矩阵理论在信号系统中的应用

五邑大学研究生矩阵理论论文

矩阵理论在信号系统中的应用

摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。

状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。

状态向量：如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示，并把这些状态变量看做是

向量X （t ）的分量，则向量X （t ）称为状态向量，记为()()()()12n x t x t X t x t ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

或者()()()()12T n X t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦

状态空间：以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。

状态方程：描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组

线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性

零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。

一、线性系统状态方程：

A ：表示系统内部状态关系的系数矩阵

B ：表示输入对状态作用的输入矩阵

从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u （t ），来求解状态方程的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件：如果系统A 、B 的所有元在时间定义区间

[]0t t α上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[]0t t α上是连续

实函数，则其状态方程的解X(t)存在且唯一。

()()[]

()()0

)0(x t t :)(x t t :0

000≥=+=∈=+=t x Bu A t t t x t Bu A x x

x x 时不变时变α

二、连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析

给定线性定常系统的状态方程和初始值：

由（1）所描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为：

三、解的含义

（1）如果将 t 取为某个固定值，那么零输入响应 , 即为状态空间 中由初始状态 经线性变换 所导出的一个变换点。因此系统的自由运动就是由初态 出发，并由 的各时刻的变换点所组成的一条轨迹。 （2）自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数 所唯一地决定。 （3）如果当 时，自由运动轨迹最终趋向于系统的平衡状态 x=0, 则称系统是渐近稳定的。

线性定常系统渐近稳定充分必要条件为：

四、矩阵指数函数的性质：

k

k k k At

t A t A At I e

n n n n A n x t x x A ∑∞

==++

+=⨯⨯≥==0!12

2!

21,0,)

1(0

)0( 的矩阵函数

定义常阵为维状态向量为其中x x 0

)(00≥=t x e t x At u ∞→t 0x At e 0x 0

x At e )(0t x u 0lim =∞→At t e )

()()()()

()(1)(00

t 020*******,

7

,2,1,0)(,6:

5,,,4)(:

,3,2lim 1t t A t t A t t A At At t t A mt A m At At At At dt

d

At At

Ft Ft At t F A At

At At At

A A At t A A At e e e e e e m e e A A

e Ae e t e e e e e e FA AF F A F A n n e e e e e e e e t I

e I

e ---++--+→=========⨯=====性质必成立

对给定方阵性质的导数为对性质则必成立

即是可交换的和如果和常阵设有性质且其逆为总是非奇异的性质则必成立

为两个自变量和令性质即

性质 ττττ

综上可知，求解问题的关键，就是已知矩阵A ，如何求解矩阵指数函数At e 的问题。

五、At e 的计算方法

1.无穷级数法（定义法）

根据定义直接计算辞职无穷级数

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=t a t

a t a At nn nn e e e e a a a A A 00:00:822112211

则有为对角线阵若性质为变换阵重特征值的为式中即变为约当标准形经过非奇异变换后若性质T n A J AT T J A n n ,0101:,,911111λλλλ⨯-⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡== δ

ϖϖ

δϖδλλ-=±=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯-----A j A t t t t

t t e e e n n n n n n t Tt t AT T :10

100000101:2,12)!2(11)!1(12!21)(11

即有两个共轭复数特征值若性质则有 t Cos t t

Sin t Cos e e t

At ϖϖϖϖδsin :-=则有k

k k k k k k At t A t A t A At I e ∑∞

==++++=0

!1!12!21