湍流模型概述

大多数飞行器都是在高Re数下飞行，表面的流态是湍流。为了准确地确定湍流流态下的摩阻、热流，湍流成为一个重要而困难的研究课题。

（一）DNS

目前处理湍流数值计算问题有三种方法，第一种方法即所谓直接数值模拟方法（DNS方法），直接求解湍流运动的N-S方程，得到湍流的瞬时流场，即各种尺度的随机运动，可以获得湍流的全部信息。随着现代计算机的发展和先进的数值方法的研究，DNS方法已经成为解决湍流的一种实际的方法。但由于计算机条件的约束，目前只能限于一些低Re数的简单流动，不能用于工程应用。目前国际上正在做的湍流直接数值模拟还只限于较低的需诺数(Re～200)和非常简单的流动外形，如平板边界层、完全发展的槽道流，以及后台阶流动等。用直接数值模拟方法处理工程中的复杂流动问题，即使是当前最先进的计算机也还差三个量级。

（二）LES

另一种方法称做大涡模拟方法（LES方法）。这是一种折衷的方法，即对湍流脉动部分直接地模拟，将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。小涡对大涡的影响会出现在大涡方程中，再通过建立模型（亚格子尺度模型）来模拟小涡的影响。由于湍流的大涡结构强烈地依赖于流场的边界形状和边界条件，难以找出普遍的湍流模型来描述具有不同的边界特征的大涡结构，宜做直接模拟。相反地，小尺度涡对边界条件不存在直接依赖关系，而且一般具有各向同性性质。所以亚格子模型具有更大的普适性，比较容易构造，这是它比雷诺平均方法要优越的地方。自从1970年Deardorff第一次给出具有工程意义的LES计算以来，LES方法已经成为计算湍流的最强有力的工具之一，应用的方向也在逐步扩展，但是仍然受计算机条件等的限制，使之成为解决大量工程问题的成熟方法仍有很长的路要走。

（三）RANS

目前能够用于工程计算的方法就是模式理论。所谓湍流模式理论，就是依据湍流的理论知识、实验数据或直接数值模拟结果，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。随着计算流体力学的发展，湍流模式理论也有了很大的进步，有了非常丰硕的成果。从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：一类称为二阶矩封闭模式，另一类称涡粘性封闭模式。

（1）雷诺应力模式

所谓二阶矩封闭模式，是从Reynolds应力满足的方程出发，将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来。典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。这种模式理论，由于保留了Reynolds应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds应力的方程，加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，是一个庞大的方程组，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，这就极大地限制了二阶矩模式在工程问题中的应用。

（2）涡粘性模式

在工程湍流问题中得到广泛应用的模式是涡粘性模式。这是由Boussinesq 仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds 应力为，

ij ij k k i j j i T j i k U U U u u δδν3

2

)32(,,,+++-= （） 这里j i u u k 2

1

=

是湍动能，T ν称为涡粘性系数，这是最早提出的基准涡粘性模式，即假设雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确定后，六个雷诺应力只需要通过确定一个涡粘性系数T ν就可完全确定，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k ，耗散率ε，比耗散率ω以及其它湍流量ετ/k =，ε/2/3k l =，

k q =，根据引入的湍流量的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的ε-k ，k-w

模式，以及后来不断得到发展的τ-k ，q -w ，k-l 等模式，涡粘性系数可以分别表示为 ενμ/2

k C T =，ω

νμ

k

C T =，τνμk C T =，ω

νμ

2

q C T =，.l k C T μν=

为了使控制方程封闭，引入多少个附加的湍流量，就要同时求解多少个附加的微分方程，根据求解的附加的微分方程的数目，一般可将涡粘性模式划分为三类：零方程模式，半方程模型，一方程模式，两方程模式。 1） 零方程模式

所谓零方程模式是试图直接用平均流动物理量模化T ν，而不引入任何湍流量（如ε,k 等）。例如，Prandttl 的混合长理论就是一种零方程模式：

y

U

l T ∂∂∝2

ν （5.7） 式中l 称为混合长。

在零方程模式的框架下，得到最为广泛应用的是Baldwin-Lomax 模式

[22]

。该模式是对

湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长假设。这是因为靠近壁面处，湍流脉动受到很大的抑制，含能涡的尺度减小很多，因此长度尺度减小很多；另一方面，在边界层外缘，湍流呈间歇状，质量、动量和能量的输运能力大大下降，即湍流的扩散能力减小。这样，应用混合长理论来确定涡粘性系数在这两个不同的区域应该有不同的形式。Baldwin-Lomax 模式的具体数学描述如下。

⎩⎨

⎧>≤=c

ont

T c inn

T T y y y y )()(ννν （5.8）

这里c y 是ont inn )()(T T νν=的离壁面最小距离y 值。 对于内层，即c y y ≤，有

Ω=2T )(l inn ν （5.9）

Ω是涡量，l U j k ijk ,

,ε=Ω是长度尺度

))/(1(++--=A y exy ky l （5.10） 其中k=0.4是Karman 常数，A +

是模化常数，+y 是无量纲法向距离：

w y U y ντ/=+

而τu 是摩擦速度，其含义为

,w

y

U u ∂∂=ν

τ

此处下标w 表示壁面。 对于外层，即c y y >，有

)(()(T y F F kleb wake out =ν （5.11） 其中

)/,min(max 2

max max max F U y C F y F dif wk wake =

max F 是下列函数的最大值： ))/exp(1()(++--Ω=A y y y F

而max y 是)(y F 达到最大值的位置。kleb F 是所谓的Klebanoff 间歇函数：

1

6max )(5.51)(-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+=y y C y F kleb kleb dif U 是平均速度分布中最大值和最小值之差。

几个模化常数的值如下： .4.0;,0.1;3.0;

02668.0;

0.26=====+K C C C A wk kleb

由上述模化关系中可以看出，Reynolds 应力完全地由当时当地的平均流参数用代数关系式所决定。平均流场的任何变化立刻为当地的湍流所感知，这表明零方程模式是一个平衡态模式，假定湍流运动永远处于和平均运动的平衡之中。实际上对大多数湍流运动而言，并非如此，特别是对平均流空间和时间有剧烈变化的情形，再有因为坐标y 显式地出现在湍流模式中，零方程模式不具有张量不变性，当将它应用到复杂几何外形的流动的数值模拟会带来困难。当流动发生分离时，Baldwin-Lomax 模式会遇到困难，这是因为在分离点和再附点附近，摩擦速度τu 为零，此时要引入一些人为的干涉来消除这些困难。