平面向量的加法运算幻灯片课件
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22.平面向量加法ppt课件
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6
例题1 已知不平行向量 a、 b 、c 、d ， 求作 a + b+ c + d
c
a
b
d
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7
例2 .如图，已知梯形ABCD中， D
C
AB//DC，点E在AB上，
EC//AD，在图中指出下列几个
向量的和向量
A
E
B
(1) AE + EC+ CD+ BE
(2) AB + BC+ CE+ AD
E
F
D
解 AB + BC+ CD+ DE+ EF
= AF
五个向量相加：
A
①这五个向量顺次首尾相接
C B
②和向量是以第一个向量的起点为起 点; 最后一个向量的终点为终点的向量
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5
几个向量相加，
①将这几个向量顺次首尾相接
②和向量是以第一个向量的起点为起 点; 最后一个向量的终点为终点的向量
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1
1．向量的加法的法则
2．什么叫向量加法的三角形法则?
①第二首个尾向相量接和首第尾一连个向量首尾相接
②和向量是以第一个向量的起点为起
点; 第二个向量的终点为终点的向量
G
EF + FG =EG
E
F
3.什么叫零向量? 最新版整理ppt
2
已知四边形ABCD,及 AB 、
BC、CD，求 AB + BC+ CD D C
ห้องสมุดไป่ตู้多个向量的加法：
①找互为相反的向量 ②找首尾相接的向量
平面向量的加减法 ppt课件
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
ppt课件
12
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：
向量加法及数乘运算
1 1 a在形a， 式上1与 a实数a的 有；关运算规 2 律的相去 a类括似号，、因移a此项 ，、实合数并a运同；算类中项
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
ppt课件
11
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
AC = a + b
B
CA
AC = a + b
规定：a 0 0 a a
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探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对ppt课角件线
5
向量加法运算及其几何意义
平面向量的加法运算ppt课件
15
向量的加法
作业：课本第84页练习 1（2）(4)2题
课本第91页A组，3题
课外:
《世纪金榜》及知能提升作业（十六）
16
b
(2)作 OA a, b
(3)则OB a b
O
A
这种作法叫做向量加法
的三角形法则
B
4
向量的加法
练习:求作下列向量的和向量
（1）
b a
a
b
b
（2） a
b a
5
向量的加法
思考:当向量a,b为共线向量时,a b如何作出来?
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
A
C
B
AC a b
向量加法运算 及其几何意义
1
问问题题12：：青指少挥年中科心技发创出新命大令赛：中向，东某走校4米学，生…在再展向台南上走展3 示米研。制在的此机过器程人中，机指器挥人中所心走发的出路命程令又：是向多东少走？3位米移，是… 再什向么东？走2米。在此过程中机器人所走的路程是多少？ 位移是什么？
A
B
C
E
D
F
O.
C
A
B
10
练习.课本第84页3、4
11
向量的加法
例2. 在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向 东流，渡船的速度为25km/h. 渡船要垂直地渡过长江， 其航向应如何确定？
解：设 AB 表示水流的速度， AD 表示渡船的速度，AC 表示 渡船实际垂直过江的速度。
∵AB+AD=AC, ∴ 四边形ABCD为平行四边形
AB BC AC
B A
向量的加法
作业：课本第84页练习 1（2）(4)2题
课本第91页A组，3题
课外:
《世纪金榜》及知能提升作业（十六）
16
b
(2)作 OA a, b
(3)则OB a b
O
A
这种作法叫做向量加法
的三角形法则
B
4
向量的加法
练习:求作下列向量的和向量
（1）
b a
a
b
b
（2） a
b a
5
向量的加法
思考:当向量a,b为共线向量时,a b如何作出来?
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
A
C
B
AC a b
向量加法运算 及其几何意义
1
问问题题12：：青指少挥年中科心技发创出新命大令赛：中向，东某走校4米学，生…在再展向台南上走展3 示米研。制在的此机过器程人中，机指器挥人中所心走发的出路命程令又：是向多东少走？3位米移，是… 再什向么东？走2米。在此过程中机器人所走的路程是多少？ 位移是什么？
A
B
C
E
D
F
O.
C
A
B
10
练习.课本第84页3、4
11
向量的加法
例2. 在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向 东流，渡船的速度为25km/h. 渡船要垂直地渡过长江， 其航向应如何确定？
解：设 AB 表示水流的速度， AD 表示渡船的速度，AC 表示 渡船实际垂直过江的速度。
∵AB+AD=AC, ∴ 四边形ABCD为平行四边形
AB BC AC
B A
平面向量加减法课件
在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确
平面向量的加法精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
上海 C
香港 B
A 台北
向量的加法：
a
b
首
C
尾
相
ab
接
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
2019/4/27
向量的加法
看书 P80~83（限时6分钟）
学习目标：
通过实例，掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。
熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则
2019/4/27
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机 要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
2019/4/27
A
b
ab
B
2019/4/27
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
上海 C
香港 B
A 台北
向量的加法：
a
b
首
C
尾
相
ab
接
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
2019/4/27
向量的加法
看书 P80~83（限时6分钟）
学习目标：
通过实例，掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。
熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则
2019/4/27
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机 要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
2019/4/27
A
b
ab
B
2019/4/27
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第1课时向量的加法运算)
AO OC,OB DO因, A此B D∥C, 且| A|=B CD
AB
| DC|，即四边形ABCD是平行四边形.
【素养·探】 在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的 逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及 方法予以证明.
若将本例改为：四边形ABCD中，
AB DC,且 BC BA
又因为AP AQ=＝0A，B所 A以C BP CQ.
BP CQ
AP AQ＝AB AC.
类型四 航行中的向量加法问题 【物理情境】 在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5 km/h的速度向 东流，“顺风号”渡船要以25 km/h的速度，由南向北 垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
【转化模板】 1. —由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船 的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量 加法模型.
AC
AO
AD
类型三 利用向量加法解决几何问题 【典例】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是 平行四边形. 世纪金榜导学号
【思维·引】将互相平分利用向量表示，以此为条件 推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.
【解析】如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，AB AO OB, DC ADCO与 BOCD.互相平分，
【类题·通】 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的 依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际 上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向
量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进 行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律， 使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整 向量相加的顺序.
【习练·破】 化简：
平面向量的加法减法与数乘运算31页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
平面向量的加法减法与数乘运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷Байду номын сангаас屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
平面向量的加法减法与数乘运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷Байду номын сангаас屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
《平面向量加减法》课件
三角形法则：将 两个向量首尾相 接，构成一个三 角形，则其对角 线就是两个向量 的和。
平行四边形法则 和三角形法则的 适用范围：适用 于任意两个向量 的加法运算。
平行四边形法则 和三角形法则的 优缺点：平行四 边形法则直观易 懂，但计算量较 大；三角形法则 计算量较小，但 需要一定的几何 知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向 量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、 速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则 得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同 向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同， 其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何 意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接， 得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方 向决定
添加标题
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新的向量的长度等于两个向量长 度之和
新的向量的起点和终点分别对应 两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个 向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合 律： (a+b)+c=a+(b+ c)
平面向量的加法运算课件
平面向量的加法运算件
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
平面向量的加减法36页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
平面向量的加减法
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
Байду номын сангаас 谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
平面向量的加减法
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
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A
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B
C
2020/5/17
平行四边形法则
练习：限时4分钟
P84 1（1），（2）、2
探究：
两个向量共线时如何表 示它们的和？
和的模与模的和有什么关 系？ 2020/5/17
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
r a
r a
b
b
（1）
（2）
A
Br r
C
ab
2.2平面向量的加法运算
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复习引入
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此，我们 研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下，移到任何位置 .
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情景设置
• 问题：数可以进行加法运 算如1+2=3，那么向量是否 也可以进行加法运算呢？ 是否是模长为1的向量加上 模长为2的向量等于模长为 3的向量呢？
对于向量的加法的理解需要注意: 两个向量的和仍然是向量(简称和 向量) .
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rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
uuur r uuur r 作 OAa ，ABb ，
r
则 O uuB u ra rb r。
a
O
a
Ar b
ab
B
uuur r r r r 则 以 O 为 起 点 的 对 角 线 O C就 是 a与 b的 和 ab,即
r r uuu r uuu r uuur abO AO BO C 这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。
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对 于 零 向 量a与 ,我任 们一 规 a00aa
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学习目标： 通过实例，掌握向量的加法运
算及理解其几何意义。 熟练运用加法的“三角形法则”
和“平行四边形”法则
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向量加法的三角形法则：
首
a
C
尾
相
r b
ab
r接
b
A
a
B
rr
uuu r ruuu r r
已 知 非 零 向 量 a、 b,在 平 面 内 任 取 一 点 A ， 作 ABa,BCb,
探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，有
abba, (a b r )rca(bc).
那么对任意向量 a , b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
r
B
ababO Nhomakorabeaar
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C abc
c
bc
b
A
ab
C
A
a
b
B
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
uuu r r r
rr
则 向 量 AC 叫 做 a与 b的 和 ， 记 作 ab,即
r r uuu r uuu r uuu r
abABBCAC
这 种 求 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。
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合作探究
• 探究课本80页回答下列问题 • 1.力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2
共同作用产生的效果是否相同？ • 2.合力F与力F1， F2有怎样的关系呢？ • 3.如何利用几何图形表示着三者之间的
关系呢？ • 4这种情形是否可以推广为一般情形呢？
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向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
以 同 一 点 OO 为 起 点 的 两 个 ar 已 知 向 量 a rA、 b r为 邻 边 作 Y O ACB,
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三角形法则
rr
rr
例1.如图，已知向量 a , b ，求做向量 a b 。
作法2：在平uuu面r 内r任取uuur一点r O，
b
作 OAa ，OBb ，
Y 以OA、OB为邻边做 O A C B ，
r a
u u u ru u u ru u u rrr
连结OC，则 O C O A O B a b .
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
uuur
uuur
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，
C r rA
B
ab
rr
rr r r
若 a ， b 方 向 相 同 ， 则 |a b | |a | |b |
rr
rr r r r r
若 a ， b 方 向 相 反 ， 则 |a b | |a | |b （ |或 |b | |a |）
r r
rrrr
若 a ， b 不 共 线 ， 则 | r a r b | |a r | r |b |rr
以AD、AB为邻边作YABCD,则uAuCur表示
船实际航行的速度.
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例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
对 任 意 两 个 向 量 a ， b ， 有 | a b | | a | | b |
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请同学们 总结向量加法的“三
角形法则”与“平行四边 形”法则的联系与区别。
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已|知 a |8,|b |6,则 |a b |的最大 最小值各是什么
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练习：限时2分钟
1.化:A 简 B D F C D B C FA
2.已|a 知 |6,|b |1,|4 c |3,则 |a b c |有 最 大 值?和 最 小 值
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课后练习： P101习题1、2、3
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角来表示）。
u u u ru u u r
解 ： ( 2 ) 在 uuuR rt V A B C uu中 ur， | A B | u uu2 r, | B C | 2 3D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4
QtanCAB2 3 3 2
CAB60o.
A
B
答：20船20/5/实17 际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。