理论力学习题(1)

第一章 思考题

1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？

答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。

1.2 在极坐标系中，θθ&&r v r v r ==，为什么2θ&&&r r a r

-=而非r &&？为什么θθθ&&&&r r a 2+=而非θθθ&&&&r r a +=？你能说出r a 中的2θ&r -和θa 中另一个θ&

&r 出现的原因和它们的物理意义吗？

答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量r a 中，除经

向直线运动的加速度r &

&外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量2θ&r -；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量θ&&r 外，还有沿横向的附加加速度θ&&r 2，其中的一半θ&&r 是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半θ&&r 是由于横向运动受径

向运动的影响而产生的。

1.3 在内禀方程中，n a 是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度b a 等于零，而作用力在副法线方向的分量b F 一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？

答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由于速度方向的不断变化，产生了n a 沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，b a 等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到∑=0b F ，即所有外力之和在副法线方向平衡。

1.4 在怎样的运动中，只有τa 而无n a ？在怎样的运动中，又只有n a 而无τa ？在怎样的运动中，既有τa 又有n a ？

答：质点在变速直线运动中，只有τa 而无n a ；质点在匀速曲线运动中，只有n a 而无τa ；质点在变速曲线运动中，既有τa 又有n a 。

1.5 dt r d ρ与dt dr 有无不同？dt v d ρ与dt

dv 有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以

讨论。

答：直线运动中：

dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr

是速率，是标量；

dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv

是加速度的大小，是标量。

i dt

dv dt v d i dt dr dt r d ρ

ρρρ==

曲线运动中：

dt r d ρ是速度，是矢量；dt dr

是速度的径向分量，是标量；

dt v d ρ是加速度，是矢量；dt dv 是加速度的切向分量，是标量。

1.6 人以速度v 向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？

答：设静止时投篮角度为θ，运动时投篮角度为φ，且：090,0><φθ，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。人的速度为牵连速度e v ，球对人的速度为相对速度

r v ，人静止时投篮速度为0v ，也就是球的绝对速度。因此：

⎩⎨

⎧=+=)

2(sin sin )1(cos cos 00φθφ

θr r e v v v v v

φφ

θctg v v ctg r e +=sin :)2()

1( 0>>∴φθctg ctg ,因余切函数是减函数。故：φθ<，即人以速度v 向

篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。

1.7 雨点以匀速v 落下，在一有加速度a 的火车中看，它走什么路线？ 答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系o ——xy ，则雨点受惯性力a m -作用，忽略雨点的重力，则动力学方程为：

⎩⎨⎧==0y m ma x m &&&& 即：⎩

⎨⎧====常数常数v y a x &&&

雨点在x 方向作匀加速运动，在y 方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较

知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若常数≠=a x &&，则要经过积分才能知道路径。

1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？

答：以船为动点，河水为动系，岸为定系。船对水的相对速度r v ，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度e v ，所以：

e

e r e r v v v v v 600600)(120120=++-⨯+

解得：e v =2.5米/秒。

1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？

答：物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。

1.10 在哪些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明。

答：当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。