映射，函数定义域，值域 解题办法归纳

一种特殊的对应：映射
（1） （2） （3） （4）
1．对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）
3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f ： A B 集合A 到集合B 的映射。

6．讲解：象与原象定义。

再举例：1︒A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射 2︒A =N + B ={0,1} 法则：B 中的元素x 除以2得的余数 是映射 3︒A =Z B =N * 法则：求绝对值 不是映射（A 中没有象）
4︒
A ={0,1,2,4} B
={0,1,4,9,64} 法则：f ：
a
b =(a -1)2 是映射
一一映射
观察上面的例图（2）得出两个特点：
1︒对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射）
2︒集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。

从映射的观点定义函数（近代定义）：
1︒函数实际上就是集合A 到集合B 的一个映射 f ：A B 这里 A , B 非空。

2︒A ：定义域，原象的集合
B ：值域，象的集合（
C ）其中C ⊆ B f ：对应法则 x ∈A y ∈B
3︒函数符号：y =f (x ) —— y 是 x 的函数，简记 f (x )
函数的三要素： 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1．3
)
5)(3(1+-+=
x x x y
52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同
2。

111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同 3。

x x f =)( 2
)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同
4．
x x f =)( 33
)(x x F = 解：是同一函数
5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同
关于复合函数
设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。

f [g (x )]=2(x 2+2)-3=2x 2+1 g [f (x )]=(2x -3)2+2=4x 2-12x +11
例：已知：f (x )=x 2
-x +3 求：f (
x
1
) f (x +1) 解：f (x 1)=(x 1)2-x
1
+3 f (x +1)=(x +1)2-(x +1)+3=x 2+x +3
1. 函数定义域的求法
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
● 指数式的底数大于零且不等于一；
● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

● 正切函数tan ...(,,)
2
y x x R x k k π
π=∈≠+
∈Z 且
● 余切函数cot y x =
(),,x R x k k π∈≠∈Z 且
● 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是
[,]22ππ
-
，
函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，
函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是
(,)22ππ
-
，
函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 注意，
1. 复合函数的定义域。

如：已知函数()f x 的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)F x f x f x =-+-的定义域。

1(1,3)2(1,3)x x -∈⎧⎨
-∈⎩
2.函数
()
f x的定义域为(,)
a b,函数()
g x的定义域为(,)
m n,
则函数
[()]
f g x的定义域为
()(,)
(,)
g x a b
x m n
∈
⎧
⎨
∈
⎩，解不等式，最后结果才是
3.这里最容易犯错的地方在这里：
已知函数
(1)
f x-的定义域为(1,3),求函数()
f x的定义域；或者说，已知函数(1)
f x-的定义域为(3,4),
则函数
(21)
f x-的定义域为______?
2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
（1）、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例 求函数
1
,[1,2]y x x =
∈的值域
（2）、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数
2
25,y x x x R =-+∈的值域。

（3）、根判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:
.1
12..2
22
22222
b
a y 型：直接用不等式性质k+x
bx
b. y 型,先化简，再用均值不等式
x mx n
x 1 例：y 1+x x+x
x m x n c y 型 通常用判别式
x mx n x mx n
d. y 型
x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1
例：y （x+1）1211
x 1x 1x 1=
=++==≤
''
++=++++=+++-===+-≥-=+++
4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数
34
56x y x +=
+值域。

346456345635x y y xy y x x x y +-=
⇒+=+⇒=+-,分母不等于0,即35y ≠
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数
11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=
+的值域。

110
11
2sin 11|sin |||1,
1sin 22sin 12sin 1(1cos )
1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11
即又由解不等式，求出，就是要求的答案
x x x e y y e y e y y y y y y y
x y x x y θθθθθθθ
θθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=
+≤≤
10.倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例
求函数
y =
的值域
2011
202
2012
时，时，=00y x y y x y y =
+≠==+≥⇒<≤
+=∴≤≤
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。