数据结构——图
数据结构--图重点
DFSTree(G, w, q, visited);
生成森林：不完全图中的各个连通分量的生成树，构成图的生成森林
二、存储结构
顶点：可采用链表或数组存储顶点列表，一般采用链表存储
边：1.邻接矩阵（数组）
a.无向图：对称阵，可采用矩阵压缩存储方式。A[i][j] = 0表示 和 没有连接；A[i][j]= 1表示 和 有边连接；第i行的和表示顶点 的度
b.有向图：不对称阵。 表示顶点 到 的有向弧的权值； 表示表示顶点 到 没有弧连接或者i = j
enQueue(Q, w);
}
w = getNextNeighbor(G, v, w);
}
}
delete[] visited;
}
四、图的连通性问题（无向图）
1.深度优先生成树（深度优先搜索形成），广度优先生成树（广度优先搜索形成）
深度优先生成森林算法：
void DFSForest(Graph G, CSTree& T) {
CSTree q=null;
int n = G.vexnum;
bool* visited = new bool[n];
for(int i = 0; i < n; i++)visited[i] = false;
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (!visited[v]) {
}
}
}
深度优先生成树算法：
void DFSTree(Graph G, int v, CSTree T, bool& visited[]){
visited[v] = true;
天大《数据结构》学习笔记五
主 题： 《数据结构》学习笔记内 容：《数据结构》学习笔记五——图一、图的概念：1、术语：有向图，无向图，子图，顶点，边，弧，邻接点，出度，入度，路径，连通图。
2、图的存储：2.1邻接矩阵：0 1 1 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 0 1 0 10 0 0 1 0 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 0 00 1 1 0 02.2邻接表：2 3 ^4 ^1 ^Struct node{int data;struct node *next;}struct node V[n+1];3、程序：3.1已知邻接表，建立邻接矩阵。
{……for(I=1;I<=n;I++)for(j=1;j<=n;j++)w[I][j]=0;for(I=1;I<=n;I++){p=v[I].next;while(p){j=p->data;w[I][j]=1;p=p->next;}}}3.2已知邻接矩阵，建立邻接表。
{……for(I=1;I<=n;I++)v[I].next=0;for(I=1;I<=n;I++)for(j=1;j<=n;j++)if (w[I][j]= =1){p=(……)malloc(……)；p->data=j;p->next=v[I].next;v[I].next=p;}}1、广度优先遍历1.1作法:(i)初始化(打印,加标记,进队)(ii)出队.(J)(iii)扫描(J)链,遇未访问点,则打印,加标记,进队.返回ii,直至队空.1.2 结果:2、深度优先遍历：2.1作法:从某点进入,打印,加标记,扫描此链:如没遇到未访问点,则返到原转来点.算法结束于进入点那个链的链尾.2.2 结果:1,2,4,8,5,3,6,73、广度优先程序：bfs(I)int I;{……f=0; r=0;for(t=1;t<=n;t++)v[t].data=0;printf(“%d”,I);v[I].data=1;r++; q[r]=I;while(f!=r){f++; j=q[f];p=v[j].next;while(p){k=p->data;if(v[k].data= =0){printf(“%d”,k);v[k].data=1;r++;q[r]=k;}p=p->next;}}}4、深度优先程序：dfs(I)int I;{……v[I].data=1;printf(“%d”,I);p=v[I].next;while(p){j=p->data;if(v[j].data= =0)dfs(j);p=p->next;}}三、最小生成树：1、解法11.1问题：选哪几条边，使得（I）能连到各点（II）边长之和最小？1.2思路：i. 从当前点集的发出边中选最小者，打印。
数据结构第七章：图
例
a c G1
b d
vexdata firstarc adjvex next 1 4 ^ a 2 3 4 b c d 1 1 3 ^ ^ ^
19
7.3 图的遍历
深度优先遍历(DFS) 深度优先遍历
方法：从图的某一顶点 出发，访问此顶点； 方法：从图的某一顶点V0出发，访问此顶点；然后依 次从V 的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图， 次从 0的未被访问的邻接点出发，深度优先遍历图， 直至图中所有和V 相通的顶点都被访问到； 直至图中所有和 0相通的顶点都被访问到；若此时图 中尚有顶点未被访问， 中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未被访问的顶 点作起点，重复上述过程， 点作起点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访 问为止。 问为止。
ω ij , 若(v i , v j )或 < v i , v j >∈ E(G) A[i, j ] = 0，其它
11
例
1 3
5
2
8 4 7 5 1 6 3 4 2
0 5 7 0 3
5 0 0 4 8
7 0 0 2 1
0 4 2 0 6
3 8 1 6 0
12
关联矩阵——表示顶点与边的关联关系的矩阵 表示顶点与边的关联关系的矩阵 关联矩阵
1
7.1 图的定义和术语
是由两个集合V(G)和E(G)组成的 组成的, 图(Graph)——图G是由两个集合 图 是由两个集合 和 组成的 记为G=(V,E) 记为
其中： 其中：V(G)是顶点的非空有限集 是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对 是边的有限集合， 是边的有限集合
有向图——有向图 是由两个集合 有向图G是由两个集合 有向图 有向图 是由两个集合V(G)和E(G)组成的 和 组成的
数据结构-图
出发点，访问D，标注数字序号④；
（a）无向图 G9
（b）深度优先遍历
图的遍历
3.1图的深度优先遍历
接着到G，访问G， 标注数字序号⑤；G 相邻顶点都访问过了，顺着虚线箭头方向
回退到 D，D 相邻顶点都访问过了，顺着虚线箭头方向回退到C，C 相邻顶点也都访问过
图的基本概念
1.2图的操作定义
02
PART
图的存储结构
2.1邻接矩阵
首先介绍的是数组表示法，即用两个数组分别存储顶点的信息和顶点之间的关系。
用来存放图中 n 个顶点的数组称为顶点数组。我们可将图中顶点按任意顺序保存到顶点数组中，
这样按存放次序每个顶点就对应一个位置序号（简称位序），依次为0～n-1；接着用一个 n×n 的二维
称为有向图。例如，当V={v1,v2,v3,v4,v5}，VR={<v1,v2>,
<v1,v4>,<v2,v4>,<v3,v1>,<v3,v5>,<v4,v3>,<v5,v4>}，则顶点集合
V、关系集合VR 构成有向图G1=(V,VR)，如图（a）所示。
图的基本概念
1.1图的定义与基本术语
无向图（Undirected Graph）。如果顶点间的关系是无
序号作为表结点的值，所以一条弧对应一个表结点。右图为有向图 G1
和无向图 G2的邻接表表示法存储示意图。
图的存储结构
2.2邻接表
对于有向网和无向网，由于表结点表示边或弧，因此需要对表结点扩充一个属性域，表
结点至少包含顶点序号、权值和下一表结点指针 3 个属性，由此构成网的邻接表。
数据结构图结构(动态PPT)课件
结合实际问题
将数据结构图与实际问题相结合，通过分析问题的本质和 规律，选择合适的数据结构和算法进行求解。
创新应用方式
在传统的数据结构图应用基础上，探索新的应用方式和方 法，如基于数据结构图的机器学习模型、数据结构图在社 交网络分析中的应用等。
跨学科融合
将数据结构图与其他学科领域进行融合，如物理学、化学 、生物学等，通过借鉴其他学科的理论和方法，创新数据 结构图的应用场景和解决方案。
包括无向图、有向图、权 重图、邻接矩阵、邻接表 等。
图的遍历方法
深度优先搜索（DFS）和 广度优先搜索（BFS）的 原理和实现。
非线性数据结构图应用案例
树的应用案例
包括二叉搜索树、堆、哈夫曼树等在实际问题中的应用，如排序、优先队列、 编码等。
图的应用案例
包括最短路径问题（Dijkstra算法、Floyd算法）、最小生成树问题（Prim算法 、Kruskal算法）以及网络流问题等在实际问题中的应用，如交通网络规划、电 路设计等。
根据实际需求，选择适合的最小生 成树算法，如Prim算法、Kruskal算
法等。
B
C
D
可视化呈现结果
将算法的运行过程和结果以图形化的方式 呈现出来，方便用户直观地理解和掌握最 小生成树算法的原理和实现过程。
实现算法逻辑
编写代码实现最小生成树算法的逻辑，包 括节点的选择、边的添加和权重的计算等 。
拓展思考：如何创新应用数据结构图解决问题
作用
帮助理解复杂数据结构的组成和 关系，提高数据处理的效率。
常见类型及特点
01
02
03
04
线性数据结构图
元素之间一对一关系，如数组 、链表等。
树形数据结构图
数据结构_图_采用邻接矩阵存储，构造无向图
1.采用邻接矩阵（邻接表）存储，构造无向图（网）输入：顶点数、边数、顶点信息、边信息输出：图的顶点，图的边邻接矩阵（数组表示法）处理方法：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。
假设图G＝(V,E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n 的方阵，定义为：如果(vi,vj)属于边集，则edges[i][j]=1，否则edges[i][j]=0。
邻接表存储的处理方法：对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。
程序代码：#include<iostream>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数#define OK 1typedef int Status;//图的数组（邻接矩阵）存储表示typedef struct ArcCell { // 弧的定义int adj; // VRType是顶点关系类型。
// 对无权图，用1或0表示相邻否；// 对带权图，则为权值类型。
int *info; // 该弧相关信息的指针} ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct { // 图的定义char vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数、弧数} MGraph;int LocateV ex(MGraph G, char v){int a;for (int i = 0; i <= G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v)a= i;}return a;}Status CreateUDN(MGraph &G) { //采用邻接矩阵表示法，构造无向网Gint i, j, k, w;char v1, v2;cout <<"输入顶点数，边数："<< endl;cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//IncInfo为0,表示各弧无信息cout <<"各顶点分别为："<< endl;for (i = 0; i<G.vexnum; i++)cin >> G.vexs[i]; //构造顶点向量for (i = 0; i<G.vexnum; i++) //初始化邻接矩阵for (j = 0; j<G.vexnum; j++){G.arcs[i][j].adj =NULL;}cout <<"顶点信息、边信息："<< endl;for (k = 0; k<G.arcnum; k++) { //构造邻接矩阵cin >> v1 >> v2 >> w; //输入一条边依附的顶点及权值i = LocateV ex(G, v1); j = LocateV ex(G, v2);G.arcs[i][j].adj = w;G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];} return OK;} //CreateUDN (p162 算法7.2)Status printf1(MGraph G){cout <<"该图的顶点分别为：";for (int i = 0; i<G.vexnum; i++)cout << G.vexs[i] <<"";return OK;}Status printf2(MGraph G){cout <<"该图的边为：";for (int i = 1; i<G.vexnum; i++) //初始化邻接矩阵for (int j = 0; j<i; j++){if (G.arcs[i][j].adj !=NULL)cout << G.vexs[j]<< G.vexs[i] <<"," ;}return OK;}int main(){MGraph G;CreateUDN(G);printf1(G);cout << endl;printf2(G);cout << endl;system("pause");return 0;}。
数据结构-图的定义和术语
继续进行 ·3
·4
搜索。
·5
·6
·7
·3 ·1
·2
·4 从结点 5 出发的搜索序列：
5、6、2、3、1、4、7 适用的数据结构：栈
图的遍历
2、广度（宽度）优先搜索:
• 树：
A
B
C
D
EFG H
I JK
树的按层次进行访问的次序： A、B、C、D、E、F、G、H、 I、J、K、L
适用的数据结构：队列
L A
1
·1
2
12
11
·2
·11
·12
3
6
7
10
·3 ·6 ·7
·10
4
5
8
9
·4 ·5 ·8
·9
图的广度优先的访问次序：
1、2、11、12、3、6、7、10、4、5、8、9
适用的数据结构：队列
图的连通性问题
2、有向图的强连通分量的求法：续 •强连通分量的求法：
1、对有向图 G 进行深度为主的搜索，按照退 出该结点的次序给结点进行编号。最先退 出的结点的编号为 1，其它结点的编号按 次序逐次增大 1。
点1
3 已在U中
16 21 35
0 0 0
lowcost 表示最小距离
4∞ 0
adjvex 表示相应结点(在V －U中的)
5∞
0
lowcost adjvex
U1
6
5 1
25 35 4
3
6
4
2
566 图G
数组：closedge[ 6 ]
00 15 2 20 35 0 46 2 54 2
lowcost adjvex
数据结构(C++)--图
一、图的概念 二、图的应用 三、图的基本术语 四、图的存储结构
难点
1
一、图的概念
（Graph） Graph）
定义:图是由顶点集合(vertex)及边的集合 定义:图是由顶点集合 及边的集合 组成的一种数据结构： 组成的一种数据结构： Graph＝ Graph＝( V, R ) 其中: 某个数据对象} 其中: V = { x | x ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； 是顶点的有穷非空集合； R = {(u, v) | u, v ∈ V } {(u 是顶点之间关系的有穷集合， 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做 (edge)集合 集合。 边(edge)集合。
1, 如果 < i , j >∈ E 或者 (i , j ) ∈ E Matrix[i ][ j ] = 0, 否则
1 7 3 4 2 8 3 1 6 5 5 4 2
最小(生成 树 最小 生成)树 生成 也称为 最小(支撑 树 最小 支撑)树 支撑
5
二、图的应用举例
例2： 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） ： 最短路问题（ ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 假设货柜车的运行速度是恒定的， 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 5 A 7 C 4 B 6 4 F 5 3 E 1
5 (开始) A 开始) 7 4
数据结构——图
数据结构——图图是一种重要的数据结构，它以顶点和边的方式来表示数据之间的关系。
在计算机科学和信息技术领域，图被广泛应用于解决各种问题，如网络路由、社交网络分析和数据挖掘等。
本文将介绍图的基本概念、表示方法和常见算法，以及图在实际应用中的一些案例。
一、图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的有序对，用G=(V,E)表示，其中V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
1. 顶点（Vertex）：图中的一个元素，可以用来表示某个实体。
2. 边（Edge）：顶点之间的连接关系，可以用来表示实体之间的关联。
3. 路径（Path）：在图中顶点之间经过的一系列边和顶点构成的序列。
4. 环（Cycle）：在图中由一个顶点开始经过若干边后再回到该顶点的路径。
5. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个顶点之间存在路径。
二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中数组元素表示顶点之间的边，若两个顶点之间存在边，则对应元素为1或权重值，否则为0或无穷大。
2. 邻接表：邻接表由一个顶点数组和一个边链表组成，顶点数组存储顶点的信息，边链表存储每个顶点的邻接顶点。
三、常见图算法图的常见算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法和Floyd算法）以及最小生成树算法（Prim算法和Kruskal算法）等。
1. 深度优先搜索（DFS）：从图的一个顶点出发，沿着一条路径一直深入直到没有未访问过的邻接顶点，然后返回并查找其他路径。
DFS 可以用于查找连通图中的所有顶点以及判断图中是否存在环等。
2. 广度优先搜索（BFS）：从图的一个顶点出发，首先访问其所有邻接顶点，然后按照相同的方式访问每个邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问。
BFS可以用于查找最短路径、拓扑排序以及解决迷宫等问题。
数据结构图结构-(动态PPT)
3
1
*
图的术语
完全图 边达到最大的图
无向完全图：具有n(n-1)/2条边的简单图称为无向完全图 有向完全图：具有n(n-1)条边的有向图。 稀疏图： 边或弧很少的图。 稠密图： 边或弧很多的图。 权：与图的边或弧相关的数。 网：边或弧上带有权值的图。
*
图的术语
路径长度：路径上边或弧的数目
路径 非空有限点、弧交替序列，
1.无向图邻接表
2
5
3
4
1
1 2 3 4 5
G2
1
2
3
4
5
adjvex nextarc
vexdata firstarc
*
2.有向图邻接表
2
3
4
1
4
3
1
2
1 2 3 4
如图G1的邻接表为：
G1
1
2
3
4
*
在邻接表的边链表中，各个边结点的链入顺序任意，视边结点输入次序而定。
设图中有 n 个顶点，e 条边，则用邻接表表示无向图时，需要 n 个顶点结点，2e 个边结点；用邻接表表示有向图时，若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点，e 个边结点。
04
03
G2
*
图的术语
证明：对有向图，每个顶点至多有n-1条边与其它的n-1个顶点相连，则n个顶点至多有n(n-1)条边。但对无向图，每条边连接2个顶点，故最多为n(n-1)/2
02
设n为顶点数，e为边或弧的条数 对无向图有：0 ≤ e ≤ n(n-1)/2 有向图有：0≤ e ≤ n(n-1)
回路:无重复边的闭路径。
回路但不是环
*
图的术语
01
数据结构——图的连通性
稀疏图、稠密8.4 图的连通性判定一个图的连通性是图的一个应用问题，我们可以利用图的遍历算法来求解这一问题。
本节将重点讨论无向图的连通性、有向图的连通性、由图得到其生成树或生成森林以及连通图中是否有关节点等几个有关图的连通性的问题。
8.4.1 无向图的连通性在对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有顶点。
对非连通图，则需从多个顶点出发进行搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。
例如，图8.5 (a)是一个非连通图G3，按照图8.18 所示G3 的邻接表进行深度优先搜索遍历，需由算法8.5调用两次DFS（即分别从顶点A 和D出发），得到的顶点访问序列分别为：A B F E C E这两个顶点集分别加上所有依附于这些顶点的边，便构成了非连通图G3的两个连通分量，如图8.5(b) 所示。
因此，要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通分量，就可设一个计数变量count，初始时取值为0，在算法8.5的第二个for循环中，每调用一次DFS，就给count增1。
这样，当整个算法结束时，依据count的值，就可确定图的连通性了。
序号图8.18 G3的邻接表8.4.3 生成树和生成森林在这一小节里，我们将给出通过对图的遍历，得到图的生成树或生成森林的算法。
设E(G)为连通图G中所有边的集合，则从图中任一顶点出发遍历图时，必定将E(G)分成两个集合T(G)和B(G)，其中T(G)是遍历图过程中历经的边的集合；B(G)是剩余的边的集合。
显然，T(G)和图G 中所有顶点一起构成连通图G 的极小连通子图。
按照8.1.2节的定义，它是连通图的一棵生成树，并且由深度优先搜索得到的为深度优先生成树；由广度优先搜索得到的为广度优先生成树。
例如，图8.17(a)和(b)所示分别为连通图G5的深度优先生成树和广度优先生成树。
计算机数据结构知识点梳理 图的基本概念
A.7
B.8
C.9
D.10
分析：8个顶点的连通无向图共有8×(8-1)/2=28条边，所有非连通的任何两个顶点之间不一定都有弧，而强连通图 的任何两个顶点之间都有路径（顶点序列）。选项B错误，无向图顶点无入度 和出度概念。选项C正确。选项D错误，如果E’中的某一条边的两个顶点不再 V’中，则不能称V’与E’构成图。
解答：C。
[题2]一个有28条边的非连通无向图至少有（ ）个顶点。
是V的子集 ，E’是E的子集，则称图G’是G的一个子图。 12、连通图、连通分量 13、强连通图、强连通分量 14、生成树 15、生成森林
[题1]以下关于图的叙述中，正确的是（ ）。
A.强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有弧
B.任何图顶点的入度等于出度
C.有向完全图一定是强连通有向图
D.假设有图G=（V，{E}），顶点集V’ V，E’ E，则V’和{ E’}都成G的子图
知识点11：图的基本概念
1、图 2、无向图 3、有向图 4、无向完全图：在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。 5、有向完全图：在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条边。 6、稠密图、稀疏图 7、顶点的度、入度、出度 8、边的权、网图
9、路径、路径长度 10、简单路径、简单回路 11、子图：对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’
2024版《数据结构图》ppt课件
良好的数据结构可以带来更高的运 行或存储效率，是算法设计的基础， 对程序设计的成败起到关键作用。
常见数据结构类型介绍
线性数据结构
如数组、链表、栈、队 列等，数据元素之间存
在一对一的关系。
树形数据结构
如二叉树、多叉树、森 林等，数据元素之间存
在一对多的关系。
图形数据结构
由顶点和边组成，数据 元素之间存在多对多的
队列定义、特点及应用场景
队列的特点 只能在队尾进行插入操作，队头进行删除操作。
队列是一种双端开口的线性结构。
队列定义、特点及应用场景
应用场景 操作系统的任务调度。 缓冲区的实现，如打印机缓冲区。
队列定义、特点及应用场景
广度优先搜索（BFS）。
消息队列和事件驱动模型。
串定义、基本操作及实现方法
最短路径问题 求解图中两个顶点之间的最短路径，即路径上边 的权值之和最小。
3
算法介绍 Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd 算法等。
拓扑排序和关键路径问题探讨
拓扑排序
对有向无环图（DAG）进行排序， 使得对每一条有向边(u,v)，均有
u在v之前。
关键路径问题
求解有向无环图中从源点到汇点 的最长路径，即关键路径，它决
遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树
先序遍历、中序遍历和后序遍历。遍历算 法可以采用递归或非递归方式实现。
VS
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针来存放其前驱结 点和后继结点的信息，使得在遍历二叉树 时可以利用这些线索得到前驱和后继结点， 从而方便地遍历二叉树。
树、森林与二叉树转换技巧
树转换为二叉树
加线、去线、层次调整。将树中的每个结点的所有孩子结点用线连接起来，再去掉与原结点相连的线，最后 将整棵树的层次进行调整，使得每个结点的左子树为其第一个孩子，右子树为其兄弟结点。
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E
有向图的逆邻接表
在有向图的逆邻接表
中，每个顶点链接的 0 A
3
3 1 2 0 0 4
是指向该顶点的弧。
1 B
2 C
A B E
3 D
4 E
C
D
有向带权图的邻接表
A 3 B 7 C (a) (b) 4 A 1 B 2 C 3 2 1 3 4 3 7
图的定义及相关术语
(1) 图的定义：图G由两个集合V(G)和E(G)所 组成，记作G=(V, E)。其中，V(G)是图中顶 点的非空有限集合，E(G)是图中边的有限 集合。 (2) 有向图。如果图中每条边都是顶点的有序 对，即每条边都用箭头表明了方向，则此 图为有向图。有向图中的边也称为弧，用 尖括号括起一对顶点表示。
} adjlist[VTXUNM];
• 示例：无向图的邻接表
0 1 2 3 4 5
A B C D E F
1 0 3 2 0 1
4 4 5 5 1 2
5 A
B
C D
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
E
有向图的邻接表
A B D 0 1 2 34
A
B
1
2
3
C
E
C
D
4 2
0 1
在有向图的邻接表中不易 找到指向该顶点的弧，即 难以确定某个顶点的入度。
struct arcnode {
int adjvex;
float data;
struct arcnode *nextarc;
};
typedef struct arcnode ARCNODE;
struct headnode {
int vexdata; ARCNODE *firstarc;
1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
有向图的邻接矩阵
A B C D E
0
1 0
0 1
1 0
0 0
A
0
B
C E
D
0
0 1
0
0 1
0
1 0
0
0 0
1
0 0
特点
无向图的邻接矩阵是对称的;
有向图的邻接矩阵不一定对称。
对于无向图，邻接矩阵第i行(或第i列)的元 素之和是顶点Vi的度。 对于有向图，邻接矩阵第i行元素之和为顶 点Vi的出度；第i列的元素之和为顶点Vi的 入度。
5.1 图的基本概念
图是一种重要的，比树更复杂的非线性数据结构。 在树中，每个结点只与上层的父结点有联系，并 可以与其下层的多个子结点有联系。但在图中， 结点之间的联系是任意的，每个结点都可以与其 它的结点相联系。 图的应用极为广泛，特别是近年来发展迅速，已 渗入到诸如语言学、逻辑学、物理、化学、电信 工程、计算机、数学及其它分支中。
在邻接表中，对图中每个顶点建立一个单链 表，第i个单链表中的结点包含了顶点Vi的所 有邻接顶点。每个结点由三个域组成： adjvex、data和nextarc，如下图所示。
adjvex
data
nextarc
指向顶点Vi的下一邻接点的指针
权值 顶点Vi的邻接点在图中的位置
邻接表中表结点的结点结构
为便于邻接表操作，在每个单链表上附设一 个头结点，在头结点中有两个域：vexdata和 firstarc。如下图所示。
使用邻接矩阵法容易判断任意两个点的邻 接关系。
网的邻接矩阵可定义为
Wij A[i, j]
若 (Vi , Vj )或
Vi , Vj E(G)
反之
其中Wij是边(Vi, Vj)或弧< Vi, Vj>上的权值。
二、图的邻接表存储表示
邻接表是一种顺序分配和链式分配相结合的 存储结构。它包括两个部分：一部分是链表； 另一部分是向量。
向图的强连通分量。
A
B C F E B C
A
E F
强连通图
非强连通图
B A F
C D E B C
A
E F
TD(B) = 3，TD(A) = 2
ID(B) = 2，OD(B) = 1 TD(B)=ID(B)+OD(B ) =3
基本操作
建立和销毁图结构 访问顶点
插入或删除顶点
插入和删除弧
对邻接点的操作
遍历图
5.2 图的存储结构
图的存储结构
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示
*三、有向图的十字链表存储表示 *四、无向图的邻接多重表存储表示
根据图的定义可知，一个图的逻辑结构分两部 分，一部分是组成图的顶点的集合；另一部分 是顶点之间的联系，即边或弧的集合。 可用一个一维数组存放图中所有顶点的信息； 用一个二维数组来存放数据元素之间的关系的 信息(即边或弧的集合E)。这个二维数组称之为 邻接矩阵。 邻接矩阵是表示顶点之间的邻接关系的矩阵。 设G =(V，E)是有n(n≥1)个顶点的图，则G的邻 接矩阵A是一个n×n阶矩阵。
(6)完全图。假设图中有 n 个顶点，e 条
边，则含有 e=n(n-1)/2 条边的无向图称
作完全图；含有 e=n(n-1) 条弧的有向图
称作有向完全图。
(7) 稠密图与稀疏图。若图的边或弧的数
目接近于相应完全图的边或弧的数目，
则称之为稠密图，否则称为稀疏图。
(9) 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。 (10) 简单回路：序列中第一个顶点和最后一 个顶点相同的简单路径。 (11) 连通图：在无向图中，若每一对顶点之
间都有路径，则称此图为连通图。
(12) 连通分量：若无向图为非连通图，则图
中各个极大连通子图称作此图的连通分量。
B A F
连通图
C D E A
B
C D
F
E
非连通图
(13) 强连通图：在有向图中，若每一对顶点
u和v之间都存在v到u及u到v的路径，则称此
图为强连通图。
(14) 强连通分量：各个强连通子图称作该有
vexdata firstarc
指向顶点Vi的第一个邻接点的指针 存储Vi的名字或有关信息
邻接表中头结点的结点结构
为了利用顺序存储结构的随机访问特性，邻接 表中将每个单链表的头结点以顺序结构的形式 存储，以便能随机访问任一顶点的单链表。
邻接表的存储结构可以用C语言描述如下： #define VTXUNM n /*n为图中顶点个数的最大可能值*/
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 定义:矩阵的元素为
0 若(Vi,Vj)或<Vi,Vj>E(G) Aij= 1 若(Vi,Vj)或<Vi,Vj>E(G)
{
A
B
C
D
E
F
B A F
C D E
A
0 B 1 C 0 D 0 E 1 F 0
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1