五年级奥数.行程. 时钟相遇与追及问题( AB级). 教师版
五年级奥数相遇与追及问题教师版
1、 五年级奥数相遇与追及问题教师版2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的4、 培养学生的解决问题的能力一、相遇甲从A 地到B 地,乙从B 地到A 地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A ,B 之间这段路程,如果两人同时出发,那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间.一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即=t S V 和和二、追及有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即=t S V 差差例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t 后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为v 甲和v 乙,那么我们可以看到经过时间t 后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t 追了乙5米知识精讲教学目标相遇与追及问题三、在研究追及和相遇问题时,一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中,2个物体所运行的时间相同(2)在整个运行过程中,2个物体所走的是同一路径。
⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩÷⎧⎪⨯⎨⎪÷⎩路程=速度和相遇相遇速度和=路程相遇相遇=路程速度和追及=追及路程速度差追及追及路程=速度差追及速度差=追及路程追及模块一、直线上的相遇问题【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。
五年级奥数行程环形跑道教师版
五年级奥数行程环形跑道教师版The document was prepared on January 2, 2021本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端同向：路程差 nS nS +相对(反向)：路程和nS【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆【题型】解答例题精讲知识框架环形跑道【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254÷+=÷=（分钟）．【答案】4分钟【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
五年级奥数.行程 .多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
五年级钟表问题之相遇与追及奥数拓展
钟表问题之相遇与追及奥数拓展知识点1.钟表问题时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
2.我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
3.时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
①对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
②分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度③时针速度：每分钟走 1/12 小格，每分钟走0.5度4.注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
简单的分类：①环形时钟的时针和分针的追及和相遇的问题，具体体现的就是路程转换为角度问题。
②时间标准问题和闹钟问题，这类问题是因为问题闹钟的原因导致时钟比标准钟快或者慢，引发的时间问题。
解决这类问题需要的就是十字交叉法。
典型例题例1、三点钟到四点钟之间，分针与时针在什么时候重合？【练习1】有一座时钟现在显示10时整。
那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过几分钟分针与时针第二次重合?（答案写成假分数的格式）【练习2】钟表的时针与分针在4点几分第一次重合？（答案写成假分数的形式）【练习3】现在是3点，几分钟之后时针与分针第一次重合？（答案写成假分数的形式）例2、七点钟到八点钟之间，分针与时针在什么时候成直线？【练习4】4点钟到5点钟之间，分针与时针在什么时候成直线？A、4点600/11分B、4点600/13分C、4点45分D、4点47分【练习5】1点钟到2点钟之间，分针与时针在什么时候成直线？A、1点420/11分B、1点420/13分C、1点35分D、1点37分【练习6】8点钟到9点钟之间，分针与时针在什么时候成直线？A、8点120/13分B、8点120/11分C、8点13分D、8点10分例3、一点钟到两点钟之间，分针与时针在什么时候成直角？【练习7】2点钟到3点钟之间，分针与时针在2点____分时第一次成直角？（答案写成假分数的形式）【练习8】5点钟到6点钟之间，分针与时针在什么时候成直角？A、5点120/11分B、5点480/11分C、两个都对D、两个都不对【练习9】8点钟到9点钟之间（不包含9点钟），分针与时针在8点______分成直角？（答案写成假分数的形式）例4、一只闹钟每小时慢4分钟，标准钟三点半时，此钟与标准钟对准，现在标准时间是十点半。
五年级奥数.行程.-时钟相遇与追及问题(-AB级).-教师版
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。
对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走112小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。
另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511分。
【例 1】当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？ 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆【题型】解答【解析】 142.5度 【答案】142.5度例题精讲知识框架时钟追及与相遇问题【巩固】 在16点16分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】填空【解析】 16点的时候夹角为120度，每分钟，分针转6度，时针转0.5度，16：16的时候夹角为120-6×16+0.5×16=32度.【答案】32度【例 2】在一段时间里，时针、分钟、秒针转动的圈数之和恰好是1466圈，那么这段时间有 秒。
【考点】行程问题之时钟问题【难度】☆☆【题型】解答【解析】 解：它们的速度比为1:12:720,所以秒针转了1466÷（720+12+1）×720=1440圈.即1440×60=86400秒【答案】86400秒.【巩固】 在一段时间里，时针、分钟、秒针正好走了3665小格，那么这段时间有 秒。
五年级数学时钟相遇与追及问题(含答案)
五年级数学时钟相遇与追及问题(含答案)时钟问题是关于时针和分针的追及或相遇问题，可以看作是一个特殊的圆形轨道问题。
时钟问题包括时钟的快慢、周期和时针与分针所成的角度等。
不同于其他行程问题，时钟问题的速度和总路程的度量方式是指针“每分钟走多少角度”或“每分钟走多少小格”，其中分针速度为每分钟走1小格或6度，时针速度为每分钟走1/12小格或0.5度。
但是对于一些“怪钟”或“坏了的钟”，它们的速度可能与常规时钟不同，需要进行独立分析。
时钟问题可以视为行程问题，其中分针快，时针慢，因此分针与时针的问题就是追及问题。
解决时钟的快慢问题时，可以使用十字交叉法。
例如，在标准时钟中，时针与分针从一次重合到下一次重合所需时间为65.5分。
例1中，当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角为142.5度。
例2中，时针、分钟和秒针转动的圈数之和为1466圈，求这段时间有多少秒。
解答中，它们的速度比为1:12:720，因此秒针转了1440圈，即秒。
在一段时间里，时针、分钟、秒针正好走了3665小格，那么这段时间有多少秒？解析：它们的速度比为1:12:720，所以秒针转了3665÷（720+12+1）×720=3600小格，即3600秒。
答案：3600秒。
有一座时钟现在显示10时整。
那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？解析：在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“l/12”，再过54/11分钟，时针与分针将第一次重合。
第二次重合时显然为12点整，所以再经过65分钟，时针与分针第二次重合。
标准的时钟，每隔65分钟，时针与分针重合一次。
答案：54分钟。
钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？解析：此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是1/11.如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“l/12”。
五年级奥数.行程 .多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
第12讲 行程问题之相遇追及.含答案.5年级数学.尖子班.秋季.教师版
1. 掌握相遇追及基本公式，并且会利用公式解决直线上的相遇追及问题；2. 掌握相遇追及基本公式，并且会利用公式解决环形行程的相遇追及问题；3. 掌握解决复杂行程问题的方法：包括多次相遇追及、多人相遇追及问题。
多次相遇追及一次相遇追及多人的相遇追及两人的相遇追及行程问题相遇追及问题火车过桥问题流水行船问题直线上的相遇追及环形跑道上的相遇追及行程问题在历年各类小学奥数竞赛试题中，都占有很大的比重，同时也是小学奥数专题中的难点。
行程问题经常作为一份试卷中的压轴难题出现。
提高解决行程问题的能力不仅能帮助学生各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为学生在今后初中阶段的数学、物理等学科打下良好的基础。
在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题。
相遇问题：路程和=速度和⨯时间追及问题：路程差=速度差⨯时间多次相遇追及问题：“线段示意图”和“折线示意图”是解决这类问题的常用方法。
在相遇问题和追及问题中有以下几种特殊情况，本讲不作专门的介绍，但是学生可以了解一下： 发车间隔问题： 汽车间距=汽车速度⨯汽车发车时间间隔汽车间距=（汽车速度+行人速度）⨯相遇事件时间间隔汽车间距=（汽车速度-行人速度）⨯追及事件时间间隔流水问题和自动扶梯问题：本类题目解题的关键在于将其转化为相遇问题和追及问题来做。
另外，行程问题通常和分数应用题，列方程解应用题结合起来，巧妙的运用一些代数的方法解决，通常可以取得事半功倍的效果。
还有一些行程问题，运用比例知识解决也是非常便捷的：速度一定，时间和路程成正比；时间一定，速度和路程成正比；路程一定，速度和时间成反比。
碰到综合性问题，可以先把综合性问题分解成几个单一问题，然后逐个解决。
第十二讲行程问题之相遇追及【例1】 【超常班、超常3班、超常2班、超常1班】甲乙两地相距60km ，小王骑车以10/km h 的速度在上午8点从甲地出发去乙地。
过了一会儿，小李骑车以15/km h 的速度也从甲地去乙地。
五年级春季班第2讲(相遇与追及问题)教师版
第二讲相遇与追及问题行程问题中主要是围绕速度、时间、路程三个量间的关系展开的，而且我们习惯的认为相向（反向）而行是相遇问题，同向而行是追及问题，但还可以更广义地说只要有路程和、速度和就是相遇问题；只要有路程差、速度差即为追及问题．公式如下：1.相遇问题路程和=速度和⨯相遇时间2.追及问题路程差=速度差⨯追及时间许多行程问题都是把相遇和追及两个形式综合在一起，但语言的表述是有区别的，所以在应用过程中，首先要学会判断这次运动是相遇还是追及，这样解题就有针对性．另外，还要学会画线段图来帮助解题．例题1【提高】甲乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米1.几小时后两车还相距200千米？2.几小时后两车相遇？3.几小时后两车相遇又相距400千米？【分析】（1）6小时；（2）8小时；（3）12小时（奥数精讲与测试114页例1）【集训】两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时黑马在前白马在后．如果黑马每秒跑10米，白马每秒跑12米，几秒后两马相距70米？【分析】60秒（奥数精讲与测试115页例3）例题2【提高】苏步青教授是中国20世纪著名的数学家，有一次他到国外留学，在电车上碰到一位熟悉的数学家，这位数学家即兴给他出了一道数学题：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米．甲每小时走3千米，乙每小时走2千米．甲带着一只狗，小狗每小时跑5千米．这只狗同甲一道出发，当它碰到乙后便转回头跑向甲，碰到甲时又掉过头跑向乙……，如此下去，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米? 车子还没到站，苏步青教授就用一种巧妙的方法将结果算出来了，同学们，你也试一试吧．【分析】根据关系式“路程=速度×时间”，要求狗走的路程，必须知道狗的速度和所用的时间．狗的速度已知，关键是求出时间．由题意知，狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少，这些量无法确知，所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加．仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间．所以，只要求出两人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程．这样，问题就转化为甲乙两人相遇时间的问题．甲、乙两人相遇时间为：50(23)10÷+=（小时)，狗共跑路程为：10550⨯=(千米)．【集训】甲、乙两车同时从A地出发开往B地．出发的时候，甲车比乙车每小时快2.5千米，10分钟后，甲车降低了速度；再过5分钟后，乙车也降低了速度．这时乙车比甲车每小时慢0.5千米．又过了25分钟后两车同时到达B地．那么甲车速度降低了多少？【分析】10千米/小时．（2013年五春第五讲例1）例题3【提高】甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22.5米，丙每分钟走25米．甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙遇乙10分钟后再遇甲，求两镇相距多少米？【分析】8550米（小学奥数总复习下册39页例5）【集训】距432千米，有甲、乙、丙三人．甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问：1.几个小时之后，丙与甲、乙的距离相等？2.几个小时之后，乙与甲、丙的距离相等？3.几个小时之后，甲与乙、丙的距离相等？【分析】（1）11432(3324)719÷+=小时．（2）9小时（2012年五秋第九讲尖3）（3）432(3024)8÷+=小时或5 43211530611÷⨯÷=小时．例题4【提高】甲乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程．【集训】甲乙两辆车的速度分别为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发开到乙地去，出发6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车的速度．例题5【提高】甲、乙两人同时从,A B两地同时出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么,A B两地的距离为多少米？【分析】750（2013年五春第五讲例7）【集训】甲、乙两人分别从,A B两地同时相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到B 地，乙到A地后立即返回．已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么,A B两地相距多少千米？【分析】25千米．（2013年五春第五讲拓展9）例题6【提高】某学校甲、乙两个班的学生到离校24千米的博物馆参观．现在只有一辆汽车．为了尽快让全部学生到达博物馆，两个班商定，由甲班先乘车，乙班先步行，同时出发．当汽车开至途中某地时，甲班学生下车步行去博物馆，汽车立即返回接乙班学生去博物馆，最后两班学生可同时到达博物馆．已知甲、乙两班学生步行速度相同，而汽车速度是学生步行速度的7倍．若学生上、下车及汽车调头的时间都忽略不计，问汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生？【分析】4.8千米（2013年五寒第六讲提3）【集训】100名学生要到离校33千米处的少年宫活动，只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间最少是多少？【分析】2.6小时（2013年五寒第六讲例6）例题7【提高】【集训】甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度之比是3:2，湖的周长是600米，求丙的速度．【分析】24米/分（小学奥数总复习下册42页例9/2013年五春第五讲提3）例题8【提高】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路的两端出发，12分钟内共相遇了几次？（两人同时到达某一点，就看作是相遇）【集训】A,B两地相距1100米，甲乙两人同时从A地出发，在AB两地出发，在AB之间往返锻炼．甲步行每分钟60米，乙跑步每分钟行160米，40分钟后停止运动．甲乙两人第几次相遇时距B地最近？最近距离是多少米？例题9【提高】甲、乙两同学在400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒3米和每秒5米的速度跑步．第一次相遇时甲调头，第二次相遇时乙调头，第三次相遇时甲调头，第四次相遇时乙调头······甲乙第十次相遇时，甲跑了多少米？（不管是迎面，还是追上，只要甲乙同时在同一地点则视为相遇）【分析】3750米．（2012年五秋第九讲拓展5）【集训】甲乙两车同时从同一地点A出发，沿周长为6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头．那么两车出发后第11次相遇的地点距离A有多少米？【分析】3000米．（2012年五秋第九讲尖2）例题10【提高】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上不断行驶，甲车每分钟行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的,A B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点后继续行驶），再过多少分与乙车相遇？【分析】3分钟．（2012年五秋第九讲补充6）【集训】甲、乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需4分钟，乙行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意．问：当两人第15次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？【分析】甲走了26611分钟，乙走了9378111米路程．（小学奥数总复习下册41页例8）例题11【提高】如图所示，大圈是400米跑道，由A 到B 的跑道长是200米，直线距离是50米．父子俩同时从A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B 点便沿直线跑．父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒．如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？【集训】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从A 、B 两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟15厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 321B A练习1甲、乙两车同时从,A B 两地相对开出，第一次在离A 地70千米处相遇．相遇后继续前进，到达对方出发地后都立刻返回，第二次相遇在离B 地50千米处，则,A B 两地间的距离是多少千米？【分析】160千米（2013年五春第五讲练习5）练习2小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A 处相遇．若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A 处相遇．小红和小强的家相距多远？【分析】2196米（小学奥数总复习下册43页闯关4）练习3小英从A 地出发去B 地，同时从B 地开出一辆不断往返于,A B 两地的区间车．80分钟后小英迎面遇到了这辆车，过了20分钟小英又遇到了这辆车．小英从A 地到B 地一共需要多长时间？【分析】800分钟（奥数精讲与测试119页c 卷第4题）练习4甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发到B 地去，甲、乙两车的速度分别是60千米/小时和48千米/小时．有一辆迎面开来的丁车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇．求丙车的速度．【分析】39千米/小时（小学奥数总复习下册44页闯关5）练习5如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒行2米．问：经过多长时间甲第一次看到乙？【分析】2163秒（小学奥数总复习下册45页闯关9）练习6,A B 两地相距18千米，20名学生从A 地前往B 地．现有一辆汽车，每次可乘坐5名学生，车速是学生步行速度的11倍．学生们从A 地步行出发，同时，汽车先从A 地将5名学生送至途中某地，这5名学生下车后继续步行前往B 地．汽车立即返回，在途中与步行的学生相遇，再接5名学生，将他们送至途中某地，这5名学生下车后继续步行前往B 地．汽车再返回接学生……最后，汽车与所有学生同时到达B 地．问在接送学生期间，汽车共行驶了多少千米？【分析】78千米（2013年五寒第六讲练习6）练习7一个游泳池长90米．甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回．照这样往、返游，两人游10分钟：已知甲每秒游3米，乙每秒游2米．二人相遇了几次？练习8如图，在400米的环形跑道上，A ,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟．那么甲追上乙需要时间是多少秒？。
第4讲 行程问题(钟表).含答案.5年级数学.提高班.寒假.教师版
钟表问题&自动扶梯本讲内容时针分针的相遇追及时针分针的夹角扶梯与人的相遇追及行程问题一直都是在研究时间、速度和路程三者之间的关系，之前我们已经学习过一般相遇追及问题，流水行船问题，火车过桥问题以及环形跑道上的多人相遇追及问题，这里我们将继续学习相遇追及问题里面另外两部分：钟表上的相遇追及问题和自动扶梯上的行程问题。
钟表上的相遇追及问题：分针绕钟面一圈需要的时间是60分钟，所以分针每分钟走360606÷=；时针绕钟面一圈需要的时间是12小时，所以时针每分钟走36012600.5÷÷=；分针与时针的速度差是每分钟60.5 5.5-=。
【例1】 【基础】三点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为三点钟的时候时针指向正“3”，分针指向正“12”，它们之间间隔是三大格，所以夹角是33090⨯=度。
【提高】八点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为八点钟的时候时针指向正“8”，分针指向正“12”，它们之间的间隔是四大格，所以夹角是430120⨯=度。
【尖子】两点钟的时候时针和分针夹角是多少度？【分析】 因为两点钟的时候时针指向正“2”，分针指向正“12”，它们之间间隔是两大格，所以夹角是23060⨯=度。
第4讲行程问题—钟表【例2】 【基础】钟面上6点1分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，1分钟以后，分针比时针多走了1 5.5 5.5⨯=，所以此时两针夹角是180 5.5174.5-=。
即钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是174.5。
【提高】钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，10分钟以后，分针比时针多走了10 5.555⨯=，所以此时两针夹角是18055125-=。
即钟面上6点10分时，时针与分针的夹角是125。
【尖子】钟面上6点20分时，时针与分针的夹角是多少度？【分析】 我们注意到6点时，时针与分针夹角是180，20分钟以后，分针比时针多走了20 5.5110⨯=，所以此时两针夹角是18011070-=。
五年级奥数.行程-.多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
小学奥数-行程追及问题(教师版)
行程追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间【例1】★甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？【解析】甲乙两人分别从相距18千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，几小时后甲可以追上乙？18÷（14－5）＝2（小时）【例2】★哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50米，走了10分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？【解析】哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50米，走了10分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？（50×10）÷（70－50）＝25（分钟）【小试牛刀】小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行16千米，小红步行每小时行5千米，2小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？【解析】小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行16千米，小红步行每小时行5千米，2小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？（16－5）×2＝22（千米）【例3】★★一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。
奥数基础二：追及相遇和时钟问题(最新整理)
奥数基础二：相遇、追及（行程）与时钟问题一、行程问题两人的行程问题，从方向看有两种情况：同向或反向。
方向相同，就是两人一前一后，快的从后面追上慢的，这种问题叫做追及问题。
追及实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程），这种情况，要用到两人的速度差。
方向相反的，就是两人面对面起来，直到相遇，所以叫作相遇问题。
这类题实质上是两人一起走了这段路程，要计算路程和，所以要用到速度和。
记住要点：方向相同，速度要相减，方面相反，速度要相加。
1、相遇问题一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。
甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？A、B两地相距9000米，包子和菠萝从A、B两地同时出发相对而行，经过60分钟相遇。
已知包子每分钟走80米，菠萝分钟走多少米？甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？2、追及问题甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行千米，300乙机每小时行千米，飞行小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用34042小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，甲要行多少千米才追上乙？两船同时到达目的地A，问两地距离？甲乙两人要从A地到B地办事。
五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题.教师版
二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：()1007561050+⨯=(米)；甲、乙相遇的时间为：()10508075210÷-=(分钟)；东、西两村之间的距离为：()1008021037800+⨯=(米).【答案】37800米【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答 例题精讲知识框架多人相遇和追及问题【解析】4004502502（）(分钟)．÷-=【答案】2分钟【例 2】在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【考点】行程问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】汽车A在与汽车B相遇时，汽车A与汽车C的距离为：(8050)2260+⨯=千米，此时汽车B与汽车C的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了260(7050)13÷-=小时，那么甲、乙两站的距离为：(8070)131950+⨯=千米．【答案】1950千米【巩固】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．【考点】行程问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．【答案】16500米【例 3】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【考点】行程问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】画一张示意图：图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离：()54.810.8 1.360+⨯=（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A 到甲地需要：130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：130＋65=195（分钟）＝3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.【答案】3小时15分【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×1=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130÷（65-60）=26分钟，所以路程=26×（65+70）=3510米。
五年级奥数行程接送问题教师版
接送问题知识框架一、校车问题——行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
二、常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个三、标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
例题精讲【例 1】某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】车下午2时从学校出发，如图，在C点与劳模相遇，再返回B点，共用时40分钟，由此可知，在从B到C用了÷=分钟，也就是2时20分在C点与劳模相遇．此时劳模走了1小时20分，40220也就是80分钟．另一方面，汽车走两个AB需要1小时，也就是从B点走到A点需要30分钟，而前面说走完BC需要20分钟，所以走完AC要10分钟，也就是说2=．走完AC，BC AC劳模用了80分钟；走完BC，汽车用了20分钟．劳模用时是汽车的4倍，而汽车行驶距离是劳模的2倍，所以汽车的速度是劳模速度的428⨯=倍．【答案】8倍【巩固】张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。
一天，张工程师早上7点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前20分钟。
这天，张工程师还是早上7点出门，但15分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前分钟到厂。
相遇与追及(五年级培优)教师版
课堂目标：学会解决基本行程问题，相遇问题和追及问题的条件以及关系式；画线段图解决复杂行程问题。
重点、难点：相遇中的停留、环形跑道的追及问题行程问题基本关系式速度×时间=路程相遇问题基本关系式：相遇路程=速度和×相遇时间相遇时间=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇时间追及问题基本关系式：追及路程=速度差×追及时间追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间平均速度=总路程÷总时间【课前热身：10分钟】1、小巧骑自行车行2000米，她先用4分钟行了800米，余下的路程她用了8分钟。
问余下的路程每分钟行多少米？【分析】()15088002000=÷-（米/分钟）2、动物游泳健将海豚，3小时游了225千米，照这个速度，再游2小时，它一共游了多少千米？【分析】37523225225=⨯÷+（千米）3、小华从家到少年宫开会，去时骑自行车用了0.5小时，回来乘车，所用时间是去时的一半，少年宫离家6千米，求小华来回平均速度。
【分析】()1625.05.026=÷+÷⨯（千米/小时）相遇与追及4、一辆汽车从甲地到乙地，速度是40千米/小时，6小时行了全程的一半还多30千米。
求甲乙两地相距多少千米？【分析】()420230640=⨯-⨯（千米）【知识点】行程基本关系式 【难度】A 【出处】上海名校试卷【相遇问题】小巧和小亚两人同时从相距40千米的甲、乙两地相向而行，两人经过3小时后仍相距10千米，已知小巧每小时走6千米，小亚每小时走几千米？【分析】()4631040=-÷-（千米/小时）【知识点】相遇问题基本关系式 【难度】A 【出处】小四班讲义A 、B 两地相距2400米，甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相向而行，15分钟后两人还相距75米。
已知甲每分钟行80米，求乙的速度。
奥数基础二：追及相遇和时钟问题
奥数基础二：相遇、追及（行程）与时钟问题一、行程问题两人的行程问题，从方向看有两种情况：同向或反向。
方向相同，就是两人一前一后，快的从后面追上慢的，这种问题叫做追及问题。
追及实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程），这种情况，要用到两人的速度差。
方向相反的，就是两人面对面起来，直到相遇，所以叫作相遇问题。
这类题实质上是两人一起走了这段路程，要计算路程和，所以要用到速度和。
记住要点：方向相同，速度要相减，方面相反，速度要相加。
1、相遇问题一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。
甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？A、B两地相距9000米，包子和菠萝从A、B两地同时出发相对而行，经过60分钟相遇。
已知包子每分钟走80米，菠萝分钟走多少米？甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？2、追及问题甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，甲要行多少千米才追上乙？两船同时到达目的地A，问两地距离？甲乙两人要从A地到B地办事。
五年级奥数.行程. 多次相遇和追及问题(B级 ).教师版
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】 2倍。
解：如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程相等，即2AC CB =,推知23AC AB =.第一次相遇时，甲走了43AB BC AB +=,乙走了23AC AB =,所以甲车速度是乙车的2倍。
【答案】2倍【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
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3 （分） 11
3 分 11
【例 5】时钟的时针和分针在 6 点钟反向成一直线，问：它们下—次反向成—直线是在什么时间?(准确到 秒) 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】 时针、分针下一次反向成一直线是在 7 点以后，这时分针应比时针多走钟面上 5 格，分针每分钟 走 1 格，时针每分钟走
1 小格，每分钟走 0.5 度 12
注意 ： 但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟” ，或者是“坏了的钟” ，它们的时针和分 针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及 问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 65
【解析】 分针追了 360（度） ， 360 (6 0.5) 【答案】 65
720 5 65 （分） 11 11
2
小时)，时针的速度为分针速度的 【答案】 54
1 1 ．如果设分针的速度为单位“l” ，那么时针的速度为“ ” ． 12 12
6 分钟 11
【巩固】 钟表的时针与分针在 4 点多少分第一次重合？ 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】 此题属于追及问题， 追及路程是 20 格， 速度差是 1 （分） 。 【答案】 21
1 格. 12
3
5÷(1－
1 60 5 5 )＝ ＝ 5 ， ×60≈27。 12 11 11 11
即在 7 点 5 分 27 秒，时针、分针再次反向成一直线。 【答案】7 点 5 分 27 秒
【巩固】 时钟的时针和分针在 9 点多反向成一直线，问：下—次反向成—直线经过了多长时间? 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】解答
时钟追及与相遇问题
知识框架
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别 是时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟 上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千 米每小时，而是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格” 。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为 360 度，上面有 12 个大格，每个大格为 30 度；60 个小格，每个小格为 6 度。 分针速度：每分钟走 1 小格，每分钟走 6 度 时针速度：每分钟走
秒。
【解析】 解：它们的速度比为 1:12:720,所以秒针转了 1466÷ （ 720+12+1） ×720=1440 圈 .即 1440× 60=86400 秒 【答案】86400 秒.
【巩固】 在一段时间里，时针、分钟、秒针正好走了 3665 小格，那么这段时间有 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆
5 分。 11
例题精讲
【例 1】当时钟表示 1 点 45 分时，时针和分针所成的钝角是多少度？ 【考点】行程问题之时钟问题 【解析】 142.5 度 【答案】142.5 度 【难度】☆☆ 【题型】解答
1
【巩固】 在 16 点 16 分这个时刻，钟表盘面上时针和分针的夹角是____度. 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】填空
差是 1 【答案】 27
3 分 11
【巩固】 2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？ 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】解答
【解析】 根据题意可知， 2 点时， 时针与分针成 60 度， 第一次垂直需要 90 度， 即分针追了 90+60=150（度） ，
150 (6 0.5) 27
秒。 【题型】解答
【解析】 解：它们的速度比为 1:12:720,所以秒针转了 3665÷（720+12+1）×720=3600 小格.即 3600 秒 【答案】3600 秒.
【例 3】有一座时钟现在显示 10 时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟， 分针与时针第二次重合?
6 分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为 12 点整，所以再经过 11 6 5 5 65 分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔 65 分钟，时 11 11 11
(12 10) 60 54
针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有 12 个， 即为小时数 ； 小刻度有 60 个，即为分钟数．所以时针一圈需要 12 小时，分针一圈需要 60 分钟(1
【考点】行程问题之时钟问题源自【难度】☆☆【题型】解答
【解析】 在 10 点时，时针所在位置为刻度 10，分针所在位置为刻度 12； 当两针重合时，分针必须追上 50 个小刻度，设分针速度为“l” ，有时针速度为“ 以，再过 54
1 1 6 ” ，于是需要时间 ： 50 (1 ) 54 ．所 12 12 11
1 11 11 9 所以追及时间是 ： 20 ， 21 12 12 12 11
9 分 11
【例 4】钟表的时针与分针在 8 点多少分第一次垂直？ 【考点】行程问题之时钟问题 【解析】 27 【难度】☆☆ 【题型】解答
3 此题属于追及问题，但是追及路程是 4 40 15 25 格（由原来的 40 格变为 15 格） ，速度 11 1 11 11 3 。 ，所以追及时间是： 25 27 （分） 12 12 12 11
【解析】 16 点的时候夹角为 120 度， 每分钟， 分针转 6 度， 时针转 0.5 度， 16： 16 的时候夹角为 120-6×16+0.5 ×16=32 度. 【答案】32 度
【例 2】在一段时间里，时针、分钟、秒针转动的圈数之和恰好是 1466 圈，那么这段时间有 【考点】行程问题之时钟问题 【难度】☆☆ 【题型】解答