微分方程-习题课

设 y p 则ydpdypdP,
dydx dy
代 入 原 方 程 得 到 新 函 数 P 的 一 阶 方 程
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二阶常系数齐次线性方程
ypyq y0
r2prq0
特征方程法
特征根的情况
通解的表达式
实根r1r2
yC1er1xC2er2x
实根r1r2
y(C1C2x)er2x
复根r1,2i yex(C1cosxC2sinx)
等于1 x
x
0
f
tdt，求f
(x)的表达式.
例 具 有 特 解 y1ex， y22xex， y33ex 的 三 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 .
例 用变量替换xcost0t 化简
微分方程1-x2 y-xyy0，
并求其满足y 1，y 2的特解.
x0
x0
例 设y y x 是二阶常系数线性微分
微分方程 习题课
（一）主要内容 （二）典型例题
一、主要内容
一阶微分方程
高阶微分方程
可分离变量
可降阶的高阶
微分方程
齐次
高阶线性
一阶线性 伯努利
高阶常系数齐次 （非齐次）线性
可分离变量的微分方程
g (y)d yf(x )dx
解法 g(y)dyf(x)dx
G (y)F (x)C 得到隐式通解，尽可能显化.
y
x
满足的微分方程，并求其满足 y 1， x0
y 3的特解. x0 2
0 i不是特征根 k1 i是特征根
R m 1 ， R m 2 的 系 数 代 入 方 程 确 定
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二、典型例题
例 设y f x 是方程y 2 y 4 y 0的解，
若f x0 0，f x0 0，则f x 在点x0
A 取得极大值 B 取得极小值 C 某个邻域单调递增 D 某个邻域单调递减.
例 已 知 函 数 yyx在 任 意 点 x处 的 增 量 y1yx x2ox， 且 y0， 求 y1.
例 若连续函数f x满足关系式
f x
2x 0
f
t 2
dt
ln2
求f x
例 求初值问题
y x2 y2 dx xdy 0
y 0 x1
的解
x 0
例 已知ylnxx是微分方程yxyxy
方程y py qy e3x满足初始条件
y 0 y 0 0的特解，
ln 1 x2
求 lim x0
y x
例 求 微 分 方 程 y6y9a2 y1
的 通 解 ， 其 中 常 数 a0.
例 将x x y 满足的微分方程 0 t
d2x dy 2
y
sin
x
dx dy
0化为y
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2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
通解为 y [Q (x )eP (x)dd x x C ]e P (x)dx
C P e (x )d xe P (x )dxQ (x )e P (x )dd x x
对应齐次方程通解 非齐次方程特解
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伯努利方程. dyP(x)yQ(x)yn (n0,1)
dx
解法 令z y1n
d z(1n )P (x)z(1n )Q (x), dx y1 nz
e(1 n )P (x)d(xQ (x)1 (n )e(1 n )P (x)dd x x C ).
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可降阶的高阶微分方程
1、 y(n) f(x) 型
特点 不 显 含 未 知 函 数 y 及 y ,L ,y (n 1 ).
解法 将 y (n )f(x )连 续 积 分 n 次 , 可得通解.
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2、 yf(x,y) 型
特点 不 显 含 未 知 函 数y.
解法
令 y p
则y p.
代入原方程, 得
pf(x,p).
p(x)的一阶方程
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3、 yf(y,y') 型
特点 解法
右 端 不 显 含 未 知 函 数 y.
A x2ex 2
不 是 特 征 方 程 的 根 是 特 征 方 程 的 单,根 是 特 征 方 程 的 重 根
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2、 fx e x P lx c oFra Baidu biblioteksx P n x s i n x
特解形式为 y * x k e x R m 1 c o sx R m 2 sinx
设非齐方程特解为
yQ (x)ex= xkexQ m (x)
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
Q m x 的 系 数 代 入 方 程 确 定
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特别地 ypyq yAx e
y 22AAppxqeexx,
的解，求x的表达式.
例 求微分方程
x2 1 dy2xycosxdx0
满足初始条件y0 1的解.
例 设曲线L位于xoy平面的第一象限内， L上任一点M处的切线与y轴总相交， 交点记为A，已知 MA = OA，且L过
点
3 2
,
3 2
，求L的方程
.
例 设对任意x0，曲线y f(x)上点
x, f(x)处的切线在y轴上的截距
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n阶常系数齐次线性方程
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) L P n 1 y P n y 0 特征方程为 rn P 1 rn 1 P n 1 r P n 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C 0 C 1 x L C k 1 x k 1 )e rx
若 是k重 共 轭
复根 j
[(C0C1xLCk1xk1)cosx (D 0D 1xLD k1xk1)sinx]ex
二阶常系数非齐次线性方程 y p y q y f(x )
对应齐次方程 y p y q y 0 ,
通解结构 yYy,
求特解的方法 待定系数法.
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1、 fxexPmx型
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齐次方程. 形如 dy ( y)
dx x
解法
作变量代换 u
y x
dy uxdu,
dx
dx
uxdu f(u), dx
即duf(u)u. dx x
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可分离变量的方程
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一阶线性微分方程.
dyP(x)yQ(x) dx
解法 1.齐次线性方程
dyP(x)y0. dx
通解为 yCeP(x)dx.