北师大版一元二次方程测试题
北师大版九年级上册达标检测卷：第二章《一元二次方程》(含答案)
达标检测卷：第二章《一元二次方程》时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．若（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m≠±22．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（）A．10 B．50 C．55 D．454．方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝3 D．x1＝5，x2＝35．方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（）A．9 B．﹣9x C．9x D．﹣96．关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一个根为2，则b的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．17．如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm （纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm8．一元二次方程x2﹣ax+2＝0的一根是1，则a的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣29．天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为x ，求此平均增长率可列方程为（ ）A ．200（1+x ）2＝662B ．200+200（1+x ）2＝662C ．200+200（1+x ）+200（1+x ）2＝662D ．200+200x +200（1+x ）2＝66210．已知a ，b 是方程x 2+3x ﹣1＝0的两根，则a 2b +ab 2+2的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二．填空题（每题4分，共20分）11．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．12．若关于x 的方程（a ﹣2）x 2+（2a ﹣3）x +a +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．13．设a 2﹣3a +1＝0，b 2﹣3b +1＝0，且a ≠b ，则代数式+的值为 ．14．已知m 是方程x 2﹣2018x +1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2017m ++3的值等于 ．15．2018年我国新能源汽车保有量居世界前列，2016年和2018年我国新能源汽车保有量分别为51.7万辆和261万辆．设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为 ．三．解答题（每题10分，共50分）16．基本事实：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”．方程x 2﹣x ﹣6＝0可通过因式分解化为（x ﹣3）（x +2）＝0，由基本事实得x ﹣3＝0或x +2＝0，即方程的解为x ＝3或x ＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x 2﹣x ＝0；（2）若实数m 、n 满足（m 2+n 2）（m 2+n 2﹣1）﹣6＝0，求m 2+n 2的值．17．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．18．方方同学在寒假社会调查实践活动中，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂一月份罐头加工量为a吨；②该厂三月份的加工量比一月份增长了44%；③该厂第一季度共加工罐头182吨；④该厂二月、三月加工量每月按相同的百分率增长；⑤该厂从四月份开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降；⑥六月份设备整修更新完毕，此月加工量为一月份的2.1倍，与五月份相比增长了46.68吨．利用以上信息求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率；（2）该厂一月份的加工量a的值；（3）该厂第二季度的总加工量．19．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝2，且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B．2．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．3．解：设每轮传染中每人传染x人，依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，整理，得：x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），∴5+5x＝55．故选：C．4．解：∵2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，解得x＝5或x＝3，故选：D．5．解：方程整理得：4x2+9x﹣81＝0，则一次项是9x，故选：C．6．解：把x＝2代入方程x2+bx﹣6＝0得4+2b﹣6＝0，解得b＝1．故选：D．7．解：依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x+）＝950，整理，得：x2+20x﹣125＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．故选：D．8．解：把x＝1代入方程x2﹣ax+2＝0得1﹣a+2＝0，解得a＝3．故选：A．9．解：设利润平均每月的增长率为x，又知：第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，所以，可列方程为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝662；故选：C．10．解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴a+b＝﹣3，ab＝﹣1，则原式＝ab（a+b）+2＝﹣1×（﹣3）+2＝3+2＝5，故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2故答案为2．12．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2ax+a+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得a＜且a≠2．故a的取值范围是a＜且a≠2．故答案为：a＜且a≠2．13．解：∵a2﹣3a+1＝0，b2﹣3b+1＝0，且a≠b，∴a、b为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个不等实根，∴a+b＝3，ab＝1，∴+＝＝3．故答案为：3．14．解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++3＝2018m﹣1﹣2017m++3＝m++2＝+2＝+2＝2018+2＝2020．故答案为2020．15．解：设我国2016至2018年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意，可列方程为：51.7（1+x）2＝261，故答案为：51.7（1+x）2＝261．三．解答题（共5小题）16．解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0∴x＝0或3x﹣1＝0解得：x1＝0，x2＝；（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．即m2+n2的值是3．17．解：（1）∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4（m ﹣2）＝4﹣4m +8＝12﹣4m ．∵12﹣4m ≥0，∴m ≤3，m ≠2．（2）∵m ≤3且m ≠2，∴m ＝1或3，∴当m ＝1时，原方程为﹣x 2﹣2x +1＝0．x 1＝﹣1﹣，x 2＝﹣1+． 当m ＝3时，原方程为x 2﹣2x +1＝0．x 1＝x 2＝1．18．解：（1）设该厂第一季度加工量的月平均增长率为x ，由题意得： a （1+x ）2＝（1+44%）a∴（1+x ）2＝1.44∴x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍）答：该厂第一季度加工量的月平均增长率为20%．（2）由题意得：a +a （1+x ）+a （1+x ）2＝182将x ＝20%代入得：a +a （1+20%）+a （1+20%）2＝182解得a ＝50答：该厂一月份的加工量a 的值为50．（3）由题意可知，三月份加工量为：50（1+20%）2＝72六月份加工量为：50×2.1＝105（吨）五月份加工量为：105﹣46.68＝58.32（吨）设四、五两个月的加工量下降的百分率为y ，由题意得：72（1﹣y ）2＝58.32解得：y 1＝0.1＝10%，y 2＝1.9（舍）∴四、五两个月的加工量下降的百分率为10%∴72×（1﹣10%）+58.32+105＝228.12（吨）答：该厂第二季度的总加工量为228.12吨．19．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m ，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．20．（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣x BQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．。
2022-2023学年北师大版数学九年级上册第2章一元二次方程 单元测试题含答案
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．一元二次方程2x2+x﹣3＝0中一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3B．0，﹣3C．1，﹣3D．1，02．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．下列配方正确的是（）A．x2+2x+5＝（x+1）2+6B．x2+3x＝（x+）2﹣C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2D．x2﹣5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣17．若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x，则可列方程为（）A．25（1﹣x）2＝16B．25（1+x）2＝16C．16（1﹣x）2＝25D．16（1+x）2＝258．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600二．填空题（共7小题，满分35分）9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．10．已知m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为．11．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*3＝0的解为．12．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则菱形的面积是．13．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x23﹣4x12+17的值为．14．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．15．已知等腰△ABC的三条边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，则△ABC的周长为．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．17．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．19．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①x2﹣2x的最小值是②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6∴原式有最小值是6请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．20．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．21．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：2x2+x﹣3＝0中，一次项系数为1，常数项为﹣3，故选：C．2．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝2．故选：D．3．解：∵x2﹣3x+6＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，∴方程没有实数根，即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，故选：D．4．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2+，故D不符合题意；故选：C．5．解：x2﹣x＝1.1，x2﹣x﹣1.1＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，x＝，x1＝，x2＝，∵2.2＜＜2.4，∴3.2＜1+＜3.4，∴1.6＜＜1.7，即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．故选：B．6．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．7．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得25（1﹣x）2＝16．故选：A．8．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．10．解：∵m是方程x2﹣3x﹣2020＝0的根，∴m2﹣3m﹣2020＝0，∴m2﹣3m＝2020，∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣2020＝﹣2019．故答案为：﹣2019．11．解：∵（x+1）*3＝0，∴（x+1）2﹣32＝0，∴（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4．故答案为x1＝2，x2＝﹣4．12．解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，即菱形的两条对角线的长为4和，所以菱形的面积为＝10，故答案为：10．13．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0．∴x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2．由一元二次方程的根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣1．∴x23﹣4x12+17＝x2•x22﹣4x12+17＝x2•（3﹣x2）﹣4（3﹣x1）+17＝3x2﹣x22﹣12+4x1+17＝3x2﹣（3﹣x2）﹣12+4x1+17＝4x2+4x1+2＝4（x1+x2）+2＝﹣4+2＝﹣2．故答案是：﹣2．14．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．15．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x1＝3，x2＝6，∵等腰△ABC的两边长都是方程x2﹣9x+18＝0的根，∴等腰△ABC的三边为3、3、3或6、6、6或6、6、3或3、3、6（不符合），∴△ABC的周长为9或18或15．故答案为：9或18或15．三．解答题（共6小题，满分45分）16．解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝4+3，∴（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±；∴，；（2）∵（x﹣3）2＝2（3﹣x），∴（x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时Δ＞0．故m的值为m＝﹣1．18．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．19．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，故答案为：①﹣1，②0；（2）小明的结论错误，理由：∵x2+1＝0时，x无解，∴（x2+1）2+6最小值不是6，∵x2≥0，∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．20．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无实数根．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．21．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．。
一元二次方程练习题及答案 北师大版
（一元二次方程）一 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠3)B.ax 2232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.17.已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+=22.230x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程(解析版)
第二章一元二次方程一、单选题1.下列各方程中，一定是关于X的一元二次方程的是（）A. 2x2+3=2x （5+x）B, ax2+c=0C.（a+1）炉+6升1=0D. （^2+l） x2- 3x+l=0【答案】D【解析】4.*+3=M5+、）整理得，10x-3=0,故不是一元二次方程；B.当a=0时，。
炉+。
=0不是一元二次方程：C.当a=-l时，（什1濡+6升1=0不是一元二次方程：D. aa2>0,二届+1 翔,匚d+lM -3x+l = 0 是一元二次方程：故选D.2.关于工的一元二次方程（。
-1）/+»/_] = 0的一个根是0,则。
值为（）A. 1B. -1C. 1 或—1D. i【答案】B【解析】把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a的方程及不等式，解之即可.解：根据题意得：解得：a=-\.故选：B.3.下列说法不正确的是()A.方程工2=%有一根为0B.方程/一1=0的两根互为相反数C.方程(x-l)2-l = 0的两根互为相反数D.方程N—x + 2 = 0无实数根【答案】C【解析】解：A./=x，移项得：x2—x = 0,因式分解得：x(x-l)=0,解得x=0或x=l,所以有一根为0,此选项正确;B. ?-1 = 0,移项得：W=i,宜接开方得：x=l或x=-l,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确:C. *-1)2-1 = 0,移项得：(X -1>=1,直接开方得：x-l=l或解得x=2或x=0,两根不互为相反数，此选项错误:D./ 7+2 = 0,找出a=l, b=-l, c=2,则二=l-8=-7V0,所以此方程无实数根，此选项正确.所以说法错误的选项是C.故选C.4.用配方法解一元二次方程2/—3x —1=0,配方正确的是().A. 3 工一一4)1716B.3丫X- -4J【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：2X 2-3X -1 = 0移项得2/—3x = l ，,3 1二次项系数化1的厂--A = 一，3 配方得Y-二X + 2 1716故选：A本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边：（2）把二次项的 系数化为1：（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5 .关于x 的一元二次方程（m-l ）x?-2mx + m+l = 0,下列说法正确的是（）.【答案】C【解析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案.（m-l ）x 2 - 2mx+ m + l = O 的判别式为： X —— 13 7=-+ 3 4;A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定△二（一2〃。
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程测试卷3新版北师大版
第二章一元二次方程测试卷（3）一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞13．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×1007．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（）A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=10008．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A．12 B．18 C．20 D．12或209．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定12．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2二、填空题（每题3分，共12分）13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m 时为一元二次方程．14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是．15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2= ，x1x2= ，x12+x22= ．16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为．三、解答题17．（18分）解方程：（1）2x2﹣6x+3=0（2）（x+3）（x﹣1）=5（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB 边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C 以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q 相距6厘米？参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【考点】一元二次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴k≠0，且△=b2﹣4ac=36﹣36k＞0，解得k＜1且k≠0．故答案为k＜1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关【考点】根的判别式．【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根．故选A【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，解得：x1=3，x2=4，若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．故选C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可列方程求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96x=0.2或1.8x=1.8不符合题意，舍去，故x=0.2答：平均每次降价的百分率是20%．故选A．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可先求出桌布的面积，再根据题意用x表示桌面的长与宽，令两者的积为桌布的面积即可．【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．故选B．【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面积公式来求解．7．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（）A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000，把相关数值代入即可求解．【解答】解：二月份的月营业额为200×（1+x），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=1000，故选C．【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A．12 B．18 C．20 D．12或20【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设草坪BC的长为x米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解．【解答】解：设草坪BC的长为x米，则宽为，由题意得，x•=120，解得：x1=12，x2=20，∵墙为16米，∴x=20不合题意．故x=12．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．9．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，代入得：n2+mn+2n=0，∵n≠0，∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，∴m+n=﹣2．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设y=m2+n2，原式化成关于y的一元二次方程，解方程即可求得．【解答】解：设y=m2+n2，则原式化为：y2﹣2y﹣3=0，（y﹣3）（y+1）=0，∴y=3或y=﹣1，∵m2+n2≥0，∴m2+n2=3．故选B．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式m2+n2，再用字母y代替解方程．11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把x=0代入原方程得m2﹣9=0；解得：m=±3；故选C．【点评】本题考查的是方程的根即方程的解的定义；注意该题没有说明该方程是一元二次方程，所以也能是一元一次方程，所以m的值是±3．12．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．二、填空题（每题3分，共12分）13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m ≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：由关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，得m﹣1≠0，解得m≠1．故答案为：m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是x1=0，x2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，提公因式得，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2= 3 ，x1x2= 1 ，x12+x22= 7 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×1=7．故答案为3，1，7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为（30﹣x）（20﹣x）=×30×20 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．故答案为：（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．三、解答题17．（18分）解方程：（1）2x2﹣6x+3=0（2）（x+3）（x﹣1）=5（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣6，c=3，∵△=36﹣24=12，∴x==，解得：x1=，x2=；（2）方程整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，解得：x1=2，x2=﹣4；（3）开方得：2（2x+1）=3（2x﹣1）或2（2x+1）=﹣3（2x﹣1），解得：x1=2.5，x2=0.1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件童装应降价x元，由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，解得：x=10或x=20．因为减少库存，所以应该降价20元．【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．【解答】解：（1）根据题意得解得k=﹣1，b=120．所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．（2）W=（x﹣60）•（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，整理得，x2﹣180x+7700≤0，而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110．即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB 边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C 以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q 相距6厘米？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，分别表示出线段PB 和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可；（2）根据勾股定理列出方程求解即可；【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：×2t（6﹣t）=××6×8，解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6﹣x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=．答：秒时，P、Q相距6厘米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．。
北师大版九年级上册第2章《一元二次方程》测试卷 含答案
2020年北师大版九年级上册第2章《一元二次方程》测试卷满分120分姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1＝0B．5x2﹣6y﹣3＝0C．ax2﹣x+2＝0D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣5B．3，﹣4，5C．3，4，5D．3，4，﹣53．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝6D．（x﹣2）2＝8 4．方程3x2﹣5x+1＝0的解，正确的是（）A．B．C．D．5．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．（x﹣5）（x+2）＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2＝16．若a为方程x2﹣x﹣5＝0的解，则﹣a2+a+11的值为（）A．16B．12C．9D．67．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则a b的值是（）A．8B．﹣8C．9D．﹣98．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（）A．19B．11成19C．13D．119．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．﹣3B．0C．1D．﹣3 或010．以下是某风景区旅游信息：旅游人数收费标准不超过30人人均收费80元超过30人增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元根据以上信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元，从中可以推算出该公司参加旅游的人数为（）A．38B．40C．42D．44二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．当m＝时，方程（m﹣2）x|m|+（m﹣3）x+5＝0是一元二次方程．12．方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是．13．若关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0有一个根为0，则a的值为．14．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．15．已知a，b是方程x2+2x＝2的两个实数根，则+＝．16．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（8分）解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．18．（6分）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？19．（8分）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线y＝（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．20．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？21．（8分）适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s 的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．23．（10分）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：通过上学期对有理数的乘方的学习，我们知道x2≥0，本学期学习了完全平方公式后，我们知道a2±2ab+b2＝（a±b）2，所以（a±b）2≥0，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2x2+4x﹣5的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2（x2+2x）﹣5＝2（x2+2x+12﹣12）﹣5＝2[（x+1）2﹣12]﹣5＝2（x+1）2﹣2﹣5＝2（x+1）2﹣7因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣7≥0﹣7，即2（x+1）2﹣7≥﹣7所以2（x+1）2﹣7的最小值是﹣7，即2x2+4x﹣5的最小值是﹣7请根据上面的探究思路，解答下列问题：（1）多项式5（x﹣3）2+1的最小值是；（2）求多项式4x2﹣16x+3的最小值；（3）求多项式x2+6x+y2﹣4y+20的最小值．24．（10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长；（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D．2．解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．故选：A．3．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，故选：D．4．解：∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴△＝25﹣4×3×1＝13＞0，∴x＝，故选：B．5．解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C．6．解：∵a为方程x2﹣x﹣5＝0的解，∴a2﹣a﹣5＝0，∴a2﹣a＝5，﹣a2+a+11＝﹣（a2﹣a）+11＝﹣5+11＝6故选：D．7．解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，可得a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，则原式＝（﹣3）2＝9．故选：C．8．解：∵x2﹣12x+20＝0，∴x＝2或x＝10，当x＝2时，∵2+4＞5，∴能组成三角形，∴三角形的周长为2+4+5＝11，当x＝10时，∵4+5＜10，∴不能组成三角形，故选：D．9．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，∴x1•x2＝a＝1．故选：C．10．解：因为30×80＝2400＜2800，所以人数超过30人；设参加这次旅游的人数为x人，依题意可知：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，解之得，x＝40或x＝70，当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝80﹣40＝40＜50，故应舍去，即：参加这次旅游的人数为40人．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：∵方程（m﹣2）x|m|+（m﹣3）x+5＝0是一元二次方程，∴|m|＝2且m﹣2≠0，解得m＝﹣2．故答案是：﹣2．12．解：∵（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x＝3或x＝﹣2，故答案为：x＝3或x＝﹣2．13．解：把x＝0代入关于x的一元二次方程（a+4）x2+2x+a2﹣16＝0，得a2﹣16＝0，解得：a＝4或﹣4，∵a+4≠0，a≠﹣4，∴a＝4．故答案为：4．14．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＞0，∴k＞﹣1．故答案为：k＞﹣1．15．解：原方程可变形为x2+2x﹣2＝0．∵a、b是方程x2+2x＝2的两个实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣2，∴+＝＝＝1．故答案为：1．16．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．18．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得：2x2﹣13x+11＝0，解得：x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．19．解：（1）当k＝﹣1时，方程为﹣4x﹣4＝0是一元一次方程，有一个实数根；当k≠﹣1时，△＝（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）＝（k﹣3）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）∵，∴x1＝﹣1，，∵方程的两个根是整数，∴k+1＝±1，±2，±4，又∵k为正整数，∴k＝1或3．（3）依题意得x1﹣x2＝3或x2﹣x1＝3，当时，k＝﹣3；当时，k＝0．故k＝﹣3或0．20．解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．21．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得：10x2﹣7x+2＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．22．解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4 PQ2，∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，解得：t1＝3，t2＝7；∵t＝7时10﹣2t＜0，∴t＝3，答：3秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，则×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10＝80﹣24，整理得x2﹣8x+16＝0解得x1＝x2＝4，答：4秒后，△DPQ的面积是24cm2．23．解：（1）∵（x﹣3）2≥0，∴5（x﹣3）2+1≥1，∴多项式5（x﹣3）2+1的最小值是1，故答案为：1；（2）4x2﹣16x+3＝4（x2﹣4x）+3＝4（x2﹣4x+22﹣22）+3＝4[（x﹣2）2﹣4]+3＝4（x﹣2）2﹣16+3＝4（x﹣2）2﹣13，∵（x﹣2）2≥0，∴4（x﹣2）2﹣13≥﹣13，∴多项式4x2﹣16x+3的最小值为﹣13；（3）x2+6x+y2﹣4y+20＝x2+6x+9+y2﹣4y+4+7＝（x+3）2+（y﹣2）2+7，∵（x+3）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+3）2+（y﹣2）2+7≥7，∴多项式x2+6x+y2﹣4y+20的最小值为7．24．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1＝0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1＝0，∴（a+3b）2+（b+1）2＝0，∴a+3b＝0，b+1＝0，解得b＝﹣1，a＝3，则a﹣b＝4；（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，则a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得，a＝1，b＝3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3＝7；（3）∵x+y＝2，∴y＝2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z＝5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4＝0，∴（x﹣1）2+（z+2）2＝0，则x﹣1＝0，z+2＝0，解得x＝1，y＝1，z＝﹣2，∴xyz＝﹣2．。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x（x+3）＝0B．x2﹣4y＝0C．x2﹣＝5D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）2．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）A．2016B．2020C．2025D．20263．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（）A．1B．±1C．﹣1D．04．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c ＝0，则（）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0 5．用配方法解方程x2+8x+9＝0，配方后可得（）A．（x+8）2＝73B．（x+4）2＝25C．（x+8）2＝55D．（x+4）2＝7 6．如图，某学校计划在一块长12米，宽9米的矩形空地修建两块形状大小相同的矩形种植园，它们的面积之和为60平方米，两块种植园之间及周边留有宽度相等的人行通道，若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（）A．x2﹣17x﹣16＝0B．2x2+17x﹣16＝0C．2x2﹣17x﹣16＝0D．2x2﹣17x+16＝07．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，58．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共8小题，满分40分）9．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3＝0是一元二次方程，那么m的值为．10．一元二次方程x2﹣x＝0的解是．11．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．12．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2022﹣3a2﹣3a的值是．13．某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为．14．已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是．15．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．16．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解方程：（1）3x2﹣1＝4x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．18．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根．（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．19．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b 之间的数量关系式．20．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？21．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．解：把x＝1代入方程ax2+bx+5＝0得a+b+5＝0，所以a+b＝﹣5，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+5＝2026．故选：D．3．解：把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0，解得m1＝﹣1，m2＝1，而m+1≠0，即m≠﹣1．所以m＝1．故选：A．4．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．5．解：x2+8x+9＝0，x2+8x＝﹣9，x2+8x+16＝﹣9+16，（x+4）2＝7，故选：D．6．解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（12﹣3x）（9﹣2x）＝60，化简整理得，2x2﹣17x+16＝0．故选：D．7．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：由题意得：m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣3．10．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．11．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，∴△≥0且k﹣2≠0，即42﹣4（k﹣2）×2≥0且k﹣2≠0解得k≤4且k≠2．故答案为：k≤4且k≠2．12．解：把x＝a代入x2+x﹣1＝0，得a2+a﹣1＝0，解得a2+a＝1，所以2022﹣3a2﹣3a＝2022﹣3（a2+a）＝2022﹣3＝2019．故答案是：2019．13．解：设年平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．即：年平均增长率为10%．故答案是：10%．14．解：当a＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8，而4+4＝8，不符合题意；当b＝4时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，而4+4＝8，不符合题意；当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝a+b，解得a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34，故m的值为34，故答案为34．15．解：设每盒粽子降价x元，则每盒的利润为（50﹣x）元，平均每天可卖（300+10x）盒，依题意得：（50﹣x）（300+10x）＝16000，故答案为：（50﹣x）（300+10x）＝16000．16．解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．∵△PQB的面积等于△ABC面积的，则根据三角形的面积公式，得PB•BQ＝××6×8，2t（6﹣t）＝18，（t﹣3）2＝0，解得t＝3．故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．故答案是：3．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0．∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．18．（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为＝；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的面积为＝；综上，该直角三角形的面积为或．19．解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|＝＝＝6，∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝＝1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，∴b2＝a2+4a．20．解：（1）设每天增长的百分率是x，依题意得：300（1+x）2＝432，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率是20%．（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，整理得：y2﹣29y+100＝0，解得：y1＝4，y2＝25．又∵要节省投入，∴y＝4．答：应该增加4条生产线．21．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，依题意，得：100（1+y）2＝256，解得：y1＝0.6＝60%，y2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低x元，则每天可售出（200+45x）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣x）（200+45x）＝2125，整理，得：9x2﹣50x+25＝0，解得：x1＝5，x2＝．∵要尽量减少库存，∴x＝5．答：售价应降低5元．。
北师大版九年级上册 第2章《一元二次方程》 单元测试题
第2章《一元二次方程》单元测试题一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2x+3 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．2x+y＝12．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣43．一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（）A．c≤B．c≤C．c≥D．c≥5．二位同学在研究函数y＝a（x+3）（x﹣）（a为实数，且a≠0）时，甲发现当0＜a ＜1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根．则（）A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确6．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A．44% B．22% C．20% D．10%8．一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为2，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣39．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠210．设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3二．填空题11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx﹣24＝0的一个根为x＝﹣3，则k的值是．12．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．13．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝．14．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是．15．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．三．解答题16．用适当方法解下列方程．（1）3x2﹣1＝4x（2）2x（2x+5）＝（x﹣1）（2x+5）17．阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？18．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x ++1＝0有两个实数根 （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，求k 的值．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m %，这样每天可多销售m %；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m 元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m 的值．20．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？参考答案一．选择题1．解：A、x2＝2x+3是一元二次方程，符合题意；B、x2+1＝2xy是二元二次方程，不符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不符合题意；D、2x+y＝1是二元一次方程，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．解：x2+2x＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．3．解：4x2﹣3x+＝0，这里a＝4，b＝﹣3，c＝，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，解得：c≤，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能根据题意得出△≥0是解此题的关键．5．解：由函数y＝a（x+3）（x﹣）可知，函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，∴函数顶点的横坐标为，∵0＜a＜1，∴＞﹣，∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；∵a（x+3）（x﹣）+5＝0可以化为ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，△＝（3a﹣2）2+4a＝9a2﹣8a+4＝9（a﹣）2+＞0，∴a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根，故乙的结论正确；故选：D．【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．6．解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．解：把x＝2代入x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，解得k＝3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝22﹣4（m ﹣2）（﹣1）＝4m ﹣4＞0且m ﹣2≠0，解得：m ＞1，即m 的取值范围是m ＞1且m ≠2；故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝﹣3，则x 1+x 1x 2+x 2＝2﹣3＝﹣1．故选：B ．【点评】考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2＝﹣，x 1•x 2＝．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣3代入方程2x 2﹣kx ﹣24＝0，可得2×9+3k ﹣24＝0，即k ＝2， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．解：令x 2﹣x ＝t ，∴t ＝x 2﹣x ＝（x）2﹣≥，∴t 2﹣2t ﹣3＝0，解得：t ＝3或t ＝﹣1（舍去），∴t ＝3，即x 2﹣x ＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．13．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，则a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，则a≤且a≠0，则a的最大整数值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15．解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，依题意，得：x（x﹣1）＝2450，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．故答案为：50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28，x＝＝，所以x 1＝，x 2＝；（2）2x （2x +5）﹣（x ﹣l ）（2x +5）＝0，（2x ﹣x +1）（2x +5）＝0（x +1）（2x +5）＝0x +1＝0或2x +5＝0，所以x 1＝﹣1，x 2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．17．解：（1）利用求根公式可知：x 1＝＝，x 2＝＝2． 故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：，消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0．∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0，∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）套用求根公式求出方程的解；（2）牢记“当△＜0时，方程无实数根”；（3）牢记“当△≥0时，方程有实数根”．18．解：（1）∵关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +k 2+1＝0有两个实数根，∴△＝[﹣（k +1）]2﹣4（k 2+1）＝2k ﹣3≥0，解得k ≥；（2）∵方程的两实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k +1，x 1•x 2＝k 2+1，∵x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，∴（x 1+x 2）2﹣8x 1x 2+15＝0，∴k 2﹣2k ﹣8＝0，解得：k 1＝4，k 2＝﹣2，又∵k ≥，∴k ＝4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．19．解：（1）设打x 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：≥10%，x ≥8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m %）[50（1﹣3m %）+m ﹣40]＝49000， 5（1+）（50﹣m +m ﹣40）＝49，m 2﹣5m ﹣6＝0，m 1＝6，m 2＝﹣1（舍）．【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．20．解：（1）设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，依题意有（6﹣x ）•2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4，经检验，x 1，x 2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）设经过y 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC 的面积＝×6×8＝24，（6﹣y ）•2y ＝12，y 2﹣6y +12＝0，∵△＝b 2﹣4ac ＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；（3）①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜x ≤4），设经过m 秒，依题意有（6﹣m ）（8﹣2m ）＝1，m 2﹣10m +23＝0，解得m 1＝5+，m 2＝5﹣，经检验，m 1＝5+不符合题意，舍去，∴m ＝5﹣； ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上（4＜x ≤6），设经过n 秒，依题意有（6﹣n ）（2n ﹣8）＝1，n 2﹣10n +25＝0，解得n 1＝n 2＝5，经检验，n ＝5符合题意．③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（x ＞6），设经过k 秒，依题意有（k ﹣6）（2k ﹣8）＝1，k 2﹣10k +23＝0，解得k 1＝5+，k 2＝5﹣，经检验，k 1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k ＝5+； 综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ 的面积为1cm 2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
北师大版九年级上册数学《一元二次方程》测试卷(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题）.1.已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则21a -的值是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案解析】C2.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【答案解析】C;21a +恒大于03.小明要在一幅长90厘米、宽40厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的54%，设金色彩条的宽为x 厘米，根据题意列方程为（ ）A.(90)(40)54%9040x x ++⨯=⨯B.(902)(402)54%9040x x ++⨯=⨯C.(90)(402)54%9040x x ++⨯=⨯D.(902)(40)54%9040x x ++⨯=⨯【答案解析】B4.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-【答案解析】A;不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ，且123x x =∴1224x x x +=，则24bx a=- ∴24b x a =-，将24bx a=-代入方程20ax bx c ++=整理，即可得A 【解析】韦达定理5.已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【答案解析】C;22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->， ∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．6.对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是（ ）A.不论c 为何值，方程均有实数根B.方程根是c bx a -=C.当0c ≥时，方程可化为：ax b +=ax b +=当0c =时，b x a=【答案解析】C7.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【答案解析】C ；由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩，所以 10k k <≠且8.不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【答案解析】A ；由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．9.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【答案解析】B10.已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【答案解析】D ；方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为： 2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+---- 222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．二、填空题（本大题共5小题）.11.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________【答案解析】(3)(2)0x x +-=，（最好让学生整理出一般形式260x x +-=）12.已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．【答案解析】3a ≠；整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程．13.方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【答案解析】9k <且0k ≠14.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =【答案解析】设另一个根是2x ，根据题意得，22(2)2(2)1x b x +-=-⎧⎨⋅-=-⎩，解得212x =，34b =15.已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案解析】-1;∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、解答题（本大题共8小题）.16.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项⑴2(21)(32)2x x x -+=+⑵2)(3)x x x =+【答案解析】⑴化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-⑵化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为117.不解方程224)0x x +--，求两根之和与两根之积【答案解析】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +=，12x x ⋅==【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥18.不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【答案解析】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根19.已知关于x 的方程210x mx m -+-=有两个不相等的实根1x 、2x ，且1211m x x +=，求m 的值【答案解析】由韦达定理得12121x x m x x m +=⎧⎨⋅=-⎩，∵1211m x x += ∴ 1212x x m x x +=⋅，即1mm m =-，解得0m =或2m =∵0∆>，∴0m = 【解析】易忽略0∆>的条件20.解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案解析】原方程可整理为2222()(21)()0a a x a x a a ---++= ①⑴当20a a -=时，则1a =或0a =；若1a =，则方程①可整理为20x -+=，解得2x = 若0a =，则方程①可整理为0x = ⑵当20a a -≠时，0a ≠且1a ≠时[(1)][(1)]0a x a ax a ---+=，解得1a x a =-或1a x a+= 【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=，然后讨论二次项系数是否为021.解无理方程（换元法）22330x x +-=【答案解析】a =，则22239x x a ++=，∴22239x x a +=-则原方程变形为29530a a --+=，整理得2560a a --=解得11a =-，26a =0a =≥ ∴6a =6=，整理得223270x x +-=，解得13x =，292x =- 经检验13x =，292x =-均为原方程的解 ∴原方程的解为13x =，292x =-22.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是25230x x +-=各根的负倒数【答案解析】设方程25230x x +-=的两根为1x 、2x ，则1225x x +=-，1235x x ⋅=-设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y 、2y 则111y x =-，221y x =- ∴12121212112()()3x x p y y x x x x +=-+=---==⋅； 1212121115()()3q y y x x x x =⋅=-⋅-==- ∴所求的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为20y py q ++=的简单形式，再根据12()p y y =+，12q y y =⋅23.已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。
一元二次方程 单元测试(北师大版)(解析版)—2025学年九年级数学上册考点题型过关训练(北师大版)
一元二次方程 单元测试总分：120分考生姓名：注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二章（一元二次方程）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．一元二次方程220x x --=的解是（ ）A ．11x =，22x =B ．11x =，22x =-C ．11x =-，22x =-D ．11x =-，22x =2．关于的一元二次方程2310x kx +-=A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解题的关键．先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可．【详解】解：在关于x 的一元二次方程22310x kx +-=中，2a =，3b k =，1c =-，22Δ498b ac k =-=+，因为20k ＞，所以22Δ4980b ac k =-=+＞，所以关于x 的一元二次方程22310x kx +-=根的情况是有两个不相等的实数根．故选A ．3．为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程（ ）A ．()245120x -=B ．()220145x -=C ．()245120x +=D ．()220145x +=【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如2(1+)m x n =的方程即可．【详解】根据题意，得220(1)45x +=．故选：D ．4．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．040x x +-=2021m m ++A ．2021B ．2023C ．2025D ．2029【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得240m m +-=，从而可得24m m +=，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．【详解】解：∵x m =是方程240x x +-=的根，∴240m m +-=，∴24m m +=，∴22021420212025m m ++=+=．故选：C ．6．已知关于x 的方程()2120x m x +--=的两实数根为1x ，2x ，若12122x x x x --=，则m 的值为（ ）A ．1B ．5-C ．3D ．50x bx c ++=是（ ）x1 1.1 1.2 1.3x ²+bx +c -2-0.590.84 2.29A ．1 1.1x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1.2 1.3x <<D ． 1.3x > 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用 1.1x =时，20ax bx c ++<，而 1.2x =时，20ax bx c ++>可判断当1.1 1.2x <<时，其中有一个x 的值满足20ax bx c ++=，即可得答案．【详解】解：∵ 1.1x =时， 20.590ax bx c ++=-<，1.2x =时，20.840ax bx c ++=>，∴当1.1 1.2x <<时，其中有一个x 的值满足20ax bx c ++=，即一元二次方程20ax bx c ++=其中一个解的取值范围是1.1 1.2x <<．故选：B ．8．如图，在长为32m ，宽为20m 的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为2100m ，设小路的宽为m x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．32203220100x x ´--=B ．23220100x x x +=+C ．()()23220100x x x --+=D ．()()3220100x x --=9．用换元法解方程()223121x x x x --=-时，设21x y x =-，则原方程化为y 的整式方程为（ ）A ．23610y y -+=B ．2230y y --=C ．22310y y -+=D ．2320y y --=【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技位置，连接C B¢，若2C B¢=，则AC的长为（ ）A．4B C-D由题意得：60BAB ¢Ð=∴ABB ¢V 为等边三角形，∴60ABB AB ¢Ð=°=，在ABC ¢△与B BC ¢¢V 中，AB B B AC B C =ìï=¢¢¢¢第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．方程23251x x x -=-的一次项是 ．【答案】7x-【分析】本题考查了一元二次方程的概念，以及一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将23251x x x -=-化为一般形式即可求得出其一次项．【详解】解：23251x x x -=-，移项并合并同类项得：23710x x -+=，\方程的一次项为7x -，故答案为：7x -．12．用公式法解方程2420x x --=，其中24b ac -的值是 ．【答案】24【分析】本题考查判别式的计算，由一般式得到a b c 、、的值，代入24b ac -计算即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：Q 2420x x --=，\()()224441216824b ac =--´-=+=-´，故答案为：24．13．若一元二次方程220ax x c ++=的两个不相等的实数根分别为12,x x ，且1212x x x x +=，则a 的取值范围是 ．14．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如：242424217=´-´-=☆，则方程的根的情况为 【答案】没有实数根【分析】本题主要考查了新定义和一元二次方程根的判别式，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后求出判别式24b ac -的值，再进行判断即可．【详解】解：∵21m n mn mn =--☆，且()10x -=☆∴()2110x x ---×-=∴210x x -+-=∵1,1,1a b c =-==-∴()()22414111430b ac -=-´-´-=-=-<，∴方程没有实数根，故答案为：没有实数根．15．如图，将边长为21x +的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为4的正方形，已知剪去部分的面积为9，则x ＝ ．中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，LL ，则第 个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．【答案】16【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，解一元二次方程，根据图形的变化寻找规律即可，解题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律及掌握解一元二次方程．【详解】解：由第1个图形中有8个“●”和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第3个图形中有24个“●”和9个“★”，L ，∴第n 个图形中有8n 个“●”和2n 个“★”，∵图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍，∴228n n =´，解得：116n =，20n =（舍去），故答案为：16．17．如果m n 、是两个不相等的实数，23m m -=，23n n -=，那么代数式2222021n mn m -++ ．故答案为：2032．18．如图，在矩形ABCD 中，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动，当t = 秒时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍．【答案】3【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，设s t 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍，根据矩形的性质和勾股定理得到224PD PQ =，进而列出一元二次方程求解，即可解题．【详解】解：设s t 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间距离的2倍，即2PD PQ =，又Q 四边形ABCD 是矩形，故90A B Ð=Ð=°，故222222PD AP AD PQ BP BQì=+í=+î，Q 2PD PQ =，\224PD PQ =，\22228(2)4(102)t t t éù+=-+ëû，解得13t =，27t =，当7t =时，1020t -<，故舍去，\3t =．故t 为3s 时，P ，D 两点之间的距离是P ，Q 两点之间的距离的2倍．故答案为：3．三、解答题：本题共8小题，共66分．19．解下列方程：(1)()()()1222x x x -+=+(2)23108x x +=20．已知：0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求代数式22121m m m --+的值．21．已知关于x 的一元二次方程．(1)求证：无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根1x 、2x 是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k 的值．22．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染巾平均一个人传染了几个人？【答案】6【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了x 个人，列方程得：()2149x +=，解得：16x =，28x =-（舍去），答：每轮传染巾平均一个人传染了6个人．23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：(1)若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？110x \=应舍去，20x \=，答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．24．“20a ³”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：()222817816141x x x x x -+=-++=-+，∵()240x -³，∴()2411x -+³，∴28171x x -+³，试利用“配方法”解决下列问题：(1)如果222461461461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为 ．(2)已知2282170x x y y ++++=，求x y +的值；方程为“差积方程”．例如：()1102x x æö--=ç÷èø是差积方程．(1)下列方程是“差积方程”的是 ；①26510x x -+=②23840x x ++=③240x x -=(2)若方程()2220x m x m -++=是“差积方程”，直接写出m 的值；(3)当方程()200ax bx c a ++=¹为“差积方程”时，写出a 、b 、c 满足的数量关系并证明．(1)求B 点的坐标；(2)如图2，点C 是x 轴正半轴上一点，横坐标为t ，ABC V 的面积为S ，试求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，D 是EBC Ð的角平分线BM 上一点，BD 与CE 交于点F ，当BDC ECB FBC Ð=Ð-Ð时，2BE OC =，BD =，求点F 的坐标．，。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分36分）1．下列是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝0 2．已知x＝0是方程x2+2x+a2﹣1＝0的一个解，则a的值是（）A．±1B．0C．1D．﹣13．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（）A．x1＝x2＝3B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝，x2＝﹣D．x1＝x2＝4．一元二次方程3x2＝8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，8B．3，0C．3，﹣8D．﹣3，﹣85．用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（）A．﹣2，0B．2，0C．﹣2，8D．2，86．判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定7．解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是（）A．直接开平方B．公式法C．因式分解法D．配方法8．代数式x2﹣2x+y2+4y+8的值为（）A．正数B．非正数C．负数D．非负数9．如果a、b是关于x的方程（x+c）（x+d）＝1的两个根，那么（a+c）（b+c）等于（）A．1B．﹣1C．0D．c210．方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（）A．1B．﹣1C．3D．﹣311．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中正确的是（）A．23（1+a%）2＝40B．23（1﹣a%）2＝40C．23（1+2a%）＝40D．23（1﹣2a%）＝4012．若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣B．m≤，且m≠0C．m＜，且m≠0D．m＞二．填空题（共6小题，满分24分）13．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是．14．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m．15．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，设道路宽为x米，则根据题意，可列方程为．16．如果x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，那么x12+x22的值是．17．如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是．18．12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有家公司参加了这次会议．三．解答题（共6小题，满分60分）19．解方程（1）（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．21．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏．若所围成的矩形菜园的面积为350平方米，求所利用旧墙AD的长．22．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝﹣3，解得x＝±；所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣；问题：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）利用以上学习到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．23．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？24．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？参考答案一．选择题（共12小题，满分36分）1．解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、是二元一次方程，故此选项错误；C、是一元一次方程，故此选项错误；D、是二元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．解：把x＝0代入方程x2+2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1．故选：A．3．解：∵9x2﹣1＝0，∴9x2＝1，则x2＝，解得x1＝，x2＝﹣，故选：C．4．解：一元二次方程3x2＝8x的一般形式3x2﹣8x＝0，其中二次项系数3，一次项系数﹣8，常数项是0，故选：C．5．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴m＝﹣2，n＝8，故选：C．6．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×（2+）×（2﹣）＝4﹣4×（4﹣3）＝4﹣4＝0，故选：B．7．解：解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是因式分解法，故选：C．8．解：原式＝（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）+3＝（x﹣1）2+（y+2）2+3，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴（x﹣1）2+（y+2）2+3≥3，则代数式x2﹣2x+y2+4y+8的值为正数，故选：A．9．解：原方程化为x2+（c+d）x+（cd﹣1）＝0，∴a+b＝﹣（c+d），ab＝cd﹣1，∴原式＝ab+（a+b）c+c2＝cd﹣1﹣（c+d）c+c2＝﹣1，故选：B．10．解：根据题意得x1+x2＝﹣1．故选：B．11．解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．∴23（1+a%）2＝40．故选：A．12．解：由题意可知：Δ＝4﹣12m＞0，m＜，∵m≠0，∴m＜且m≠0，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分）13．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3，故答案为：x1＝2，x2＝3．14．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：≠﹣1．15．解：设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162，故答案是：（20﹣2x）（10﹣x）＝162．16．解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣4，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4+8＝12．故答案为：12．17．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得：m≥﹣2，又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m≥﹣2且m≠2，故答案为：m≥﹣2且m≠2．18．解：设共有x家公司参加了这次会议，根据题意，得x（x﹣1）＝28整理，得x2﹣x﹣56＝0解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）答：共有8家公司参加了这次会议．故答案是：8．三．解答题（共6小题，满分60分）19．解：（1）x2﹣x﹣＝0，解得：x＝，所以x1＝，x2＝．（2）∵3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0解得：x1＝1，x2＝．20．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）①当3为底边长时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，∴k＝，此时原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．∵2、2、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为×3×＝；②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得：k＝2，此时原方程为x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∵2、3、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为×2×＝2．综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．21．解：设AB＝x米，则BC＝（80﹣2x）米，依题意，得：x（80﹣2x）＝350，解得：x1＝5，x2＝35．当x＝5时，80﹣2x＝70＞20，不合题意舍去；当x＝35时，80﹣2x＝10．答：AD的长为10米．22．解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；故答案为：换元，化归．（2）令y＝x2+5x，则原方程化为（y+1）（y+7）＝7，整理，得：y2+8y＝0，解得y1＝0，y2＝﹣8，当y＝0时，x2+5x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣5；当y＝﹣8时，x2+5x＝﹣8，即x2+5x+8＝0，∵△＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．综上，方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7的解为x1＝0，x2＝﹣5．23．解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵尽快减少库存，∴x＝20，∴299﹣x＝279．答：每件衬衫定价应为279元．24．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．。
北师大版九年级上第《第二章一元二次方程》检测题(有答案)
第二章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列说法正确的是( B)A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程C．方程x2－2x＝1的常数项为0D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0 2．用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是( B)A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4 C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝73．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是( B) A．0 B．2 C．－2 D．44．若x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1·x2的值为( C)A．－3 B．1 C．0 D．45．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( D)A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝06．下列方程适合用因式分解法解的是( C)A．x2＋x＋1＝0 B．2x2－3x＋5＝0C．x2＋(1＋2)x＋2＝0 D．x2＋6x＋7＝07．若(x＋y)(1－x－y)＋6＝0，则x＋y的值为( C)A．2 B．3 C．－2或3 D．2或－38．已知三角形的两边长分别为2和9，第三边长是二次方程x2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为( D)A ．11B ．17C ．17或19D ．199．一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是( C )A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－3610．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改进技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x ，则可列方程( B )A ．200＋200(1＋x )2＝1400B ．200＋200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1400C ．200(1＋x )2＝1400D ．200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1400 二、填空题(每小题3分，共24分)11．一元二次方程x(x －6)＝0的两个实数根中较大的根是__x ＝6__． 12．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一根是1，则a ＋b ＋c ＝__0__．13．若分式x 2－7x －8|x|－1的值是0，则x ＝__8__．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是__－32，1__．15．某企业2014年底缴税40万元，2016年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x ，根据题意，可得方程__40(1＋x )2＝48.4__．16．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且(a 2＋b 2)(a 2＋b 2＋1)＝12，则这个直角三角形的斜边长为．17．某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1 080元，每件应降价__2或14__元．18．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a<b ）.例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝__3或－3__．三、解答题(共66分)19．(12分)用适当的方法解下列方程． (1)(6x －1)2－25＝0; (2)(3x －2)2＝x 2；解：x 1＝1，x 2＝－23 解：x 1＝1，x 2＝12(3)x 2＋18＝22x; (4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝x 2＝24解：x 1＝－3，x 2＝120．(6分)关于x 的一元二次方程x 2－3x －k ＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)请选择一个k 的负数值，并求出方程的根．解：(1)k>－94(2)取k ＝－2，x 1＝1，x 2＝2(答案不唯一)21．(7分)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人(2)7×64＝448(人)．答：又有448人被传染22．(7分)一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定，如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：60棵树苗售价为120×60＝7200(元)，∵7200<8800，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买树苗x棵，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40<100，∴x＝220不合题意，舍去．当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110>100，∴x＝80.即：该校共购买了80棵树苗23．(7分)已知m ，n 是一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求代数式2m 2＋4n 2－6n ＋1999的值．(提示：用根的定义和根与系数的关系来解)解：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，mn ＝1，m 2－3m ＋1＝0，n 2－3n ＋1＝0，∴2m 2＋4n 2－6n ＋1 999＝2(m 2＋n 2)＋2(n 2－3n )＋1999＝2[(m ＋n )2－2]＋2×(－1)＋1999＝14－2＋1999＝201124．(8分)一块矩形耕地的尺寸如图，在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽度相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600 m 2，那么水渠应挖多宽？解：设水渠挖x m 宽，则(162－2x )(64－4x )＝9600，x 1＝96(舍去)，x 2＝1.答：水渠应挖1 m 宽25．(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．(1)填表：(不需化简)(2)单价是多少元？解：(1)(80－x) (200＋10x) (400－10x)(2)解：由题意得：80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000.整理得x2－20x＋100＝0，则x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70>50，符合题意．答：第二个月的单价是70元26．(10分)某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了提高门票的价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定的参观人数是多少？门票价格应是多少元？解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系为y ＝kx ＋b ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝7000，15k ＋b ＝4500，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝12000.∴y ＝－500x ＋12000，根据题意，得xy ＝40000，即x (－500x ＋12000)＝40000，解得x 1＝20，x 2＝4，当x ＝20时，y ＝2000；当x ＝4时，y ＝10000，因为控制参观人数，所以取x ＝20，y ＝2000，所以每周应限定参观人数是2000人，门票价格是20元。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程是关于x的一元二次方程的是()A．ax2＋bx＋c＝0 B.1x2＋1x＝2 C．x2＋2x＝y2－1D．3(x＋1)2＝2(x＋1)2．一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况为()A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后为()A．(x－4)2＝17 B．(x＋4)2＝15C．(x＋4)2＝17 D．(x－4)2＝17或(x＋4)2＝174．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般式，则a，b，c的值分别是()A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，25．某城市2019年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，预计到2021年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是()A．300(1＋x)＝363 B．300(1＋x)2＝363 C．300(1＋2x)＝363 D．363(1－x)2＝3006．若关于x的方程2x2－ax＋2b＝0的两根和为4，积为－3，则a，b分别为(D)A．a＝－8，b＝－6 B．a＝4，b＝－3 C．a＝3，b＝8 D．a＝8，b＝－37．当x取何值时，代数式x2－6x－3的值最小()A．0 B．－3 C．3 D．－98．老师出示了小黑板上的题目(如图)后，小敏回答：“方程有一根为4”，小聪回答：“方程有一根为－1”．则你认为()A ．只有小敏回答正确B ．只有小聪回答正确C ．小敏、小聪回答都正确D ．小敏、小聪回答都不正确 9．已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( )A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1010．有两个一元二次方程M ：ax 2＋bx ＋c ＝0；N ：cx 2＋bx ＋a ＝0，其中a ·c ≠0，a ≠c .下列四个结论中，错误的是( )A ．如果方程M 有两个相等的实数根，那么方程N 也有两个相等的实数根B ．如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝1二、填空题(每小题3分，共24分)11．一元二次方程x 2－6x ＝0的解是 ．12．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为 ．13．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若x 2＝a 2，则 ；②方程2x (x －2)＝x －2的解为 ；③已知x 1，x 2是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则 x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝2 ．其中错误的答案序号是 ．14．已知x 1＝3是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根x 2是__1__．15．已知x ＝－1是关于x 的方程2x 2＋ax －a 2＝0的一个根，则a ＝ ．16．方程3(x －5)2＝2(x －5)的根是 x 1＝5，x 2＝ ．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－5x －1＝0的两实数根，则x 21＋x 22的值为 ．18．关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－1－kx ＋14＝0有两个实数根，则k 的取值范围是 ．三、解答题(共66分)19．(12分)用适当的方法解下列方程：(1)4x 2－1＝0；(2)3x 2＋x －5＝0；(3)(x ＋1)(x －2)＝x ＋1;(4)2x 2－42＝4x .20．(7分)已知关于x 的方程(k －1)x 2－(k －1)x ＋14＝0有两个相等的实数根，求k 的值．21．(6分)已知两个连续偶数之积为120，求这两个连续偶数．22．(7分)某工厂一种产品2019年的产量是100万件，计划2021年产量达到121万件．假设2019年到2021年这种产品产量的年增长率相同．求2019年到2021年这种产品产量的年增长率．23．(6分)如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40 m ，宽为26 m ，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864 m 2，求路的宽度为多少m?24．(8分)关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝|m|.(1)求证：此方程必有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为1，求另一根及m的值．25．(8分)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售价定为52元时可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．若商店准备获利2 000元，则应进货多少个？每个销售价是多少元？26．(12分)如图，长方形ABCD(长方形的对边相等，每个角都是90°)，AB＝6 cm，AD ＝2 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：(1)当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？(2)当t为何值时，点P和点Q距离是3 cm?(3)当t＝________以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．(直接写出答案)。
北师大版九年级数学上册《一元二次方程综合测试》
北师大版九年级数学上册《一元二次方程综合测试》一、选择题1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. x2+2x=x2−1B. x2+1x=1C. x2+y2=1D. ax2+bx+c=0（其中a≠0）2.一元二次方程x2+4x−5=0的解是（）A. x1=1,x2=−5B. x1=−1,x2=5C. x1=x2=−2D. x1=2+√11,x2=2−√113.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），若b2−4ac<0，则方程（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有一根为0二、填空题1.方程x2−6x+9=0的两个根为___。
2.若关于x的一元二次方程x2+2x+k−1=0有两个相等的实数根，则k=___。
3.若x1,x2是方程2x2−5x−3=0的两个根，则x1+x2=_，x1∙x2=。
三、解答题1.解方程：3x2−5x−2=0（要求使用公式法）。
解：对于方程3x2−5x−2=0，其中a=3,b=−5,c=−2。
2.计算判别式Δ=b2−4ac=(−5)2−4×3×(−2)=25+24=49。
因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。
使用公式法，得x=−b±√Δ2a=5±√496=5±76。
因此，x1=2,x2=−13。
3.已知关于x的一元二次方程x2−4x+k−1=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；（2）若该方程的两个实数根的积为2，求k的值。
解：（1）对于方程x2−4x+k−1=0，其中a=1,b=−4,c=k−1。
要求有两个不相等的实数根，则Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(k−1)= 16−4k+4=20−4k>0。
解得k<5。
（2）设方程的两个实数根为x1,x2，由根与系数的关系知x1∙x2=ca=k−1。
已知x1∙x2=2，所以k−1=2，解得k=3。
(北师大版)北京市九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90 C ．x （x +1）＝90 D ．x （x ﹣1）＝902．欧几里得的《原本》记载，方程x 2+ax ＝b 2的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝BC ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．CD 的长C ．AD 的长 D ．BC 的长 3．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（ ）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 4．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 6．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 7．方程220x x -=的根是（ ） A ．120x x == B ．122x x == C ．120,2x x == D ．120,2x x ==- 8．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 9．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）A ．1000（1＋x ）2＝3390B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390C ．1000（1＋2x ）＝3390D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝339010．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 11．若关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．－1或2B ．1C ．2D ．1或212．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94二、填空题13．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．14．关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________． 15．用配方法解关于x 的一元二次方程2430x x --=，配方后的方程可以是__________．16．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．17．若x 1，x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个不相等的实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝______．18．方程21(1)04k x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 19．一元二次方程2310x x -++=的根的判别式的值是______．20．定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-．若(21)(2)0x x -⊕+=，则x =______________．三、解答题21．（1）解方程：2450x x --=（2）已知点(2,1)P x y +与点(7,)Q x y --关于原点对称，求x ，y 的值．22．已知关于x 的一元二次方程为210mx nx -+=．（1）当2n m =+时，不解方程，判断方程根的情况；（2）在（1）的条件下，若2m =，求解这个方程．23．已知一元二次方程2230x x --=的正实数根也是一元二次方程()2230x k x --+=的根，求k 的值．24．用适当的方法解下列方程：（1）22210x x +-= （2）225(3)9x x +=-25．已知关于x 的一元二次方程22230x x m ++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．26．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【详解】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝90．故选：D ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．2．C解析：C【分析】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=，结合AB AD BD =+，,2a ACb BD BC ===，即可得出22AD aAD b +=，进而可得出AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=,2a AC b BD BC === 22222222a a a b AD AD aAD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴22AD aAD b +=22AD aAD b +=与方程22x ax b +=相同，且AD 的长度是正数∴AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长得出22AD aAD b +=是解题关键．3．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根， ∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．4．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2， 则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．7．C解析：C【分析】本题可用因式分解法，提取x 后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x ．【详解】解：∵x 2-2x=0∴x （x-2）=0，可得x=0或x-2=0，解得：x=0或x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用8．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 9．B解析：B【分析】月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，依题意，得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2=3990．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，根据题意，列方程得()1132x x -=．故选择：B ．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．11．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根， 则()()22141010m m m ⎧⎡⎤∆=----=⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，解得：11m =（舍去），22m =∴m=2，故选：C ．【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．12．B解析：B【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，∴()203410k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩＝， ∴k≤94且k≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题13．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴解析：1m >-且0m ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m ＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根∴a-1≥0解得a≥1故答案为a≥1【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件直接开平方法解一解析：1a ≥【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．15．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的解法解题的关键是熟练运用配方法本题属于基础题型解析：()227x -＝．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：2430x x --= 243x x -=24+43+4x x -=()227x -＝故答案为：()227x -＝．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 16．【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2﹣x ﹣3＝0的两个实数根∴m+n ＝1mn ＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12-【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，∴m+n ＝1，mn ＝-3，∵(m+n)2=m 2+n 2+2mnm 2+n 2=(m+n)2-2mn∴m 2+n 2=12-2×(-3)=7∴m 2+n 2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．17．4【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解：用韦达定理算出和的值带入求解即可；【详解】∵方程为∴a=1b=-3c=1∴=3=1∴=3+1=4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解析：4【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系求解：12b x x a +=- ，12c x x a= ，用韦达定理算出12x x + 和12x x 的值带入求解即可；【详解】∵ 方程为2310x x -+= ，∴ a=1，b=-3，c=1，∴ 12x x +=3，12x x =1，∴ 1212x x x x ++ =3+1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解韦达定理是解题的关键； 18．【分析】由方程有两个实数根可得方程为一元二次方程可得：且解不等式组可得答案【详解】解：由已知方程可知：∵方程有两个实数根∴解得：∵∴故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件一元二次方程的定 解析：1k <【分析】由方程有两个实数根，可得方程为一元二次方程，可得：0≥且110k k ≠⎧⎨-≥⎩，解不等式组可得答案．【详解】解：由已知方程可知：11,4a k b c =-==， ∵方程有两个实数根，∴24220b ac k =-=-+≥，解得：1k ≤，∵110k k ≠⎧⎨-≥⎩∴1k <，故答案为：1k <．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识列不等式组求参数的范围是解题的关键．19．13【分析】根据△=b2-4ac 计算可得答案【详解】解：∵a=-1b=3c=1∴△=32-4×(-1)×1=13故答案为：13【点睛】本题主要考查根的判别式熟记判别式（△=b2-4ac ）是解题关键解析：13【分析】根据△=b 2-4ac 计算可得答案．【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1，∴△=32-4×(-1)×1=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b 2-4ac ）是解题关键．20．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故 解析：12或1-． 【分析】分类讨论当212x x -≥+和当212x x -<+两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨论①当212x x -≥+时，即3x ≥．此时2212(21)(2)(2)240x x x x x x x -⊕+=-+++=+=，解得：1202x x ==-，．由于3x ≥，所以两个根都舍去．②当212x x -<+时，即3x <．此时2212(21)(2)(21)210x x x x x x x -⊕+=-+--=+-=， 解得：34112x x ==-，． 由于3x <，所以两个根都符合题意． 故答案为：12或1-． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题21．（1）15=x ，21x =-；（2）23x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）利用十字相乘法进行进行因式分解，继而求解；（2）直接利用关于原点对称点的性质得出方程组进而得出答案；【详解】（1）解：2450x x --=，(5)(1)0x x -+=，解得：15=x ，21x =-；（2）∵点P(2x+y ，1)与点Q(-7，x-y)关于原点对称，∴27010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩， 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元二次方程组，正确掌握运算方法是解题的关键；22．（1）有两个不相等的实数根；（2）1x =2x =【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程210mx nx -+=的根的判别式△=b 2-4ac 的符号来判定该方程的根的情况；（2）由已知条件列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值．【详解】解：（1）把2n m =+代入方程，得2(2)10mx m x -++=．∵根的判别式为[]222(2)444440m m m m m m -+-=++-=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）当2m =时，方程为22410x x -+=．∴224248m +=+=．x ==．∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．6k =【分析】解一元二次方程2230x x --=，把正实根代入一元二次方程()2230x k x --+=，解方程即可．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=，解得，12-1=3x x =，，把2=3x 代入()2230x k x --+=得， ()93230k --+=，解得，6k =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，解题关键是准确的解一元二次方程，把正实根代入得到关于k 的一元一次方程．24．（1）121122x x -+-==；（2）1293,2x x =-=- 【分析】（1）根据公式法计算即可；（2）根据因式分解法计算即可；【详解】解：（1）22210x x +-=， 2242(1)12∆=-⨯⨯-=，x =，12x x ∴==； （2）25(3)(3)(3)x x x +=+-，25(3)(3)(3)0x x x +-+-=，(3)[5(3)(3)]0x x x ++--=，即(3)(418)0x x ++=，1293,2x x ∴=-=-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．25．（1）2m <；（2）11x =-21x =-【分析】（1）根据两个不相等的实数根列不等式即可；（2）根据m 为正整数，确定m 的值，解方程即可．【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴2241(23)1680m m ∆=-⨯⨯-=->，∴2m <．（2）∵m 为正整数，又2m <，∴1m =．当1m =时，原方程为2210x x +-=，解得212x -+==-±．因此，原方程的根为11x =-21x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式与根的关系，列出不等式；熟练解一元二次方程．26．4秒、6秒或12秒【分析】先根据三角形面积公式可得S △ABC ，根据S ＝625S △ABC ，可求△PCQ 的面积，再分两种情况：P 在线段AB 上；P 在线段AB 的延长线上；进行讨论即可求得P 运动的时间．【详解】 解：∵S △ABC =12AB•BC=50cm 2，625S △PCQ =12cm 2， 设当点P 运动x 秒时，S ＝625S △ABC ， 当P 在线段AB 上，此时CQ=x ，PB=10-x ，S △PCQ =12x （10-x ）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，解得x=6或4，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ=x ，PB=x-10，S △PCQ =12x （x-10）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，x 2-10 x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P 运动4秒、6秒或12秒时，S ＝625S △ABC ． 【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．。
第2章《一元二次方程 》北师大版九年级数学上册单元测试卷(含答案)
第二章《一元二次方程》单元测试卷一、单选题（每题3分）1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（）A．1B．2C．3D．42．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A．n=0B．n=0或mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号3．方程的解是（）A．B．C．D．4．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（）A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．人B．人C．人D．人7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（）A．1B．2C．2.5D．38．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）A．x2﹣3x+6=0B．x2﹣3x﹣6=0C．x2+3x﹣6=0D．x2+3x+6=09．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（）A．B．C．2D．410．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每题3分）11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．12．若一元二次方程的一个根为0，则___________．13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．15．已知方程的两个实数根分别为、，则__．16．已知实数，满足，则的值为________．17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）=x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）=（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n=0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）=0，即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0，因此，方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n=0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2=0的解为_____．三、解答题19．解方程（8分）（1）；（2）；（3）（配方法）；（4）.20．用适当的方法解一元二次方程（8分）（1）；（2）；（3）；（4）．21．已知关于的方程.（6分）（1）当为何值时，方程只有一个实数根？（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（6分）（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．23．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．（6分）24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？（6分）25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（6分）（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？26．已知关于x的一元二次方程．（6分）（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．27．阅读理解:（7分）材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．28．（7分）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：1．知识运用：试用“分组分解法”分解因式：；2．解决问题：（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．①当k=1时，求a+c的值②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）答案一、单选题A．B．B．C．D．B．B.B．B.D．二、填空题11．m=﹣1；﹣2，﹣4，3．12．113．且．14．300（1+x）2＝363．15．-5．16．2.17．或．18．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．三、解答题19．（1）解：或，；（2）解：或，；（3）解：，；（4）解：①当时，，解得：；②当时，，若，即，；若，即，方程无解．20．（1）原方程可化为，∴，用直接开平方法，得方程的根为，．（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．用直接开平方法，得原方程的根为，．（3）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0，∴，．（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，，．21．（1）∵方程只有一个实数根，，解得（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得（3）∵方程有两个不相等的实数根，且，且，解得且.22．（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=323．解：设的长为，则的长为．依题意，得，解得，．当时，（不符合题意，舍去）．当时，．∴的长为．24．设销售单价降低x元，则销售单价为元，每天的销售量是件，由题意得：，整理得：，解得或，因为要求销售单价不得低于成本，所以，解得，因此和均符合题意，则或70，答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．25．（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．（2）设题图中直线的解析式为．把和代入得解得故直线解析式为．当时，进价为（元），售价为（元），则每台学习机可以获利（元）．（3）当时，每台学习机的利润是，则．解得（舍去）．当时，每台学习机的利润是，则，解得（舍去）．答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．26．解：（1）证明：设方程的两根是，，则，，，，，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2），对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，．27．解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴,即，令,解得,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．28．解：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．解：知识运用原式；解决问题（1），∵，∴，即，∴是等腰三角形；（2）①当时，，即，，即，若则，把它代入，得，解得，当时，，则，当时，，则，综上：的值为6或；②当，∵，∴，∵，∴，同理由，得，由，，若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，若，则，，，综上：，，．。
北师大版九年级上册第二章一元二次方程(解方程及判别式专题)同步测试
北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试一、解答题1. 解方程:(用配方法)(1)x2-2x-2=0; (2)2x2+3=7x.2. 解以下方程:(1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=(√3)2;(3)(x+5)(x-5)=24; (4)x2-6x+9=2;(5)(x+2)2-16=0; (6)(x-1)2-18=0.3. 解方程(2x-1)2=x(3x+2)-7.4. 用配方法解方程x2-4x+1=0.5. 用配方法解方程:x2-6x-6=0.6. 用配方法解以下方程.(1)x2+2mx-n2=0; (2)4x2-7x-2=0.7. 用适当的方法解以下一元二次方程:(1)2(x-3)2=18; (2)x(x-5) =7x; (3)x2-2x-4=0.8. 解方程:(1)x2=121; (2)(x+2)2=324;289(3)5(x-3)2=125;(4)(2x+3)2=(x+4)2.9. 解以下方程(1)x2-2x-2=0; (2)(x+3)2-2x(x+3)=0.10. 用因式分解法解以下方程:(1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0;(3)(1+x)2-9=0; (4)(x-4)2=(5-2x)2.11. 用公式法解以下方程:(1)2x2-4x-1=0; (2)4x2-3x+1=0;(3)3x2=5x+2; (4)(x-2)(3x-5)=1;第 1 页(5)4x2+4x+10=1-8x.12. 解以下一元二次方程.(1)2x2-4x-3=0; (2)(x-2)(x+3)=-4.13. 解方程:3x(x-2)=2(2-x).14. 解方程:(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.15. 解方程:2(x-3)=3x(x-3).16. 请利用公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq解决以下问题:(1)因式分解:①x2+5x+6; ②x2-x-6. (2)解方程:①x2+6x+8=0; ②x2-2x-8=0.17. 关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7,试求方程ax2=b的两根.18. 一元二次方程x2-4x+1+m=5,请你任取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.(1)你选的m的值是;(2)解这个方程.19. 关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)假设△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.20. 关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)假设此方程的一个根是1,恳求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.21. 当m为何值时,关于x的一元二次方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.22. 某校甲、乙两同学对关于x的方程:-3(x-1)2+m=0进展探究,其结果:甲同学发现,当m=0时,方程的两根都为1,当m>0时,方程有两个不相等的实数根;乙同学发现,无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零.第 3 页(1)请找一个m 的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数,并求这两个根; (2)乙同学发现的结论是否正确?试证明.23. 关于x 的一元二次方程mx 2-2(2m +1)x +4m -1=0. (1)当m 为何值时,方程有两个相等的实数根? (2)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根? (3)当m 为何值时,方程无实数根? 24. :关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0. (1)求证:方程总有实数根.(2)当k 取哪些整数时,关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0的两个实数根均为负整数? 25. 关于x 的方程x 2-(k +2)x +2k =0.(1)求证:无论k 取任何实数值,方程总有实数根;(2)假设等腰三角形ABC 的一边长a =1,另两边长b ,c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.26. x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?假设存在,求出a 的值;假设不存在,请你说明理由; (2)求使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值.27. a ,b 为关于x 的一元二次方程x 2-2(m -2)x +m 2=0的两个实数根,且满足a 2-ab +b 2=16,求m 的值. 28. 关于x 的一元二次方程x 2+3x +m -1=0的两个实数根分别为x 1x 2. (1)求m 的取值范围;(2)假设2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0,求m 的值.29. 关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2. (1)务实数k 的取值范围.(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立?假设存在,恳求出k 的值;假设不存在,请说明理由.30. x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个非零实数根,问x 1和x 2能否同号?假设能同号,恳求出相应的m 的取值范围;假设不能同号,请说明理由.31. 两方程x 2-mx +5+m =0和x 2-(7m +1)x +13m +7=0至少有一个一样的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.32. 关于x 的一元二次方程x 2+cx +a =0的两个整数根恰好比方程x 2+ax +b =0的两根都大1,求a +b +c 的值.33. 关于x 的方程mx 2-(m +2)x +2=0(m ≠0). (1)求证:方程总有两个实数根;(2)假设方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值. 34. 一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)假如k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个一样的根,求此时m 的值.35. 阅读下面的例题,解方程(x -1)2-5|x -1|-6=0.例:解方程x 2-|x |-2=0.解:原方程化为|x |2−|x |-2=0.令y =|x |,原方程化成y 2-y -2=0.解得y 1=2,y 2=-1.当|x |=2时,x 1=2,x 2=-2;当|x |=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=2,x 2=-2.北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试参考答案1.(1) 【答案】配方,得(x -1)2=3,所以x -1=±√3,所以原方程的解为x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】移项,得2x 2-7x =-3,二次项系数化为1,得x 2-72x =-32.配方,得x 2-72x +(-74)2=-32+(-74)2,整理,得(x -744)2=2516,所以x -74=±54,所以原方程的解为x 1=3,x 2=12.2.(1) 【答案】由题意得x 2=9,∴x =±3,∴x 1=3,x 2=-3.(2) 【答案】∵2x -1=±√3,∴x =1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32. (3) 【答案】整理,得x 2=49,∴x =±7,∴x 1=7,x 2=-7.(4) 【答案】原方程变为(x -3)2=2,∴x -3=±√2,∴x =3±√2,∴x 1=3+√2,x 2=3-√2.(5) 【答案】移项,得(x +2)2=16,∴x +2=±4,∴x =-2±4,∴x 1=2,x 2=-6. (6) 【答案】移项,得(x -1)2=18,∴x -1=±3√2,∴x =1±3√2,∴x 1=1+3√2,x 2=1-3√2.3. 【答案】原方程可化为4x 2-4x +1=3x 2+2x -7,即x 2-6x +8=0.∴(x -3)2=1. ∴x -3=±1. ∴x 1=2,x 2=4.第 5 页4. 【答案】将原方程移项得x 2-4x =-1,配方得x 2-4x +4=-1+4,即(x -2)2=3,∴x =2±√3.故原方程的解为x 1=2+√3,x 2=2-√3.5. 【答案】x 2-6x -6=0,即x 2-6x =6, x 2-6x +(-3)2=6+(-3)2,(x -3)2=6+9,(x -3)2=15,即x -3=√15或x -3=-√15,所以x 1=3+√15,x 2=3-√15.6.(1) 【答案】移项,得x 2+2mx =n 2,配方,得x 2+2mx +m 2=n 2+m 2,即(x +m )2=m 2+n 2,开平方,得x +m =±√m 2+n 2,故x 1=-m +√m 2+n 2,x 2=-m -√m 2+n 2.(2) 【答案】4x 2-7x -2=0,方程两边都除以4,得x 2-74x -12=0,移项,得x 2-74x =12,配方,得x 2-74x +(78)2=12+(78)2,即(x -78)2=8164,开平方,得x -78=±98,即x -78=98或x -78=-98.故x 1=2,x 2=-14.7.(1) 【答案】原方程可变形为(x -3)2=9, 即x -3=3或x -3=-3, ∴x 1=6,x 2=0.(2) 【答案】原方程变形为x (x -5)-7x =0.x [(x -5)-7]=0.即x =0或x -12=0. ∴x 1=0,x 2=12.(3) 【答案】方法1:a =1,b =-2,c =-4.∵b 2-4ac =(-2)2-4×1×(-4) =20>0, ∴x =-(-2)±√202=2±2√52,即x 1=1+√5,x 2=1-√5.方法2:原方程可变形为x 2-2x =4, 配方,得x 2-2x +1=4+1, 即(x -1)2=5, ∴x -1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.8.(1) 【答案】因为x =±√121289,即x =±1117,所以x 1=1117,x 2=-1117. (2) 【答案】因为x +2=±√324,所以x +2=±18,即x +2=18或x +2=-18, 所以x 1=16,x 2=-20.(3) 【答案】因为5(x -3)2=125,即(x -3)2=25,所以(x -3)2=52, 即x -3=5或x -3=-5,所以x 1=8,x 2=-2.(4) 【答案】因为(2x +3)2=(x +4)2,即2x +3=x +4或2x +3=-x -4,所以x 1=1,x 2=-73.9.(1) 【答案】 x 2-2x -2=0.移项,得x 2-2x =2,配方,得x 2-2x +(-1)2=2+(-1)2,即(x -1)2=3,开平方,得x -1=±√3, 所以x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】(x +3)2-2x (x +3)=0,(x +3)(x +3-2x )=0,所以x +3=0或x +3-2x =0, 所以x 1=-3,x 2=3.10.(1) 【答案】有公因式3y ,提出来化为3y (y -2)=0,∴3y =0,或y -2=0,∴y 1=0,y 2=2.(2) 【答案】这是一个完全平方式(x -4)2=0,∴x 1=x 2=4.(3) 【答案】等式左边是两数的平方差,利用平方差公式得(1+x +3)(1+x -3)=0,即(x +4)(x -2)=0,∴x +4=0,或x -2=0.∴x 1=-4,x 2=2.(4) 【答案】移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0,由平方差公式得(x -4+5-2x )(x -4-5+2x )=0,即(1-x )(x -3)=0,∴1-x =0,或x -3=0,∴x 1=1,x 2=3.11.(1) 【答案】b 2-4ac =(-4)2-4×2×(-1)=24>0.∴x =-(-4)±√242×2=4±2√64=2±√62,∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2) 【答案】b 2-4ac =(-3)2-4×4×1=-7<0.∴方程无实数根.第 7 页(3) 【答案】b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0.∴x =-b±√b 2-4ac2a=5±76.∴x 1=5+76=2,x 2=5-76=-13. (4) 【答案】方程化为3x 2-11x +9=0.a =3,b =-11,c =9.∴b 2-4ac =(-11)2-4×3×9=13>0.∴x =-(-11)±√132×3=11±√136, ∴x 1=11+√136,x 2=11-√136. (5) 【答案】移项得4x 2+12x +9=0.a =4,b =12,c =9.∴b 2-4ac =0,∴x 1=x 2=-124×2=-32.12.(1) 【答案】2x 2-4x -3=0,x 2-2x -32=0,移项,得x 2-2x =32.配方,得x 2-2x +1=32+1,即(x -1)2=52, 两边开平方,得x -1=±√102,即x =1±√102,所以x 1=1+√102,x 2=1-√102. (2) 【答案】(x -2)(x +3)=-4,整理,得x 2+3x -2x -6=-4, 移项,得x 2+x =2,配方,得x +x +(12)2=2+(12)2,即(x +12)2=94,两边开平方,得x 2+12=±32, x +12=32或x +12=-32. 所以x 1=1,x 2=-2.13. 【答案】3x (x -2)=2(2-x )整理得3x (x -2) +2(x -2)=0,因式分解得(3x +2)(x -2)=0,即3x +2=0或x -2=0,解得x 1=-23,x 2=2.14.(1) 【答案】(3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11.(2) 【答案】∵a =2,b =-6,c =3,∴b 2-4ac =36-24=12.∴x =6±√122×2=6±2√34=3±√32,∴x 1=3+√32,x 2=3-√32.15. 【答案】原方程可化为(x -3)(2-3x )=0,∴x 1=3,x 2=23.16.(1) 【答案】①2与3的和为5,积为6,所以有x 2+5x +6=(x +2)(x +3).②2与-3的和为-1,积为-6,所以有x 2-x -6=(x +2)(x -3).(2) 【答案】①找到一组数：2,4,有2+4=6,2*4=8,,所以有(x +2)(x +4)=0,∴x +2=0,或x +4=0,∴x 1=-2,x 2=-4.②找到一组数：2,-4,有2+(-4)=-2,2*(-4)=-8,所以有(x +2)(x -4)=0,∴x +2=0,或x -4=0,∴x 1=-2,x 2=4.17. 【答案】根据x 2=a 2⇔x =±a 可得m -1与2m +7互为相反数,所以m -1+2m +7=0,解得m =-2.所以m -1=-2-1=-3,2m +7=2×(-2)+7=3,即方程ax 2=b 的两根为x 1=-3,x 2=3. 18.(1) 【答案】3(2) 【答案】当m =3时,原方程可化为x 2-4x +1+3=5,所以(x -2)2=5,所以x -2=±√5,所以x =2±√5.所以x 1=2+√5,x 2=2-√5.答案不唯一.例如还可以取m=8,此时有x 2−4x +4=0,即(x −2)2=0,x =2. 19.(1) 【答案】∵Δ=(2k +1)2-4(k 2+k )=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根;(2) 【答案】一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0的解为x =2k+1±√12,即x 1=k ,x 2=k +1,当AB =k ,AC =k +1,且AB =BC 时, △ABC 是等腰三角形,那么k =5; 当AB =k ,AC =k +1,且AC =BC 时,△ABC 是等腰三角形,那么k +1=5,解得k =4. 20.(1) 【答案】证明:方程的判别式为∆=[-(m +2)]2-4×1×(2m -1)=m 2-4m +8=(m -2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根.(2) 【答案】方程的一个根是1,把x =1代入方程x 2-(m +2)x +(2m -1)=0中,解得m =2,∴原方程为x 2-4x +3=0,解这个方程得:x 1=1,x 2=3,∴方程的另一个根为x =3.当1,3为直角三角形的两直角边长时,斜边长为√12+32=√10,∴周长为1+3+√10=4+√10,当3为斜边长时,另一直角边长为√32-12=2√2,∴周长为1+3+2√2=4+2√2.21.(1) 【答案】方程的判别式为∆=[-(4m +1)]2-4×2×(2m 2-1)=8m +9.(1)当8m +9>0,即m >-98时,方程有两个不相等的实数根.(2) 【答案】当8m +9=0,即m =-98时,方程有两个相等的实数根. (3) 【答案】当8m +9<0,即m <-98时,方程没有实数根.22.第 9 页(1) 【答案】由探究结果可知,取的m 的数值为一个正数,或者可以这样由于-3(x -1)2+m =0可化为(x -1)2=m3,取m =27,可使原方程的两个根为互不相等的整数,此时(x -1)2=9,所以x -1=±3,所以x =1±3,所以原方程的两个根为x 1=4,x 2=-2.(答案不唯一).(2) 【答案】乙同学发现的结论正确.证明如下:当m >0时,由(x -1)2=m3,可得x =1±√m3,∴x 1=1+√m3,x 2=1-√m3.因为1+√m3+1-√m3=2,所以无论m 取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零,所以乙同学发现的结论正确.23.(1) 【答案】∵a = m ,b =-2(2m +1),c =4m -1,∴Δ=b 2-4ac =4(2m +1)2-4m (4m -1)=20m +4.∵方程有两个相等的实数根, ∴20m +4=0,解得m =-15.因此,当m =-15时,方程有两个相等的实数根.(2) 【答案】∵方程有两个不相等的实数根, ∴20m +4>0且m ≠0,解得m >-15且m ≠0.因此,当m >-15且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根.(3) 【答案】∵方程无实数根, ∴20m +4<0,解得m <-15.因此,当m <-15时,方程无实数根.24.(1) 【答案】分类讨论:当k =0时,此方程为一元一次方程,即-3x -3=0, ∴x =-1,符合题意;当k ≠0时,此方程为一元二次方程,∴Δ=(2k -3)2-4k (k -3)=9>0,∴方程有两个不相等的实数根. 综上所述,方程总有实数根.(2) 【答案】因为方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程,利用求根公式求得x =-(2k -3)±√92k, 即x 1=6-2k 2k=3k -1,x 2=-1.∵方程有两个负整数根,∴3k-1是负整数,即k 是3的约数, ∴k =±1,±3,但k =1或k =3时,根不是负整数, ∴k =-1或k =-3.25.(1) 【答案】证明:证法一：因为方程的判别式为∆=[-(k +2)]2-4×1×2k =(k -2)2≥0, ∴无论k 取任何实数值,方程总有实数根.证法二：方程可以因式分解为(x −2)(x −k)=0,方程的两根为2,k ,所以命题得证.(2) 【答案】解法一:①当b =c 时,∆=(k -2)2=0,∴k =2,∴b +c =k +2=2+2=4,又b =c ,∴b =c =2,∵2,2,1符合三角形的三边关系,∴△ABC 的周长=4+1=5;②当b ,c 中有一个与a 相等时,不妨设b =a =1,∵1是方程x 2-(k +2)x +2k =0的一个根,∴12-(k +2)×1+2k =0,解得k =1,∴b +c =k +2=1+2=3,∴c =3-b =3-1=2,∵2,1,1不符合三角形的三边关系,∴a 不能为△ABC 的腰长.综上所述,△ABC 的周长为5.解法二：由题意得另两边长分别为2,k ,因为ΔABC 为一个等腰三角形,所以k =1,或k =2,但k =1时构不成三角形,所以k =2.此时三角形的周长为1+2+2=5.26.(1) 【答案】首先应有a −6≠0.∵x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根,∴由根与系数的关系可知,x 1x 2=a a -6,x 1+x 2=-2a a -6.∵一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0有两个实数根,∴∆=4a 2-4(a -6)·a ≥0,且a -6≠0,解得a ≥0且a ≠6.∵-x 1+x 1x 2=4+x 2,∴x 1x 2=4+(x 1+x 2),即a a -6=4-2aa -6,解得a =24,∴存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立,a 的值是24;(2) 【答案】∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=aa -6−2aa -6+1=-6a -6,∴当(x 1+1)(x 2+1)为负整数且a 为整数时,有a -6=6,a -6=3,a -6=2,a -6=1,∴a =12,9,8,7,∴使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值有12,9,8,7.27. 【答案】根据根与系数的关系,得a +b =2(m -2),ab =m 2.因为a 2-ab +b 2=16,所以(a +b )2-3ab =16,所以[2(m -2)]2-3m 2=16,整理,得m 2-16m =0,解得m 1=0,m 2=16.当m =0时,方程的常数项变为0,方程化为x 2+4x =0,符合题意.当m =16时,∆=[-2(m -2)]2-4m 2=282-4×162=-240<0,不符合题意,舍去.所以m =0.28.(1) 【答案】∵原方程有两个实数根,∴∆=9-4(m -1)≥0,解得m ≤134.(2) 【答案】由题意得x 1+x 2=-3,x 1x 2=m -1,∴2×(-3)+(m -1)+10=0,解得m =-3.29.(1) 【答案】∵x 2-(a +b )x +ab -1=0有两个实数根,∴Δ= [-(2k +1)]2-4(k 2+2k )≥0,整理得1-4k ≥0,解得k ≤14. 故当k ≤14时,原方程有两个实数根.(2) 【答案】假设存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.∵x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2, ∴x 1+x 2=2k +1,x 1·x 2=k 2+2k.∵x 1·x 2-x 12−x 22≥0,即3x 1·x 2-(x 1+x 2)2≥0,∴3(k 2+2k )-(2k +1)2≥0,整理得-(k -1)2≥0, ∴只有当k =1时,上式才能成立. 又由第1问知k ≤14,第 11 页故不存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.30. 【答案】∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0有两个非零实数根,∴Δ=[4(m -1)]2-4×4m 2=-32m +16≥0,解得m ≤12.又∵x 1,x 2是方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个实数根,∴x 1+x 2=-(m -1),x 1·x 2=14m 2.x 1,x 2同号存在两种可能: (1)假设x 1<0,x 2<0,那么有{x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)<0,14m 2>0. 解得m >1.∵m ≤12时方程才有实数根,∴此种情况不成立. (2)假设x 1>0,x 2>0,那么有{x 1+x 2>0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)>0,14m 2>0.解得m <1.∵m ≤12时方程才有实数根, ∴当m ≤12时,两根能同号.31. 【答案】设两方程的一样根为α,根据根的意义可得{α2-mα+5+m =0,α2-(7m +1)α+13m +7=0.两式相减,得(6m +1)α=2(6m +1),当6m +1=0时,m =-16,方程x 2-mx +5+m =0根的判别式Δ=(-m )2-4(m +5)=(16)2-4×(-16+5)=136−583<0,那么方程无实数解,不合题意.当6m +1≠0时,有实数解a =2(6m+1)6m+1=2, 代入方程x 2-mx +5+m =0,得22-m ×2+5+m =0,解得m =9.∴两方程为x 2-9x +14=0,x 2-64x +124=0.故这两个方程的四个实数根的乘积为:14×124=1 736.32. 【答案】设方程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,其中α,β为整数且α≤β,那么方程x 2+cx +a =0的两根为α+1,β+1,由根与系数的关系可得α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,两式相加,可得αβ+2α+2β+1=0,即(α+2)(β+2)=3.所以{α+2=1,β+2=3或{α+2=-3,β+2=-1.解得{α=-1,β=1或{α=-5,β=-3.又因为a =-(α+β),b =αβ,c =-[(α+1)+(β+1)],所以a =0,b =-1,c =-2或a =8,b =15,c =6.因此a +b +c =-3或29.33.(1) 【答案】∵Δ=(m +2)2-4×2m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=(m -2)2≥0,∴方程总有两个实数根. (2) 【答案】mx 2-(m +2)x +2=0,即(x -1)(mx -2)=0, ∴x 1=1,x 2=2m.∵x 1=1为整数,∴只需求x 2=2m 为整数即可,∴正整数m 的值为1或2.34.(1) 【答案】对于方程x 2-4x +k =0中a =1,b =-4,c =k ,因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×1×k >0,因此k <4.(2) 【答案】由第1问知k 取的最大整数为3,将k =3代入方程x 2-4x +k =0中得x 2-4x +3=0, 解得x 1=1,x 2=3.当一样的根为x =1时,m =0;当一样的根为x =3时,m =-83.35. 【答案】该解法的原理是x 2=|x|2,比照例题解法,原方程可以化为|x -1|2-5|x -1|-6=0.令y =|x -1|,原方程化成y 2-5y -6=0.解得y 1=6,y 2=-1.当|x -1|=6时,x 1=7,x 2=-5;当|x -1|=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=7,x 2=-5.。
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一元二次方程测试题
一、选择题：（30分）
1．下列方程不是一元二次方程的是（ ）
A. y 2＋2y ＋1＝0
B. x 2＝1－ x
C. p 2－ p
D. x 3－x ＋1＝x 2
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A 、09922=--x x 化为100)1(2=-x
B 、0982=++x x 化为
25)4(2=+x C 、04722=--t t 化为1681)47(2=-t D 、02432=--y y 化为910)32(2=-y
3．一元二次方程x 2－4＝0的实数根为（ ）
A. x ＝3
B. x ＝－2
C. x 1＝2，x 2＝－2
D. x 1＝0，
x 2＝2
4．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面
积是( )
A 、8cm 2
B 、9cm 2
C 、64cm 2
D 、68cm 2
5．下列方程中：① x 2－3x －4＝0；② y 2＋9＝6y ；③ 2x 2－5x ＋9＝0；
④ x 2＋2＝2 x 有两个不相等的实数根的方程的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3 个
D. 4个
6．已知关于x 的方程032=+-a x x 的一个解为2，那么另一个解是( )
A 、-2
B 、-1
C 、1
D 、2
7. 满足两实数根的和等于4的方程为（ ）
A. x 2＋4x ＋6＝0
B. x 2＋4x －6＝0
C. x 2－4x －6＝0
D. x 2－4x ＋6＝0
8．根据下列表格的对应值，判断02=++c bx ax (0≠a ，a 、b 、c 为常数) x
A 、3﹤x ﹤3.23
B 、3.23﹤x ﹤3.24
C 、3.24﹤x ﹤3.25
D 、3.25﹤x ﹤3.26
9．若分式14
52+++x x x 的值为0，则x 的值为( )
A 、-1或-4
B 、-1
C 、 -4
D 、无法确定
10. 从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2
，则原来的正方形铁皮的面积是( )
A 、8cm 2
B 、9cm 2
C 、64cm 2
D 、68cm 2
二、填空题：（30分）
11．将方程25232+=+x x x 化为一元二次方程的一般形式为 .
12．方程x x 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
13.方程（2x －1)2 ＝2x －1的根是 . 14. 请写出有一个根为3的一个一元二次方程： .
15.等腰三角形的底和腰是方程0862=+-x x 的两根，则该三角形的周长是
16.当x ＝ 时，代数式7x 2－x 的值等于8 .
17.若方程0162=+-x kx 有两个实数根，则k 的取值范围是 .
18． 原价为300元的服装连续降价两次，现价是每件243元，求平均每次降价的百分率为 19. 一长方形的周长为36cm ，面积为45cm 2，则长方形的长和宽分别为 .
20.a 是实数，且0|82|42=--+-a a a ，则a 的值是
三、解答题（4×4′+6′=22′）
21、04122=--x x 22、01232=--x x 23、0522=-+x x 24、
()()2232-=-x x x 25. 解方程：已知a 、b 、c 均为实数且（a ≠0）求方程02=++c bx ax 的根.(6分)
四．列方程解应用题
26.（8′）我校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm 、宽为20cm 的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度。
27.（10′）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件。
若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ 附加题：（10分）
如右下图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，
而点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动。
如果P 、Q 分别从A 、B
两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于8厘米2
？(7分)。