《小波分析》PPT课件
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(Windowed Fourier Transform and Gabor Transform)
D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出
Gabor Transform
一般的时-频分析是
Windowed Fourier Transform Short-Time Fourier Transform
提供一种解决方案。R.Balian(1981)早
在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：
在通讯理论中，人们对于在给定的时 间内，把一个信号表示成“每一个都 同时具有足够确定的位置及频率的谐 波”的叠加这种信号的描述方法极感 兴趣
最优描述问题
有用的信息总是同时被所发射信号的频率 特性与信号的时间结构所传递，最好的例 子是演奏音乐； 把信号表成时间的函数其频率特征无法突
gx
2
1
e
xp4x2
(22)
是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor 变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下 的频率再分割公式：
F 0RSfx0,0d0x
(23)
物理解释
Gabor变换Sfwenku.baidu.com0,0是信号fxL2R在x=x0
点“附近”的频率为 0 的频率成分；
只要把信号 fxL2R 在各个时间点“附近”
Windowed Fourier Transform
具体地
S fx 0 ,0 R fx g x x 0 e x i0 x p dx (21)
称为信号 fxL2R 的窗口Fourier变换，其 中的函数 gxL2R称为窗口函数，一般要求
是：
Rgxd x1
Gabor Transform
D.Gabor取
二进离散点
2k,2kj
(20)
上的取值，因此，小波系数 k , j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一：
连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis )
2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
出，而Fourier分析又无法标定各个分
量发射的瞬时位置和持续时间； “最优描述”应该综合这两种描述的优点 ，并用一个离散的刻画来表示，以适应信 息理论和计算机处理的需要。
如果小波函数 x 满足稳定性条件
A 2 B
(10)
j
则称 x为二进小波，对于任意的整数k,记
2k
x
1 2k
x 2k
(11)
逆变换
对于任意的 fxL2R，其二进小波变换为：
Wfkb
1 2k
R
f
x
x 2k
d
x
f 2k b
这时，逆变换公式是
（12）
fxR W fkb2k2kxbdb （13） k
的，那么公式(2)说明 00，
于是
Rxdx 0
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
对于任意的函数或者信号 fxL2R，其
小波变换为
Wf a,bR fxa,bxdx
1 fx xbdx （4）
小波就是空间L2(R)中满足下述条 件的函数或者信号 :x
Rx2dx
（1）
2
C R* d （2）
这时， x 也称为小波母函数，(2) 称为容
许性条件。
函数：
连续小波
a,bx
1 xb
a a
（3）
为由小波母函数x 生成的依赖
于参数（a,b）的连续小波，简称 为小波。
注释
注释：如果小波母函数 x 的Fourier 变换 在原点 0 是连续
k,jx2k 22kxj;k,jZZ (17)
构成空间 L2R的标准正交基，则称x是正
交小波。
小波级数
这时，逆变换公式就是小波级数
fxk,jk,jx
(18)
k j
其中小波系数 k , j 的算法是
k ,jf, k ,j R fxk ,j xdx(19)
连续和离散统一
小波系数是信号f(x)的小波变换 Wf a,b在
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
1
0
t
t0
t1
2.2. 时-频分析
(Time-Frequency Analysis）
时-频分析本质上是信号描述、分析和处 理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”
的频率为 0 的频率成分全部累加起来，理所 当 然就应该是这个信号的频率为 0 的频率
成 分；
Gabor变换 Sfx0,0可以认为是信号f(x)的
另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的
等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
1 2 C fx g x d x 0 W fa ,b W g a ,b d b d a a 2
（8）
性质
吸收的逆变换公式
fxC 2 0 W fa,ba,bxdbd a2a
（9）
1.3.二进小波和二进小波变换
(Dyadic Wavelet Transform)
aR
a
性质
这样定义的小波变换具有下列性质：
Plancherel恒等式：
C Rfxgxd xR 2W fa,bW ga,bda2ad
小波变换的逆变换公式：
（5）
fx1 C
R2Wfa,ba,bxdaa2 db
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件
0 2d0 2d （7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
§1.小波和小波变换
(Wavelet and Wavelet Transform)
几点约定:
我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；
小写x是时间信号，大写是其Fourier变换；
尺度函数总是写成 x（时间域）和 （频率
域）；
小波函数总是写成 x （时间域）和 （ 频率
域）。
1.1 小波(Wavelet)
重构小波
其中 x 的Fourier变换满足
2k2k1
k
（14）
称为二进小波 x 的重构小波，比如可取：
2k 2
k
（15）
1.4. 正交小波和小波级数
(Orthonormal Wavelet)
设小波为 x ，对于任意的整数k 和j，记
k
k,jx222kxj
(16)
如果函数族
D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出
Gabor Transform
一般的时-频分析是
Windowed Fourier Transform Short-Time Fourier Transform
提供一种解决方案。R.Balian(1981)早
在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：
在通讯理论中，人们对于在给定的时 间内，把一个信号表示成“每一个都 同时具有足够确定的位置及频率的谐 波”的叠加这种信号的描述方法极感 兴趣
最优描述问题
有用的信息总是同时被所发射信号的频率 特性与信号的时间结构所传递，最好的例 子是演奏音乐； 把信号表成时间的函数其频率特征无法突
gx
2
1
e
xp4x2
(22)
是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor 变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下 的频率再分割公式：
F 0RSfx0,0d0x
(23)
物理解释
Gabor变换Sfwenku.baidu.com0,0是信号fxL2R在x=x0
点“附近”的频率为 0 的频率成分；
只要把信号 fxL2R 在各个时间点“附近”
Windowed Fourier Transform
具体地
S fx 0 ,0 R fx g x x 0 e x i0 x p dx (21)
称为信号 fxL2R 的窗口Fourier变换，其 中的函数 gxL2R称为窗口函数，一般要求
是：
Rgxd x1
Gabor Transform
D.Gabor取
二进离散点
2k,2kj
(20)
上的取值，因此，小波系数 k , j 实际上是 信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是 小波变换迷人的风采之一：
连续变换和离散变换形式统一； 连续变换和离散变换都适合全体信号；
§2. 小波分析和时-频分析
(Time-Frequency Analysis )
2.1 窗口Fourier变换和Gabor变换
出，而Fourier分析又无法标定各个分
量发射的瞬时位置和持续时间； “最优描述”应该综合这两种描述的优点 ，并用一个离散的刻画来表示，以适应信 息理论和计算机处理的需要。
如果小波函数 x 满足稳定性条件
A 2 B
(10)
j
则称 x为二进小波，对于任意的整数k,记
2k
x
1 2k
x 2k
(11)
逆变换
对于任意的 fxL2R，其二进小波变换为：
Wfkb
1 2k
R
f
x
x 2k
d
x
f 2k b
这时，逆变换公式是
（12）
fxR W fkb2k2kxbdb （13） k
的，那么公式(2)说明 00，
于是
Rxdx 0
这说明函数 x 有波动的特点，公式(1) 又说明函数 x 有衰减的特点，因此， 称函数 x 为“小波”。
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
对于任意的函数或者信号 fxL2R，其
小波变换为
Wf a,bR fxa,bxdx
1 fx xbdx （4）
小波就是空间L2(R)中满足下述条 件的函数或者信号 :x
Rx2dx
（1）
2
C R* d （2）
这时， x 也称为小波母函数，(2) 称为容
许性条件。
函数：
连续小波
a,bx
1 xb
a a
（3）
为由小波母函数x 生成的依赖
于参数（a,b）的连续小波，简称 为小波。
注释
注释：如果小波母函数 x 的Fourier 变换 在原点 0 是连续
k,jx2k 22kxj;k,jZZ (17)
构成空间 L2R的标准正交基，则称x是正
交小波。
小波级数
这时，逆变换公式就是小波级数
fxk,jk,jx
(18)
k j
其中小波系数 k , j 的算法是
k ,jf, k ,j R fxk ,j xdx(19)
连续和离散统一
小波系数是信号f(x)的小波变换 Wf a,b在
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
1
0
t
t0
t1
2.2. 时-频分析
(Time-Frequency Analysis）
时-频分析本质上是信号描述、分析和处 理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”
的频率为 0 的频率成分全部累加起来，理所 当 然就应该是这个信号的频率为 0 的频率
成 分；
Gabor变换 Sfx0,0可以认为是信号f(x)的
另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的
等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
1 2 C fx g x d x 0 W fa ,b W g a ,b d b d a a 2
（8）
性质
吸收的逆变换公式
fxC 2 0 W fa,ba,bxdbd a2a
（9）
1.3.二进小波和二进小波变换
(Dyadic Wavelet Transform)
aR
a
性质
这样定义的小波变换具有下列性质：
Plancherel恒等式：
C Rfxgxd xR 2W fa,bW ga,bda2ad
小波变换的逆变换公式：
（5）
fx1 C
R2Wfa,ba,bxdaa2 db
（6）
性质
吸收公式：当吸收条件
0 2d0 2d （7）
成立时，有吸收的Plancherel恒等式
§1.小波和小波变换
(Wavelet and Wavelet Transform)
几点约定:
我们的讨论范围只是函数空间 L2（R）；
小写x是时间信号，大写是其Fourier变换；
尺度函数总是写成 x（时间域）和 （频率
域）；
小波函数总是写成 x （时间域）和 （ 频率
域）。
1.1 小波(Wavelet)
重构小波
其中 x 的Fourier变换满足
2k2k1
k
（14）
称为二进小波 x 的重构小波，比如可取：
2k 2
k
（15）
1.4. 正交小波和小波级数
(Orthonormal Wavelet)
设小波为 x ，对于任意的整数k 和j，记
k
k,jx222kxj
(16)
如果函数族