材料失效准则详解

Chapter 2 材料失效理論(Material Failure Theories)

資料來源

1. 吳嘉祥等譯，機械元件設計，第八版，高立圖書有限公司，台北縣，2006，

2. Robert L. Norton, Machine Design An Integrated Approach, 3rd Edition, Pearson Prentice Hall, Person Education Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2006.

1. 材料分類 [1]

延性材料 (Ductile Materials)

● 材料受力延長量(應變)可達5% (或以上)

● 材料對滑動(Slip)之阻抗＜對斷裂(Fracture)之阻抗

●

Material Failure (材料失效)因降伏(Yielding)而發生，此時應力到達Yielding Stress (降伏強度或Yielding Strength) ●

多數延展性材料：σyield 拉伸 ≅ σyield 壓縮

脆性材料 (Brittle Materials)

● 材料受力伸長量無法達到5%，(材料在應變到達5%前即已失效) ● 材料的斷裂阻抗＜滑動阻抗

●

Material Failure 因斷裂而發生，此時應力到達Ultimate Stress (極限強度或Ultimate Strength)

●

多數脆性材料：σu 拉伸 < σu 壓縮

2. 延展性材料的材料失效理論(Failure Theories of Ductile Materials) [1] (a)最大法向應力失效理論(Max. Normal Stress Failure Theory) =>若不符合以下三個不等式關係中任何一個，即為Failure

fs ypt 1fs ypc N S N S ≤

≤σ (1a) fs ypt 2fs ypc N S N S ≤

≤σ (1b) fs

ypt 3fs

ypc N S N S ≤

≤σ (1c)

上式中，σ1, σ2, σ3為主應力(Principle Stress)，下標t 代表tension (拉伸)、下標c 代表compression (壓縮)，其他符號： ．上式應用於延性材料

S ypt ：拉伸降伏強度、S ypc ：壓縮降伏強度、N fs ：安全係數 ．應用於脆性材料

S ypt 改為S ut (拉伸極限強度)、S yp c 改為S uc (壓縮極限強度)、N fs ：安全係數

(b)最大應變能失效理論(Max. Strain Energy Failure Theory) 應變能(Strain Energy)常用U 代表之。

U = 應力所做之功 = 內力所做之功 ()xdydz dV dV,2

1

U zx zx yz xy y y x x =γτ+γτ+εσ+εσ⎰=

dx, dy, dz 為物體內一個小立方體之尺寸，dv 為此小立方的體積， 故dv=dxdydz

若以主應力來計算：

()dxdydz

2-2E

1U 3132212

32

22

1σσσσσσνσσσ++++⎰=

定義：單位體積的應變能為u, 故 dv

U u =

故()

[]1332212

32

221

2-2E

1u

σσσσσσνσσσ

++++=

若物體在(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力試驗中，則在發生Failure 時的單位體積應變能為

()2yp

yp S 2E

1U =

S yp ：在單軸向測試中發生Failure 時之應力強度

加上安全係數N fs 因素後： * 若2

fs

yp 1yp

)

N S (

2E

1U

U

=

≤，則不發生Failure ，

亦即， * 若滿足

()2

fs

2

yp 133222

32

22

1N S 2-1

≤

++++σσσσσσνσσσ， (2)

則不會因應變能過高而Failure ，(未達因應變過高而Failure 之條件)

(c)最大畸變能Failure Theory (V on Mises-Hencky 理論)

dy dx dz

畸變能(Distortion Energy), u d ,又稱剪應變能(Shear-Strain Energy) 單位體積應變能(u ) =單位體積應變能(u v ) +單位剪應變能(u d )

定義()321v

3

1σ+σ+σ=

σ，而與

σv 對應的應變為εv ，σv

造成之應變能(u v )為：

()()()()

2

321

v v v v

v v v v v 321v E

6212

3u E 2-12331

23.21

u σ+σ+σν-=

εσ=

∴σν=εεσεσσσ=ε⋅σ+σ+σ=

＝．

＋＋．３２１

附註：上式中υ代表浦松比，下標v 代表體積。

但

()

[]1332212

32

22

1

221σσσσσσνσσσ

++-++=

E

u

∴()1

332212

32221

v d E

31u u u σσ-σσ-σσ-σ+σ+σ

ν+=

-=

(3a)

在材料測試中，僅(1, 2, 3三個主應力方向中的)單一軸向受力，若軸向應力強度達S yp 時，發生Failure ，此時的畸變能為

()2

yp

yp

d S 3E

1u ν+=

(3b)

由3a 與3b 兩式可做以下結論：

若要求不因剪應變能(畸變能)過高，而造成Failure ，需有以下條件

2

yp 133221232221S ---≤++σσσσσσσσσ

若再加入安全係數之考量，則不發生Failure 之條件為：

2

fs yp

13322

12

32

22

1N

S ---⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≤++σσσσσσσσσ (3)

(d)最大剪應力Failure 理論(Max. Shear Stress Failure Theory 又稱Tresca-Guest

⎪⎩⎪⎨⎧σ+σ=σσ+σ=σσ+σ=σ'

3v 3

'2

v 2'1

v 1主應力 造成體積應變之應力

剪應力