离散数学习题的答案解析

离散数学习题答案

习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化：

（5）李辛与李末是兄弟

解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p

（6）王强与刘威都学过法语

解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧

（9）只有天下大雨，他才乘班车上班

解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了

解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→

15、设p ：2+3=5.

q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值：

（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解：p=1，q=1，r=0，

()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，

(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔ ()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔

19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →⌝→⌝

解：列出公式的真值表，如下所示：

q

20、求下列公式的成真赋值：

（4）()p q q ⌝∨→

解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：

()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨

⇔⎩⇒0

p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧

解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧

()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。

*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨

解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨

解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧

13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，

2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式：

（1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：

)

r 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨

习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→ 结论：s 证明：

① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入

⑦ s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：

（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →

证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入

② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝ 结论：p ⌝

证明：用归谬法

① p 结论的否定引入 ② p q →⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入

⑤ r ⌝ ③④析取三段论 ⑥ r s ∧⌝ 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取

由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。

则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝ 结论：r 证明：

① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入

⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入 ⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理

习题四及答案：（P65-67）

5、在一阶逻辑中将下列命题符号化： （2）有的火车比有的汽车快。

解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：

(()()(,))x y F x G y H x y ∃∃∧∧

（3）不存在比所有火车都快的汽车。 解：方法一：

设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：

(()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝

方法二：

设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是：

(()(()(,)))x G x y F y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x y G x F y H x y ⌝∃∀∧→

9、给定解释I 如下：

(a) 个体域为实数集合R 。 (b) 特定元素0a

-

=。

(c) 函数

(,),,f x y x y x y R -

=-∈。

(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R -

-

=<∈。

给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：

（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ∀∀→

解：解释是：(0)x y x y x y ∀∀-

=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x

该公式在I 解释下的真值为假。

14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式： （1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧

解：取解释I 如下：个体域为全总个体域，

()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1；

取解释'

I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释'

I 下真值是0；