专题：小船渡河及绳子末端速度的分解问题(学校学案)

专题：小船渡河及绳子末端速度的分解问题

小船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船

在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的

船的运动），船的实际运动是合运动。

1．渡河时间最少：如右图所示，在河宽、船速一定

时，在一般情况下，渡河时间θ

υυsin 1

船d

d

t =

=

，显然，当︒=90θ时，即

船头的指向与河岸

垂直，渡河时间最小为v

d

，合运动沿v 的方向进行。 2．位移最小 若水船υυ>，

结论：船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船

水

υυθ=

cos 若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂

下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α

角最大呢？

以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =θcos 船头与河岸的

夹角应为水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为： θ

θsin )cos (min 船船水v d

v v x ⋅

-=

此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s ==

θcos 处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系： 1 独立性：一物体

同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果，彼此间互不干扰。 2 同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。

3 等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果。合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。

1.(湖南长沙一中11-12学年高一下学期期中)一人游泳渡河 以垂直河岸不变的划速向对岸游去 河水流动速度恒定，下列说法中正确的是( ) A 河水流动速度对人渡河无任何影响

B 人垂直对岸划水 其渡河位移是最短的

C 由于河水流动的影响 人到达对岸的时间与静水中不同

D 由于河水流动的影响 人到达对岸的位置向下游方向偏

2. (河北正定中学08 09学年高一下学期月考)某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图所示 河宽

300 船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示 若要使船以最短时间渡河 则( ) A 船渡河的最短时间是75s

B 船在行驶过程中 船头始终与河岸垂直

C 船在河水中航行的轨迹是一条直线

D 船在河水中的最大速度是5m/s

绳末端速度的分解问题

在学习“运动的合成和分解”这一部分内容时，会遇到这样一类题：跟不可伸长的绳有关，解题时要进行绳末端速度的分解。学生在学习时表现出困惑和不理解，同时这是学生学习中的难点和易错点。现就这类题结合例题说明，并举一反三，进行解题的提高。 题 1. 如图1，人在岸上用跨过滑轮的绳，拉水中小船，人以速度v 匀速前进，求当船头绳与水平方向的夹角为θ时，船速V 的大小。 学生常见错误：

把船速看作是绳速v 的一个分速度，画成这样的速度

分解图：这样画的错误在于：物体的实际运动速度才

是合速度，在人拉小船靠岸的过程中，小船的实际运动速度（即合速度）为水平向前，那么把v当做小船的实际速度，当然是不对的。

(1)我们的研究对象是物体，用什么手段研究它的运动。为解决问题，对几个速度及研究对象加以说

明：

几个速度：

1，绳端速度：即绳子末端的速度，也就是与绳末端相连的物体的速度，是合速度。例如题1中，绳左端的速度就是人的速度v，绳右端的速度是小船的速度V，v与V都是合速度。

2，绳自身的“移动”速度：是指绳子通过滑轮的速度，其大小对于同一根绳来说，个点均相同，其方向总是沿着绳子方向。绳身移动速度是联系两端物体速度关系的纽带，它在绳的两端往往又扮演着不同角色，可能等于物体速度，也可能是物体速度的一个分量。

判断方法是：看绳端物体速度方向是否沿着绳子方向，如果绳端速度沿着绳子的方向，那么绳身移动的速度就是物体的速度。例如题1中，绳身移动速度在左端等于人的速度v；若绳端物体速度方向与绳子有一定夹角时，则绳身速度就是物体的一个分速度，例如题1中，绳身移动速度在右端就是小船速度V的一个分量。

3，绳身的“转动”速度：当绳身移动速度作为绳子某端物体速度的一个分速度时，该绳端物体速度的另一个分速度，就是与绳子垂直的“转动”速度，该速度反映绳子以滑轮为轴，向上或向下转动的快慢。例如题1中，小船靠岸的过程中，绳右端绕滑轮向下转动，则绳右端转动速度的方向是垂直于绳子向下的。

解答：由以上分析可知，人拉着小船靠岸的过程中小船速度

v和垂直与绳向下的速度v1.

V船 = v/cosθ

5-3

体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.角时，物体前进的瞬时速度是多大？

答案解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合速度，将v物按如图5-6所示进行分解.其中:v=v物cosθ，使绳子收缩.， v⊥=v物

=

cos

v

sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.所以v物

1 如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）

A.绳的拉力大于A的重力

B.绳的拉力等于A的重力

C.绳的拉力小于A的重力

图5-6