高三数学(理)一轮复习抛物线
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt
答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准 线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
高考一轮总复习•数学
抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形 弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2， 易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13， 整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
2021高三数学(理)一轮复习专练53抛物线含解析
2021高三数学（理）人教版一轮复习专练53抛物线含解析专练53抛物线命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质[基础强化］一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为(）A．1 B．2C。
12D。
错误!2．已知抛物线y2＝2px（p〉0）的准线经过点（－1，1),则该抛物线的焦点坐标为(）A．（－1,0) B．（1,0)C．(0，－1) D．(0，1）3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为（）A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线错误!－y2＝1的右焦点重合，则p的值为（）A．－4 B．4C．－2 D．25．若抛物线y2＝2px（p〉0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．4 B．8C．16 D．326．［2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px（p〉0)的焦点是椭圆错误!＋错误!＝1的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3C．4 D．87。
如图，过抛物线y2＝2px（p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B,C，若｜BC|＝2|BF|，且|AF｜＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x8．设坐标原点为O,抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A,B两点，则错误!·错误!等于()A。
错误!B．－错误!C．3 D．－39．已知抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点为F，准线为l,过点F 的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为(3,y0）时,△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!二、填空题10．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______________．11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q(x2,y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________。
高三第一轮复习--抛物线
角度一.动弦中点到坐标轴距离最短问题
例1.已知抛物线x 4 y上有一条长为6的动弦AB,
2
则AB的中点到x轴的最短距离为 3 A. 4 3 B. 2 C.1
D.2
AA1 BB1 由中位线定理得 MM 1 2 因为 AB AF BF AA1 BB1 AA1 BB1
p 0, 2
y
p 2
x 2 2 py p 0
p y 2
2 例： 1 y =4 x 2 4 x =8y
2 2 y 3x 2 5 y 4 x
2 3 x =8y 2 6 x = 9y
判断上述抛物线方程中哪些焦点是在x轴上，哪些 焦点在y轴？并判断焦点坐标及准线方程
p x 2
K
ห้องสมุดไป่ตู้
o
F
x
二、抛物线的标准方程
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
p ,0 2
p ,0 2
x
p 2
p x 2
x2 2 py
p 0
p 0, 2
（2）因为 FA FB x1 , y1 1 x2 , y2 1 8 x1 x2 y1 1 y2 1 8 4k = 9 3 解得k 4 l的方程为4 x 3 y 3 0或4 x +3 y +3 0
点F：焦点 定义 定直线：准线 MF =1 MN
二、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程，其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半上。
高考数学一轮复习第七章第七讲抛物线课件
解析：如图 D81，分别过 P，Q 两点作准线 x＝－2p的垂线，
垂足分别为 P1，Q1.分别过 P，Q 两点ห้องสมุดไป่ตู้ x 轴
的垂线，垂足分别为 P2，Q2.准线 x＝－p2交
x 轴于点 D－p2，0.
∵|PP1|＝|PF|＝4，|FP2|＝12|PF|＝2，
图 D81
∴|DF|＝|DP2|－|FP2|＝4－2＝2. ∵|FQ2|＝21|QF|＝12|QQ1|， ∴|DF|＝|QQ1|＋|FQ2|＝23|QF|. ∴32|QF|＝2，|QF|＝43. 答案：34
A.直线 AB 的斜率为 2 6 B.|OB|＝|OF| C.|AB|＞4|OF| D.∠OAM＋∠OBM＜180°
解析：如图 7-7-5，
图 7-7-5 ∵Fp2，0，M(p，0)，且|AF|＝|AM|，
∴A34p， 26p， 由抛物线焦点弦的性质可得 xA·xB＝p42，则 xB＝p3，
则 Bp3，－ 36p，
F0，－p2 y≤0，x∈R
(续表) 准线方程 开口方向
焦半径 通径长
x＝－p2 向右 x0＋p2
x＝p2 向左 －x0＋2p
2p
y＝－p2 向上 y0＋p2
y＝p2 向下 －y0＋2p
【名师点睛】 如图 7-7-1，设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
由yy＝ 2＝k4(xx－，1)， 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2(xB＋1)， 即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝21， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝29. 答案：B
抛物线课件 高三数学一轮复习
解析：由题意知F(1，0)，设A，B，C的横坐标 分别为x1，x2，x3，
由AF＝13 (AB + AC)，得1－x1＝13(x2－x1＋x3－x1)， 所以x1＋x2＋x3＝3，
由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋ 1＋x3＋1＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
(2)[2024·广东广州模拟]设动点P在抛物线y＝14x2上，点P在x轴上的射 影为点M，点A的坐标是(2，0)，则|PA|＋|PM|的最小值是___5_－__1__．
题后师说
求抛物线标准方程的常用方法
巩固训练2
(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距
离大1，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
答案： C 解析：由题意抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x＝－1 的距离相同，因此－p2＝－1，p＝2，抛物线方程为y2＝4x.故选C.
题后师说
抛物线定义的应用策略
巩固训练1
(1)[2024·辽 宁 辽 阳 模 拟 ] 已 知 抛 物 线 C ： x2 ＝ 2py(p>0) 的 焦 点 为 F ，
M(m，2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝( )
A．2
考点40 抛物线-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点40 抛物线抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切，则动圆圆心D 的轨迹方程为 A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x =D ．22y x =【答案】A【解析】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y =. 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案.典例2 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)A ．)B ．(0)C ．)D ．(0，)【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)，即2p=则抛物线的焦点坐标为0)．故选A ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.1．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点P 到焦点的距离为_________．考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4√3,则该抛物线的方程是x B．y2=√3xA．y2=3C．y2=2√3x D．y2x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4√3,2=4√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2√3,故可设点A的坐标为(2√3,2),代入抛物线方程得4=4√3p,解得p,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(32)-，；(2)焦点在直线240x y --=上．【解析】(1)设所求抛物线的方程为22y px =-或20)2(x py p >=．∵过点(32)-，，∴3()42p =-⨯-或922p =⨯(2)令0x =得2y =-∴抛物线的焦点为(4)0，或(0)2-，．当焦点为(4)0，8p =，此时抛物线的方程为216y x =；当焦点为(0)2-，4p =，此时抛物线的方程为28x y =-. 故所求抛物线的方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线AB ，垂足为B且ABF 是边长为8的正三角形，则抛物线C 的方程为( ) A ．24x y = B ．26x y = C ．28x y =D ．210x y =考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．B ．52pC ．2pD p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆22:12O x y +=与C 的一个交点，且3MF =，则C 的标准方程是( ). A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x =D ．26y x =考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =－1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为57122+=.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y =2√2(x-2p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=54p . 由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p =9, 所以p =4,从而抛物线的方程是y 2=8x . (2)因为p =4,所以4x 2-5px+p 2=0，可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3, 所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.4．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = ( ) A ．-4 B ．4 C ．4pD ．-4p考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E (E 在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线24xy 上的动点Ρ(x,y),则y+|ΡQ|的最小值是A．2 B．3C．4 D．2√2【答案】A【解析】如图,作ΡB⊥x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=−1,由抛物线的几何意义可得|ΡB|=|ΡF|,所以y+|ΡQ|= |ΡA|+|ΡQ|=| ΡB|+|ΡQ|−1=| ΡF|+|ΡQ|−1≥|FQ|−1=√1+8−1=2.故选A.典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2, y0),代入抛物线方程x2=8y得y0=1 2 .∴使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,1 2 ).5．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.1．抛物线214x y =的准线方程为( ) A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．103．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．45．抛物线2(0)y mx m =≠的准线与直线1y =的距离为3，则此抛物线的方程为( ) A ．216x y =-B ．28x y =C ．216x y =或28x yD ．28x y =或216x y =-6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22154x y -=的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线22y px =上的是( ) A ．(1,2) B ．(3,6)-C ．(2,2)-D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p =( ) A ．2 B ．2或4 C ．1或2D ．18．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．9．如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：()220y px p =>上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，点F 是抛物线C 的焦点.若12+n x x x ++…=10，12+++n PF P F P F …=10+n ，则p 等于( ) A ．2 B ．32C ．52D ．410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为( )A ．1 BC ．2D11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.13．已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 14．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=，4PF =，则抛物线C 的方程为：______________.15．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________． 16．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． (1)求圆心M 的轨迹E 的方程；(2)斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．17．已知抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，(1)求物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ､B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若122k k =-，求证：直线AB 过定点.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l . (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．85．【2018新课标I 理】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．【2017新课标全国I 理科】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．107．【2017新课标全国II 理科】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．8．【2018新课标Ⅰ理】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．9．【2020年新高考全国ⅠC ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，32与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； (2)若，求|AB |．11．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．3AP PB =(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．【2018新课标Ⅱ理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．1．【答案】2 【分析】设点P 的横坐标为()0m m >，利用抛物线的定义和条件建立方程求出m 即可. 【详解】设点P 的横坐标为()0m m >因为抛物线的方程为24y x =，所以其准线方程为1x =-所以根据抛物线的定义可得，点P 到焦点的距离为+1m ，所以+1=2m m ，解得1m = 所以点P 到焦点的距离为2. 故答案为：2. 2．【答案】C 【分析】依题意，画出草图，则8BF =，30DBF ∠=︒，即可求出p ，即可得解； 【详解】解：依题意，设准线l 与y 轴相交于点D ，则8BF =，60ABF ∠=︒，所以30DBF ∠=︒，所以4DF =，即4p =，所以抛物线方程为28x y =故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题. 3．【答案】C【分析】根据条件作出图示，分别表示出22,,MO MM M O ，利用勾股定理求解出抛物线方程中参数p 的值，由此确定出C 的方程. 【详解】设抛物线的方程为22y px =，连接MO ，过M 作1MM ⊥准线，交y 轴于2M ，因为32M p MF x ==+，所以232M pMM x ==-，所以2M M O y === 在2Rt OMM 中有：22222M O M M MO +=，所以2263122p p p ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用，属于中档题.抛物线的焦半径公式如下：(p 为焦准距)(1)焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； (2)焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；(3)焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；(4)焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.4．【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为2p my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出 【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++22222244mp p p p m mp =-+⨯+=， 所以21221244y y p px x -==-， 故选：A 【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)2212124p x x y y p ==-；(2)弦长1222sin pAB x x p α=++=(α是直线AB 的倾斜角)； (3)112FA FB p+= 5．【答案】6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果 【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题.1．【答案】D 【分析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】 因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D 2．【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出． 【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．4．【答案】C 【分析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM '=，即得解.【详解】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF |，|BB′|＝|BF |，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|， ∵M 到y 轴距离为1， ∴3||2MM '=， ∴|AB |＝|AF |+|BF |＝2|MM′|＝3． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，求出准线方程14y m =-，根据题意可得124m -=-或144m-=，解方程即可. 【详解】将2(0)y mx m =≠化为21x y m=， 其准线方程为14y m=-.由题意知124m -=-或144m-=，解得18m =或116m =-.则所求抛物线的标准方程为28x y =或216x y =-. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、由抛物线的定义求标准方程，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可. 【详解】因为双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(3,0)，因此362pp =⇒=，则抛物线方程为212y x =， 当3x =时，2366y y =⇒=±，所以点(3,6)-在该抛物线上. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题. 7．【答案】B 【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y p x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B. 8．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 9．【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得n 个等式，相加后，利用已知条件可得结果. 【详解】抛物线C ：()220y px p =>的准线为2px =-， 根据抛物线的定义可知，11||2p PF x =+，22||2p PF x =+，，||2n n p PF x =+， 所以1212||||||222n n p p pPF PF PF x x x +++=++++++，所以12102n npn x x x +=++++，所以10102npn +=+，所以2p =.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题. 10．【答案】B 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN≥AB MNB ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题． 11．【答案】28x y = 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】 根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y = 【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 12．【答案】6 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】 由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，|||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =，∴OP ===.. 14．【答案】24x y = 【分析】如图作PE l ⊥，60PFE ∠=，由抛物线定义知PFE △是等边三角形，再过焦点F 作FM PE ⊥，知M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p =，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C ：()220x py p =>，焦点(0,)2p F ，准线:2p l y =-如图，PE l ⊥，60PFE ∠=，4PF =，由抛物线定义知4PF PE ==，故PFE △是等边三角形， 过焦点F 作FM PE ⊥，交PE 于M ，则M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p = 故答案为：24x y =【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PF PE =，再利用60PFE ∠=知PFE △是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15 【分析】由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式求出点B 的坐标，代入抛物线方程求出p 的值，根据2AFM BMF S S ∆∆=即可算出结果．【详解】 解：如图所示：，由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)， 又AM MF ⊥，∴由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，(4pB ∴，1)，把点(4p B ，1)代入抛物线方程：22(0)y px p =>得，124p p =⨯，解得p =，4B ∴，1)，1221()2424AFM BFM S S ∆∆∴==⨯⨯⨯+=，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质得，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式表示出点B 的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题． 16．【答案】(1)28y x =；(2)100x y +-=. 【分析】(1)由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.(2)求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】(1)设动点(,)M x y |2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；(2)由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.17．【答案】(1)2y x =；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，由12p =求解.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ，由122k k =-，易得1212y y =-，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理由1212m y y k ==-求解即可.注意直线AB 的斜率不存在的情况. 【详解】(1)因为抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，所以12p =，解得12p =， 所以抛物线C 的方程为2y x =.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ， 所以121222112211,y y k k y y y y ====， 由题意有121212k k y y ==-，得1212y y =-， ①当直线AB 的斜率不存在时，此时12y y =-，直线AB 的方程为12x =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为20ky y m -+=，可得1212m y y k ==-，得2k m =-， 直线AB 的方程为2y mx m =-+，可化为122y m x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 由①②知直线AB 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 18．【答案】(1)24y x =；(2)9【分析】(1)设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；(2)不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h的方程为)1y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】(1)根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.(2)由(1)可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F的直线h的方程为)1y x =-，由)24 1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入)1y x =-，得1y =2y =，所以(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭， 所以142p AD x +==，2423p BE x +==，12DE y y =-= 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()129AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.1．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 4．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，。
高考数学一轮复习专题训练—抛物线
抛物线考纲要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切．2．顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________． 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________． 答案 2解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.6．(2021·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]．考点一 抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－12y 或y 2＝16xB ．x 2＝12y 或y 2＝－16xC ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1C ．32D ．2答案 B解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 感悟升华 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p .2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)(2)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时， ∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 (1)B (2)A解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.(2)过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以∠BAF ＝60°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A.感悟升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练1】 (2021·长春质量监测)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF |＝|BF |，O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A.43 B ．34C ．4D ．54答案 A解析 由题意，知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l ：y ＝－p 2. 作AE ⊥l 于点E ，BG ⊥l 于点G ，过点A 作AD ⊥BG 于点D ，交y 轴于点H ，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x .由抛物线的定义，知|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x ＋3x ＝4x ，|BD |＝3x －x ＝2x ，|FH |＝p －x .由△AHF ∽△ADB ，得|AF ||AB |＝|FH ||BD |，即x 4x ＝p －x 2x ，解得x ＝23p ，所以|AF ||OF |＝23pp 2＝43，故选A.考点三 与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.感悟升华 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题．2．到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值．角度2到点与准线的距离之和的最值问题【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x ＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.感悟升华 解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．角度3 动弦中点到坐标轴距离的最短问题【例4】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B ．32C ．1D ．2答案 D解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 感悟升华 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解． 角度4 焦点弦中的距离之和的最小问题【例5】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 答案 2解析 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.感悟升华 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值． 角度5 到定直线的距离的最小问题【例6】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 答案 43解析 法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二 对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.感悟升华 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值．【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 答案 (1)A (2)17－1解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1,0)．依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 考点四 直线与抛物线的综合问题【例7】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12t －19. 从而－12t －19＝52，得t ＝－78(满足Δ>0)． 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133. 感悟升华 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0， 故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6答案 B[通法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[优解]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B ．938C ．6332D ．94答案 D[通法]由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[优解]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203答案 C[通法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[优解]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 思维升华 解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核心素养.A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.故选D.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14.故选D.3．(2021·河南中原名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C ．54D ．74答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C.4．(2021·衡水调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .5．(2021·江西五校协作体联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( ) A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°答案 B解析 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.故选B.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.二、填空题7．(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析 由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．9．(2021·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________． 答案 3解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 三、解答题10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．11．(2021·安徽六校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (a,3)，点P 为抛物线C 上的动点．(1)若|P A |＋|PF |的最小值为5，求实数a 的值；(2)设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，求△OP A 的面积．解 (1)由题意知F (1,0)，当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即a >94时，设点P 在抛物线准线x ＝－1上的射影为D ，则D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AD |＝a －(－1)＝5，此时a ＝4； 当线段AF 与抛物线C 有公共点，即a ≤94时，则A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AF |＝a －12＋32＝5，此时a ＝－3.综上，实数a 的值为－3或4.(2)因为∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，所以MA ∥x 轴且|MO |＝|MA |＝|MP |，设M (t,3)，则P (2t,6)，代入抛物线C 的方程得2t ＝9，于是|MO |＝|MA |＝|MP |＝3132，所以S △OP A ＝12|MA |·|y P |＝9132. B 级 能力提升12．(2021·银川联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝9.∵半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，⎝⎛⎭⎫p 2－a 2＋b 2＝9，3＝a ＋p 2⇒⎩⎨⎧ p 2－a ＝a ，a ＝3－p 2⇒p ＝4.故选C. 13．(2020·贵阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在双曲线C ：x 24－y 22＝1的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|OF |＝|PF |，则△PFO 的面积为________．答案 23解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线C ：x 24－y 22＝1的渐近线方程为x ±2y ＝0， 不妨设P 在渐近线x －2y ＝0上，可设P (2m ，m )，m >0，由|OF |＝|PF |可得2m －12＋m 2＝1，解得m ＝223， 则△PFO 的面积为12|OF |·|y P |＝12×1×223＝23. 14．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ． 题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)． 当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三 抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四 直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。
中职对口升学考高分-高三数学第一轮复习：抛物线
2、抛物线的标准方程、几何图形及简单几何性质
标准方程
图形
范围
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
准线
顶点
坐标原点(0,0)
离心率
e=1
2、抛物线的标准方程、几何图形及简单几何性质
注意
(1)抛物线标准方程中的p 是焦点到准线的距离; 在解题中,抛物线上任意一点到焦点的距离等于 它到准线的距离,可简化解题过程.
(2)在 记 忆 抛 物 线 的 标 准 方 程 时 ,方 程 中 的一次项的字母决定焦点在对应的坐标 轴 上 ,一 次 项 系 数的正、负决定焦点在正半轴 上还是负半轴上.
3、 抛物线的焦点弦的弦长
一直线过抛物线焦点交抛物线与A,B两点。
典例解析
例 1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,根据下列条件求抛 物线的标准方程: (1)焦点为F(0,-3);(2)准线方程是x=5;(3)经过点P(-
第五节 抛物线
知识梳理 1 、抛物线的定义
抛物线 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点 的轨迹称为抛物线(定点F不在定直线l 上).点F 称为 抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线.定点F 到 准线的距离为p. p 称为作抛物线的焦准距.
抛物线的定义应理解两点
一是动点到定点F 和定直线l的距离相等,二是点F 不在定直线 上. 事实上,当点F 在定直线l上时,动点的轨迹为过点F 垂直于 直线l的直线.
y2=3x,焦点F（34,0）.
技巧 点拨
(2)焦点F到直线x+y=0的距离d= 382,|OA|= 3 2 ，故 △FOA的面积为89. 在解析几何中，常用点到直线的距离公式求三角形一条
边上的高.
抛物线课件高三数学一轮复习
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
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高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线(高三一轮复习)
可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 23 —
解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
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思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
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针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
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(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)， 又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章 平面解析几何
第7讲 抛物线
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解45 抛物线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点45 抛物线一．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.二．．抛物线的标准方程和几何性质O(0,0)三．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，Fx ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 抛物线的定义【例1】(2022·陕西宝鸡市·高三二模(文))设抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为M ，P 是C 上一点，若5PF =，则PM =( ) A 21B ．5C ．7D 41【答案】D【解析】如图所示，过P 作PQ 垂直l ，交l 于Q ，不妨设()0(,)P x y x >，根据抛物线定义得152pPF PQ y y ==+=+=， 所以y =4，所以x =4，即(4,4)P ， 所以4QM =，所以PM ===故选：D 【举一反三】1．(2022·山东烟台市·高三一模)已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，直线l 与C 交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为4,则 AF BF +=( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16【答案】C【解析】抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为4，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，128x x +=， 则12||||8412AF BF x x p +=++=+=． 故选：C ．2．(2022·内蒙古高三月考(文))点F 为抛物线24y x =的焦点，点(2,1)A ，点P 为物线上与直线AF 不共线的一点，则APF 周长的最小值为( )A ．3B ．3C ．4D ．【答案】B【解析】根据题意，焦点()1,0F ，准线方程为：1x =-，过点P 作准线的垂线，垂足为P'，过点A 作准线的垂线，垂足为'A ，且与抛物线交于点0P ，作出图像如图，故AF =由抛物线的定义得：'PF PP =，则APF 周长为：''C PF PA PP PA AA =+=+≥ 当且仅当点P 在点0P 处时，等号成立；因为'3AA =，'3C PF PA AA +≥=所以APF 周长的最小值为：3. 故选：B.3．(2022·全国高三专题练习(文))已知抛物线214y x =上的动点P 到直线l ∶3y =-的距离为d ，A 点坐标为(2，0)，则||PA d +的最小值等于( )A ．4B ．2C ．D ．3+【答案】B【解析】如图所示，抛物线214y x =化为24x y =，可得焦点()0,1F ，准线方程为1y =-， 可得动点P 到直线l ∶3y =-的距离为22d PE PF =+=+，又由PF PA FA +≥=22PA d PA PF +=++≥.所以PA d 的最小值等于2.故选: B.4．(2022·浙江杭州市·学军中学)已知拋物线2y mx =的焦点坐标F 为()2,0，则m 的值为___________；若点P 在抛物线上，点()5,3,A 则PA PF +的最小值为___________. 【答案】8 7【解析】拋物线2y mx =的焦点坐标F 为()2,0，则24m=，解得8m =； 抛物线28y x =的准线方程为2x =-，过P 作直线2x =-的垂线，垂足为C ，PA PF PA PC AC +=+≥，当,,A P C 三点共线时，PA PF +取得最小值，且()527AC =--=故答案为：8;7．考点题型二 抛物线的标准方程【例2-1】(2022·全国单元测试)顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为( )A ．y 2＝165x B ．y 2＝－165x C ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y【答案】C【解析】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得8,5p =所以，抛物线方程为2165x y =．故选：C ． 【例2-2】(2022·浙江)已知抛物线C 的焦点()1,0F ，则拋物线C 的标准方程为___________，焦点到准线的距离为___________. 【答案】24y x =2【解析】根据抛物线C 的焦点()1,0F ，设抛物线方程22y px =，12p=，则2p =， 故抛物线方程24y x =；抛物线中，焦点到准线的距离为p ，2p =，即距离为2.故答案为：24y x =；2. 【举一反三】1．(2022·全国课时练习)以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．28y x =B ．28y x =- C ．28y x =或28y x =-D ．28x y =或28xy【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =或22y px =-， 依题意得2p x =，代入22y px =或22y px =-得y p =， 22=8y p ∴=，4p =．∴抛物线方程为28y x =或28y x =-，故选：C.2．(2022·山东德州市·高二期末)抛物线2y ax =的焦点是直线4810x y +-=与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是( ) A ．14x =-B ．18y =C ．18y =-D ．14x =【答案】C【解析】由2y ax =可知抛物线开口向上或向下， 4810x y +-=，令10,8=∴=x y ，焦点坐标为11(0,),828∴=p 准线为18y =-故选：C3．(2022·绵阳南山中学实验学校(文))顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ) A ．23x y =± B ．26y x =± C ．212x y =± D ．26x y =±【答案】C【解析】由抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，设抛物线的方程为22(0)x my m =≠， 因为顶点与焦点的距离等于3，可得32m=，解得12m =±， 所以所求抛物线的方程为212x y =±.故选：C.4(2022·广东湛江市·高三一模)已知抛物线C ：x 2=-2py (p >0)的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线y =2p 的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且｜MF |=6，则p =( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】A 【解析】设()00,M x y ，则0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4p =故选：A考点题型三 抛物线的几何性质【例3】(2022·江苏省天一中学高三二模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________．【答案】8【解析】抛物线y 2＝4x 中，2p =，焦点F (1，0)，而直线AB 过焦点F (1，0)，故根据抛物线定义可知121262822p p p AB AF FB x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+＝=＝.故答案为：8.【举一反三】1．(2022·四川遂宁市·高三二模(文))若过抛物线C ：24y x =的焦点且斜率为2的直线与C 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．3.B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】抛物线C ：24y x =的焦点(1,0)F 所以直线AB 的方程为22y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由2224y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2310x x -+=， 所以123x x +=，1225AB x x =++=. 故选：C.2．(2022·广西玉林市·高三其他模拟(理))已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点在直线10x y +-=上，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60︒的直线交抛物线C 于A ､B 两点，则||AB =( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【答案】C【解析】因为直线10x y +-=与y 轴的交点为(0,1)，所以抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F ，抛物线方程为24x y =， 所以过焦点且倾斜角为60︒的直线方程为1y =+， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得21410y y -+=， 所以1214y y +=，所以12||14216AB y y p =++=+=， 故选：C3．(2022·商丘市第一高级中学)设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过F 作倾斜角为60︒的直线与该抛物线交于,A B 两点，且3,OA OB O ⋅=-为坐标原点，则AOB 的面积为( )ABCD【答案】A【解析】由题意得焦点坐标为(,0)2p，则直线的方程为)2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线与曲线联立2)22p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得2233504x px p -+=，222325431604p p p ∆=-⨯⨯=>，212125,34p p x x x x +==，2212121212))3()2224p p p p y y x x x x x x p ⎡⎤=--=-++=-⎢⎥⎣⎦又221212()34p x x y y p OA OB +⋅=+-==-，解得24p =，又0p >，所以2p =，所以1251633p AB x x p p =++=+=，直线方程为y =0y --=，所以原点O0y -=的距离d ==所以AOB的面积1116223S AB d =⨯⨯=⨯=. 故选：A.。
高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
还是由交点纵坐标确定,同时还要注意坐标与距离关系.
(2)求解与抛物线有关的问题,要充分利用平面几何的性质.
角度二
抛物线性质的综合应用
[例4] (2024·陕西商洛模拟)已知F为抛物线y2=16x的焦点,P为该
||
抛物线上的动点,点A(-1,0),则
代入点P(-1,2),
解得 k=-4 或 m=,
2
2
所以 y =-4x 或 x =y.
2
y =-4x 或 x = y
.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
抛物线的定义及应用
[例1] (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,
点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(
直径的圆与y轴相切.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点
坐标是 (,0) ,准线方程是 x=- .( × )
(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象就是抛物线.( √ )
设出对应的标准方程,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件
就可以确定抛物线的标准方程.
[针对训练]
(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为
(
)
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
√
解析:(1)由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的