圆的方程-高考理科数学试题(汇编)

（四十一） 圆的方程

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 圆的方程

1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )

A ．(x ＋1)2＋y 2＝2

B ．(x ＋1)2＋y 2＝8

C ．(x －1)2＋y 2＝2

D ．(x －1)2＋y 2＝8

解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．

因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝

|－1＋0＋3|12＋12

＝2，

则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.

2．(2018·河北唐山模拟)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )

A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254

B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516

C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516

D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254

解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，即圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

(－a )2

＋12

＝r 2

，(2－a )2＝r 2，

(－a )2＋(－1)2＝r 2，

解得a ＝34，r 2＝25

16

，

则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝25

16

.故选C. 3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )

A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5

B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5

C ．(x －1)2＋y 2＝5

D ．x 2＋(y －1)2＝5

解析：选A 因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|

5＝2 5.

故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x －y ＋4＝0的距离为5＝

|2a ＋3|

5

，即a ＝1或a ＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x －y －6＝0的距离也为r ＝5，所以a ＝1.因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.故选A.

4．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )

A ．2

B ．－2

C ．1

D ．－1

解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m ＝－1.

5．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．

解析：依题意，直线AC 的方程为y ＋13＋1＝x －6

－2－6，化为一般式方程为x ＋2y －4＝0.点O

到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝

|－4|5

＝45

5>1.又因为|OA |＝(－2)2＋32＝13，|OB |＝

(－2)2＋(－1)2＝5，|OC |＝62＋(－1)2＝37，所以原点为圆心的圆若与△ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，故圆的半径为1或37，则圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.

答案：x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37

6．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为

45

5

，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝

2a 5

＝455，解得a ＝2，

所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝9

对点练(二) 与圆的方程有关的综合问题

1．(2018·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )

A ．1＋ 2

B ．2

C ．1＋

22

D ．2＋2 2

解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|

2

＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.

2．(2018·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3

b 的最小值是( )

A ．2 3 B.203 C ．4

D.163

解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2

＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝1

3

(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭

⎫10＋2 3a b ·3b a ＝16

3，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b ＝34时取等号，故选D. 3．(2018·安徽安庆模拟)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )

A ．8x －6y －21＝0

B ．8x ＋6y －21＝0

C ．6x ＋8y －21＝0

D ．6x －8y －21＝0

解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程

为6x －8y －21＝0，故选D.

4．已知A (0,33)，B ⎝⎛⎭

⎫32，

332，P 为圆C ：x 2＋y 2＝2x 上的任意

一点，则△ABP 面积的最大值为( )

A.33＋32

B. 3 C ．2

D.23＋23

解析：选A 化圆为标准方程得(x －1)2＋y 2＝1，因为A (0，33)，B ⎝⎛⎭

⎫32，

332，所以|AB |