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．D CH A D C GB BA B F EHGQEFP【答案】见解析【解析】截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形．现在将其沿．实．线．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________．5 / 17立体几何拓展----三视图(教师版)A． 3 B． 4 C． 5 D． 6【答案】 B【解析】根据实线还原，体积为4．题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由 5 个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）．A ．B．C．D．A． A 图B．B图C．C图D．D图【答案】 C【解析】 5 个在原图均已看到，易知 C 符合要求．例 1.2.2 右图是由18 个棱长为 1 cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米．A．44 B．46 C．48 D．50【答案】 C【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9 块，故表面积为 21 8 7 92 48 c m ．例1.2.3 右图中的一些积木是由16 块棱长为 2 cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】2006 / 17【解析】从前到后的 3 面依次有 2 块、5 块、7 块，因此还剩16 2 5 7 2 块，为可看见的 1 块与其下方的 1 块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7 块、9 块、8 块，此外离我们最近的 2 块有两个面从 6 个方向均无法看到，综上共可看到7 9 8 2 2 50个面，表面积为 2 22 50 200cm ．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】37；三视图如下图所示；102正视图俯视图左视图【解析】将此图分为从左到右的 5 层，分别有16、9、5、6、1 块，故共有16 9 5 6 1 37 块．三视图见答案，分别可看见17、15、16 块，其中左视图有 3 块“被遮挡”，因此表面积为17 15 16 3 2 102 ．例1.2.5 图中的立体图形由11 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积．题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．A．12 B．13 C．14 D．15【答案】 B【解析】从上面看下去，最少需要： 1 2 2 4 1 2 1 13 ．2 12 21 41例 1.3.2 此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为 1 的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．从正面看从左面看【答案】 6【解析】根据正视图，理论上最少需要 6 块．而 6 块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为 3 1 6 6 ．例 1.3.3 一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过 1 个、4 个、8 个、10 个，所以该立体图形最多由23 个小立方体组成．例 1.3.4 有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1 ，从前往后看是图3-2 ，从左往右看是图3-3 ，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？8 / 17【答案】16，13【解析】 4 3 4 1块6，4 2 4 1 13 块．这堆木块最多有16 块，最少有13 块．例1.3.5 地上有一堆小立方体，从上面看时如图 1 所示，从前面看时如图 2 所示，从左边看时如图 3 所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图1 图2 图3【答案】10 个；42 平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3 个格子里是没有小立方体的，而其他 6 个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有 1 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．1 00 1从前面看同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有 1 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．从10左边看0 1我们来继续考虑，左视图中最左边一排有 2 块小立方体，所以俯视图左上角处有 2 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．2 1 00 1同理，主视图最右边一排有 2 块小立方体，所以俯视图最右边中间处有 2 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．2 1 00 20 1 1 不难看出，俯视图中最后剩下的那块有 3 个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：2 1 03 0 20 1 1 于是这一堆立方体一共有 2 1 3 2 1 1 10 个．接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到 6 个面，前后各能看到 6 个面，左右各能看到 6 个面，同时注意到立体图形的中间共有 6 个会互相遮挡的面，所以表面积是 2 6 6 6 6 42平方厘米．随堂练习随练 1.1 将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A． A 图B．B图C．C图D．D图【答案】 B【解析】竖向只剪了 1 刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练 1.2 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________ ．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练 1.3 小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6) 互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6 1 5 2 2 16 ．随练 1.4 右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图形是__________．序号）①②③④【答案】②【解析】从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练 1.5 由棱长为 1 的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】10；34【解析】第一层有8 个，第二层有 2 个，共10 个．其三视图分别能看到4、5、8 个，故表面积为 1 1 4 5 8 2 34 ．随练 1.6 如图，有9 个边长为 1 米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】38【解析】利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是26 67 2 1 38 平方米．随练 1.7 如图6，用若干个棱长为 1 的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．图6【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的 2倍，所以是 214 15 16 2 1 90 ．随练 1.8 用棱长是 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46 平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9 块小正方形．面积是9 平方厘米．图1 图2从四个侧面看去，看到的是图 2 形式的7 块小正方形，面积是7 平方厘米．所以立体图形的表面积为9 2 7 4 46 平方厘米．随练 1.9 把若干个棱长为 1 厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有 5 个，且第二层至多 5 个；由从前面看到的结果可知共有 2 层，且第二层至少 2 个．再结合两个视图可知第二层至多 4 个．综上，最多9 个，最少7 个．自我总结课后作业作业 1 一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．C 2B 0A 1【答案】3，1， 2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C 内的三个数字依次是3，1，2．作业 2 把1 至6 各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1 与4 相对，2 与5 相对，3 与6 相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】 A【解析】如图，4 对面是1，所以在图 a 中把 4 翻到底面，顶部变成了1，如图b，而 5对面是2,所以当 6 转到正面时， 5 在左侧，右侧自然是 2 了，故答案是2．．作业 3 下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20 条棱．作业 4 用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________ 2cm ．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11 个正方形，右面有8 个正方形，上面有11 个面，就可求出它露在外面的面共计11 8 11 2 60个正方形，所以它的表面积是2 2 60 160cm ．作业 5 如图，把19 个边长为 1 厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10 个小正方形面，所以总的表面积为54 平方厘米．作业 6 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76正视图俯视图左视图【解析】将此图分为从左到右的 4 层，分别有11、7、5、7 块，故共有11 7 5 7 30 块．三视图见答案，分别可看见13、12、11 块，其中左视图有 2 块“被遮挡”，因此表面积为13 12 11 2 2 76．作业7 由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A． 4 B． 5 C． 6 D．8【答案】 A【解析】按如图方式摆放即可．作业8 由若干个棱长为 1 的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】 5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有 1 块，由俯视图可知底层有 4 块，故共有 5 块，体积为5．作业9 一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。
五年级数学长方体与正方体涂色与三视图
表面涂色与三视图知识框架一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。
重难点重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型．难点：复杂三视图问题．例题精讲【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8,36【例 2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1【答案】6,1【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．-⨯-⨯-=块六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1【答案】52【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】填空【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)-⨯-⨯+-=-个，因各面n n 均没有红色的小方块为24块，所以，12(1)24n=．n-=，解得3【答案】3【例 4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。
小学奥数 长方体正方体染色问题、三视图 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。
（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。
公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。
长方体与正方体三视图、浸没、染色问题
8、在长、宽、高分别是10cm、10cm、6cm的 长方体的容器中盛有深4cm的水，在向容器中 放入棱长5cm的正方体铁块，则水深变为多少 厘米？（5.25厘米）
9、一个长方体容器，里面长12分米、宽10 分米、水深10.5分米，容器中浸没着一个小 铁块，当铁块从水中取出后，水面下降了 0.4分米，这个小铁块的体积是__48____立 方分米．
3、18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形 状，求它的表面积。（208平方厘米）
4、右图是由16个棱长2厘米的小正方体重叠而 成的，求这个立体图形的表面积。（184平方 厘米）
例3、下图是一个棱长为3厘米的正方体，一只 蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行 的最短路线。这样的路线共有几条？
10、一个长方体容器的底面是底面积是一个边 长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、 底面边长15厘米的长方形铁块。这时容器里 的 水深0.5米。如果把铁块取出，容器里的水 深多少厘米？（46.875厘米） 11、在一个底面是边长为60厘米的正方形的长 方体容器中，直立着一个厂1米，底面边长为15 厘米的正方形的长方体铁棍。这时容器里水深 50厘米，现在把铁棍轻轻向上提起24厘米，求 露出水面的长方体铁棍浸湿部分长多少厘米？ （25.6厘米）
分析：根据切的表面积变化特点： 每切一次，增加两个切开面的面 积。题中一共切了9次，总共增 加18个面的面积。
（2+3+4）×2×1×1+60×1×1=78（平方 米）
1、把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大 正方体，这个正方体的表面积比原来所有的小 正方体的面积之和少多少平方厘米？（108平 方米厘米） 2、把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个 长方体，这个长方体的表面积至少是多少平 方厘米？（52平方厘米）
五年级下册数学扩展专题练习长方体与正方体涂色与三视图(a级).学生版全国通用(无答案)
一、表面涂色问题：对于棱长大于的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处 两面涂红色的在棱长处 一面涂红的表面中间部分 每面都没涂色的只有正方体体内。
重点：熟练掌握表面涂色问题的基本类型． 难点：复杂三视图问题．【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例题精讲知识框架重难点表面涂色与三视图【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【例3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切刀，沿着宽边等距离切刀，沿着高边等距离切次后，要使各面上均没有红色的小方块为块．【例4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【例5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【巩固】将长为，宽为，高为的长方体木块的表面涂上漆，再切成块棱长为的小正方体。
则三个面涂漆的小正方体有块。
【例6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图）。
从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的。
（填序号）。
暑假五年级奥数几何长方体与正方体涂色与三视图A级教师版
2016年暑假五年级奥数第三讲教师版长方体与正方体涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体,表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内;三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形【例 1】右图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处,共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；答案8, 12巩固右图是456⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处,共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；答案8,36【例 2】右图是333⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1-⨯-⨯-=块答案6, 1巩固右图是456⨯⨯正方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块【解析】一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1-⨯-⨯-=块【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体,其中一面都没有红色的小正方形只有3个,求原来长方体的表面积是多少平方厘米【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：3⨯5+3⨯5+3⨯33⨯2=78平方厘米．答案78巩固一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切4刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为24块．【解析】沿着长边等距离切5刀,可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀,可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀,可切为1n+块．由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面或2面、或3面的小方块,所以,各面均没有红色的小方块共(62)(52)(12)12(1)n n-⨯-⨯+-=-个,因各面均没有红色的小方块为24块,所以,12(1)24n-=,解得3n=．答案3 【例 4】右图是115⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成5个小正方体,那么各个正方体有几面被涂成红色【解析】两端的正方体有5面,中间的正方体有4面；答案两端的正方体有5面,中间的正方体有4面；巩固右图是225⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成20个小正方体,共有几种不同的涂色情况【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面,棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体,如果将其表面涂成红色,再切成10个小正方体,共有几种不同的涂色情况【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面,中间的6个正方体有3面；巩固将长为5,宽为3,高为1的长方体木块的表面涂上漆,再切成15块棱长为1的小正方体;则三个面涂漆的小正方体有________块;【解析】因为只有1层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有8块; 答案8块【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体如图2;从上体上面看这个立方体,看到的图形是图①～③中的;填序号2007年,第五届希望杯,5年级初赛,第9题,6分答案③巩固小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体如图2;从右侧面看这个立方体,看到的图形是图;A B C D答案B【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形正视图上视图右视图巩固用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从上面和正面看到的图形【解析】如下：【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个形体最多由_______个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最多由13块正方体构成答案13巩固用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上向下看这个立体,如下图a,从正面看这个立体,如下图b,则这个形体最少由________个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最少由11块正方体构成答案11【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了________块木块.【解析】从上往下看,分别如左下图和右下图所示图中数字为每一格的木块数;答案最多25巩固小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最少用了_____块木块;解析：从上往下看,分别如左下图和右下图图中数字为每一格的木块数; 答案最少9【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图1所示,从上面看如图2,那么这个几何体至少用了块木块．图1图2【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图,带阴影的3块不放时,小正方体块数最少,为23块．答案23块巩固小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是32块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如图5,带阴影的5块不放时,小正方体块数最少,为27块．答案27块课堂检测1．一个长方体,六个面均涂有红色,沿着长边等距离切5刀,沿着宽边等距离切3刀,沿着高边等距离切_______次后,要使各面上均没有红色的小方块为40块．【解析】沿着长边等距离切5刀,可切为516+=块；沿着宽边等距离切3刀,可切为+=块；沿着高边等距离314切n刀,可切为1n+块．由题意可知,长方体每一个面的外层是涂有1面或2面、或3面的小方块,所以,各面均没有红色的小方块共(62)(42)(12)8(1)-⨯-⨯+-=-个,因各n n面均没有红色的小方块为40块,所以,8(1)40n-=,解得6n=．答案62.将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体,表面涂上漆,然后分开,则3个面涂漆的小正方体最多有_________个,最少有________个;【解析】有下列组合：8×1×1,4×2×1, 2×2×2的情况,对于8×1×1,两端的小正方体各有5个面涂漆,它们之间的小正方体各有4个面涂漆,没有3个面涂漆的;对于4×2×1的情况,四个角上的小正方体各有4个面涂漆,它们之间夹着的4个小正方体各有3个面涂漆;对于2×2×2的情况, 8个小正方体各有3个面涂漆,所以,最多有8个,最少有0个; 答案最多有8个,最少有0个3.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形;答案上视图右视图正视图4.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最多由________个小正方体构成;【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最多由21块正方体构成答案21家庭作业：1．右图是61012⨯⨯块小长方体堆叠而成,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个长方体；两面涂红色的在棱长处,共(62)4(102)4(122)488-⨯+-⨯+-⨯=块；一面涂红的表面中间部分：(62)(102)2(62)(122)2(102)(122)2304-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．2.一个长方体的长是12厘米,宽8厘米,高也是整厘米数,在它的表面涂满颜色后,截成棱长是1厘米的小正方体,其中一面有色的小正方体有280个．求原来长方体的体积;【解析】先求出长方体的高,再求其体积和表面积．设长方体的高为h厘米,则按题意截成的一面有色的小正方体有()()()()()()-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=+个,因为一面有色的小h h h8212228222212225632正方体有280个,所以,5632280h=．所以,长方体的体积为+=,解得7h⨯⨯=立方厘米答案672立方厘米12876723.将长为6,宽为5,高为1的长方体木块的表面涂上漆,再切成15块棱长为1的小正方体;则三个面涂漆的小正方体有________块; 答案14块【解析】因为只有1层,故有三个面涂漆的小正方体位于棱上,共有-⨯+-⨯=块;(62)2(52)2144.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图,请画出从正面、上面和右面看到的图形上视图右视图正视图5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体,从上、从右看这个立体都如下图,则这个形体最少由________个小正方体构成,【解析】从上往下看,图中数字为每一格的木块数：可知,最少由16块正方体构成答案166.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体,这个几何体从正面看如图2所示,从上面看如图3所示,那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是35块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如图5,带阴影的5块不放时,小正方体块数最少,为30块．答案30块。
立方体魔方涂色问题探索图形五年级下册数学ppt课件
27 64 125 … 888… 12 24 36 … 6 24 54 … 1 8 27 …
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分割块数27三面有色二面有色12一面有色整理版课件10整理版课件11整理版课件12分割块数64三面有色二面有色24一面有色24没有颜色整理版课件13整理版课件14整理版课件15整理版课件16整理版课件17分割块数125三面有色二面有色36一面有色54没有颜色27整理版课件18整理版课件19整理版课件20整理版课件21整理版课件22分割块数27三面有色二面有色12一面有色2424365427n212n2感谢亲观看此幻灯片此课件部分内容来源于网络如有侵权请及时联系我们删除谢谢配合
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分割块数 125 三面有色 8 二面有色 36 一面有色 54 没有颜色 27 17
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分割块数 三面有色 二面有色 一面有色 没有颜色
立方体涂色问题
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ห้องสมุดไป่ตู้
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分割块数 三面有色 二面有色 一面有色 没有颜色
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(2021年整理)五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版
五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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五年级奥数。
几何.展开图与空间想象（A级).教师版(推荐完整) 编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望五年级奥数。
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展开图与空间想象知识框架重难点例题精讲【例 1】数一数下图中有多少个正方体木块？【考点】长方体与正方体【难度】☆【题型】解答【解析】从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块．【答案】7【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体【难度】☆【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=（个）面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条）．【答案】8个面，18条棱【例 2】如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米），高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【答案】90【巩固】沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方厘米。
五年级下册数学教案5.1.3正方体的三视图绘制
五年级下册数学教案-5.1.3正方体的三视图绘制引言正方体是我们学习几何学中比较基本的一个图形，也是最容易想到的一个图形。
在日常生活中我们也常常能看到正方体的身影，例如骰子、冰箱等等。
在本节课中我们将学习如何绘制正方体的三视图，并进一步认识正方体的性质和特征。
一、教学目标1、理解正方体的定义和性质，并进行三视图的绘制。
2、训练学生进行几何图形的透视图和展开图的思维。
3、引导学生进行观察、感知，提高思维能力和观察力。
二、教学内容1、正方体的定义和特征2、正方体的三视图绘制三、教学流程1、引导学生理解正方体的定义和特征正方体是一种六个正方形构成的多面体，每个角度是直角，六个面对称，满足所有的棱和面都相等的特点。
让学生通过实物或图片感知正方体的特点。
2、学生进行三视图的绘制通过教师的讲解和演示，学生学会了正方体的三视图的绘制方法。
需要在纸上画出正方体的俯视图、前视图和左视图，对三个视图进行分类，将同一棱对应的线段进行连接。
3、引导学生进行透视图和展开图的思考在三视图绘制的基础上，让学生进一步思考如何进行透视图和展开图的绘制。
教师可以引导学生通过观察正方体自然透视的特点，绘制出具有透视效果的图形。
同时，教师还可以带领学生尝试将正方体拆分成平面图形，对每个面进行展开，可以获得正方体的展开图。
4、结合实物和图片进一步认识正方体的性质和特点为了更好地让学生理解正方体的性质和特点，可以通过实物和图片展示正方体在不同角度的样子，引导学生进行观察和感知，并引导学生问一些问题，例如为什么正方体在不同角度下长得不一样，它的面积和体积会发生变化吗，等等。
五、教学方法1、演示法教师通过讲解和演示，让学生更好地掌握正方体的三视图的绘制方法。
2、归纳法教师通过归纳，引导学生总结正方体的定义、特征和性质，帮助学生更好地理解正方体这个概念。
3、对比法教师可以让学生观察正方体在不同角度下的变化，从而更好地认识正方体的性质和特点，凸显正方体的基本形状特征。
西师版五年级下长方体和正方体例三正方体的三视图公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
上面看
第13页
(2) 给出组合体三视图，相应是哪个视 图，请连线
前面看 上面看 左面看
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填一填:
4.填出下列组合体个数和三视图
( 6 )个正方体
（前面看） （左面看）
（上面看）
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（1）画出下列几何组合体视图。
前面看 左面看
上面看
第16页
分别从正面、左面、上面观测这个图形，各 能得到什么平面图形？
正方体三视图
第1页
常见立体图形
长方 体
圆柱
正方体
第2页
“横当作岭侧成峰，远近高低各不同．不 识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是 宋代诗人苏轼著名诗句<<题西林壁>>， 你能说出“横当作岭侧成峰”中蕴含数学 道理吗？
从不同方位看立体图形得到图形是不同．
第3页
探究一：从正面、左
或右面、上面观测正
从左面看
从前面看
第9页
从上面看
从左面看
从前面看
从前面看
从左面看
前面看
从左（右）面看
从上面看
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画出下面几何体主视图、左视图与俯视图
从前面看
从右面看
从上面看
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探究拓广
（1)请你小立方体拼成课件中简朴组合体， 小组合作,画出三视图（草图 ）
前面看 左面看
从正面看
从左面看
从上面看
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从
方体各得到什么平面
上
图形？并画出平面图
面
形
看
从不同第方4页
从正面看
从左（右）面看
从上面看
注意：三个平面图形 都是正方形
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小学高级奥数第10讲-正方体与长方体表面涂色与三视图
2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了
块木块。
右图是 115 的长方体，如果将其表面涂成 红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有 几面被涂成红色？
右图是 2 25 的长方体，如果将其表面涂成 红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的 涂色情况？
右图是 125 的长方体，如果将其表面涂成 红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的 涂色情况？
小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图， 从侧面看如右下图，那么他至少用了________块木块。
小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面
看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了
块木块。
图1
图2
小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看
课后作业
<作业6>
用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面 看到的图形。
课后作业
<作业7>
用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图， 则这个形体至少由________个小正方体构成，
课后作业
<作业8>
小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图
将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为 1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。
小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如下图所示）。从上体上面
看这个立方体，看到的图形是图①～③中的
。（填序号）
①
②
③
小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如下图所示）。从右侧面看
五年级上册奥数专题系列-长方体和正方体的体积与表面积 沪教版 (含答案)
图1 图2 图3图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【例 7】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．87662616661787292也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。
从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。
因此被染色的面有()1067236++⨯=个面【答案】36【例 11】 用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=【答案】112【例 12】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？(1)的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：。
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第11题【解析】体积比为3:8:13【答案】3:8:13【例 14】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．【答案】56【例 15】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______ 块．【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空【解析】 三面涂上红色的小正方体有：425428⨯+⨯=个，两面涂上红色的小正方体有：341416⨯+⨯=个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612-=块． 【答案】12【例 16】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块．【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】2007年，迎春杯，中年级，复赛，9题【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．【答案】23块【例 17】 右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红图1图2倍． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，六年级，初赛【解析】 ()2264:616:1a a ⎡⎤⎡⎤⨯⨯=⎣⎦⎣⎦． 【答案】16:1【例 20】 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 倍．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，迎春杯，高年级复赛，3题【解析】 假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是6661215⨯⨯-=，小正方体露在外面的表面积是5，所以有215543÷=倍．【答案】43【例 21】 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是 平方厘米。
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2016年暑假五年级奥数第三讲（教师版）长方体与正方体涂色与三视图一、表面涂色问题：对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：三面涂红色的在顶点处两面涂红色的在棱长处一面涂红的表面中间部分每面都没涂色的只有正方体体内。
三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形【例 1】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(32)4(32)4(32)412-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8, 12【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436-⨯+-⨯+-⨯=块；【答案】8, 36【例 2】右图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？一面涂红的表面中间部分：(32)(32)2(32)(32)2(32)(32)26-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(32)(32(32)1-⨯-⨯-=块【答案】6, 1【巩固】右图是456⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？【解析】一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252六面都没涂色的只有正方体内的小方块：(42)(52)(62)1-⨯-⨯-=块【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．【答案】78【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共n n-⨯-⨯+-=-个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，(62)(52)(12)12(1)n-=，解得312(1)24n=．【答案】3【例 4】右图是115⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；【巩固】右图是225⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面【例 5】右图是125⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。
则三个面涂漆的小正方体有________块。
【解析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。
【答案】8块【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。
从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的。
（填序号）2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分【答案】③【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。
从右侧面看这个立方体，看到的图形是图。
A B C D【答案】B【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形正视图上视图右视图【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形【解析】如下：【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最多由13块正方体构成【答案】13【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最少由11块正方体构成【答案】11【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了________块木块.【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。
【答案】最多25【巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最少用了_____块木块。
解析：从上往下看，分别如左下图和右下图(图中数字为每一格的木块数)。
【答案】最少9【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了块木块．图1图2【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．【答案】23块【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是32块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为27块．【答案】27块课堂检测1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516+=块；沿着宽边等距离切3刀，可切为314+=块；沿着高边等距离切n刀，可切为1n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(42)(12)8(1)n n-⨯-⨯+-=-个，因各面均没有红色的小方块为40块，所以，8(1)40n-=，解得6n=．【答案】62.将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
【解析】有下列组合：8×1×1，4×2×1，2×2×2的情况，对于8×1×1，两端的小正方体各有5个面涂漆，它们之间的小正方体各有4个面涂漆，没有3个面涂漆的。
对于4×2×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，它们之间夹着的4个小正方体各有3个面涂漆。
对于2×2×2的情况，8个小正方体各有3个面涂漆，所以，最多有8个，最少有0个。
【答案】最多有8个，最少有0个3.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形。
【答案】上视图右视图正视图4.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最多由________个小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最多由21块正方体构成【答案】21家庭作业：1．右图是61012⨯⨯块小长方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长方体各有多少块？【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个长方体；两面涂红色的在棱长处，共(62)4(102)4(122)488-⨯+-⨯+-⨯=块；一面涂红的表面中间部分：-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．(62)(102)2(62)(122)2(102)(122)23042.一个长方体的长是12厘米，宽8厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有280个．求原来长方体的体积。
【解析】先求出长方体的高，再求其体积和表面积．设长方体的高为h厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有()()()()()()8212228222212225632-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=+个，因为一面有色的h h h小正方体有280个，所以，5632280h=．所以，长方体的体积h+=，解得7为1287672⨯⨯=立方厘米【答案】672立方厘米3.将长为6，宽为5，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。
则三个面涂漆的小正方体有________块。
【答案】14块【解析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有-⨯+-⨯=块。
(62)2(52)2144.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形上视图右视图正视图5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最少由16块正方体构成【答案】166.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．【解析】这道题很多同学认为答案是35块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为30块．【答案】30块。