专题6旋转不变性
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换在数学学科中，几何是一门需要具备解决问题的技巧的重要领域。
在六年级学生的课程中，掌握几何问题的解决方法对于提高数学能力至关重要。
其中，旋转变换是一种常用的技巧之一。
通过旋转变换，学生可以更好地理解和解决各种几何问题。
本文将详细介绍几个旋转变换的技巧，以帮助六年级学生在数学学习中更加轻松地应对几何问题。
一、旋转变换的基本概念在开始介绍旋转变换的具体技巧之前，我们首先需要了解旋转变换的基本概念。
旋转变换是指将一个图形按照一定角度围绕一个固定点旋转，从而得到一个新的图形。
在旋转变换中，固定点被称为旋转中心，旋转的角度被称为旋转角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和位置，进而解决几何问题。
二、旋转变换的基本技巧1. 顺时针和逆时针旋转在旋转变换中，有两种基本的旋转方式：顺时针旋转和逆时针旋转。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向绕旋转中心旋转，而逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向绕旋转中心旋转。
通过掌握这两种旋转方式，学生可以更加灵活地应对不同的几何问题。
2. 旋转角度的确定在进行旋转变换时，旋转角度的确定是非常关键的。
旋转角度通常以度数表示，可以是正值也可以是负值。
根据题目给出的旋转要求，学生需要准确地确定旋转角度，并按照要求进行旋转变换。
3. 图形特征的保持在进行旋转变换时，保持图形的某些特征是十分重要的。
例如，保持图形的某条边不动，只对其他部分进行旋转变换。
通过保持某些特征，学生可以更好地理解图形的变化规律，并解决与旋转变换相关的几何问题。
三、旋转变换的应用技巧1. 旋转对称图形的性质旋转对称图形是指经过旋转变换后仍然与原图形完全相同的图形。
在解决旋转对称图形相关问题时，学生可以利用该性质来简化问题。
例如，对于一个正方形，它的每一条边都相等且与旋转中心的连线长度相等，利用这些性质，学生可以快速获得其他边的长度等信息。
2. 旋转变换的组合运用在实际的几何问题中，旋转变换可以与其他几何技巧相结合，进一步解决更加复杂的问题。
全等三角形复习-----全等变换中的可变性与不变性
G
F
C
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D
图②
一、平移变换中的可变性和不变性： 例1：如图①，点A，E，F，C在一条直线上， AB＝CD，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC， BF⊥AC，连接BD，与AC交于点G。
（1）求证：BF=DE （2）求证：BD与EF互相平分于G （3）若将△ABF沿CA方向平移成图②，其余 条件不变，上述结论是否成立？ （4）若将△ABF沿AC方向平移成图③呢？ B （写出结论，不必证明）
1E2 3
图③
A
D
B
二、旋转变换中的可变性和不变性： 图形可变性
思路一致性
证明思路的一致性 转化思想
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2008台州市中考题 练习：如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线， CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点的内部，且 ∠BEC＝∠CFA＝∠α， （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射 线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°， BE AF ； 则BE CF；EF B （填“＞”，“＜”或“＝”）
-----全等变换中的可变性与不变性
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我们学习过的全等变换有： 平移 翻折 (轴对称) 旋转
不变性： 可变性：
这些变换，是图形运动及延伸的重要途 径，研究这些“变换”中的 “不变性”或 “变化规律”，便是既自然又现成的展开方 式。对于起源于“变换”的探究性问题，解 法的思路当然要围绕“变换”而展开。
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一、平移变换中的可变性和不变性：
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一、平移变换中的可变性和不变性： 例1：如图①，点A，E，F，C在一条直线上， AB＝CD，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC， BF⊥AC， （1）求证：BF=DE
初中几何旋转解题技巧
初中几何旋转解题技巧初中几何旋转解题技巧几何旋转是初中数学中的一个重要内容，也是高中数学的基础。
在初中阶段，我们需要掌握一些基本的几何旋转解题技巧。
下面将从基本概念、性质、方法和例题四个方面进行详细介绍。
一、基本概念1. 旋转轴：平面内一条直线，称为旋转轴。
2. 旋转角度：以旋转轴为轴心，将平面内的点按照一定方向绕着这条直线旋转的角度，称为旋转角度。
3. 顺时针和逆时针：以旋转轴为观察点，看待平面内的点按照顺时针或逆时针方向绕着这条直线旋转。
4. 对称轴：平面内一条直线或一个点，使得对于任意平面内点P，在对称轴上有一个与P关于该对称轴对称的点P'。
二、性质1. 对称性：几何图形经过某种变换后仍保持不变，则该变换具有对称性。
2. 不变性：几何图形在某种变换下保持不变，则该图形具有不变性。
如正方形在旋转变换下仍为正方形。
3. 对称轴上的点：对称轴上的点不动。
4. 对称轴上的线段：对称轴上的线段不动，长度不变。
5. 旋转角度：旋转角度是360度的整数倍时，几何图形保持不变。
三、方法1. 画图法：在解题过程中，我们可以通过画图来辅助理解并找到旋转中心和对称轴。
画出几何图形后，再根据题目所给条件进行旋转操作，最后求出所需答案。
2. 利用性质法：在解题过程中，我们可以利用几何图形的性质来推导出所需答案。
如利用正方形的对称性，在进行旋转操作后求出新位置的坐标。
3. 利用公式法：在解题过程中，我们可以利用几何公式来计算所需答案。
如利用勾股定理来求解坐标距离等问题。
四、例题1. 如图，在平面直角坐标系中，$A(2,1)$关于直线$x=1$逆时针旋转90度得到点B，则点B坐标为（）解析：首先画出点A和直线$x=1$；然后确定该直线为旋转轴，按照逆时针方向旋转90度得到点B；由于旋转轴为直线$x=1$，因此点B的横坐标为1；根据旋转的性质可知，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此点A和点B的纵坐标相等且相反，即点B的纵坐标为-2。
圆的有关性质
圆的有关性质一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。
）3、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。
）4、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。
推论：圆的两条平行弦所夹弧。
5、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.6、圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；一个外角等于它的内对角.巩固练习一、填空题：1、下列命题中正确的是。
A、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；C、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；D、弦的垂线平分弦所对的弧。
2、如图，⊙O中弦AB⊥CD于E，AE＝2，EB＝6，ED＝3，则⊙O的半径为。
3、在半径为5cm的⊙O中，有一点P满足OP＝3 cm，则过P的整数弦有条。
【初中数学小专题】一类旋转图形的不变性（共顶点模型）
一类旋转图形的不变性(共顶点模型)北师大版最新教材七年级下册第三章《全等三角形》的教学过程中，相关资料上常常见到相关图形全等的证明题；同时九年级上册《相似图形》的相关资料上也遇到过类似图形相似的问题，现拿出来对比研究一番，为后续深圳中考的复习准备做好铺垫。
（可拓展到正多边形的旋转不变性质） 1、两大小不等的正方形的旋转不变性：例1 （根据北师大版教材配套资料《课时作业》全等三角形一题改编）以ABC D 的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连结BE BE、、CF 交于点H(H(或延长线交于点或延长线交于点H)H)，， 证明证明: : BE=CF ; 求BHF Ð的大小的大小. .HGBCDA EFGBCDAEF（图1） （图2）HGBCDAEFGBCD AEF（图3） （图4）【分析】本题考查了旋转图形中的两个不变特性，本题考查了旋转图形中的两个不变特性，根据根据BAE D @FAC D 不难得出结论，注意图形的拓展与延伸。
【答案】解： 如图（如图（11） 四边形ACDE 和四边形ABGF 都为正方形，\AB AF =，AC AE =，°=Ð=Ð90CAE BAF ，\BAC CAE BAC BAF Ð+Ð=Ð+Ð， \BAE CAF Ð=Ð，\BAE D @FAC D （SAS SAS），）， \BE=CF ，ABE AFC Ð=Ð， \°=Ð=Ð90BAF BHF .注意：图（注意：图（22）（）（33）（）（44）请读者自行证明。
变式1：两大小不等的等腰直角三角形的旋转不变性：以ABC D 的边AC AC、、AB 为边向外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ACE，连结，连结BE BE、、CD 交于点H(H(或延长线交于点或延长线交于点H)H)，， 证明证明: : BE=CF ; 求BHF Ð的大小的大小. .HCBDAECBDA EC BDAEHCBDAE【解析】本变式图形实质和例1一致，故其证明方法与其完全相同，证明略。
纹理图像识别中的旋转不变性分析
和垂直空间域。灰度为 i 和 j 的一对像素点位置方向为 θ 距离 为 d 的概率记为 P θ d (i j) ， 具体计算公式为：
| ì[(k l)(m n)] Î D:k - m = 0| l - n | = dü | P 0° d (i j) = | ý || |í | î f (k l) = i f (m n) = j þ| | ì[(k l)(m n)] Î D:(k - m = d l - n = - d )或 ü | P 45° d (i j) = | ý || |í | î(k - m = - d l - n = d ) f (k l) = i f (m n) = jþ | | ì[(k l)(m n)] Î D:| k - m | = d l - n = 0ü | P 90° d (i j) = | ý || |í | î f (k l) = i f (m n) = j þ| | ì[(k l)(m n)] Î D:(k - m = d l - n = d )或 ü || P135° d (i j) = | ý| |í | î(k - m = - d l - n = - d ) f (k l) = i f (m, n) = jþ |
L-1 i=0 j=0
下面 5 个最常用的特征来提取图像的纹理特征： （1） 角二阶矩 （能量） ：ASM = å å p(i j)
i j i j 2
å p(i j)log[ p(i j)]
（2） 对比度 （惯性矩） ： CON = å å (i - j) 2 p(i j) （3） 相关： CORRLN = é å å(i - μ x)( j - μ y) p(i j)ù ê ú ëi j û （4） 熵： ENT = - å å p(i j)log p(i j)
圆的旋转不变性合
Ｐ Ｄ
Ｃ
例2、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点
在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、
B和C、D。 求证：AB=CD
A P C
M
B
E
.
O D
N
F
变式练习：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
M B
E
C P
B
E
P
N
.
O
M
N
.
O
D
A F
D
F
例3
D
O B
2，已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？ F
A M E B D O C
3.如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线 CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B 于点E、F。
求证：∠CAD=∠EBF
C
G
•A
例4、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 殊四边形？为什么？ (2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｄ Ｂ
（3）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截 面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？
D
E
H
•B
F
4.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上 的点,且∠CPB=∠DPB,弧 DB BC ,试比较线段PC、PD的大小关系. C
A
O P B D
计算机视觉技术处理旋转图像的技巧与方法
计算机视觉技术处理旋转图像的技巧与方法计算机视觉技术在现代社会中扮演着至关重要的角色，它能够处理和分析图像、视频，并为我们提供丰富的信息。
旋转图像是在计算机视觉中常见的问题，解决旋转图像的技巧和方法是该领域的研究热点之一。
本文将介绍几种常用的计算机视觉技术，用于处理旋转图像的技巧和方法。
旋转图像是指通过对原始图像进行某种角度的旋转，使其在显示或分析过程中更容易处理。
在处理旋转图像时，我们需要考虑以下几个方面：旋转角度的估计、旋转后的图像重建、图像特征的提取和匹配、以及图像旋转不变性的实现。
在旋转图像处理中，最常用的方法之一是基于特征点的图像配准技术。
图像配准是指将两幅或多幅图像注册到一个公共参考坐标系下，使它们在位置、尺度和旋转等方面达到最佳匹配。
通过寻找图像之间的共同特征点，我们可以计算出图像之间的几何变换关系，并将其应用于旋转图像的处理。
常用的特征点包括角点、边缘点和区域特征等。
通过对这些特征点进行匹配和估计，我们可以得到旋转图像的变换参数，进而实现旋转图像的重建。
另外一种常见的方法是基于频域分析的旋转图像处理技术。
频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，通过对图像进行傅里叶变换，我们可以获取其频谱信息。
在旋转图像处理中，我们可以利用频域分析的特性实现旋转图像的处理。
首先，我们通过傅里叶变换将旋转图像转换到频域，然后对频域图像进行旋转操作，最后再通过傅里叶逆变换将旋转后的频域图像转换回时域图像。
这种方法可以在频域中实现旋转图像的处理，避免了传统方法中对图像像素的操作，从而提高了旋转图像的处理效率。
此外，还有一些基于学习的方法可以用于处理旋转图像。
例如，卷积神经网络（CNN）是一种常用的深度学习模型，近年来在图像处理领域取得了巨大的成功。
通过训练神经网络，我们可以提取出图像中的局部和全局特征，从而实现旋转图像的处理。
另外，还有一些基于强化学习和迁移学习的方法可以用于处理旋转图像。
这些方法通过训练智能体或者迁移学习模型来学习到旋转图像的处理策略，在处理旋转图像时具有较好的性能和准确度。
《圆的旋转不变性》课件
本课件将介绍圆的旋转不变性，包括其概述、基本性质、形式化表述、证明 方法以及应用举例。我们将深入探讨这个重要而有趣的数学概念。
概述
圆的定义和性质，以及圆的旋转不变性的意义。通过理解圆的基本概念，我 们可以更好地理解它的不变性。
圆的基本性质
圆心和半径
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
应用举例
1 圆上任Leabharlann 三点构成的三角形面积相等不论圆旋转多少度，圆上任意三点构成的三角形面积总是相等的。
2 圆上任意两点的连线垂直于半径
无论圆如何旋转，连接圆上任意两点的线段始终垂直于圆的半径。
3 圆的内切正多边形的边长和面积
无论圆内切的正多边形如何旋转，其边长和面积都不变。
总结
圆的旋转不变性的重要性
弧、弦、切线、割线
弧是圆上两点之间的曲线，弦是连接圆上两点的线段，切线是与圆相切的直线， 割线是与 圆相交但不相切的直线。
圆的旋转不变性
1
定义
圆的旋转不变性是指，圆无论以任何角度和方向旋转，仍然保持自身的性质。
2
形式化表述
对于一个固定的圆，任何旋转变换都保持圆的半径和形状不变。
3
证明方法
可以使用几何证明或代数证明的方法来证明圆的旋转不变性。
了解和应用圆的旋转不变性有助于解决各种几何问 题，培养正确的数学思维。
未来研究方向
进一步研究圆的旋转不变性在其他领域的应用，以 及推广到更高维度的几何概念。
参考文献
王军, 赵宏伟, 刘光宇. 高中数学新课程教材. 人民教育出版社, 2010.
初中数学解题能力巧提升——旋转中的不变性问题
易 得 △EFG ≌
△HDG，所 以 EF=
HD，EG=HG， 易 证
△BCE ≌ △DCH，易
得 △HCE 是 等 腰 直
图6
角三角形，所以 EG=CG，EG⊥CG。
思考：上述四种特殊位置状态的解
法，都是作辅助线构造全等三角形，再把
问题转化为新的等腰直角三角形，从而证
出“相等与垂直”。那回到图 1 的问题，
三角形，所以 EG=CG，EG⊥CG，EG⊥CG。
关于第（3）个图的解法，如图 5，延长
EG 交 CD 的延长线于
H 点 ， 易 得 △EFG ≌
△HDG，所以 BE=HD，
EG=HG。
B易 得 △HCE 是 等 Nhomakorabea图5
腰直角三角形，所以 EG=CG，EG⊥CG。
关于第（4）个图的解法，延长 EG 交
A D 于 H 点，连接 CH、CE，如图 6。
52 数学教育 杂匀哉载哉耘允陨粤韵再哉
初中数学解题能力巧提升
— ——旋转中的不变性问题
江西省南昌市南钢学校 贺 群
摘要：初中数学教学中，解题能力对
学生至关重要，文章以旋转中的不变性问
题为例，对解题技巧进行分析研究。
关键词：初中数学 解题能力 提升
初中数学教学中，解题研究一直以来
被广大教师所关注，解题能力的提升对学
≌ △DCH， 易 得
图7
△ECH 是等腰直角三角形，所以 EG=CG，
EG⊥CG。
四、“变”与“不变”的思考
从给的试题图 1 中发现△BEF 与正
方形 A BCD 的位置关系，从而思考将静
态问题转化为动态问题，由△BEF 绕点 B 旋转，在旋转的过程中，△BEF 的位置在
北师大版数学中考专题复习《图形旋转的不变性》
12
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中考专题复习
图形旋转的不变性
精选课件ppt
1
A
B B′
C
精选课件ppt
C′
2
A
B
C′
B′
C
总结旋转变换的不变性:1、角度不变 2、边长不变 3、旋转角相等
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3
A
M A′
B′ G
H
B
C
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D
4
A
M A′
B′
G
H
C
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D
5
结论探究：已知三角形ACD中，ACD=120度， 绕点C逆时针旋转60度到三角形BCE
A
K
E
M
N
B
C
D
精选课件pptA
MB
B′
猜想：BM与ND′的数量关系
精选课件ppt
7
N
D D′
C
D′
N
O
A′ A A′
B′
MB M B′
猜想：原结论成立吗？
精选课件ppt
8
F
Ａ
DF
F Ｏ
Ｎ
BＭ E
F C
FEF
E ＥE
E ＥE
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9
A
ED
例题：在正方形ABCD
中，E为AD上一点，BF
F 平分 CBE，交CD于F
求证：BE=CF+AE
B
C
N
精选课件ppt
10
思考题：
A
5
已知P为等边三角形ABC 内一点,PA=5,PB=4,PC=3 求 BPC=( 150 )度
专题6旋转不变性
旋转不变性旋转变化过程中的不变关系往往是解题的关键！引例：如图，将Rt ABC∆放置在平面直角坐标系中，AC在x轴上，点A在以O为圆心，5为半径的圆上，，点A的坐标(5,0)---，点B的坐标(1,2)（1）将R t A B C∆绕x轴上某一点P旋转180°后，使得点A的对应点落在⊙O上，试画出旋转后的图形 (用阴影部分表示) ，并直接写出点P的坐标；（2）将Rt ABC∆绕平面内的某一点Q旋转180°后，使得点A、B的对应点同时落在⊙O上，试画出旋转后的图形 (用阴影部分表示) ，并直接写出点Q的坐标．1x2+mx+n的图像与x轴交于点A、B，与1、在平面直角坐标系中，二次函数y=-2y轴交于点C．已知A（4，0）、B(-1，0) ．将△BOC绕某一点R顺时针旋转90°后，正好有两个顶点落在抛物线上，直接写出顶点O的对应点O ’的坐标和点R的坐标．2、如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，交Y轴于C，顶点为D，对称轴交x轴于点H .将该抛物线沿直线y＝x＋5的方向平移，当抛物线经过点A时，抛物线与x轴的另一个交点为点F，对称轴为直线m．①求点F的坐标；②将△ADH绕某一点旋转180°后，正好有两个顶点落在平移后在抛物线上，直接写出顶点H的对应点H ’的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求∠ABC的度数；（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为，求点D的坐标；（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．拓展应用：3x+m与x轴、y轴分别交于点1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=41x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为A和点B（0，﹣1），抛物线y=2C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．。
就《旋转变换中不变关系探究》来谈一谈在平移与旋转这两种
就《旋转变换中不变关系探究》来谈一谈在平移与旋转这两种图形变换的教学过程中的一些教学策略以及一些需要注意的问题.“数学课程标准（2011 版）”中把“空间与图形”这一领域的名称改为“图形与几何”，其中图形是指这一领域研究的对象，几何是指研究的方法. 由此这一领域由原来的四条主线——图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明，也相应变为三条主线——图形的性质、图形的变化、图形与坐标. 这三条主线恰好是研究图形的三种方法. 其中图形的性质体现了欧氏几何中的演绎证明，图形的变化体现了变换几何的运动变化，图形与坐标体现了解析几何中的量化分析.其中“图形的变化”主要内容有图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转、图形的相似、图形的投影.我们主要研究图形的平移和旋转.将一个平面图形 F ，按一定方向移动一个定距离，形成一个新图形，这个运动过程就是平移变换. 在平移变换下，对应线段平行或共线且相等，对应角两边分别平行且方向一致，对应角相等.所以，在平移变换下，可以把一个角在保持大小不变、角的两边方向不变的情况下移动位置. 也可以使线段在保持平行且相等的条件下移动位置，从而达到将相关几何元素相对集中的作用.将平面图形F 绕这个平面内一定点O 按一定方向旋转一个定角，得到一个新图形，这个运动过程叫做旋转变换，其中O 叫旋转中心，叫旋转角. 旋转角为180 °的旋转变换叫中心对称变换. 在旋转变换下，对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段所成的角相等，且等于旋转角.因此，图形变换的教学核心是研究各种变换之下的不变性，在教学时要借助丰富的大量实例帮助学生形成运动的观点，并教会学生从运动变化的视角去观察图形、思考问题.图形变换不仅仅是课程标准新增加的一个知识内容，而且作为一个工具去探究几何图形、函数图象的性质，增加了一个思考问题的视角，使得我们对图形不仅有静态的认识还有动态的理解. 在建立平移、旋转概念及探索平移、旋转性质的过程中，让学生体会在变换过程中寻找图形不变的位置关系和数量关系，初步建立空间观念，发展几何直觉.概括起来说，我们之所以在初中阶段学习变换，一方面是因为图形的轴对称性、旋转对称性是图形的属性的体现，另一方面也是认识图形的另一个重要角度.本节课以一对共顶点的三角形为背景，从特殊到一般研究在图形旋转变化过程中线段和角的一些不变关系，帮助学生进一步理解旋转变换的相关性质以及旋转变换在形成图形结构中所起的作用. 同时，在探究过程中渗透从特殊入手再拓展到一般的研究问题的方法.这节课有以下特点：1．突出了图形旋转变换中变与不变的关系本节课在探究活动中始终突出旋转变换前后图形中各对应元素间的“变”与“不变”的相互关系. 在教学过程中，要抓住旋转的初始位置的认识，识别共顶点的等腰直角三角形在旋转过程中可以形成旋转全等三角形. 当其中一个图形旋转变化到新的位置时，利用旋转的基本性质——对应边相等，对应角相等，旋转角相等，仍然得到旋转全等关系. 当进一步改变图形的形状后，保留了两对等线段，两个共顶点的等角的条件后，这个旋转全等关系依然存在. 最后当把图形变化为两个相似图形时，得到的旋转全等三角形也相应变为旋转相似三角形.先为学生提供了一对共顶点的等腰直角三角形这样一个特殊位置的图形背景.如图 1 ：在△ AOB 、△ DOC 中, ∠ BOA= ∠ COD=90°，CO=DO, 判断AC 与BD 的关系？并说明理由.在这个初始位置背景下，设计以下一系列的探究活动.活动一：△ AOB 的位置不动，将△ DOC 从图1 的初始位置绕着点O 旋转到图2 终止位置时，请说出这个变换过程中的旋转中心、旋转方向、旋转角各是什么？继续观察图形你还有哪些结论？在这个探究环节中，引导学生关注旋转变换的要素分析，如旋转中心、旋转角等. 一方面复习了旋转变换的相关性质，一方面也为下面探究“共顶点的等腰三角形形成共顶点的旋转全等三角形”这一图形结构做了铺垫. 在这里，两个等腰三角形和两个旋转全等三角形所共的顶点即为旋转中心，而旋转角相等这一性质也恰好为证明全等三角形提供对应角相等，而旋转变换中的对应边相等这些性质也恰好是由两个等腰直角三角形的等腰提供的条件.周志英：在这个视频中，我们看到，当学生猜测出AC=BD，AC ⊥ BD ，引导学生根据旋转的性质进行推理证明. 在△DOC 旋转过程中，与原三角形AOB 形成了一对新的旋转全等三角形△ AOC 和△ BOD. 在这个过程中，应该说有两个旋转过程，一是△DOC 从初始位置旋转到如图所示位置，另一个是就是△AOC 和△ BOD 的旋转对应关系. 要想证明AC ⊥ BD ，必须明确这两个旋转变换过程中的旋转中心和旋转角度以及变换前后图形和它的各对应元素间的“变”与“不变”的相互关系.另外，在这个环节中，分析∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 这些角的关系时，用红色的粉笔标示这四个角所在的三角形△AMP 和△ BMO ，这两个三角形是一对相似三角形. 我觉得这实际上向学生渗透了如何在复杂图形中识别基本图形的方法，值得称道.2．突出了“数学化”探究的过程本节课中探究过程层次清晰，目标明确.第一层次，以共顶点、共直角边的一对等腰直角三角形为基本图形，得到AC=BD，AC ⊥ BD. 然后将等腰直角三角形OCD 绕点O 旋转到不同位置，探究线段AC 、BD 的相等关系和垂直关系是否还存在. 在探究中，引导学生发现“经过旋转变换后三角形的位置发生了改变，在这个变化过程中，有哪些线段的数量关系不变，哪些角的大小关系不变. ”学生经过探究后，发现这样的结论——旋转△ DOC 的过程中，△ DOC 在不同的位置与△ AOB 都会形成一对旋转全等三角形△ AOC 和△ BOD. 在这个变化过程中，旋转中心始终不变，但△ DOC 在旋转过程中与其初始位置的旋转角度不同，所以形成的∠ AOC 的大小也不同，但旋转全等三角形△ AOC 和△ BOD 的对应角相等这一结论没有改变.第二层次，将共顶点、共直角边的两个等腰直角三角形拓展为两个等边三角形、等腰三角形，进一步探究线段AC 、BD 的数量关系和位置关系. 在这个探究过程中，引导学生发现“AC 与BD 的相等关系依然成立，而AC 、BD 所成的角度则由背景三角形的不同而不同，如果是等边三角形，则AC、BD 所成的角度是60 度，如果是等腰三角形，则AC、BD 所成的角度是这个等腰三角形顶角的度数.第三层次，将共顶点、共直角边的两个等腰直角三角形进一步拓展为满足下列条件的两个任意三角形，探究线段AC、BD 的数量关系和位置关系.活动三：如图，在△ AOB 中，CD ∥AB，，∠ COD= ∠ AOB= α，将△ COD 绕点O 旋转，连结BD 、AC ，判断AC 与BD 的数量关系和位置.在这个探究过程中，共顶点这一图形结构特征没有改变，变换方式依然是其中一个三角形不动，将另一个三角形绕所共顶点旋转任意位置. 只是将背景三角形由等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形拓展为任意三角形，所以三角形中“边等”的这个条件也随之一般化为，因此，原来所形成的旋转全等三角形也一般化为旋转相似三角形，所以AC 与BD 的数量关系也相应地由“AC=BD ”一般化为“AC ：BD=OC ：OA”.第四层次，总结提升. 每个探究过程都依照“猜想--- 证明--- 拓广”的方式展开，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，以及特殊到一般的探索与发现过程，从而培养学生提出问题、解决问题的能力.3．突出为学生提供了充分思考和交流的空间本节课中，孙老师把每一个问题都设计为开放性、研究性的小课题，并以“自主探索，大胆猜想，启发诱导，数学证明，分组讨论，合理拓广”为主要教学方法，在探究“利用变换的思想来研究几何图形的数量关系和位置关系”的过程中为学生提供了充分思考和交流的空间，帮助学生理解并掌握“在旋转变换中如何抓住不变量，来探究线段和角的位置关系和数量关系，并进一步体会从特殊到一般的研究问题的方法”. 同时，还很关注学法的指导，引导学生通过猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，并探索解决问题策略、方法的多样化，以及让学生反复经历了“由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；由文字或符号作出或画出图形”的探究过程. 这恰恰也是形成空间观念的一个重要过程.对本节课的建议：在探究图形变换过程中，可以再进一步明确旋转变换的要素在形成图形结构中的作用. 我们研究图形性质时最终都要转化为研究构成图形的基本元素线段和角的位置关系和数量关系，而全等三角形是研究线段和角相等关系的一个重要工具. 初中阶段从静态和动态两个角度研究了三角形全等，边边边、边角边、角边角、角角边等判定定理是从静态角度来研究，而平移、旋转、轴对称则是从运动变化的角度来研究，边和角在运动状态与静止状态的对应关系取决于变换本身，如平移变换中由于产生平行可以提供角等，而旋转变换由于产生旋转角所以也可以提供角等. 所以，深入挖掘变换的性质可以帮助我们深入理解图形结构特征.在这节课中，AC 与BD 的位置关系是由什么来决定的呢？将△ DOC 旋转形成一对旋转全等三角形△ BOD 和△ AOC，进一步分析这一对旋转三角形的对应关系，可以发现旋转角度为∠ COD 的度数，即对应点与旋转中心所连线段的夹角. 将这一性质推广，可以得到旋转变换中，对应边所成的角等于旋转角. 所以AC 与BD 这组对应边所成的角等于∠ COD 的度数. 当这个图形结构分析清楚之后，就不难理解探究中的最后一个图形的结论：对任意△ AOB ，将△ COD 绕O 旋转后，都有AC 与BD 的夹角等于∠ AOB 的度数.另外，这节课作为旋转变换在具体问题中的应用，总结时还可以进一步分析：在这个图形结构中出现了两次旋转，一是两个等腰三角形（或等边三角形、或正方形等）在共顶点的位置上的旋转变换，一是一对旋转全等三角形在共顶点的位置上的旋转变换，这四个图形以所共的顶点为旋转中心，以等腰三角形顶角的角度为旋转角度. 反过来，若已知△ COD 和等腰直角三角形AOB ，当AC=BD ，AC ⊥ BD 时，可以利用旋转变换探究得到△ COD 也是等腰直角三角形.。
初三数学--几何图形的不变性
几何图形的不变性（1）一．知识要点：关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充；二是向相对更为特殊的方向深入。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律；从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律；Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解法二．例题解析：1．如图（1），在中，交BA的延长线于点G。
一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。
（1）（2）（3）（1）在图（1）中请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与满足的数量关系，然后证明你的猜想。
（2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交边于点D。
过点D作于点E。
此时请你通过观察、测量与的长度，猜想并写出与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。
拉普拉斯算子的旋转不变性
拉普拉斯算子的旋转不变性：
拉普拉斯算子是图像处理中常用的线性算子，它具有旋转不变性这一特点。
所谓旋转不变性，就是指算子对于图像的旋转操作不会改变其结果，即旋转图像前后算子的结果相同。
这是因为拉普拉斯算子是由二阶导数构成的，二阶导数是对图像的纹理和边缘进行检测的，而图像的纹理和边缘在旋转操作后不会改变。
因此，拉普拉斯算子具有旋转不变性。
拉普拉斯算子的旋转不变性使得它在图像处理和计算机视觉领域有着广泛的应用, 比如图像边缘检测, 图像锐化, 图像去噪等。
旋转不变式原理
旋转不变式原理旋转不变性原理引言在数学和物理学中，旋转不变性原理是一种重要的概念。
它指出，某些性质在旋转变换下保持不变。
这个原理被广泛应用于各个领域，包括几何学、力学、电磁学等。
本文将从几何学和力学的角度来探讨旋转不变性原理的应用。
一、几何学中的旋转不变性原理几何学是研究空间形状、大小和属性的学科。
在几何学中，旋转不变性原理是一种重要的概念。
当我们对一个图形进行旋转变换时，有些性质保持不变，例如面积、周长和内角和。
这些性质被称为旋转不变量。
根据旋转不变性原理，我们可以通过计算图形的旋转不变量来判断它们是否相似或相等。
例如，在判断两个三角形是否相似时，我们可以通过比较它们的边长比例和角度来计算它们的旋转不变量。
如果两个三角形的旋转不变量相等，那么它们就是相似的。
旋转不变性原理在几何学中还有其他应用。
例如，在计算物体的惯性矩阵时，我们可以利用旋转不变性原理来简化计算。
通过选择合适的坐标系，我们可以使物体的惯性矩阵对角化，从而简化计算过程。
此外，旋转不变性原理还可以用于解决一些几何问题，例如寻找最优解或证明一些定理。
二、力学中的旋转不变性原理力学是研究物体运动和相互作用的学科。
在力学中，旋转不变性原理也是一种重要的概念。
当我们对一个物体施加一个旋转力矩时，有些物理量保持不变，例如角动量和角速度。
这些物理量被称为旋转不变量。
根据旋转不变性原理，我们可以通过计算物体的旋转不变量来描述它的旋转运动。
旋转不变性原理在力学中有许多应用。
例如，在刚体动力学中，我们可以利用旋转不变性原理来推导刚体的运动方程。
通过将刚体的旋转不变量与力矩和角加速度联系起来，我们可以得到刚体的运动方程。
此外，旋转不变性原理还可以用于解决一些力学问题，例如寻找平衡位置或计算刚体的动能和势能。
结论旋转不变性原理是一种重要的概念，它在几何学和力学中有广泛的应用。
在几何学中，旋转不变性原理可以用于判断图形的相似性、简化计算和解决几何问题。
在力学中，旋转不变性原理可以用于描述物体的旋转运动、推导运动方程和解决力学问题。
6.7刘焕宇旋转讲义(含答案)
(一)旋转的基本概念1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
(注:旋转不改变图形的形状和大小)。
旋转“四要素”:一个图形、一个定点、一个方向、一个角度.2. 旋转的性质：“三特点”(1)对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)旋转不改变图形的形状和大小。
3. 旋转图形的形成描述：“五说明”基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角.这个图案可以看成是绕点按时针方向旋转次，分别旋转前后的所有图形共同组成的。
(二)中心对称1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．*中心对称与一般的旋转的联系和区别:联系：中心对称和一般的旋转都是绕着某一点进行旋转；区别：中心对称的旋转角度都是180°，一般的旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．2.中心对称的性质:（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形．(三)中心对称图形1.中心对称图形的定义:如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．例: 线段、平行四边形是中心对称图形．2．区分中心对称和中心对称图形的概念3.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x,y ）关于原点O 的对称点P /（-x,-y ）．(1)把点 P 绕原点顺时针旋转 90°，得到点 P ′，这两点的坐标之间有什么关系？ 设点 P 的坐标是（a ，b ），那它旋转后就应该是（b ，-a ）. a 变成纵坐标，符号变；b 变成横坐标，符号不变． (2) 把点 P 绕原点逆时针旋转 90°，得到点 P ′，这两点的坐标之间有什么关系？设点 P 的坐标是（a ，b ），那它旋转后就应该是（-b ，a ） a 变成纵坐标，符号不变； b 变成横坐标，符号变． （四）旋转变换的应用 1.旋转的性质2.常见的几种基本旋转图形3.辅助线的添加方法AB=AC AC=BC, 90ACB ∠= AB=BC=AC AB=BC=CD=DA, 90C ∠=AB=BD=DE=AE, AC=CG=GF=AF AB=AD=BD,AC=CE=AE正方形ABCD, 45EAF ∠=, 则EF=DE+BF若AB=AC,90BAC ∠=, 45DAE ∠=,则BD EC DE +>或222BD EC DE += 若12EAD BAC ∠=∠,AB=AC,则则ED BD EC >+若12EAF BAD ∠=∠,AB=AD,则则180B D ︒∠+∠=,则EF BE DF =+（1）图形中出现等边三角形、等腰三角形和正方形，通常旋转60度或90度 （2）图形中有线段中点，通常旋转180度（3）图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数。
旋转不变性及轴对称性的应用
旋转不变性和轴对称性的应用上自习课时，小磊问了一道思考题：△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°，点P为三角形内的一点，PA=3,PB=5，PC=2，求△ABC的面积。
一、平移的应用：架桥问题二、关于轴对称性：关于某条直线对称的两个点的连线被对称轴垂直平分.利用轴对称性，可以解决生活中的建水塔问题、击打台球、光的反射等（1）点A、B在直线的同侧，试在直线上作一点，使其到A、到B的距离和最短；（2）平面直角坐标系中，点A坐标为（1，-1），点B坐标为（3，-0.5）,M、N 是横轴正半轴上的两点，且MN=1，求使四边形ABMN周长最小时M的坐标；（3）平面直角坐标系中，点A（1,5），点B（3，-1），在横轴上找一点M，使得AM-BM 最小，则M的坐标是？三、关于等边三角形的旋转不变性：以等边三角形为代表的正多边形具有两大核心性质：轴对称性和旋转不变性。
正多边形中的边角等性质其实都是这两大核心性质的具体体现。
很多与正多边形有关联的问题都需要用这两大性质去分析，使问题得以解决。
以等边三角形为例，如图：等边△ABC有三条对称轴，交于点P；同时，△ABC绕点P旋转n与原图形重120合。
AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，PA=PB=PC.点P为等边△ABC内一点，PA=2，PB=3，PC=5，求∠APC的度数。
点P为等边△ABC外一点，PA=5，PB=3，∠APC=30°，求PC的长度。
点P 从特殊位置到一般情况，从三角形内到形外，都利用了旋转不变性。
利用上述思路，你能解决思考题吗？另外，以菱形为代表的平行四边形也可以利用旋转不变性解决问题.如：菱形ABCD 中，AB=BD ，E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连结BF 、DE ，交于点G ，连结CG ，交BD 于点H ，求证：（1）△ADE ≌△DBF ；（2）243CG S BCDG ⋅=；（3）若AF=2DF,则BG=6FG.分析：（1）易证；（2）可联想等边三角形的面积公式，以点C 为中心旋转△BCG 或△DCG ，将四边形转化为正三角形来解决；（3）在（2）的基础上得DG:GC=DF:BC =1：3，即BQ:GQ=1：3，则BG=2BQ=6FG.已知如图，正方形ABCD 中，AB=4，点E 为BC 边的中点，AE 、BD 交于点F,DE 、CF 交于点G ，点P 为DE 的中点，下列说法中，正确的有 。
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旋转不变性
旋转变化过程中的不变关系往往是解题的关键！
引例：如图，将Rt ABC
∆放置在平面直角坐标系中，AC在x轴上，点A在以O为圆心，5为半径的圆上，，点A的坐标(5,0)
--
-，点B的坐标(1,2)（1）将R t A B C∆绕x轴上某一点P旋转180°后，使得点A的对应点落在⊙O上，试画出旋转后的图形 (用阴影部分表示) ，并直接写出点P的坐标；（2）将Rt ABC
∆绕平面内的某一点Q旋转180°后，使得点A、B的对应点同时落在⊙O上，试画出旋转后的图形 (用阴影部分表示) ，并直接写出
点Q的坐标．
1x2+mx+n的图像与x轴交于点A、B，与1、在平面直角坐标系中，二次函数y=-
2
y轴交于点C．已知A（4，0）、B(-1，0) ．将△BOC绕某一点R顺时针旋转90°后，正好有两个顶点落在抛物线上，直接写出顶点O的对应点O ’的坐标和点R的坐标．
2、如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，交Y轴于C，
顶点为D，对称轴交x轴于点H .将该抛物线沿直线y＝x＋5的方向平移，当抛物线经过点A时，抛物线与x轴的另一个交点为点F，对称轴为直线m．
①求点F的坐标；
②将△ADH绕某一点旋转180°后，正好有两个顶点落在平移后在抛物线上，
直接写出顶点H的对应点H ’的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，二次函数y=x2+c的图象抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若点D是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为，求点D的坐标；（3）若将△OBC绕平面内某一点顺时针旋转60°得到△O′B′C′，点O′，B′均落在此抛物线上，求此时O′的坐标．
拓展应用：
3x+m与x轴、y轴分别交于点1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=
4
1x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为A和点B（0，﹣1），抛物线y=
2
C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．。