离散数学习题的答案解析

离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解：p=1，q=1，r=0，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：q20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：)r 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→ 结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝ 结论：p ⌝证明：用归谬法① p 结论的否定引入 ② p q →⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入⑤ r ⌝ ③④析取三段论 ⑥ r s ∧⌝ 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。

A 曾到过受害者房间。

如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。

看门人没有看见他。

所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。

则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝ 结论：r 证明：① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入 ⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理习题四及答案：（P65-67）5、在一阶逻辑中将下列命题符号化： （2）有的火车比有的汽车快。

解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：(()()(,))x y F x G y H x y ∃∃∧∧（3）不存在比所有火车都快的汽车。

解：方法一：设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝方法二：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→9、给定解释I 如下：(a) 个体域为实数集合R 。

(b) 特定元素0a-=。

(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈。

(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R --=<∈。

给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ∀∀→解：解释是：(0)x y x y x y ∀∀-=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x<y 。

该公式在I 解释下的真值为假。

14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧解：取解释I 如下：个体域为全总个体域，()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1；取解释'I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释'I 下真值是0；故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。

此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。

习题五及答案：（P79-81）5、给定解释I 如下： (a) 个体域D={3,4}(b)():(3)4,(4)3f x f f ---==(c) (,):(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3)1F x y F F F F -----==== 试求下列公式在I 下的真值： (1) (,)x yF x y ∀∃解：方法一：先消去存在量词(,)((,3)(,4))x yF x y x F x F x ∀∃⇔∀∨((3,3)(3,4))((4,3)(4,4))F F F F ⇔∨∧∨(01)(10)⇔∨∧∨1⇔15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （3）前提：(()())x F x G x ∀∨，()xG x ⌝∃ 结论：()xF x ∃ 证明：① ()xG x ⌝∃ 前提引入 ② ()x G x ∀⌝ ①置换 ③ ()G c ⌝ ②UI 规则 ④ (()())x F x G x ∀∨ 前提引入 ⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论 ⑦ ()xF x ∃ ⑥EG 规则*22、在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：ξ（2）凡大学生都是勤奋的。

王晓山不勤奋。

所以王晓山不是大学生。

解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：(()())⌝G c∀→，()x F x G x结论：()⌝F c证明：①(()())∀→前提引入x F x G x②()()→①UI规则F cG c③()G c⌝前提引入④()⌝②③拒取式F c25、在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：ξ每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且是聪明的。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海则前提：(()())F c H c∀∧→，()()∧x F x G x∀→，(()()())x G x H x I x结论：()I c证明：①()()∧前提引入F c H c②()F c①化简③()H c①化简④(()())x F x G x∀→前提引入⑤()()→④UI规则F cG c⑥()G c②⑤假言推理⑦()()∧③⑥合取引入G c H c⑧(()()())∀∧→前提引入x G x H x I x⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理习题六及答案（P99-100）28、化简下述集合公式：（3）(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂ 解：(())(())(())(())A B C A B C A B C A B C --⋃-⋂⋃⋂-⋂⋂()()A B A B =-⋃⋂A =30、设A,B,C 代表任意集合，试判断下面命题的真假。

如果为真，给出证明；如果为假，给出反例。

（6）()A B A B ⋃-=解：该命题为假，()A B A B A ⋃-=-，如果B A ⋂=∅，则B A B -=，否则B A B -≠，故B A B -=为假。

举反例如下：{1,2},{1,3},A B ==则(){3}A B A B ⋃-=≠。