运筹学(1)
运筹学1
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
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•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
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例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
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例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
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( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
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1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
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例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法
（2）写出初始基本可行解 ）写出初始基本可行解——
根据“ 用非基变量表示基变量的表达式” 根据 “ 用非基变量表示基变量的表达式 ” ， 非基变量取0 算出基变量， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。 初始基本可行解。 2、建立判别准则： 建立判别准则： （1）两个基本表达式的一般形式 LP限制条件中全部是 LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 限制条件中全部是“ 类型约束， 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述： 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述 ：
2、处理人工变量的方法： 处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 在约束条件中人为地加入非负 的人工变量， 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。 成单位阵。 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 目标函数中， 在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对 值很大的负系数M>>0 迭代过程中， 值很大的负系数 -M （ M>>0 ） ， 迭代过程中 ， 只要基变量中还存在人工变量， 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不 可能实现极大化——惩罚！ 惩罚！ 可能实现极大化 惩罚
σj =cj −zj =cj −∑ a c
i= 1
m
' n+i ij
（2）最优性判别定理
若 X = (0,0,L0,b ,b ,Lb ) 是对应于基B的基本 是对应于基B , , 可行解， 的检验数， 可行解，σ j 是非基变量 x (j0) 的检验数，若对 于一切非基变量的角指标j 于一切非基变量的角指标j，均有 σ j ≤0，则 X(0)为最优解。 为最优解。
最优性判别定理； 最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理 有限最优解”
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学第1章
（第三版）《运筹学》教材编写组编清华大学出版社运筹学第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型二.线性规划与目标规划第1章线性规划与单纯形法第2章对偶理论与灵敏度分析第3章运输问题第4章目标规划第1章线性规划与单纯形法第1节线性规划问题及其数学模型第2节线性规划问题的几何意义第3节单纯形法第4节单纯形法的计算步骤第5节单纯形法的进一步讨论第6节应用举例第1节线性规划问题及其数学模型•1.1 问题的提出•1.2 图解法•1.3 线性规划问题的标准形式•1.4 线性规划问题的解的概念第1节线性规划问题及其数学模型线性规划是运筹学的一个重要分支。
线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。
特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。
从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。
它已是现代科学管理的重要手段之一。
解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
1.1 问题的提出从一个简化的生产计划安排问题开始例1某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源产品ⅠⅡ拥有量设备 1 2 8台时原材料A40 16kg原材料B0 4 12kg续例1该工厂•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?如何用数学关系式描述这问题，必须考虑称它们为决策变量。
产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。
即有量的限制的数量多少，受资源拥生产021≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。
最大如何安排生产，使利润,∙数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0124164823221212121x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数例2. 简化的环境保护问题靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
运筹学实验报告(1)
运筹学实验报告一、实验目的：通过实验熟悉单纯形法的原理，掌握matlab循环语句的应用，提高编程的能力和技巧，体会matlab在进行数学求解方面的方便快捷。
二、实验环境：Matlab2012b,计算机三、实验内容（包含参数取值情况）：构造单纯形算法解决线性规划问题Min z=cxs.t. Ax=bxj>=0,j=1,…,n函数功能如下：function[S,val]=danchun(A1,C,N)其中，S为最优值，Val为最优解，A1为标准形式LP问题的约束矩阵及最后一列为资源向量（注：资源向量要大于零），A1=[A+b]；C是目标函数的系数向量，C=c；N为初始基的下标（注：请按照顺序输入，若没有初始基则定义N=[]）。
先输入A1,C,N三个必要参数，然后调用danchun（A1,C,N）进行求解。
在此函数中，首先判断N的长度是否为空，若为空，则flag=1，进入初始解问题的迭代求值，添加辅助问题，构建单纯形表，求g所对应的RHS值，若其>0,则返回该问题无解，若其=0，则返回A1,C,N三个参数，继续构造单纯形表求解。
A1为经过变换后的系数及资源向量，C为单纯形表的第一行，N为经过辅助问题求解之后的基的下标。
否则，直接构建单纯形表，对该问题进行求解，此时flag=2,多次迭代后找到解。
另外，若在大于零的检验数所对应的系数均小于零时，会显示“此问题无界”。
若找到最优解和最优值时，会输出“val”和“S=”以及具体数值。
四、源程序（在matlab中输入edit后回车，写在.M文件中，并保存为danchun.M）function[S,val]=danchun(A1,C,N)if(length(N)==0)gN=zeros(1,length(A1(:,1)));gC=[-C,gN,0];%原文题的检验数的矩阵G=[zeros(1,length(C)),-ones(1,length(gN)),0];val=zeros(1,length(C));%val为最优解；for i=(length(C)+1):length(C)+length(A1(:,1))%生成基变量gN(i-length(C))=i;endNn=gN;%%%%%%%ll=zeros(1,length(N));%比值最小原则%生成除了最上端两行的表的矩阵gb=A1(:,length(C)+1);A1(:,length(C)+1)=[];l=zeros(length(gN),length(gN));gA=[A1,l,gb];for i=1:length(gb)gA(i,gN(i))=1;endfor i=1:length(gN)%J为基本可行基所对应的检验数J(i)=G(gN(i));endfor i=1:length(gN)%找到基本可行基的检验数，将其赋值为0 if(J(i)~=0)G=G-(J(i)/gA(i,gN(i)))*gA(i,:);endendflag=1;elseflag=2;A=A1;Z=[-C,0];%单纯形表的第一行val=zeros(1,length(C));%val为最优解；ll=zeros(1,length(N));%比值最小原则end%%初始解问题while flag==1for i=1:length(gN)%J为基本可行基所对应的G的检验数J(i)=G(gN(i));JZ(i)=Z(gN(i));%JZ为基本可行基所对应的Z的检验数endfor i=1:length(gN)%找到基本可行基的检验数，将其赋值为0 if(J(i)~=0)G=G-(J(i)/gA(i,gN(i)))*gA(i,:);Z=Z-(JZ(i)/gA(i,gN(i)))*gA(i,:);endG1=G;%G1为检验数G1(:,length(G1))=[];D=max(G1);%找到检验数的最大值if(D<=0)%检验数都小于0if(G(length(G))>=1)disp('此情况无解');flag=0;elseif(G(length(G))>=0)for i=1:length(gN)if(max(gN)<=length(A1(1,:)));flag=2;for j=1:length(Nn)a=Nn(1);gA(:,a)=[];Z(a)=[];endA=gA;N=gN;break;endendendendelse%检验数大于0for i=1:length(G)if(G(i)==D)%找到最大的那个检验数所对应的元素for j=1:length(gN)if(gA(j,i)>0)ll(j)=gA(j,length(G))/gA(j,i);%求比值elsell(j)=10000;endendd=min(ll);for k=1:length(ll)%找到进基和离基if(ll(k)==d)gN(k)=i;gA(k,:)=gA(k,:)/gA(k,i);for m=1:k-1gA(m,:)=-(gA(m,i)/gA(k,i))*gA(k,:)+gA(m,:);endfor n=k+1:length(ll)gA(n,:)=-(gA(n,i)/gA(k,i))*gA(k,:)+gA(n,:);endbreak;endendendendendendwhile(flag==2)for i=1:length(N)%J为基本可行基所对应的检验数J(i)=Z(N(i));endfor i=1:length(N)%找到基本可行基的检验数，将其赋值为0if(J(i)~=0)Z=Z-(J(i)/A(i,N(i)))*A(i,:);endendZ1=Z;%Z1为检验数Z1(:,length(Z1))=[];D=max(Z1);%找到检验数的最大值if(D<=0)%检验数都小于0disp('已找到最优解和最优值')for i=1:length(N)val(N(i))=A(i,length(Z));endS=Z(length(Z));disp('val');disp(val);flag=0;else%检验数大于0for i=1:length(Z)if(Z(i)==D)%找到最大的那个检验数所对应的元素for j=1:length(N)if(A(j,i)>0)ll(j)=A(j,length(Z))/A(j,i);%求比值elsell(j)=10000;endendd=min(ll);if(d==10000)disp('此问题无界')flag=0;break;endfor k=1:length(ll)%找到进基和离基if(ll(k)==d)N(k)=i;A(k,:)=A(k,:)/A(k,i);for m=1:k-1A(m,:)=-(A(m,i)/A(k,i))*A(k,:)+A(m,:);endfor n=k+1:length(ll)A(n,:)=-(A(n,i)/A(k,i))*A(k,:)+A(n,:);endbreakendendendendendend五、运行结果与数据测试参考例题：例1：Min z=3x1+x2+x3+x4s.t. -2x1+2x2+x3=43x1+2x+x4=6Xj>=0,j=1,2,3,4在workspace中写入，形式如下：>> A=[-2 2 1 0 43 1 0 1 6]A =-2 2 1 0 43 1 0 1 6>> C=[3 1 1 1]C =3 1 1 1>> N=[3 4]N =3 4>> danchun(A,C,N)已找到最优解和最优值val0 2 0 4ans =6例2：初始解问题Min z=5x1+21x3s.t. x1-x2+6x3-x4=2x1+x2+2x3-x5=1xj>=0,j=1,…,5在workspace中写入，形式如下：>> A=[1 -1 6 -1 0 21 12 0 -1 1]A =1 -1 6 -1 0 21 12 0 -1 1 >> C=[5 0 21 0 0]C =5 0 21 0 0>> N=[]N =[]>> danchun(A,C,N)已找到最优解和最优值val0.5000 0 0.2500 0 0ans =7.7500六、求解实际问题（即解决附件中的实验题目）实验题目列出下列问题的数学模型，并用你自己的单纯形算法程序进行计算，最后给出计算结果。
运筹学基础(1)
展
英国创刊 ☺ 1952年第一个运筹学学会在美国成立
☺ 1947年丹齐克在研究美国空军资源优化配置 时提出线性规划及其通用解法——单纯形法
战后这些研究成果被应用到生
产、经济领域，其发展可以分
运
为三个阶段：
筹 学
的
① 1945至50年代初期—创建时期
② 50年代初期至50年代末期——成长 时期
产
生
商船护航的规模等等。
战后这些研究成果被应用到生
产、经济领域，其发展可以分
运
为三个阶段：
筹 学
的
① 1945至50年代初期—创建时期
☺ 1948年英国成立“运筹学俱乐部”在煤力、 电力等部门推广应用运筹学
产
☺ 相继一些大学开设运筹学课程
生
1948年美国麻省理工学院
和
1950年英国伯明翰大学
发
☺ 1950年第一本运筹学杂志《运筹学季刊》在
的 定 义
与 特 点
为“运作研究”。
美国运筹学会认为：运筹学所研 究的问题，通常是在要求有限资 源的条件下科学地决定如何最好 地设计和运营人机系统。
中国大百科全书释义：它用数学 方法研究经济、民政和国防等部 门在内外环境的约束条件下合理 分配人力、物力、财力等资源， 使实际系统有效运行的技术科学，
bi ,i 1,2m 为资源系数；
aij ,i 1,2m, j 1,2n 为技术系数，或约束
系数 ；
mn
运筹学基础
第四讲
主讲教师：郑黎黎
学时：48
线 性 数规 学划 模问 型题 及 其
线性规划的标准形式有四个特点 ： 目标最大化、约束为等式、右端项 非负、决策变量均非负。 对于各种非标准形式的线性规划问 题，我们总可以通过以下变换，将 其转化为标准形式。
运筹学第一章
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
运筹学作业解答(1-2)
题1.1：总结线性规划模型的特征； 判断下列数学模型是否为线性规划模型。 （模型a、b、c为常数；θ 为可取某常数值的参变量；x、y为变量）
(1) max Z = 3 x1 + 5 x 2 + 7 x3 x1 + 2 x 2 − 6 x3 ≥ 8 5 x + x + 8 x ≤ 20 1 2 3 3 x1 + 4 x 2 = 12 x1 , x3 ≥ 0
题1.9：填空题
１．在用图解法求线性规划问题时，目标函数Ｚ＝ ClX1+C2X2，则直线ClX1+C2X2＝10是Ｚ的一条平行线 平行线，而 平行线 当可行域非空有界时最优解必定能在可行域的顶点上 顶点上达 顶点上 到。 ２．线性规划数学模型三要素：决策变量 、目标函数 、 决策变量 目标函数 约束条件 ３．线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量 基变量。 基变量 ４．若某线性规划问题存在唯一最优解，从几何上讲，它 必定在可行解域的某个 顶点 处达到；从代数上讲，它 也一定是某个基变量组的 基可行解
s = 10 y 1 + 20 y y1 + 4 y y1 + y y1, y
2 2
2
st
= 10 ≥ 2
≥ 1
2
2 y1 + y
2
≥ 0
max s = 15 y 1 + 20 y 2 − 5 y 3 − y1 − 5 y 2 + y 3 ≥ − 5 5 y − 6 y − y ≤ − 6 1 2 3 st 3 y 1 + 10 y 2 − y 3 = − 7 y 1 ≥ 0 , y 2 ≤ 0 , y 3 无约束
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。
依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即ma x z=50x1+100x2且称z=50x1+100x2为目标函数。
同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250且称上述三式为约束条件。
此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。
这样有ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 约束条件有第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0习题1.3ma x z =50x 1+100x 2x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400x 2≤250图1—1 x 2x1、x2≥0用图解法求解。
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
运筹学(一)
一、运筹学的起源与发展
1.什么是运筹学 英文：Operational Research(英国)
Operations Research(美国) （直译为“作业研究”、“运用研究”）
中文：运筹学（来源于“夫运筹帷幄之中，决胜 于千里之外”）
运筹学是在实行管理的领域，运用数学方法， 对需要进行管理的问题统筹规划，作出决策的一
库存管理。存储论应用于多种物资库存量的管理，确定某些设备的合 理的能力或容量以及适当的库存方式和库存量
运输问题。用运筹学中运输问题的方法，可以确定最小成本的运输线 路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择。
人事管理。可以用运筹学方法对人员的需求和获得情况进行预测；确 定合适需要的人员编制；用指派问题对人员合理分配；用层次分析法 等方法来确定一个人才评价体系等。
4
x1, x2, x3 , x3, x4, x5 0
第二节
图解法
一、图解法的步骤
1.画出直角平面坐标系； 2.图示约束条件，找出可行域； 3.图示目标函数； 4.最优解的确定。
例4：用图解法求解以下线性规划问题
max z 2x1 x2
5x2 15
st.6
x1 2 x1
x2 x2
3.线性规划问题的最优解若存在，则最优解或 最优解之一一定是可行域的凸集的某个顶点。
4 .解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其 目标函数值。比较其相邻顶点函数值，若更 优，则逐点转移，直到找到最优解。
第三节
单纯形法原理
一、线性规划问题的解
可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称
为可行域。
解：令z z, x1 x1, x3 x3 x3,其中x3，x3 0， 同时引入松弛变量x4和剩余变量x5 , 标准形式化为：
运筹学(01规划)1
1、将目标函数的系数按递增或递减的顺序重新排列。 2、参照目标函数的排列，列出问题所有可能取到的点，并检查是否可行，若可 行，则算出相应的目标函数值。 3、比较可行解的目标函数值，找出最优解和最优值。 以上题为例， 按系数递增重新排列） 以上题为例，1、max=15X3+20X1+30X2(按系数递增重新排列） 2、参照目标函数系数的排列，依次序列出所有可能取到的点，并检 参照目标函数系数的排列，依次序列出所有可能取到的点， 查可行性，算出相应的目标函数值，如下表： 查可行性，算出相应的目标函数值，如下表：
在可行解中比较，点（1，0，1）的目标函数值最大，所以最优解为： X=(1,0,1),相应的目标函数值为Z=35(万元）
？
最优解
二、指派问题
在生产管理上，管理者总希望能够将人员分配的最佳，以发挥其最大 的工作效率，这就是所谓的“指派问题”。
特点： 特点：把n项工作指派给n个人去做时，每个人仅能接受一项任务，而 项工作指派给n个人去做时，每个人仅能接受一项任务， 项任务也只能由一个人去做。（指派问题也是整数规划的一个分支） 。（指派问题也是整数规划的一个分支 且一项任务也只能由一个人去做。（指派问题也是整数规划的一个分支）
完全枚举法（显枚举法） 完全枚举法（显枚举法） Xj的取值有0和1两种情况，三种方案就有8种组合，把每种组合列出，带入约束 方程检验是否可行，再比较目标函数的大小，从而求得最优解
因此，人们设计出了一种只需要检查一部分可能的变量组合，就可以达 到最优解的方法-------------------
隐枚举法（部分枚举法） 隐枚举法（部分枚举法）
虽
可
Z=C12+C24+C31+C43+C55=7+6+7+6+6=32 Min Z=C12+C24+C31+C43+C55=7+6+7+6+6=32
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
运筹学第一课
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
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第一章导论实践能力考核选例根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？答：（1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。
第二章预测实践能力考核选例应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI）水平。
（资料可由历年中国统计年鉴获得）（1）滑动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875（2）加权滑动平均预测法：（1270.8*1+1191.8*2+1239.9*3+1265*4）/（1+2+3+4）=1243.41第三章决测实践能力考核选例根据亲身体验，举出自己经历过的一个实际决策案例，并分析此决策属于那种类型，结合本章决策方法进行科学地决策。
答：某城市繁华地段有一个食品厂，因经营不善长期亏损，该市政府领导拟将其改造成一个副食品批发市场，这样既可以解决企业破产后下岗职工的安置问题，又方便了附近居民。
为此进行了一系列前期准备，包括项目审批、征地拆迁、建筑规划设计等。
不曾想，外地一开发商已在离此地不远的地方率先投资兴建了一个综合市场，而综合市场中就有一个相当规模的副食品批发场区，足以满足附近居民和零售商的需求。
面对这种情况，市政府领导陷入了两难境地：如果继续进行副食品批发市场建设，必然亏损；如果就此停建，则前期投入将全部泡汤。
在这种情况下，该市政府盲目做出决定，将该食品厂厂房所在地建成一居民小区，由开发商进行开发，但对原食品厂职工没能作出有效的赔偿，使该厂职工陷入困境，该厂职工长期上访不能解决赔偿问题，对该市的稳定造成了隐患。
案例分析：该市领导解决问题时是出于好心，既要解决企业生产不景气的问题，又要为城市居民解决购物问题，对企业职工也有一个比较好的安排，但作出决策比较仓促，没能充分考虑清楚问题涉及的各种因素，在决策失误时又进一步决策失误，造成了非常被动的工作局面，也给企业职工造成了不可挽回的损失。
用领导科学来分析，该决策反映出以下几个问题：(1)此案例反映了领导决策中信息原则的重要性。
造成这种两难境地的主要原因是没有很好地坚持领导决策的信息优先原则。
信息是决策的基础，充分、及时、全面、有效的信息是科学决策的前提。
该区政府领导在决定副食晶批发市场项目之前，显然缺乏全面细致的市场调查，不了解在建的综合市场特别是其内部的副食品批发场区。
因此盲目决策，匆忙上马，陷入困境。
(2)此案例反映了追踪决策的重要性。
当原有决策方案实施后，主客观情况发生了重大变化，原有的决策目标无法实现时，要对原决策目标或方案进行根本性修订，这就是追踪决策。
该市领导在客观情况发生了重大变化时，没能认真分析，而是仓促作出新的决策，在追踪决策上存在失误。
(3)走出两难境地的方案，可以有不同的思路。
比如，一种是迎接挑战，继续兴建。
但要调查研究，对原决策方案进行修订和完善，使得所建批发市场在规模、设施、服务和管理等方面超过竞争对手，以期在市场竞争中获胜；另一种是及早决断，对原决策方案进行根本性修订，重新考察、确立和论证新的项目，实行转向经营。
该市领导在没有确立和论证新的项目的情况下，对该地进行房地产开发，带有很大的随意性。
(4)没能把人的问题放在首要地位。
领导者作出决策，首先要解决的问题归根到底是人的问题，而处理好人的问题是领导决策得以实现的关键。
如果仅从经济效益上考虑问题，而忽略了人的问题的解决，全然不顾人的思想工作，那么引起的社会问题和社会矛盾等可能会让政府付出更大的代价。
第四章库存管理实践能力考核选例搜集企业的年订货量、保管费用率及订货费用等数据，为企业制定合理的订货方案；并调查供应商的折扣情况，进一步优化公司的订货方案。
某玩具厂进货布料单价十元，每年共计产品100000元，每次订货费用为250元，每个进厂价格为500元/套，单位库存维护费按库存物资价值的12.5%计算，试求公司经济订货量和全年最优订货次数？答：全年采购量为100000/500=200（套）最佳订货批量为Nu= 40(套)全年订货量100000/500*40=5（次）5*250=1250（元）全年保管费500*40/2*12.5%=1250元所以全年的订货与库存金额为1250+1250=2500元第五章线性规划实践能力考核选例在日常生活中，大量经济、管理问题涉及到利用线性规划理论进行优化，例如库存与生产安排问题、产品计划问题、配料问题、投资问题等。
本章实践题目要求学生通过了解企业中涉及的线性规划问题，利用问题背景得到线性规划模型，结合本章理论进行分析求解，求出问题的最优方案。
答：某公司生产甲、乙两种产品（吨），这两种产品均需要使用两种关键原材料进行加工，资源限量与可获利润数据如题1表。
为获得利润最大化，该企业每日应如何安排两种产品的生产？试写出该线性规划问题的数学模型，用图解法求出最优解。
题1表某公司生产两种产品的原料消耗与可获利润表原料消耗定额甲乙资源供应量第一原材料 3 5 15（吨/日）第二原材料 6 2 24（吨/日）2 1预计或利（万元/吨）答：解：设甲原料为X1，已原料为X2.极大值为：S=2X1+X2;3X1+5X2<=15;6X1+2X2<=24;X1，X2>=0;求得最优解：X1=15/4，X2=3/4;极大值S=2X1+X2=33/4万元；第六章运输问题实践能力考核选例已知某运输问题如下（单位：百元/吨），利用闭合回路法和修正分配系数法，分别求得求总运费最小的调运方案和最小运费。
解：1 . 闭合回路法：销地产地B1 B2 B3 B4供应量（顿）A1 10155106 7 25A2 8 2107156 25A3 9 3 41583550需求量（顿）15 20 30 35 100如上图所示：初始运输方案：S初初始运输方案的总运费S初=15*10+10*5+10*2+15*7+15*4+35*8=665(百元)改进方案如下：（1）初始方案中各空格的改进路线和改进指数如下：A1B3空格的改进路线和改进指数：L A1B3=+A1B3-A2B3+A2B2-A1B2; I A1B3=6-7+2-5=-4A1B4空格的改进路线和改进指数：L A1B4=+A1B4-A3B4+A3B3-A2B3+A2B2-A1B2；I A1B4=7-8+4-7+2-5=-7A2B4空格的改进路线和改进指数：L A2B4=+A2B4-A3B4+A3B3-A2B3; I A2B4=6-8+4-7=-5A2B1空格的改进路线和改进指数：L A2B1=+A2B1-A1B1+A1B2-A2B2; I A2B1=8-10+5-2=1A3B1空格的改进路线和改进指数：L A3B1=+A3B1-A1B1+A1B2-A2B2+A2B3-A3B3 I A3B1=9-10+5-2+7-4=5A3B2空格的改进路线和改进指数：L A3B2=+A3B2-A2B2+A2B3-A3B3 I A3B2=3-2+7-4=4由上述改进指数：I A1B3=-4 ，I A1B4=-7，I A2B4=-5，I A2B1=1，I A3B1=5，I A3B2=4我们选A1B4为调整格，调整方案如下图所示。
第二个运输方案的总运费：S2S2=15*10+10*7+20*2+5*7+25*4+25*8=595(百元)（2）第二个方案中各空格的改进路线和改进指数如下：A1B2空格的改进路线和改进指数：L A1B2=+A1B2-A2B2+A2B3-A3B3+A3B4-A1B4; I A1B2=5-2+7-4+8-7=7A1B3空格的改进路线和改进指数：L A1B3=+A1B3-A1B4+A3B4-A3B3;I A1B3=6-4+8-7=3A2B1空格的改进路线和改进指数：L A2B1=+A2B1-A1B1+A1B4-A3B4+A3B3-A2B3I A2B1=8-10+7-8+4-7=-6 A2B4空格的改进路线和改进指数：L A2B4=+A2B4-A3B4+A3B3-A2B3 I A2B4=6-8+4-7=-5A3B1空格的改进路线和改进指数：L A3B1=A3B1-A1B1+A1B4-A3B4 I A3B1=9-10+7-8=-2A3B2空格的改进路线和改进指数：L A3B2=A3B2-A2B2+A2B3-A3B3I A3B2=3-2+7-4=4由上述改进指数得：我们选A2B1为调整格，调整方案如下图所示：第三个运输方案的总运费：S 3S3=10*10+15*7+5*8+20*2+30*4+20*8=565(百元)（3）第三个方案中各空格的改进路线和改进指数如下：A1B2空格的改进路线和改进指数：L A1B2=A1B2-A2B2+A2B1-A1B1; I A1B2=5-2+8-10=1A1B3空格的改进路线和改进指数：L A1B3=A1B3-A1B4+A3B4-A3B3; I A1B3=6-7+8-4=3A2B3空格的改进路线和改进指数：L A2B3=A2B3-A3B3+A3B4-A1B4+A1B1-A2B1; I A2B3=7-4+8-7+10-8=6 A2B4空格的改进路线和改进指数：L A2B4=A2B4-A1B4+A1B1-A2B1; I A2B3=6-7+10-8=1A3B1空格的改进路线和改进指数：L A3B1=A3B1-A3B4+A1B4-A1B1; I A3B1=9-8+7-10=-2A3B2空格的改进路线和改进指数：L A3B2=A3B2-A3B4+A1B4-A1B1+A2B1-A2B2; I A3B2=3-8+7-10+8-2=-2由上述改进指数：我们选A3B1为调整格，调整方案如下图所示。
第四个运输方案的总运费：S 4S 4=25*7+5*8+20*2+10*9+30*4+10*8=545（百元）（4）第四个运输方案中各空格的改进路线和改进指数如下：A1B1空格的改进路线和改进指数：L A1B1=A1B1-A1B4+A3B4-A3B1；I A1B1=10-7+8-9=2A1B2空格的改进路线和改进指数：L A1B2=A1B2-A2B2+A2B1-A3B1+A3B4-A1B4；I A1B2=5-2+8-9+8-7=3 A1B3空格的改进路线和改进指数：L A1B3=A1B3-A1B4+A3B4-A3B3；I A1B3=6-7+8-4=3A2B3空格的改进路线和改进指数：L A2B3=A2B3-A2B1+A3B1-A3B3；I A2B3=7-8+9-4=4A2B4空格的改进路线和改进指数：L A2B4=A2B4-A3B4+A3B1-A2B1；I A2B4=6-8+9-8=-1A3B2空格的改进路线和改进指数：L A3B2=A3B2-A3B1+A2B1-A2B2；I A3B2=3-2+8-9=0由上述改进指数：我们选A2B4为调整格，调整方案如下图所示。