数值分析6.2_不动点迭代法及其收敛定理

(2) 存在一正数L,满足0 L 1,且x [a, b], 有
|(x)| L
--------(5)
则1o. 方程x ( x)在[a, b]内有唯一解x *
2o.对于任意初值x0 [a, b], 迭代法xk1 ( xk )均收敛于x *
3o.
xk
x*
L 1 L
xk xk1
4o.
xk
x*
Lk 1 L
(n
( xn
) )
(
x
*
xn
)2
注意到ξn 在xn 及x*之间,及 lim xn x* ,故 n
xn1 x*
f"(n )
f"( x* )
xn x* 2 2 f' ( xn ) 2 f' ( x* )
0(二阶收敛)若 f "(x*) 0
0(大于二阶收敛)若 f "(x*) 0
所以，Newton法至少二阶收敛.
)
xk 1
x
*
( xk
x*)( 1
mg (xk
)
g(xk ) (xk x*)g(xk
) )
lim xk 1 x * k xk x *
lim(1
g(xk )
)
k mg ( xk ) ( xk x*)g( xk )
1 1 m
m 2时,1 1 0 m
由定义1
该迭代法对 m( 2)重根是线性收敛的
(1) x 2 x3 1 1( x ) ,迭代法发散.
(2)
x3
x 1 2
2( x ),可验证2( x )
1,x 0,1
迭代法收敛.
Newton 迭代法
1. Newton迭代公式建立
将f(x)在点xn作Taylor展开:
f (x)
f ( xn )
f '( xn )( x xn )
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(6)式,只要
L 1L
xk xk 1
因此,当
xk
xk 1
1 L
L
--------(8)
迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
定义1：如果存在x* 的某个邻域 R : x x* ， 使迭代过程
xk1 (xk ) 对于任意初值 x0 R均收敛，则称迭代过程 xk1 (xk ) 在根 x* 邻近具有局部收敛性。
第6章 方程与方程组的迭代解法 § 6.2 不动点迭代法及其收敛定理
一、迭代法原理
将非线性方程 f (x) = 0 化为一个同解方程
x (x)
--------(2)
并且假设 (x)为连续函数
任取一个初值 x0 , 代入(2)的右端,得
x1 ( x0 )
继续
x 2 (x 1 )
xk 1 ( xk ) (k 0,1,2,)--------(3)
例4. 设f (a) 0,且f (a) 0,证明迭代法
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
至少是平方收敛的
注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?
)2
xn1
f"(n
2 f' ( xn
) )
(
x
*
xn
)2
注意到ξn 在xn 及x*之间,及
lim xn x*
n
,故
lim | xn1 x* | c (c 0) n xn x* |p
x*
xn
f ( xn ) f' ( xn )
f" 2 f'
(n
( xn
) )
(
x
*
xn
)2
xn1
f" 2 f'
则称迭代法p阶收敛,当p 1时称为线性收敛, p 1时
称为超线性收敛, p 2时称为平方收敛
显然, p越大,收敛速度也就越快
那么,如何确定 p,从而确定收敛阶呢？
如果迭代函数( x)在精确解x *处充分光滑,
即处处可导
将(x)在x * 作Taylor展开,有 (x) (x*) (x*)(x x*) (x*) (x x*)2
f
( xn 2!
)
(
x
xn
)2
f ( x) f ( xn ) f '( xn )( x xn ) ——Taylor展开线性化
f(x)=0 近似于 f(xn)+ f′(xn)(x-xn)=0 (1)
从(1)解出x, 记为xn+1 ,则
xn1 xn
f ( xn ) f ( xn )
(n 0,1,...)
(2)
它对应的迭代方程为 x x f (x) 显然是
f (x)
f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
( f (x) 0)
在 f(x)=0的根 x* 的某个邻域R( x )内f, (x) 0
f (x) • f (x)
(x) f (x)2 L 1
在 x* 的邻域R 内，对任意初值 x0，应用公式
（2）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它
是解代数方程和超越方程的有效方法之一.
2. Newton迭代法的几何意义
用f(x)在 xn 处的切线
y f ( xn ) f '( xn ) ( x xn ) 与x轴(y=0)的交点x,作为下一个迭代点xn+1 ,即
y (x)
O x * x2
x1
(
x0
x
)在x
*
O
x1
附近较平缓
y (x)
yx
x3 x * x2 x0
yx
发散
y (x)
O x2
x1 x0 x *
O
x3 x1 x * x0 x2
(x)在x * 附近较陡峭
迭代过程的收敛性 定理1. 设迭代函数( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a, b]时, a ( x) b;
且g(x*) 0, m 2
所以 f ( x) m(x x*)m1 g(x) (x x*)m g(x)
xk 1 xk
f (xk ) f (xk )
xk
m( xk
( xk x*)m g( xk ) x*)m1 g( xk ) ( xk x*)m g( xk )
xk
( xk x*)g(xk ) mg ( xk ) (xk x*)g(xk
由于|( x)| L
xk 1 xk L xk xk1
xk1 xk L xk xk 1
xk1 x * L xk x * L xk1 x * (xk1 xk )
L xk1 x * L(xk1 xk )
xk 1
x
*
1
L L
xk 1 xk
xk
x
*
L 1L
xk xk 1
0 ex 1, 2 10x 2
因此[0,0.2]为有根区间
本题迭代函数有两种构造形式
x
1(x)
2 ex 10
x 2(x) ln(2 10x)
由于|1( x)|
ex 10
e0.2 10
1
|2 ( x)|
2
10 10x
5
因此采用迭代函数
x
1(x)
2 ex 10
取初值
x0
x1
0
定理2
若x*是的不动点, 在x*的某邻域上存在 且连续, 并满足 0 | (x*) | 1, 则迭代过程 xk1 (xk ) 在x*的邻域是线性收敛的.
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数 点后6位
ex 10x 2 0 解: 由于ex 0,
则2 10x 0 x 0.2
x 0时,
f '' ( x*) 2 f '(x*)
c
证：将f(x)在 xn 处作2阶Taylor展开,并将解x*代入
0
f ( x*)
f ( xn )
f' ( xn )( x* xn )
f"(n
2!
)
(ห้องสมุดไป่ตู้
x*
xn
)2
x*
xn
f ( xn ) f' ( xn )
f"(n
2 f' ( xn
) )
(
x
*
xn
lim
x
( xk1 x*) ( xk x*)2
f "(x*) 2 f '(x*)
例3. 设x * 是方程f (x) 0的m( 2)重根,证明迭代法
xk 1 xk
f (xk ) f (xk )
为线性收敛
证明: 因为x * 是方程f (x) 0的m重根,故
f (x) (x x*)m g(x)
x1 x0
(局部收敛性)
--------(6)
--------(7)
证: 设f ( x) x ( x),
则f ( x)在[a,b]上连续可导
由条件(1) f (a) a (a) 0
f (b) b (b) 0
由根的存在定理,
方程f (x) 0在[a,b]上至少有一个根
证: 由 |(x)| L 1 f (x) 1 (x) 0
L2 1L
xk 1 xk 2
Lk 1L
x1 x0
由于L 1,
lim(
k
xk
x*)
0
因此对任意初值 x0 ,迭代法xk 1 (xk )均收敛于 x *
xk
x
*
L 1L
xk
xk 1
Lk 1L