一元一次方程的解法公式法(课堂PPT)
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苏科版九年级数学上册第1章1.2《一元一次方程的解法---因式分解法》教学课件(共12张PPT)
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么 样的条件 ？ （1）方程的一边为0 （2）另一边能分解成两个一次因式的积
，x2=2
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
探究：
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，
在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4， 于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？
典型例题
例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-（x+4）2=0 (2) (x-1)2=3 (3) x2-2x=4 （4）（x－1）2－6（x－1）+9=0
（1）x2－x =0 （2） x2－4x=0 （3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（2x－1）2－x2=0
问：你能用几种方法解方程x2－x = 0？
本题既可以用配方法解，也可以用公式法 来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用 公式法来解。还有其他方法可以解吗？
概括总结 1、你还能用其它方法解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
如何选用解一元二次方程的方法？ 首选因式分解法和直接开平方，其次选 公式法，最后选 配方法
归纳总结
1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解 2. 解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（x+3）2-x（x+3）=0 （2）（2x－1）2=x2 （3）（2x-5）2-2x+5=0
，x2=2
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
探究：
思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）时，
在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4， 于是解得x =2，这样解正确吗？为什么？
典型例题
例 3用适当方法解下列方程 （1）4（2x-1）2-（x+4）2=0 (2) (x-1)2=3 (3) x2-2x=4 （4）（x－1）2－6（x－1）+9=0
（1）x2－x =0 （2） x2－4x=0 （3）x＋3－x（x＋3）=0 （4）（2x－1）2－x2=0
问：你能用几种方法解方程x2－x = 0？
本题既可以用配方法解，也可以用公式法 来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用 公式法来解。还有其他方法可以解吗？
概括总结 1、你还能用其它方法解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
如何选用解一元二次方程的方法？ 首选因式分解法和直接开平方，其次选 公式法，最后选 配方法
归纳总结
1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解 2. 解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（x+3）2-x（x+3）=0 （2）（2x－1）2=x2 （3）（2x-5）2-2x+5=0
一元一次方程的解法ppt
计算题
谢谢您的观看
THANKS
xx年xx月xx日
一元一次方程的解法
contents
目录
一元一次方程概述一元一次方程的解法步骤举例说明注意事项与总结练习与巩固
01
一元一次方程概述
一元一次方程是一种只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的方程。
定义
一元一次方程是最简单的线性方程，它具有形式简单、求解方法多样、应用广泛等特点。
特点
概念
将方程中未知数的系数化为1。
方法
除以未知数的系数。
系数化为1
03
举例说明
例子
解方程`x^2 - 4x + 4 = 0`
过程
将方程因式分解得到两个一元一次方程`(x - 2)^2 = 0`，直接求解得到未知数的值为`x = 2`
Байду номын сангаас
简单一元二次方程的解法
例子
解方程`x^2 - 6x + 9 = 0`
定义与特点
实际应用
一元一次方程在实际生活中有着广泛的应用，如求解成本、利润、时间等实际问题。
数学基础
一元一次方程是代数和算术的基础，对于掌握高级数学和解决更复杂的问题具有重要意义。
一元一次方程的重要性
历史背景
一元一次方程源于古代数学，经历了不同时期的发展和完善，逐渐形成了现今的形式和求解方法。
发展方向
随着数学研究的不断深入，一元一次方程的应用领域将更加广泛，求解方法也将不断创新和改进。
一元一次方程的历史与发展
02
一元一次方程的解法步骤
概念
将方程中的某一项移到等号另一侧，使方程左右两侧相等。
规则
移项时不要忘记改变符号。
解一元一次方程课件(共20张PPT)人教版初中数学七年级上册
x＝20
（四）例题规范，巩固新知
1.解方程：2x－ 5 x＝6－8 2
解：合并同类项，得－ 1 x＝－2 2
系数化为1，得 x＝4
（三）例题规范，巩固新知
2.解方程：7x－2.5x＋3x－1.5x＝－154－6 3. 解：合并同类项，得 6x＝ 78.
系数化为1，得 x＝ 13.
（四）基础训练，学以致用
还有不同的设法吗？ 还可以列怎样的方程？
方法二：
方法三：
设去年购买计算机x台. 设今年购买计算机x台.
x ＋x＋2x＝140 2
x ＋ x ＋x＝140 42
（三）合作探究，归纳方法
如何将此方程转化为x＝a（a为常数）的形式?
x＋2x＋4x＝140
合并同类项
7 x＝140
系数化为1
等式性质2 理论依据？
1. 什么是同类项？
2.计算：（1）3x-x （2）10x+0.5x （3）7xy-3xy+8ab-2xy-5ab
3.等式的基本性质有哪些？
二．新授
（一）介绍数学史，创设情境
约公元820年，中亚细亚数学家阿尔-花 拉子米写了一本代数书，重点论述怎样 解方程.这本书的拉丁文译本取名为 《对消与还原》.“对消”与“还原”是 什么意思呢？
1.解下列方程：
（1）5 x－2 x＝9 （2）x ＋ 3x ＝7
22 （3）－3 x＋0.5 x＝10
（4）7x－4.5x＝2.5 3－5
例2 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27
81，-243，…。其中某三个相邻数的和-1701，这
三个数各是多少？
解：设所求三个数分别是x,-3x,9x. 由三个数的和是-1701，得
解一元一次方程课件PPT
概念和解题方法。
难度适中原则
根据学生实际水平，设置不同难 度的例题，以满足不同层次学生
的需求。
循序渐进原则
按照知识点难易程度，逐步增加 例题的复杂性和难度，帮助学生
逐步提升解题能力。
学生自主解答环节设计
独立思考
鼓励学生独立思考，自主分析问题，寻找解题思 路。
小组讨论
组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路和方 法，拓展思维。
确定未知数的系数、将系数化为1、 求解化简后的方程。
03 实际应用问题建模
实际问题背景引入
商品打折销售
商店进行打折活动，原价与折扣 后价格的关系。
路程时间速度
物体运动中路程、时间和速度之间 的关系。
配套问题
不同物品之间的数量关系，如螺钉 和螺母等。
建立数学模型过程展示
定义变量
根据实际问题，选择合适 的未知数表示相关量。
下节课预告
提前预告下节课的教学内容，使学生 对学习有持续性和预见性。
作业布置
针对本节课的知识点，布置适当的练 习题，帮助学生巩固所学知识。
1.谢谢聆 听
方程解的应用
总结方程解在实际问题中的应用，如速度、时间、距离等问 题，强化方程解的实际意义。
学生自我评价报告收集
学生对本节课的掌握情况
收集学生对本节课知识点掌握情况的自我评价报告，便于教师了解学生的学习状况。
学生遇到的困难与问题
征集学生在学习过程中遇到的困难和问题，为下节课的教学提供参考。
下节课预告及作业布置
步骤
选定要移动的项、改变移 动项的符号、求解移动后 的方程。
示例
对于方程5x - 3 = 7，将3移至等号右侧得5x = 7 + 3，解得x = 2。
难度适中原则
根据学生实际水平，设置不同难 度的例题，以满足不同层次学生
的需求。
循序渐进原则
按照知识点难易程度，逐步增加 例题的复杂性和难度，帮助学生
逐步提升解题能力。
学生自主解答环节设计
独立思考
鼓励学生独立思考，自主分析问题，寻找解题思 路。
小组讨论
组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路和方 法，拓展思维。
确定未知数的系数、将系数化为1、 求解化简后的方程。
03 实际应用问题建模
实际问题背景引入
商品打折销售
商店进行打折活动，原价与折扣 后价格的关系。
路程时间速度
物体运动中路程、时间和速度之间 的关系。
配套问题
不同物品之间的数量关系，如螺钉 和螺母等。
建立数学模型过程展示
定义变量
根据实际问题，选择合适 的未知数表示相关量。
下节课预告
提前预告下节课的教学内容，使学生 对学习有持续性和预见性。
作业布置
针对本节课的知识点，布置适当的练 习题，帮助学生巩固所学知识。
1.谢谢聆 听
方程解的应用
总结方程解在实际问题中的应用，如速度、时间、距离等问 题，强化方程解的实际意义。
学生自我评价报告收集
学生对本节课的掌握情况
收集学生对本节课知识点掌握情况的自我评价报告，便于教师了解学生的学习状况。
学生遇到的困难与问题
征集学生在学习过程中遇到的困难和问题，为下节课的教学提供参考。
下节课预告及作业布置
步骤
选定要移动的项、改变移 动项的符号、求解移动后 的方程。
示例
对于方程5x - 3 = 7，将3移至等号右侧得5x = 7 + 3，解得x = 2。
一元一次方程ppt课件
学生分享解题思路及经验
分享解题思路
学生分享自己在解题过程中的思 路和方法，帮助其他学生拓宽解
题思路。
交流解题经验
学生交流自己在解题过程中遇到 的困难和经验，促进彼此之间的
学习和进步。
互相评价
学生之间互相评价彼此的解题思 路和方法，提出改进意见和建议
，共同提高解题能力。
06
总结回顾与作业布置
关键知识点总结回顾
绝对值方程分类
根据未知数系数正负性， 将含绝对值一元一次方程 分为两类。
去除绝对值符号
分别探讨两类方程如何去 除绝对值符号，化为一般 形式一元一次方程求解。
含参数一元一次方程解法
参数方程概念
引入参数方程概念，解释 参数对方程解的影响。
参数分类讨论
针对不同参数取值情况， 对方程进行分类讨论，总 结各类情况下解的特点。
02
一元一次方程解法
等式性质法
等式性质
等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
解法步骤
通过运用等式性质，将方程中的未知数项移至等式一侧，常数项移至另一侧，从 而解出未知数。
移项法
移项原理
将方程中的未知数项和常数项分别移至等式两侧，使未知数 项系数化为1。
解法步骤
运用移项原理，逐步将方程中的未知数项和常数项分别移至 等式两侧，从而求解出未知数。
合并同类项法
合并同类项原理
将方程中相同未知数项的系数进行相加或相减，简化方程形式。
解法步骤
通过合并同类项，将方程中的未知数项系数化为1，常数项进行相应计算，从而解出未知数。
03
实际问题中一元一次方程应用
行程问题
路程=速度×时间
通过具体实例，展示如何用一元一次方 程解决行程问题，包括相遇问题、追及 问题等。
一元一次方程课件20张PPT
WENKU DESIGN
代数问题
代数式化简
通过一元一次方程，我们 可以对代数式进行化简， 简化计算过程。
解方程
一元一次方程是解代数方 程的基础，通过解一元一 次方程，我们可以找到代 数方程的解。
方程组求解
利用一元一次方程，我们 可以求解更复杂的方程组， 找到多个未知数的值。
实际问题
比例问题
利润和折扣问题
培养学生对数学的兴趣 和热爱，提高数学素养。
PART 02
一元一次方程的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与形式
定义
一元一次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的次数为1的方程 。
形式
ax + b = 0，其中a和b是已知数， x是未知数。
方程的解与根
解的概念
满足方程的未知数的值称为方程的解。
移项法
总结词
通过将方程两边的同类项进行移动，使得未知数的系数为1，从 而求解未知数。
详细描述
移项法是一元一次方程中最常用的解法之一。具体操作是将含 有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边，使得 未知数的系数为1，从而可以通过简单的除法计算得出未知数的 值。
合并同类项法
总结词
通过将方程两边的同类项进行合并，简化方程的形式，从而更容易求解未知数。
历史背景
一元一次方程是数学中一 个基础而重要的概念，起 源于古代数学，是代数和 数学分析的基础。
重要性
一元一次方程在日常生活 和科学研究中有着广泛的 应用，是解决实际问题的 重要工具。
课程目标
01
掌握一元一次方程的基 本概念和性质。
02
学会解一元一次方程的 方法。
一元一次方程-ppt课件
一元一次方程的应用
问题
方程
解
在10元的基础上，每增加一桶， x+10+(x-1)×2=29
x=9
油的成本增加2元，一共用了
29元，求一桶油的成本。
两列火车相向而行，第一列速
120t+80t=800
t=4
度是每小时120公里，第二列
是每小时80公里，相距800公
里，求两列火车相遇需要多久。
一元一次方程解法的归纳
一元一次方程-ppt课件
本次课程将介绍一元一次方程的基本知识、求解方法及其应用。
一元一次方程定义
定义
一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a和b 是已知数，x是未知数。
基本形式
ax+b=0
解一元一次方程
1
步骤1 ：移项
将b移到方程左侧，得到ax=-b。
2
步骤2 ：消元
将a除到x的一侧，得到x=-b/a。
题目3
2(x-3)=4x+5 解：x=-7
结尾
本次课程为您介绍了一元一次方程的基本知识和实际应用，希望能够对您的 学习或工作有所帮助。
1
移项法
将未知量和常数移到一侧，化简成ax=b的形式，再求解。
2
消元法
将未知量消去，化简成k=b/a的形式，再求解。
课堂练习
难点分析
1 多步骤
解一元一次方程需要掌握多种方法，且需要多个步骤的计算。
2 容易出错
对未知数和常数的计算容易出现错误，需要细心。
3 应用难度大
将实际问题转化为一元一次方程需要较高的抽象和数学能力。
3
步骤3 ：检验
将解代入原方程，检验是否正确。
一元一次方程ppt课件
计算精度要求
因式分解法和配方法相对公式法而言，计算过程较为简单，更适 合对计算精度要求较高的场合。
理解难度
因式分解法和配方法更易于理解，适合初学者学习。
解法的局限性
1 2
公式法的局限性
对于某些特殊形式的一元一次方程，公式法可能 无法求解或求解过程非常复杂。
因式分解法的局限性
对于没有公因子的一元一次方程，因式分解法无 法使用。
03
未知数
一元一次方程中的未知数可以是一个字母，通常表示为 x。
特点
01
02
03
只有一个未知数
一元一次方程只包含一个 未知数 x。
未知数的指数为1
一元一次方程中未知数的 最高次数为1。
方程的解是实数
一元一次方程的解是实数 ，因为它的形式简单，解 容易找到。
示例
2x + 5 = 0
输标02入题
01
总结词
根号的引入使得一元一次方程的解法 变得较为特殊。
详细描述
含根号的一元一次方程通常表示为 ax + b = c√x，其中 a、b、c 是常数。 根号的引入使得方程的解法变得较为 特殊，需要利用根式的性质进行化简 ，并采用特定的方法求解。
一元一次方程的解法总结与比
05
较
三种解法的比较
公式法
01
含绝对值的一元一次方程
总结词
绝对值的引入使得一元一次方程的解法变得相对复杂。
详细描述
含绝对值的一元一次方程通常表示为 f(x) = ax + b |x - c|，其中 a、b、c 是常数 。绝对值的引入使得方程的解法变得相对复杂，需要分情况讨论绝对值内部的正 负情况，从而得到不同的解。
含根号的一元一次方程
因式分解法和配方法相对公式法而言，计算过程较为简单，更适 合对计算精度要求较高的场合。
理解难度
因式分解法和配方法更易于理解，适合初学者学习。
解法的局限性
1 2
公式法的局限性
对于某些特殊形式的一元一次方程，公式法可能 无法求解或求解过程非常复杂。
因式分解法的局限性
对于没有公因子的一元一次方程，因式分解法无 法使用。
03
未知数
一元一次方程中的未知数可以是一个字母，通常表示为 x。
特点
01
02
03
只有一个未知数
一元一次方程只包含一个 未知数 x。
未知数的指数为1
一元一次方程中未知数的 最高次数为1。
方程的解是实数
一元一次方程的解是实数 ，因为它的形式简单，解 容易找到。
示例
2x + 5 = 0
输标02入题
01
总结词
根号的引入使得一元一次方程的解法 变得较为特殊。
详细描述
含根号的一元一次方程通常表示为 ax + b = c√x，其中 a、b、c 是常数。 根号的引入使得方程的解法变得较为 特殊，需要利用根式的性质进行化简 ，并采用特定的方法求解。
一元一次方程的解法总结与比
05
较
三种解法的比较
公式法
01
含绝对值的一元一次方程
总结词
绝对值的引入使得一元一次方程的解法变得相对复杂。
详细描述
含绝对值的一元一次方程通常表示为 f(x) = ax + b |x - c|，其中 a、b、c 是常数 。绝对值的引入使得方程的解法变得相对复杂，需要分情况讨论绝对值内部的正 负情况，从而得到不同的解。
含根号的一元一次方程
一元一次方程 课件ppt
例子：例如，解方程 2x + 5 = 7，首先移项得 2x = 7 - 5，然后合并同类项得 2x = 2，最后系数化为1得 x = 1。
图像法
定义：图像法是一种通过绘制函数图像来解一元一次方 程的方法。 1. 确定函数：根据方程的形式确定表示该方程的函数。
3. 标记解：在图像上标记交点的坐标，即为方程的解。
型，例如成本、价格、利润等问题的计算。
物理问题的数学模型建立
03
在物理领域中，一元一次方程可以用于建立各种问题的数学模
型，例如速度、加速度、时间等问题的计算。
04
一元一次方程的变式
移项
概念
移项是将方程中的项改变符号后 移动到另一边的过程。
目的
通过移项，将方程中的未知数系 数变为正数，以便更容易求解。
步骤
2. 绘制图像：绘制函数的图像，将坐标轴上的交点作 为方程的解。
例子：例如，解方程 x + 2 = 5，确定函数为 y = x + 2，绘制图像后，交点为 (3,5)，因此方程的解为 x = 3 。
实际应用法
定义：实际应用法是一种通过实际应用案例来解一元一次 方程的方法。
步骤
1. 分析问题：分析实际问题中涉及到的变量和关系。
2. 建立方程：根据实际问题建立一元一次方程。
3. 解方程：通过解方程得到未知数的值，解决实际问题 。
例子：例如，解方程 3x + 2 = 14，分析问题为求解 x 的 值使得 3x + 2 = 14，建立方程为 3x + 2 = 14，解方程 得 x = 4。因此，x 的值为4。
03
一元一次方程的应用
THANKS
感谢观看
06
一元一次方程的注意事项和易错点
图像法
定义：图像法是一种通过绘制函数图像来解一元一次方 程的方法。 1. 确定函数：根据方程的形式确定表示该方程的函数。
3. 标记解：在图像上标记交点的坐标，即为方程的解。
型，例如成本、价格、利润等问题的计算。
物理问题的数学模型建立
03
在物理领域中，一元一次方程可以用于建立各种问题的数学模
型，例如速度、加速度、时间等问题的计算。
04
一元一次方程的变式
移项
概念
移项是将方程中的项改变符号后 移动到另一边的过程。
目的
通过移项，将方程中的未知数系 数变为正数，以便更容易求解。
步骤
2. 绘制图像：绘制函数的图像，将坐标轴上的交点作 为方程的解。
例子：例如，解方程 x + 2 = 5，确定函数为 y = x + 2，绘制图像后，交点为 (3,5)，因此方程的解为 x = 3 。
实际应用法
定义：实际应用法是一种通过实际应用案例来解一元一次 方程的方法。
步骤
1. 分析问题：分析实际问题中涉及到的变量和关系。
2. 建立方程：根据实际问题建立一元一次方程。
3. 解方程：通过解方程得到未知数的值，解决实际问题 。
例子：例如，解方程 3x + 2 = 14，分析问题为求解 x 的 值使得 3x + 2 = 14，建立方程为 3x + 2 = 14，解方程 得 x = 4。因此，x 的值为4。
03
一元一次方程的应用
THANKS
感谢观看
06
一元一次方程的注意事项和易错点
一元一次方程及其解法ppt
将未知数的系数相加，常数项相加，变成 一个未知数等于一个整数的形式。
移项
将方程中的未知数移到等号的一边，常数 项移到等号的另一边，变成一个未知数等 于一个整数的形式。
02
常见的几种一元一次方程
整式方程
含有整式未知数 未知数的次数为1
最高项的次数为1
一次方程
未知数的次数为1
常数项不为0
最高项的次数为1
代数方程的求解
一元一次方程是代数方程中最简单的一种，通过一元一次方 程的求解方法可以解决许多代数方程的求解问题。
线性规划问题
在数学规划中，线性规划是最简单的一种，可以将其转化为 标准形式的一元一次方程组，然后通过求解方程组得到最优 解。
05
一元一次方程的练习题及解答
练习题
方程3x+5=0的解是：x=5/3 方程5x-10=0的解是：x=10/5ຫໍສະໝຸດ 一元只有一个未知数。
一次
未知数的次数为1。
一元一次方程的性质
方程中只含有一个 未知数。
方程两边等式成立 。
未知数的次数为1。
一元一次方程的解法
去分母
将方程中的分母去掉，变成整数方程。
化简
将方程进一步化简成一个最简形式，未知 数的系数和常数项都比较简单。
去括号
将方程中的括号去掉，变成整数方程。
合并同类项
04
实际应用中的一元一次方程
物理中的应用
匀速直线运动的速度与时间的关系
一元一次方程可以用来描述物体在匀速直线运动中速度与时间的关系，例如 公式`v = 5m/s`可以表示物体以每秒5米的速度运动。
简单机械中的杠杆平衡条件
根据杠杆平衡条件，可以得到一元一次方程，例如在应用杠杆平衡条件解题 时，可以列出方程l1 × F1= l2 × F2。
移项
将方程中的未知数移到等号的一边，常数 项移到等号的另一边，变成一个未知数等 于一个整数的形式。
02
常见的几种一元一次方程
整式方程
含有整式未知数 未知数的次数为1
最高项的次数为1
一次方程
未知数的次数为1
常数项不为0
最高项的次数为1
代数方程的求解
一元一次方程是代数方程中最简单的一种，通过一元一次方 程的求解方法可以解决许多代数方程的求解问题。
线性规划问题
在数学规划中，线性规划是最简单的一种，可以将其转化为 标准形式的一元一次方程组，然后通过求解方程组得到最优 解。
05
一元一次方程的练习题及解答
练习题
方程3x+5=0的解是：x=5/3 方程5x-10=0的解是：x=10/5ຫໍສະໝຸດ 一元只有一个未知数。
一次
未知数的次数为1。
一元一次方程的性质
方程中只含有一个 未知数。
方程两边等式成立 。
未知数的次数为1。
一元一次方程的解法
去分母
将方程中的分母去掉，变成整数方程。
化简
将方程进一步化简成一个最简形式，未知 数的系数和常数项都比较简单。
去括号
将方程中的括号去掉，变成整数方程。
合并同类项
04
实际应用中的一元一次方程
物理中的应用
匀速直线运动的速度与时间的关系
一元一次方程可以用来描述物体在匀速直线运动中速度与时间的关系，例如 公式`v = 5m/s`可以表示物体以每秒5米的速度运动。
简单机械中的杠杆平衡条件
根据杠杆平衡条件，可以得到一元一次方程，例如在应用杠杆平衡条件解题 时，可以列出方程l1 × F1= l2 × F2。
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11
1.方程（2x+1）(x+2)=6中， a= 2_.b=__5__.c= -3 _； b2 4ac ___4_9_____. 2.已知x=2是方程 x2-4x-c=0的一个根,则c= _-4_.
12
3.解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0;
15
4 4x2 6x0
解： a 4, b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3. 2
16
5 x2 4 x 84 x 1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0, c 3.
b2 4ac 02 41 3 12.
x b
b2 4 α c 2α
这就是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且b2-4ac≥0）的求根公式。
6
由上可知，一元二次方程
a x 2 b x c 0（ a 0 ） .
的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，
解一元二次方程时，可以先将方程化为一 般形式ax2bxc0 ，当 b24ac0时，
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2
此时，方程有两个不相等的实数解。
9
例 解方程： x232 3x
解：化简为一般式： x22 3x30
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,
x22 310223 3,
即：x1= x2= 3
∴x=
=
=
即 x1= - 3 x2=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a， b，c的值。求出b2-4ac的值。
2、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
3、写出方程的解：
x1=?, x2=?
8
例 解方程：x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 x2 3.
17
6 x 2 x 4 5 8 x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 .
a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
x1
2 2
14 , x2
5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1, b 1, c 6.
b2 4ac 12 41 6 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
13
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
此时，方程的两个实数根相等。
10
例 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8. ∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0, ∴x没有实数解。。此时方程没有实数解。
20
21
a
a
左边配方，得
x2b ax2ba22ba2a c0
即
x2ba2
b2 4ac 4a2
0
4
因为a≠0,4a2≥0.
当b2-4ac≥0时
x2ba2
b2 4ac 2 2a
达 到
两边开平方得
降
x b b2 4ac 次
2a
2a
即
x b b2 4ac
2a
5
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac≥0时，它的根是：
第17章 一元二次方程
1
用配方法解下列一元二次方程 （1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
2
探究： 如何解一般的5 一元二次方程 ax2+bx+c4=0(a≠0)呢？
3
ax2+bx+c=0(a≠0)
因为a≠0，方程两边都除以a，得
x2 b x c 0
2 2
14 .
18
由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 X=
19
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式， 并写出a，b，c的
值。 2.求出b2-4ac的值。 3.代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4.写出方程的解： x1=?, x2=?
将a、b、c代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方
程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫
做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多
有两个实数根．
7
例1.用公式法解方程： 2x2+5x-3=0 解: a=2，b=5 ，c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3) =49
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
14
3 3x2 6x20
解： a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15 x1 3 , x2 3 .
1.方程（2x+1）(x+2)=6中， a= 2_.b=__5__.c= -3 _； b2 4ac ___4_9_____. 2.已知x=2是方程 x2-4x-c=0的一个根,则c= _-4_.
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3.解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0;
15
4 4x2 6x0
解： a 4, b 6, c 0.
b2 4ac 62 4 4 0 36.
6
x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3. 2
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5 x2 4 x 84 x 1 1
解：化为一般式 x2 3 0 .
a 1,b 0, c 3.
b2 4ac 02 41 3 12.
x b
b2 4 α c 2α
这就是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且b2-4ac≥0）的求根公式。
6
由上可知，一元二次方程
a x 2 b x c 0（ a 0 ） .
的根由方程的系数a，b，c 确定．因此，
解一元二次方程时，可以先将方程化为一 般形式ax2bxc0 ，当 b24ac0时，
x7211217211,
即：x1=9, x2= -2
此时，方程有两个不相等的实数解。
9
例 解方程： x232 3x
解：化简为一般式： x22 3x30
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,
x22 310223 3,
即：x1= x2= 3
∴x=
=
=
即 x1= - 3 x2=
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a， b，c的值。求出b2-4ac的值。
2、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
3、写出方程的解：
x1=?, x2=?
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例 解方程：x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 x2 3.
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6 x 2 x 4 5 8 x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 .
a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
x1
2 2
14 , x2
5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1, b 1, c 6.
b2 4ac 12 41 6 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
13
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
此时，方程的两个实数根相等。
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例 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8. ∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0, ∴x没有实数解。。此时方程没有实数解。
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a
a
左边配方，得
x2b ax2ba22ba2a c0
即
x2ba2
b2 4ac 4a2
0
4
因为a≠0,4a2≥0.
当b2-4ac≥0时
x2ba2
b2 4ac 2 2a
达 到
两边开平方得
降
x b b2 4ac 次
2a
2a
即
x b b2 4ac
2a
5
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac≥0时，它的根是：
第17章 一元二次方程
1
用配方法解下列一元二次方程 （1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
2
探究： 如何解一般的5 一元二次方程 ax2+bx+c4=0(a≠0)呢？
3
ax2+bx+c=0(a≠0)
因为a≠0，方程两边都除以a，得
x2 b x c 0
2 2
14 .
18
由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 X=
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用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式， 并写出a，b，c的
值。 2.求出b2-4ac的值。 3.代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4.写出方程的解： x1=?, x2=?
将a、b、c代入式子 x b b2 4ac
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方
程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫
做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多
有两个实数根．
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例1.用公式法解方程： 2x2+5x-3=0 解: a=2，b=5 ，c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3) =49
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4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
14
3 3x2 6x20
解： a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15 x1 3 , x2 3 .