七年级数学乘法公式测试题
七年级数学下册 2.2.3 运用乘法公式进行计算习题 湘教版(2021年整理)
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2.3 运用乘法公式进行计算基础题知识点1 运用乘法公式进行计算1．运用公式(a＋b）(a－b)＝a2－b2计算（a＋b－1）(a－b＋1）,下列变形正确的是(C） A．［a－(b＋1)]2B．[a＋（b＋1）]2C．［a－(b－1）]［a＋(b－1)］D．［(a－b）＋1][(a－b)－1］2．计算（－a＋1)（a＋1）（a2＋1)的结果是(D）A．a4－1 B．a4＋1C．a4＋2a2＋1 D．1－a43．计算(x－y＋1）(x＋y－1）的结果是（D）A．x2－2xy＋y2－1 B．x2－y2－2y－1C．x2＋y2－1 D．x2－y2＋2y－14．计算(a＋1)2(a－1)2的结果是(D）A．a4－1 B．a4＋1C．a4＋2a2＋1 D．a4－2a2＋15．若(a－b－c）·M＝（a－c）2－b2，则M＝a＋b－c．6．计算:（1）(x＋2y)（x2－4y2）(x－2y）;解：原式＝[（x＋2y）（x－2y）］（x2－4y2）＝(x2－4y2)(x2－4y2）＝x4－8x2y2＋16y4.(2）（a＋b－3）(a－b＋3)；解：原式＝[a＋（b－3）][a－(b－3）］＝a2－(b－3）2＝a2－(b2－6b＋9)＝a2－b2＋6b－9。
苏科版七年级数学下册 乘法公式优生辅导测评(Word版含答案)
苏科版七年级数学下册《9-4乘法公式》优生辅导测评（附答案）一．选择题（共8小题,满分40分）1．（2a﹣m）2＝4a2+2a+,则m＝（）A．B．C．D．2．已知多项式4x2﹣2（m+1）x+1是完全平方式,则m的值为（）A．﹣3或1B．﹣3C．1D．3或﹣13．已知a﹣b＝2,a2+b2＝20,则ab值是（）A．﹣8B．12C．8D．94．已知（x﹣1）2＝2,则代数式x2﹣2x+5的值为（）A．4B．5C．6D．75．已知m﹣n＝3,则m2﹣n2﹣6n的值是（）A．7B．8C．9D．106．若n满足（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1,则（n﹣2021）（2022﹣n）的值为（）A．﹣1B．0C．D．17．如图,将长方形ABCD的各边向外作正方形,若四个正方形周长之和为56,面积之和为58,则长方形ABCD的面积为（）A．98B．49C．20D．108．如图,大正方形与小正方形的面积之差是40,则阴影部分的面积是（）A．20B．30C．40D．60二．填空题（共8小题,满分40分）9．若a2﹣b2＝6,a+b＝2,则a﹣b＝．10．已知（x+y）2＝2,（x﹣y）2＝8,则x2+y2＝．11．若x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式,则实数m＝．12．一个正方形的边长增加3,它的面积就增加39,这个正方形的边长是．13．现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张（边长如图）．要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形,先取甲纸片1张,乙纸片4张,还需取丙纸片张．14．计算（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝．15．已知：x+y＝0.34,x+3y＝0.86,则x2+4xy+4y2＝．16．（1）已知x+y＝4,xy＝3,则x2+y2的值为．（2）已知（x+y）2＝25,x2+y2＝17,则（x﹣y）2的值为．（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12,则（x﹣2021）2的值为．三．解答题（共5小题,满分40分）17．计算：（m﹣3）（m+3）﹣（m﹣3）2．18．（1）如图1所示,若大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成如图2所示的一个长方形,则它的面积是；（2）由（1）可以得到一个公式：；（3）利用你得到的公式计算：20212﹣2022×2020．19．计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．20．数学活动课上,老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形,拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：；方法2：．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2,a2+b2,ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系,解决如下问题：①已知m+n＝5,m2+n2＝20,求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34,求（x﹣2022）2的值．21．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式,完成下列各题：①已知：a﹣b＝3,a2﹣b2＝21,求a+b的值；②计算：．参考答案一．选择题（共8小题,满分40分）1．解：∵（2a﹣m）2＝4a2﹣4ma+m2,（2a﹣m）2＝4a2+2a+,∴4a2﹣4ma+m2＝4a2+2a+,∴﹣4m＝2,解得：m＝﹣,故选：D．2．解：∵4x2﹣2（m+1）x+1是完全平方式,∴﹣2（m+1）x＝±2•2x•1,解得：m＝﹣3或1．故选：A．3．解：∵a﹣b＝2,∴（a﹣b）2＝4,∴a2﹣2ab+b2＝4,∴a2+b2＝20,∴20﹣2ab＝4,∴ab＝8,故选：C．4．解：∵（x﹣1）2＝2,∴x2﹣2x+1＝2,∴x2﹣2x＝1,∴原式＝1+5＝6,故选：C．5．解：∵m﹣n＝3,∴m2＝（n+3）2,∴m2＝n2+6n+9,∴m2﹣n2﹣6n＝9,故选：C．6．解：设n﹣2021＝x,2022﹣n＝y,∴x+y＝n﹣2021+2022﹣n＝1,∵（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝1,∴x2+y2＝1,∵x+y＝1,∴（x+y）2＝1,∴x2+2xy+y2＝1,∴xy＝0,∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝0,故选：B．7．解：设AB＝DC＝x,AD＝BC＝y,由题意得：化简得：将①两边平方再减去②得：2xy＝20∴xy＝10故选：D．8．解：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,∵大正方形与小正方形的面积之差是40,∴a2﹣b2＝40,由正方形的性质得：BC⊥AB,BD⊥AB,BC＝AB＝a,BD＝BE＝b,∴AE＝AB﹣BE＝a﹣b,∴阴影部分的面积＝S△ACE+S△AED＝AE•BC+AE•BD＝AE•（BC+BD）＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×40＝20,即阴影部分的面积是20．故选：A．二．填空题（共8小题,满分40分）9．解：∵a2﹣b2＝6,∴（a+b）（a﹣b）＝6,∵a+b＝2,∴a﹣b＝3,故答案为：3．10．解：∵（x+y）2＝2,（x﹣y）2＝8,∴x2+2xy+y2＝2①,x2﹣2xy+y2＝8②,①+②得：2（x2+y2）＝10,∴x2+y2＝5．故答案为：5．11．解：∵x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式,∴﹣（m﹣1）＝±14,解得：m＝15或﹣13．故答案为：15或﹣13．12．解：设原正方形的边长为a,则变化后的正方形的边长为a+3,由题意得,（a+3）2﹣a2＝39,解得a＝5,故答案为：5．13．解：∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2,∴还需取丙纸片4张．故答案为：4．14．解：（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝[x+（y﹣z）][x﹣（y﹣z）]＝x2﹣（y﹣z）2＝x2﹣y2+2yz﹣z2．故答案为：x2﹣y2+2yz﹣z2．15．解：∵x+y＝0.34,x+3y＝0.86,∴2x+4y＝1.2,即x+2y＝0.6,则x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝0.36．故答案为：0.36．16．解：（1）∵x+y＝4,xy＝3,∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．故答案为：10；（2）∵（x+y）2＝25,x2+y2＝17,∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8,∴xy＝4,∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．故答案为：9；（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12,∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12,∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12,∴（x﹣2021）2＝5．故答案为：5．三．解答题（共5小题,满分40分）17．解：原式＝m2﹣9﹣（m2﹣6m+9）＝m2﹣9﹣m2+6m﹣9＝6m﹣18．18．解：（1）图1中阴影部分的面积等于两个正方形的面积差,即a2﹣b2；拼成的图2的长方形的长为（a+b）,宽为（a﹣b）,因此长方形的面积为（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中两种方法表示阴影部分的面积可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）原式＝20212﹣（2021+1）×（2021﹣1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．19．解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．20．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2,用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab,故答案为：a2+b2,（a+b）2﹣2ab；（2）由题意得,a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝,∴m+n＝5,m2+n2＝20时,mn＝＝＝,（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2；＝20﹣2×＝20﹣5＝15；②设a＝x﹣2021,b＝x﹣2023,可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）＝x﹣2021+x﹣2023＝2x﹣4044＝2（x﹣2022）,由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得,（a+b）2＝a2+2ab+b2,又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4,且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2,可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30,∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．21．解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2,图2的面积为（a+b）（a﹣b）,二者相等,从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）,故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝3,a2﹣b2＝21,a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）,∴21＝（a+b）×3,∴a+b＝7；②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）×…×（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．。
苏科版七年级数学下册 乘法公式同步强化训练(三)(Word版含答案)
苏科版七年级数学下《9.4乘法公式》同步强化训练（三）（时间：90分钟满分：120分）一．选择题（共15题；共30分)1．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2,则公式中的2ab是（）A． x B．x C．2x D．4x2．不论a、b取何有理数,a2＋b2－2a－4b＋5的值总是 ( )A．负数 B．零 C．正数 D．非负数3．如图,能根据图形中的面积说明的乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 D．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq第3题图第4题图第5题图4．如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b）,把剩下部分拼成一个梯形（如图2）,利用这两幅图形面积,可以验证的公式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．如图①是一个长为2a,宽为2b(a＞b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四个形状和大小都一样的小长方形,然后按图②所示的方式拼成一个正方形,则中间空白部分的面积是( )A．2ab B．(a＋b)2 C．(a－b)2 D．a2－b26．若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a﹣b）2；②（2a﹣b）（2a+b）；③a（a+b）．其中是完全对称式的是（） A．③B．①③ C．②③ D．①7．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式,则m的值为（）A．4 B．4或﹣2 C．±4 D．﹣28．若a+b＝6,ab＝4,则a2+4ab+b2的值为（）A．40 B．44 C．48 D．529．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024 B．28+1 C．216+1 D．21610．下列计算正确的是( )A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy－y2C．(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2 D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y211．若(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋M,则M＝( )A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab12．若x＋y＝3,x2－y2＝12,则x－y的值为( )A．2 B．3 C．4 D．613．与7x－y2的乘积等于y4－49x2的代数式是( )A．7x＋y2 B．7x－y2 C．－7x＋y2 D．－7x－y214．下列计算(－7＋a＋b)(－7－a－b)正确的是( )A．原式＝[－(7－a－b)][－(7＋a＋b)]＝72－a2－b2B．原式＝[－(7＋a)＋b][－(7＋a)－b]＝(7＋a)2－b2C．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝－72－(a＋b)2D．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝72－(a＋b)215．若x＋y＋z＝－2,xy＋yz＋xz＝1,则x2＋y2＋z2的值是 ( )A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共15题；共30分)16.若a －b ＝2,a －c ＝1,则(2a －b －c)2＋(c －a)2＝_______．17.若a 、b 满足a 2＋2b 2＋1－2ab －2b ＝0,则a ＋2b ＝_______．18．已知m(m －3)－(m 2－3n)＝9,那么222m n +－mn 的值为______． 19．已知三角形的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac,试利用乘法公式判断这个三角形是_________三角形．20.已知a 2＋b 2＝2022,则(a ＋b)2－2ab 的值为________21．(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1的计算结果的个位数字是_________22.若x 2－4x －1＝(x ＋a)2－b,则|a －b|＝________．23．如图,从边长为（a+4）（a ＞0）的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形ABCD （不重叠无缝隙）,则长方形ABCD 的周长是 ．24、计算的结果是_______ 25.若(7x-a)2=49x 2-bx+9,则|a+b|= .26、 ．27．若把代数式x 2-2x-3化为（x-m ）2+k 的形式,其中m,k 为常数,则m+k= -3 ．28．已知x+y=7且xy=12,则当x ＜y 时,1x - 1y 的值等于 ．29、已知,则的值是 ． 30、已知,则_________.三．解答题（共8题 共60分）31．（6分）计算：（1）(2a －3b ＋c)2. （2）4(a －b)2－(2a ＋b)(－b ＋2a)32．（6分）利用乘法公式进行计算：(1)(2x ＋3y)2(2x －3y)2； (2)(2x －y －3)2.33．（8分）先化简,再求值：（1）)1)(1()2(2a a a +-++,其中43-=a。
苏科版数学七年级上册第二章有理数多个有理数相乘(习题)
1.4.2 多个有理数相乘【夯实基础】1.计算：(−1)×(−1)×(−1)×(−1)=_______.A.1B.−4C.4D.−12.若a <c <0<b ，则abc 与0的大小关系是（ ）A. abc <0B.abc >0C. abc =0D.不确定3.根据所给的程序（如图）计算：当输入的数据为−23时，输出的结果是____.4.三个数的积是正数，那么三个数中负数的个数是（ ） A.1 B.0或2 C.3 D.1或35.下列说法错误的有（ ）①几个不等于0的有理数相乘，其积一定不是0；②几个有理数相乘，只要其中有一个因数是0，其积一定是0；③几个非0有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；④三个有理数相乘，积为负数，则这三个数都是负数.A.0个B.1个C.2个D.3个6.绝对值不大于2019的所有整数的积______.7.如果四个不相等的整数a ，b ，c ，d ，它们的积abcd =49，那么a +b +c +d 的值为________.8.若定义新运算：aΔb =(−2)×a ×3×b ，请利用此定义计算：(1Δ2)Δ(−3)=_____.9.三个互不相等的整数的积为15，则这三个数的和的最大值等于_____.10.计算：（1） (-6)×5×； （2）(−5.6)×(−4.2)×217×(−514)−⨯(76)27输入数×(−3) ×5 输出数（3）14×(−16)×(−45)×(−114) （3）(−8)×(−1.25)×(−43)×54（5）(−112)×(−113)×(−114)×(−115)×(−116)【能力提升】11.P 为正整数，现规定P!=P (P −1)(P −2)⋯×2×1.若m!=24，则正整数m =_____.12.计算：(12019−1)×(12018−1)×(12017−1)×⋯×(11000−1)【思维挑战】13.在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2020这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的12的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的13的结果告诉第三位同学，第三位同学再将听到的结果减去它的14的结果告诉第四位同学，…，照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？。
初一数学乘法公式试题
初一数学乘法公式试题1. x2－4x＋( )＝( )2，( )＋2ay＋1＝( )2.【答案】4，，，【解析】根据完全平方公式即可得到结果。
x2－4x＋4=，＋2ay＋1＝【考点】本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：2.计算： .【答案】【解析】化，再根据完全平方公式计算即可。
【考点】题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：3.下列各式中计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据完全平方公式依次分析即可。
A. ，故本选项错误；B. ，故本选项错误；C. ，故本选项错误；D. ，本选项正确；故选D.【考点】本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+M，则M的值是( )A．30ab B．60ab C．15ab D．12ab【答案】B【解析】根据完全平方公式即可得到结果。
(5a+3b)2=(5a-3b)2+M，，则，故选B.【考点】本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：5.计算：；【答案】【解析】根据完全平方公式即可得到结果。
【考点】本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：6.计算：；【答案】【解析】先根据完全平方公式去括号，再合并同类项即可得到结果。
【考点】本题考查的是完全平方公式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：7.计算：.【答案】【解析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可。
【考点】本题考查的是完全平方公式，多项式乘多项式，合并同类项点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：；多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．8.若，则的值为．【答案】5【解析】根据完全平方公式即可得到结果。
【考点】本题考查的是完全平方公式点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：时，多项式取得最小值．9.当x＝___________________【答案】-1【解析】化，由即可得到结果。
苏科版数学七年级下册_2021最新同步训练：乘法公式-完全平方公式
初中数学苏科版七年级下册9.4 乘法公式——完全平方公式同步训练一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）1.等于（）A. B. C. D.2.下列等式能够成立的是（）A. （2x-y）2=4x2-2xy+y2B. （x+y）2=x2+y2C. （a-b）2= a2-ab+b2D. （+x）2= +x23.若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2-1，则b-a的值是（）A. 5B. －5C. 11D. －114.已知a+b=-5，ab=-4，则a2-ab+b2的值是（）A. 37B. 33C. 29D. 215.已知x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝（）A. 5B. 7C. 9D. 116.若，，则的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 97.对于任何实数m、n，多项式m2+n2-6m-10n+36的值总是（）A. 非负数B. 0C. 大于2D. 不小于28.已知（m 2018）2+（m 2020）234，则（m 2019）2的值为（）A. 4B. 8C. 12D. 169.小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（）A. 2019B. 2020C. 4039D. 110.已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共9题，每题2分，共18分）11.若a+b=17，ab=60，则（a- b）2=________12.若a2+b2=6，a+b=3，则ab的值为________．13.已知x﹣＝6，求x2+ 的值为________.14.已知xy=-3，x+y=-4，则x2-xy+y2的值为________．15.计算：20202﹣4040×2019+20192＝________.16.设(a＋2b) 2＝(a－2b) 2＋A，则A＝________.17.已知，则的值是________．18.已知关于的二次三项式是完全平方式，则a=________.19.我围古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b)“的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算(a+b)20的展开式中第三项的系数为________.三、解答题（本大题共7题，共82分）20.计算：（a+b+c）221.先化简，再计算：（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2，其中a=﹣2，b= ．22.已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=81，求x2+y2和xy的值．23.已知，，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.24. （1）当，时，分别求代数式和的值；（2）当，时，________ （填“ ”，“ ”，“ ”）（3）观察（1）（2）中代探索代数式和有何数量关系，并把探索的结果写出来：________ （填“ ”，“ ”，“ ”）（4）利用你发现的规律，求的值.25.如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形.现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.方法1：________；方法2：________；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；26.（阅读理解）“若满足，求的值”.解：设，，则，，（解决问题）（1）若满足，则的值为________；（2）若满足，则的值为________；（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】完全平方公式及运用解：（−a＋b）2＝a2−2ab＋b2.故答案为：B.【分析】根据完全平方式的定义，将（−a＋b）2展开即可求解.2.【答案】C【考点】完全平方公式及运用解：A、（2x-y）2=4x2-4xy+y2 ，故A错误；B、（x+y）2=x2+2xy+y2，故C错误；C、(a-b)2=a2-ab+b2，故C正确；D、（ +x）2= +2+x2，故D错误；故答案为：C.【分析】根据(a b)2=a22ab+b2逐一判断即可.3.【答案】A【考点】完全平方公式及运用解：由x2-6x+b=x2-6x+9+(b-9)=(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，所以a=3，b-9=-1，即a=3，b=8，故b-a=5．故选A．【分析】利用配方法可得x2-6x+b=(x-3)2+(b-9)，从而可得(x-3)2+(b-9)=(x-a)2-1，继而得出a=3，b-9=-1，求出a、b的值并代入计算即可.4.【答案】A【考点】完全平方公式及运用解：∵a+b=-5，ab=-4，∴a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=（-5）2-3×（-4）=37，故答案为：A．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．5.【答案】D【考点】代数式求值，完全平方公式及运用解：∵x﹣y＝3，xy＝1，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，∴9＝x2+y2﹣2，∴x2+y2＝11，故答案为：D．【分析】由完全平方公式：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后把x﹣y，xy的值整体代入即可求得答案．6.【答案】A【考点】完全平方公式及运用解：将a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，把a2+b2＝13代入得：13﹣2ab＝1，解得：ab＝6.故答案为：A.【分析】将a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值.7.【答案】D【考点】完全平方公式及运用解：m2+n2-6m-10n+36=（m2-6m+9）+（n2-10n+25）+2=（m-3）2+（n-5）2+2≥2故对于任何实数m、n多项式m2+n2-6m-10n+36的值都不小于2.故答案为：D.【分析】将多项式进行变形，整理成含有两个完全平方式的形式，再改写成平方的形式，根据平方的非负性进行解答.8.【答案】D【考点】完全平方公式及运用解：∵（m-2018）2+（m-2020）2=34，∴（m-2019+1）2+（m-2019-1）2=34，∴（m-2019）2+2（m-2019）+1+（m-2019）2-2（m-2019）+1=34，2（m-2019）2+2=34，2（m-2019）2=32，（m-2019）2=16.故答案为：D.【分析】先把（m -2018）2+（m-2020）2=34变形为（m-2019+1）2+（m-2019-1）2=34，把（m-2019）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（m-2019）2的方程，解方程即可求解.9.【答案】C【考点】完全平方公式及运用解：∵（2019x＋2020）2展开后得到a1x2＋b1x＋c1；∴c1＝20202，∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2＋b2x＋c2，∴c2＝20192，∴c1﹣c2＝20202﹣20192＝（2020＋2019）（2020﹣2019）＝4039，故答案为：C.【分析】依据小淇将（2019x＋2020）2展开后得到a1x2＋b1x＋c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2＋b2x＋c2，即可得到c1﹣c2＝20202﹣20192，进而得出结论.10.【答案】C【考点】代数式求值，完全平方公式及运用解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝×[1+4+1]＝3，故答案为：C．【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．二、填空题11.【答案】49【考点】完全平方公式及运用解：∵，，∴．故答案为：49．【分析】利用完全平分公式的变形公式进行计算即可．12.【答案】【考点】完全平方公式及运用解：由a+b=3两边平方，得a2+2ab+b2=9 ①，a2+b2=6 ②，①﹣②，得2ab=3，两边都除以2，得ab= ．故答案为：．【分析】根据完全平方公式，可得a2+2ab+b2=9，再根据等式的性质，可得答案．13.【答案】38【考点】完全平方公式及运用解：将x﹣＝6两边平方，可得：，解得：，故答案为：38.【分析】把x﹣＝6两边平方后化简整理解答即可.14.【答案】25【考点】完全平方公式及运用解：x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=（-4）2-3×(-3)=25．【分析】利用配方将原式变形为（x+y）2-3xy，然后整体代入计算即可.15.【答案】1【考点】完全平方公式及运用解：20202﹣4040×2019+20192＝20202﹣2×2020×2019+20192＝（2020﹣2019）2＝12＝1.故答案为：1.【分析】完全平方公式式的应用，a2-2ab+b2=（a-b）2。
湘教版七年级下册数学第2章2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件1
能力提升练
12．解方程：2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝(x＋2)2. 解：2x(x－1)－(x－4)(x＋4)＝2x2－2x－x2＋16＝ x2－2x＋16.(x＋2)2＝x2＋4x＋4. 故原方程可化为6x＝12. 解得x＝2.
能力提升练
13.【教材改编题】如果一个正方形的边长增加4厘米，那 么它的面积就增加40平方厘米，这个正方形的边长是 多少？ 解：设这个正方形的边长是x厘米， 由题意，得(x＋4)2－x2＝40， 解得x＝3. 答：这个正方形的边长是3厘米．
＋312n)＋1
能力提升练
＝－1－3111＋3111＋3121＋3141＋3181＋3116… 1＋312n＋1＝－1－321n＋1＋1＝－1＋321n＋1＋1 ＝321n＋1.
【答案】D
能力提升练
11．若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为___5_____. 【点拨】因为x＋1x2＝x－1x2＋4，x＋1x2＝9， 所以x－1x2＝9－4＝5.
基础巩固练
(5)【2021·武汉洪山区校级月考】(a－2b－1)(a＋2b－1) －(a－2b＋1)2.
原式＝[(a－1)－2b][(a－1)＋2b]－[(a－2b)＋1]2 ＝(a－1)2－(2b)2－(a－2b)2－2(a－2b)－1 ＝a2－2a＋1－4b2－a2＋4ab－4b2－2a＋4b－1 ＝－4a－8b2＋4ab＋4b.
能力提升练
10．【2021·福州仓山区期末】若 …1＋312n＋1，则 A 的值是(
)
A．0
B．1
1 C.322n
1 D.32n＋1
【点拨】A＝－23(1＋311)(1＋312)(1＋314)(1＋318)(1＋3116)…(1
能力提升练
初一数学乘法公式试题
初一数学乘法公式试题1.用字母表示平方差公式为：___________．【答案】（a+b）（a－b）=a2－b2【解析】根据平方差公式即可得到结果。
用字母表示平方差公式为：（a+b）（a－b）=a2－b2．【考点】本题考查的是平方差公式点评：使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．2.计算：（1）（a+1）（a－1）=_________；（3）（－a+1）（a+1）=________；（3）（－a+1）（a+1）=________；（4）（a+1）（－a－1）=_______．【答案】（1）a2－1；（2）a2－1；（3）1－a2；（4）【解析】根据平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2，即可得到结果。
（1）（a+1）（a－1）= a2－1；（2）（－a+1）（－a－1）= a2－1；（3）（－a+1）（a+1）=1－a2；（4）（a+1）（－a－1）=－a2－2a－1．【考点】本题考查的是平方差公式点评：使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．3.（1）（3a－4b）（）=9a2－16b2；（2）（4+2x）（）=16－4x2；（3）（－7－x）（）=49－x2；（4）（－a－3b）（－3b+a）=_______．【答案】（1）3a+4b；（2）4－2x；（3）－7+x；（4）9b2－a2【解析】根据平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2，依次分析各小题即可得到结果。
（1）（3a－4b）（3a+4b）=9a2－16b2；（2）（4+2x）（4－2x）=16－4x2；（3）（－7－x）（－7+x）=49－x2；（4）（－a－3b）（－3b+a）=9b2－a2．【考点】本题考查的是平方差公式点评：使用平方差公式去括号的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．4.计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（）A．16x2－25y2B．25y2－16x2C．－16x2－25y2D．16x2+25y2【答案】A【解析】根据平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2，即可得到结果。
初一数学下第九章 9.4 乘法公式练习题(附答案)
9.4 乘法公式一．选择题1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±202．若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．03．下列计算正确的是（）A．5a4•2a=7a5B．（﹣2a2b）2=4a2b2C．2x（x﹣3）=2x2﹣6x D．（a﹣2）（a+3）=a2﹣64．计算（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）等于（）A．x+xy2B．x﹣3y+xy2C．x2﹣3y+xy2D．x﹣3y+x5．如果（3x2y﹣2xy2）÷m=﹣3x+2y，则单项式m为（）A．xy B．﹣xy C．x D．﹣y6．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．257．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（）A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab8．若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定9．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab10．若S=（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（）A．B．C．D．二．填空题11．计算：10ab3÷（﹣5ab）=．12．已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为．13．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=．14．观察下列各式的规律：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；一般地（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=．15．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）5=．16．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．17．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．三．解答题18．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．19．先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．20．探究与思考：在计算m+m2+m3+…+m n的和时，我们可以用以下思路：令A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1；（1）试利用以上思路求出m+m2+m3+…+m n的和；（2）请利用（1）求出m+2m2+3m3+…+nm n的和．参考答案与解析一．选择题1．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选：B．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．若a+b=1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0【分析】首先利用平方差公式，求得a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b，继而求得答案．【解答】解：∵a+b=1，∴a2﹣b2+2b=（a+b）（a﹣b）+2b=a﹣b+2b=a+b=1．故选：C．【点评】此题考查了平方差公式的应用．注意利用平方差公式将原式变形是关键．3．下列计算正确的是（）A．5a4•2a=7a5B．（﹣2a2b）2=4a2b2C．2x（x﹣3）=2x2﹣6x D．（a﹣2）（a+3）=a2﹣6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=10a5，故A错误；（B）原式=4a4b2，故B错误；（D）原式=a2+a﹣6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．计算（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）等于（）A．x+xy2B．x﹣3y+xy2C．x2﹣3y+xy2 D．x﹣3y+x【分析】直接利用多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，进而求出即可．【解答】解：（﹣4x3+12x2y﹣7x3y2）÷（﹣4x2）=x﹣3y+xy2．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，熟练进行单项式除以单项式运算是解题关键．5．如果（3x2y﹣2xy2）÷m=﹣3x+2y，则单项式m为（）A．xy B．﹣xy C．x D．﹣y【分析】根据除数等于被除数除以商即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（3x2y﹣2xy2）÷（﹣3x+2y）=﹣xy，则m=﹣xy．故选：B．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．25【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13．故选：B．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．若（a+b）2=（a﹣b）2+A，则A为（）A．2ab B．﹣2ab C．4ab D．﹣4ab【分析】把A看作未知数，只需将完全平方式展开，用（a+b）2﹣（a﹣b）2即可求得A．【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，∴A=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．8．若|a﹣b|=1，则b2﹣2ab+a2的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定【分析】先把b2﹣2ab+a2化成完全平方式，然后讨论a﹣b的正负性，最后求解．【解答】解：b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2，又∵|a﹣b|=1∴a﹣b=1或﹣1，∴b2﹣2ab+a2=（a﹣b）2=1．故选：A．【点评】本题主要考查完全平方公式的逆用，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．9．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是（）（用含a，b的代数式表示）．A．ab B．2ab C．a2﹣ab D．b2+ab【分析】设小正方形边长为x，表示出大正方形的边长，由大正方形面积减去四个小正方形面积表示出阴影部分面积即可．【解答】解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为a﹣2x=2x+b，可得x=，大正方形边长为a﹣==，则阴影部分面积为（）2﹣4（）2=﹣==ab，故选：A．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．若S=（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（）A．B．C．D．【分析】原式各括号利用平方差公式分解后，约分即可得到结果．【解答】解：S=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）=××××××…××=（×××…×）×（×××…×）=×=，故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．二．填空题11．计算：10ab3÷（﹣5ab）=﹣2b2．【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．【解答】解：原式=﹣a1﹣1b3﹣1=﹣2b2，故答案为：﹣2b2【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．12．已知2m﹣3n=﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为8．【分析】先将原式化简，然后将2m﹣3n=﹣4代入即可求出答案．【解答】解：当2m﹣3n=﹣4时，∴原式=mn﹣4m﹣mn+6n=﹣4m+6n=﹣2（2m﹣3n）=﹣2×（﹣4）=8故答案为：8【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．13．已知a+b=10，a﹣b=8，则a2﹣b2=80．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，∴a2﹣b2=10×8=80，故答案为：80【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．14．观察下列各式的规律：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8﹣1；一般地（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．【分析】直接利用已知中的基本形式进而得出变化规律求出答案即可．【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1则（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x8﹣1．（x﹣1）（x n+x n﹣1+x5+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．故答案是：x8﹣1；x n+1﹣1．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确得出式子变化规律是解题关键．15．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【分析】观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系，即可得出（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，此题得解．【解答】解：观察图形，可知：（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．【点评】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．16．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a﹣1）的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为S1，S2，则可化简为．【分析】首先表示S1=a2﹣1，S2=（a﹣1）2，再约分化简即可．【解答】解：===，故答案为：．【点评】此题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简，关键是正确表示出阴影部分面积．17．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．三．解答题18．先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，当x=时，原式=6﹣1=5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b）=a2﹣2ab﹣a2+b2=﹣2ab+b2，当a=，b=﹣1时，原式=﹣2××（﹣1）+（﹣1）2=1+1=2．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．20．探究与思考：在计算m+m2+m3+…+m n的和时，我们可以用以下思路：令A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1；（1）试利用以上思路求出m+m2+m3+…+m n的和；（2）请利用（1）求出m+2m2+3m3+…+nm n的和．【分析】（1）根据已知条件，所求的式子乘以m，然后减去原式，即可求解；（2）求出所求的式子的二倍，相加时首项与尾项相加，然后利用（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设A=m+m2+m3+…+m n，则mA=m2+m3+…+m n+1．∴mA﹣A=m n+1﹣m，即（m﹣1）A=m n+1﹣m11∴A=（2）m+2m2+3m3+…+nm n+（m+2m2+3m3+…+nm n）=（n+1）（m+m2+m3+…+m n）=（n+1）∴m+2m2+3m3+…+nm n =【点评】本题考查了整式的混合运算，正确理解已知的式子i，求得（1）中式子的结果是关键．12。
七年级数学-乘法公式专项练习(含答案解析)
1. 已知(x+y)2=49，(x-y)2=25，则xy=七年级数学 乘法公式专项练习（含答案解析）( )A ．-6B ．6C ．12D ．242. 已知x-y=3，xy=2，则x 2+y 2的值为( )A ．5B ．7C ．11D ．133. 设a=x-2020，b=x-2022，c=x-2021，若a 2+b 2=56，则c 2=( )A ．27B ．24C ．22D ．204. 若16x 2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式(是个多项式)，这个单项式是 .5.6. (2022春•金水区期中【)知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a,宽为b 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a+b)2、(a-b)2、ab 三者之间的等量关系式： ；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a 3+b 3+3ab(a+b)．利用上面所得的结论解答下列问题：⑴已知x+y=6，xy=411，求(x-y)2的值；⑵已知a+b=6，ab=7，求a 3+b 3的值．1.解：因为(x+y)2-(x-y)2=4xy=49-25=24，所以xy=6，故选：B ．2. 解：将x-y=3两边平方得：(x-y)2=x 2+y 2-2xy=9，∴a=c+1，b=c-1，∵a 2+b 2=56，∴(c+1)2+(c-1)2=56，∴c 2=27将xy=2代入得：x 2+y 2-2×2=9，即x 2+y 2=13，故选：D ．3. 解：∵a=x-2020，b=x-2022，c=x-2021，．故选：A ．4. 解：8x 或-8x 或64x 4.5. a-b)26. 解：【知识生成】（a+b)2=4ab+（， 故答案为：（a+b)2=4ab+（a-b)2；【知识迁移】⑴∵x+y=6，xy=411， ∴（x-y)2=（x+y)2-4xy=36-11=25；⑵∵a+b=6，ab=7，∴a 3+b 3=（a+b)3-3ab （a+b)=216-3×7×6=216-126=90．。
初中数学浙教版七年级下册第3章 整式的乘除3.4 乘法公式-章节测试习题
章节测试题1.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．2.【题文】考古学家从幼发拉底河附近的一座寺庙里，发掘出数千块泥板书，他们从泥板书中发现美索不达米亚的祭祀已经知道平方表的用法，并能够利用平方表算出任意两个自然数的乘积．例如：计算乘以，祭祀们会按下面的流程操作：第一步：加上，将和除以得；第二步：减去，将差除以得；第三步：查平方表，得的平方是；第四步：查平方表，得的平方是；第五步：减去，得到答案．于是他们便得出．请你利用所学的代数知识，设两个自然数分别为、，对泥板书计算两个自然数乘积的合理性做出解释．【答案】见解析【分析】按照题中所给的步骤进行推导即可.【解答】解：．3.【题文】计算：．【答案】【分析】先利用平方差公式进行计算，然后再利用完全平方公式进行计算即可.【解答】解：原式.4.【题文】已知:a+b=3,ab=2,求的值.【答案】5.【分析】把a+b=3两边平方，再利用完全平方公式展开，再把ab=2代入进行计算即可得解．【解答】解：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=2，∴a2+b2=9-2ab=9-2×2=5．5.【题文】计算:(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2.【答案】2mn【分析】原式第一项利用平方差根式化简，第二项利用完全平方公式展开，计算即可得到结果．【解答】解：(m-n)(m+n)+(m+n)2-2m2=m2-n2+m2+2mn+n2-2m2=2mn.6.【题文】用乘法公式计算：99.82．【答案】9960.04．【分析】把99.8写成（100-0.2），然后利用完全平方公式计算即可得解；【解答】解：99.82=（100﹣0.2）2=1002﹣2×100×0.20+22=9960.04．7.【题文】已知（x+y）2=25，xy=，求x﹣y的值．【答案】±4【分析】首先，根据完全平方公式将(x+y)2打开，并根据xy的值求出x2+y2；然后，根据完全平方公式求出(x-y)2的值，开平方即可求解.【解答】解：∵(x+y)2=25，∴x2+2xy+y2=25，又∵xy=94，∴x2+y2=412，∴(x-y)2=x2-2xy+y2=412-2×94=16，∴x-y=±4.8.【题文】现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙）尝试解决：（1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是______；（2）小聪想用几何图形表示等式（a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2，图2给出了他所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形；（3）小聪选取1张Ⅰ号卡片、3张Ⅱ号卡片、4张Ⅲ号卡片拼接成一个长方形，那么拼接的几何图形表示的等式是______；拓展研究：（4）如图3，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有______．（填写序号）①ab=；②a+b=m；③a2+b2=m2；④a2+b2=．【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）答案见解析；（3）（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（4）①③．【分析】（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；（2）根据已知等式画出相应的图形，如图所示；（3）根据题意列出关系式，分解因式后即可得到结果．根据完全平方公式判断即可．【解答】解：(1)这个几何图形表示的等式是(2)如图：(3)拼接的几何图形表示的等式是根据图③得：∴∵∴∴①③正确，故答案为：①③9.【题文】已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）．【答案】（1）10；（2）±8．【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简，再将代入计算即可求出值；（2）利用完全平方公式及平方根定义求出的值，原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：(1)把x+y=4两边平方得：将xy=3代入得：(2)∵∴∴x−y=2或x−y=−2，则原式=(x+y)(x−y)=8或−8.10.【题文】利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a＝2 016，b＝2 017，c＝2 018，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？【答案】（1）详见解析；（2）3.【分析】(1)已知等式右边利用完全平方公式化简,整理即可作出验证;(2)把a,b,c的值代入已知等式右边,求出值即为所求式子的值.解：(1)等式右边＝ (a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2)＝ (2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝等式左边，所以等式是成立的．(2)原式＝ [(2 016－2 017)2＋(2 017－2 018)2＋(2 018－2 016)2]＝3.11.【题文】计算：（2x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）．【答案】2x2﹣4x+19．【分析】用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项.【解答】解：(2x﹣1)2﹣2(x+3)(x﹣3)=4x2﹣4x+1﹣2x2+18=2x2﹣4x+19．12.【题文】已知，，求下列代数式的值．（1）；（2）．【答案】（1）30；（2）8．【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵x+y=2，xy=﹣1，∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y）2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30；（2）∵x+y=2，xy=﹣1，∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8．13.【题文】已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值．【答案】a2＋b2＝28，(a＋b)2＝31【分析】用完全平方公式变形解答即可．【解答】解：，∴=25+3=28，=28+3=31．14.【题文】阅读材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：（），则__________，__________．（）已知，求的值．（）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长．（提示：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）【答案】（1）a=3,b=1;(2)16（3）9【分析】(1) (2)(3) 将已知化为完全平方形式，利用非负性求值.【解答】解：（）∵，，，∵，，∴，，，．（），，，∵，，∴，，，，∴，∴．（），，，∵，，∴，，，，∵，∴，，∴，∵、、为正整数，∴，∴周长．15.【题文】（1）计算：x（4x﹣1）﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x﹣1）2；（2）已知实数a，b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．【答案】（1）原式=x2﹣3x+10；（2）a2+b2+ab=13﹣6=7．【分析】（1）x（4x﹣1）按照单项式乘多项式的法则计算，（2x﹣3）（2x+3）根据平方差公式计算，（x﹣1）2根据完全平方公式计算；（2）把（a+b）2=1，（a ﹣b）2=25的左边按照完全平方公式乘开，然后把两个式子相加可得a2+b2=13，把两个式子相减可得ab=﹣6.【解答】解：（1）原式=4x2﹣x﹣（4x2﹣9）+（x2﹣2x+1）=4x2﹣x﹣4x2+9+x2﹣2x+1=x2﹣3x+10；（2）∵（a+b）2=1，∴a2+2ab+b2=1①，∵（a﹣b）2=25，∴a2﹣2ab+b2=25②，由 ①+‚②得：a2+b2=13，由①•﹣②‚得：ab=﹣6，∴a2+b2+ab=13﹣6=7．16.【题文】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到(a+b)²=a²+2ab+b²．图1 图2 图3（1）写出由图2所表示的数学等式：_____________________；写出由图3所表示的数学等式：_____________________；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a²+b²+c²的值．【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc （a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 45【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，bc+ac+ab=38，作为整式代入即可求出．【解答】解：(1)根据题意,大矩形的面积为：小矩形的面积为：(2)由（1）得17.【题文】已知，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值.【答案】（1）-30；（2）；（3）【分析】（1）提公因式，然后将a+b=5和ab=-6整体代入求值；（2）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答；（3）将原式利用配方法转化为两根的和与两根的积来解答．【解答】解：（1）∵，∴；（2）；（3），故.18.【题文】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是怎样的？写出得到公式的过程．【答案】（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．【解答】解：∵大正方形的面积= a2还可以表示为19.【题文】已知a2+b2=1,a-b=,求a2b2与(a+b)4的值.【答案】【分析】把目标代数式化成包含已知代数式的形式. 【解答】解：因为a2+b2=1,a-b=,所以(a-b)2=a2+b2-2ab.所以ab=- [(a-b)2-(a2+b2)]=.所以a2b2=(ab)2=.因为(a+b)2=(a-b)2+4ab.=,所以(a+b)4=[(a+b)2]2=.20.【题文】请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；并由此得到怎样的等量关系？请用等式表示；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a－b 的值．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)①9;②5.【分析】（1）两个阴影部分的面积可以用阴影部分面积相加和用总面积减去非阴影部分面积来表示。
青岛版2020七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解自主学习基础达标测试题2(附答案)
正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积； （2）先对上述代数式进行因式分解再计算当 a＝15，b＝2.5 时草坪的面积．
27．已知 m n 3， mn 4 .
（1）求 3 m3 n 的值；（2）求 m4 n4 的值.
28．如图，边长为 a，b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，求下列各式的值： （1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．
2
22．计算：
（1）
22
30
1 4
1
（2） a a2 a3 2a3 2 a9 a3
（3）
x
1
x
2
2x Biblioteka x1 2
（4） 2m nn 2m m n2
23．给出三个多项式： 1 y2 y 1, 1 y2 2 y 1, 1 y2 y 1，请你选择其中两个进行
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形应用，根据题目的特点，正确利用完全平方公式的变形是解
决问题的关键.
13．5 或-3 【解析】 【分析】 这里首末两项是 x 和 2 的平方，那么中间项为加上或减去 x 和 2 的乘积的 2 倍也就是
k 1 x ，由此求得 k 的数值即可．
【详解】
7．已知 a b 3， ab 2 ，则 a b 的值是（ ）
A． 1
B．1
C．
D．以上选项都不对
8．下列运算正确的是（ ）
A． (x y)2 x2 y2
B． (x2 )3 x5
2019春七年级数学下册 第2章《整式的乘法》2.2 乘法公式 2.2.3 运用乘法公式进行计算习题
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根据“杨辉三角”请计算(a＋b)8 的展开式中从左起第
四项的系数为( B )
A．84
B．56
C．35
D．28
【解析】找规律发现(a＋b)4 的第四项系数为 4＝3
＋1；(a＋bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 的第四项系数为 10＝6＋4；(a＋b)6 的第四
项系数为 20＝10＋10；(a＋b)7 的第四项系数为 35＝15
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14
18. 一个长方形的长增加 4 cm，宽减少 1 cm，面积
保持不变；长减少 2 cm，宽增加 1 cm，面积仍保持不
变．求这个长方形的面积．
解：设这个长方形的长为 a cm，宽为 b cm，由题意
得（（aa＋－42））（（bb－＋11））＝＝aabb，， 即aa－－42bb＋－42＝＝00，. 解得ab＝ ＝83.，
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知识点 乘法公式的应用
1. 计算(a＋2)(a－2)(a2＋4)的结果是( C )
A．a4＋16
B．－a4－16
C．a4－16
D．16－a4
2. 一个正方形的边长增加了 3 cm，它的面积增加了
51 cm2，这个正方形原来的边长是( C )
A．5 cm
B．6 cm
C．7 cm
D．8 cm
第二章 整式的乘法 2．2 乘法公式
2.2.3 运用乘法公式进行计算
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1. 灵活运用平方差公式和完全平方公式计算．
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2. 几种常见的乘法公式的变换技巧： (1)(－a－b)(a－b)＝_b_2_－__a_2 ； (2)(－a－b)(a＋b)＝_－__(_a_2_＋__b_2＋__2_a_b_)____； (3)(a－b)2＝_a_2－__2_a_b_＋__b_2__； (4)(－a－b)2＝_a_2_＋__2_a_b_＋__b_2 _； (5)(a＋b)2－(a－b)2＝__4_a_b__； (6)(a＋b)2＝(a－b)2＋__4_a_b__； (7)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝_a_3_＋__b_3 ； (8)(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a3_－__b_3_．
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7.4乘法公式同步练习
【基础能力训练】
一、平方差公式
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A．（2x+3y）（2x－1
3
y）B．（x－y）（y－x）
C．（－4a+3b）（3b－4a）D．（a－b－c）（－a－b－c）2．下列计算正确的是（）
A．（2y+6）（2y－6）=4y2－6 B．（5y+1
2
）（5y－
1
2
）=25y2－
1
4
C．（2x+3）（2x－3）=2x2－9 D．（－4x+3）（4x－3）=16x2－9 3．判断正误：
（1）（3a－bc）（－bc－3a）=b2c2－9a2（）
（2）（x+1
x
）（x－
1
x
）=x2－1 （）
4．（3x－4y）（4y+3x）=（_____）2－（_____）2=_______．
5．（x+1）（x－1）（x2+1）=_______．
6．（2m－3n）（_____）=4m2－9n2
7．（－3x+2y）（_______）=－9x2+4y2
8．计算（a4+b4）（a2+b2）（b－a）（a+b）的结果是（）
A．a8－b8B．a6－b6C．b6－a8D．b6－a6
9．化简（a+b）2－（a－b）2的结果是（）
A．0 B．－2ab C．2ab D．4ab
10．在下列等式中，A和B应表示什么式子？
（1）（a+b+c）（a－b+c）=（A+B）（A－B）
（2）（x+y－z）（x－y+z）=（A+B）（A－B）
11．为了应用平方差公式计算（2x+y+z）（y－2x－z），下列变形正确的是（）A．[2x－（y+z）] 2B．[2x+（y+z）][2x－（y+z）]
C．[y+（2x+z）][y－（2x+z）] D．[z+（2x+y）][z－（2x+y）]
12．计算：（1）（5m－6n）（－6n－5m）（2）（1
2
x2y2+3m）（－3m+
1
2
x2y2）
13．计算：
（1）898×902 （2）303×297 （3）9.9×10.1 （4）30.8×29.2
14．计算：
（1）（x+y）（x－y）+（y－z）（y+z）+（z－x）（z+x）
（2）（3m2+5）（－3m2+5）－m2（7m+8）（7m－8）－（8m）2
二、完全平方公式
15．下列计算正确的是（）
A．（x+y）2=x2+y2B．（m－n）2=m2－2mn－n2
C．（a+2）2=a2+2a+4 D．（m－3）2=m2－6m+9
16．已知m≠n，下列等式中计算正确的有（）
①（m－n）2=（n－m）2②（m－n）2=－（n－m）2
③（m+n）（m－n）=（－m－n）·（－m+n）④（－m－n）2=－（m－n）2
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．下列各式中，计算结果为1－2xy2+x2y4的是（）
A．（－1－x2y2）2B．（1－x2y2）2C．（－1+x2y2）2D．（xy2－1）2 18．计算（4a－3b）（－4a－3b）的结果为（）
A．16a2－9b2B．－16a2+9b2
C．16a2－24ab+9b2D．－16a－24ab－9b2
19．计算：
（1）（1
4
a－
1
3
b）2（2）（－x2+3y2）2
（3）（－a2－2b）2（4）（0.2x+0.5y）2
20．计算：
（1）198×202 （2）5052
【综合创新训练】
一、创新应用
21．化简求值：4x（x2－2x－1）+x（2x+5）（5－2x），其中x=－1．
22．化简求值：（3x+2y）（3x－2y）－（3x+2y）2+（3x－2y）2，其中x=，y=－1
2
．
23．解方程：（x－3）（x+1）=x（2x+3）－（x2+1）24．解不等式：（x－4）2－（x－3）（x+4）<2（3x+2）
二、巧思妙解
25．1232－124×122
26．
22004
200420052003
-⨯
27．1.23452+0.76552+2.469×0.7655 三、综合测试
28．（－2
3
a+3b）（
2
3
a+3b）（－
2
3
a－3b）（－
2
3
a+3b）
29．（1+a+b）2
30．（m+2n－p）2
31．（3a－b）2－（2a+b）2+5b2
32．已知x+y=4，xy=2，求x2+y2的值．33．已知x2+4x+y2－2y+5=0，求x，y的值．
四、探究学习
观察下面各式规律：
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2
……
写出第n行的式子，并证明你的结论．
答案：
【基础能力训练】
1．D 2．B 3．（1）∨（2）×
4．（3x）2（4y）29x2－16y25．x4－1 6．2m+3n 7．3x+2y 8．C 9．D 10．（1）A代表a+c，B代表b （2）A代表x，B代表y－z
11．C 12．（1）36n2－25m2（2）1
4
x4y4－9m2
13．（1）原式=（900－2）（900+2）=9002－22=810 000－4=809 996 （2）原式=（300+3）（300－3）=3002－32=90 000－9=89 991 （3）原式=（10－0.1）（10+0.1）=102－0.12=100－0.01=99.99 （4）原式=（30+0.8）（30－0.8）=302－0.82=900－0.64=899.36 14．（1）0 （2）25－58m4
15．D 16．B 17．D 18．B
19．（1）
1
16
a2－
1
6
ab+
1
9
b2（2）x4－6x2y2+9y4
（3）a4+4a2b+4b2（4）0.04x2+0.2xy+0.25y2 20．（1）39 996 （2）255 025
【综合创新应用】
21．原式=4x3－8x2－4x+10x2－4x3+25x－10x2=－8x2+21x，当x=－1时，原式=－8－21=－29．
22．原式=9x2－4y2－（9x2+12xy+4y2）+9x2－12xy+4y2 =9x2－4y2－9x2－12xy－4y2+9x2－12xy+4y2
=9x2－24xy－4y2
把x=1
3
，y=－
1
2
代入得4．
23．去括号，得x2+x－3x－3=2x2+3x－x2－1，合并，得x2－2x－3=x2+3x－1，
移项，得x2－2x－x2－3x=－1+3，
合并同类项，得－5x=2，
系数化为1，得x=－25
． 24．去括号，得x 2－8x+16－x 2－4x+3x+12<6x+4，
移项，得x 2－x 2－8x －4x+3x －6x<4－16－12，•
合并同类项，得－15x<－24，系数化为1，得x>85
． 25．原式=1232－（123+1）（123－1）=1232－（1232－12）=1．
26．原式=220042004(20041)(20041)
-+- 2222200420042004(20041)200420041=
=---+=2004． 27．原式=（1.234 5+0.765 5）2=22=4．
28．原式=[（3b ）2－（23a ）2]×[（－23
a ）2－（3
b ）2] =（9b 2－49a 2）（49a 2－9b 2）=－（9b 2－49a 2）（9b 2－49
a 2） =－（9
b 2－a 2）2=－81b 4+8a 2b 2－1681
a 4． 29．原式=[1+（a+
b ）] 2=1+2（a+b ）+（a+b ）2=1+2a+2b+a 2+2ab+b 2．
30．原式=[（m+2n ）－p] 2=（m+2n ）2－2p （m+2n ）+p 2=m 2+4mn+4n 2－2pm －4pm+p 2．
31．原式=9a 2－6ab+b 2－4a 2－4ab －b 2+5b 2=5a 2－10ab+5b 2．
32．x 2+y 2=（x+y ）2－2xy=42－2×2=12．
33．x 2+4x+y 2－2y+5=0，变形为：（x 2+4x+4）+（y 2－2y+1）=0，
即（x+2）2+（y －1）2=0，又因（•x+2）2与（y －1）2皆是非负数，
所以（x+2）2=0且（y －1）2=0，即x+2=0，y －1=0，解得x=－2，y=1．
【探究学习】
第n 个式子：n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1] 2
证明：因为左边n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=n 2+（n 2+n ）2+（n+1）2
=（n 2+n ）2+n 2+n 2+2n+1=（n 2+n ）2+•2（n 2+n ）+1=（n 2+n+1）2，
而右边=（n 2+n+1）2，
所以左边=右边，成立．。