导数的11个专题(243页)
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数重要知识点总结
导数重要知识点总结一、导数的定义导数在数学上是指函数在某一点处的变化率。
具体地说，如果函数y=f(x)在点x=a处可导，那么它的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a) (1)其中，lim表示极限，f(x) - f(a)表示函数在点a处的变化量，x - a表示自变量的改变量。
导数f'(a)表示了函数在点a处的瞬时变化率。
当函数y=f(x)在某一点处可导时，它在那一点有唯一的切线。
该切线的斜率恰好等于函数在该点的导数。
因此，导数也可以理解为切线的斜率。
导数的物理意义是描述了函数在某一点处的瞬时变化率。
二、导数的性质1. 导数的加法性质：如果函数f(x)和g(x)都在某一点处可导，那么它们的和f(x)+g(x)在该点处也可导，并且有(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)2. 导数的乘法性质：如果函数f(x)和g(x)都在某一点处可导，那么它们的积f(x)g(x)在该点处也可导，并且有(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)3. 导数的商法则：如果函数f(x)和g(x)都在某一点处可导，且g'(a)≠0，那么它们的商f(x)/g(x)在该点处也可导，并且有(f/g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a))/(g(a))^24. 复合函数的导数：如果函数f(x)在点x处可导，而函数g(x)在点f(x)处可导，那么复合函数g(f(x))在点x处可导，并且有(g◦f)'(x) = g'(f(x)) * f'(x)以上是导数的基本性质，它们对于计算导数和求解实际问题中的应用非常重要。
三、导数的应用导数在微积分中有着广泛的应用，其中包括函数的极值、曲线的凹凸性、曲线的切线和法线等。
导数知识点总结大全高中
导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。
函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。
当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。
当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。
3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。
导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。
4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。
函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。
2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。
3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。
三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
导数题型分类大全(附答案)
由题意得， 是 的两个根，解得， ．
再由 可得 ．∴ ．
(2) ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．∴函数 在区间 上是增函数；
在区间 上是减函数；在区间 上是增函数．
函数 的极大值是 ，极小值是 ．
(3)函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位，向上平移4 个单位得到的，
所以，函数 在区间 上的值域为 （ ）．
而 ，∴ ，即 ．
于是，函数 在区间 上的值域为 ．
令 得 或 ．由 的单调性知， ，即 ．
综上所述， 、 应满足的条件是： ，且 ．
7．已知函数 ，
（Ⅱ）设函数 ，求函数 的单调区间；
(Ⅲ)若在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围
8．设函数 ．
（1）若 的图象与直线 相切，切点横坐标为２，且 在 处取极值，求实数 的值；
题型五：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
2．函数 ( A )
3．方程 ( B )
A、0 B、1 C、2 D、3
※题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．设函数
（1）求函数 的单调区间、极值.
解得 ，又 ∴a的取值范围是
2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（ ）＝ ，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ ，b＝－2
(完整版)高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
数学导数知识点总结图
数学导数知识点总结图一、导数的定义在微积分中，导数的定义是通过极限的概念给出的。
设函数f(x)在点x=a处有定义，那么f(x)在点x=a处的导数可以定义为：f'(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a) (x→a)其中f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，lim表示极限运算。
这个极限表示当自变量x 趋向于a时，函数f(x)在点x=a处的平均变化率的极限值，即函数在这一点的瞬时变化率或者斜率。
如果这个极限存在，那么我们说函数f(x)在点x=a处是可导的，而这个极限的值就是函数f(x)在点x=a处的导数。
导数的值可以告诉我们函数在这一点处的斜率，以及函数变化的速度和方向。
二、导数的基本性质1. 可导性和连续性：可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
由于导数的定义是通过极限给出的，如果一个函数在某一点可导，那么它在这一点必然是连续的。
但是，即使一个函数在某一点连续，也不一定能保证它在这一点可导。
2. 导数的几何意义：函数在某一点的导数就是函数图像在这一点处的切线的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数图像在这一点处的变化越快；导数为正表示函数在这一点处是增加的，导数为负表示函数在这一点处是减少的；导数为零表示函数在这一点处是平稳的，即函数图像在这一点处的斜率为零。
3. 导数的运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，c为常数，那么常用的导数运算法则有：（1）常数性质：f(x) = c，f'(x) = 0（2）线性性质：[c*f(x) ± g(x)]' = c*f'(x) ± g'(x)（3）乘法法则：[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)（4）商法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)] / g^2(x)（5）复合函数求导：[f(g(x))]` = f'(g(x)) * g'(x)三、求导法则对于常见的初等函数，我们可以通过求导法则来求导。
最全版导数专题精华知识点总结——理科
专题：导数知识点总结一、导数的定义1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx. 2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0fx ＋Δx －fxΔx为f (x )的导函数． 二．基本初等函数的导数公式三、.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（3）[]2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （4）[])()(x f c x Cf '='（6）、复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 四．导数的几何意义(1)函数f (x )在x 0处的导数f'(x 0)是曲线f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k=f'(x 0).用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点．注：（1）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．五、.函数的导数与单调性的关系1、函数y=f (x )在某个区间内可导,(1)若f'(x )>0在该区间内恒成立,则f (x )在这个区间内单调递增;(2)若f'(x )<0在该区间内恒成立,则f (x )在这个区间内单调递减; (3)若f'(x )=0在该区间内恒成立,则f (x )在这个区间内是常数函数.求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．2、.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．[方法技巧] 用导数求函数单调区间的三种类型及方法3研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根,求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法．当我们无法判段导函数的符号时，有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．4．用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系 (1)f ′(x )>0(或f ′(x )<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f ′(x )＝0不恒成立)．5、根据函数y ＝f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：（1）利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集． （2）转化为恒成立或存在性问题处理①若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递增，转化为f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立求解．②若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调递减，转化为f ′(x )≤0在(a ，b )上恒成立求解．③若函数y ＝f (x )在(a ，b )上单调，转化为f ′(x )在(a ，b )上不变号即f ′(x )在(a ，b )上恒正或恒负．④若函数y ＝f (x )在(a ，b )上不单调，转化为f ′(x )在(a ，b )上变号．存在极值点⑤函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验． 六.函数的极值与导数的关系 1．判断函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．“极值点”不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1即为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)． 2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)求导函数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极小值，可列表完成．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． 七、.函数的最值与导数的关系 (1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点①设函数y=f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,则f (x )在[a ,b ]上必有最大值和最小值且最值在极值点或端点处取得. ②若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． （3）求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情原函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αxα－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a xf ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf ′(x )>0(<0)可解先确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间f ′(x )＝0可解先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间f ′(x )>0(<0)及f ′(x )＝0不可解先确定函数的定义域，当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时，求导并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤： 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较,确定f (x )的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.八.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f (x )>g (x )(或f (x )<g (x ))的问题转化为证明f (x )-g (x )>0(或f (x )-g (x )<0),进而构造辅助函数h (x )=f (x )-g (x );(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f (x 1,x 2)≥A 的不等式,可选x 1(或x 2)为主元,构造函数f (x ,x 2)(或f (x 1,x ));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,则可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.九、导数的综合应用题型一：利用导数研究与不等式有关的综合问题（一）对于含有参数的恒成立问题或存在性问题 常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
导数常见题型(精选课件)
导数常见题型导数大题常见题型一、导数的意义.解决超越函数或两种以上组成的高次函数，三种常见题型：1、求切线方程；2、求一个参数的值;3、求两个参数的值.在切点处的导数。
)(斜率就是函数 的导数的几何意义：切线x f y =)1(62)2,1(2)1(1616)1(,6)(12)(23-=-∴====⨯=='===x y f x k f x x f x x x f y 切点为时，当解析：处的切线方程。
在【示例】求函数曲线的切线方程。
题型一：已知切点，求169)2(929),2,2(2,2333)3()2()3()1()3(016)2(33)(33)()1(3M ),,(M A )()16,0(A 3)(00003200020020300003+=+=+∴=--∴-=∴-=-=-=--==-='-='-==-=x y x y k M y x x x x x x y k k x x f x x f x x y y x x f y x x x f 的坐标为解得：，得，且代入又有满足位于曲线上且点不在曲线上，设切点解析：带入可知点的切线，求切线方程。
，做曲线，过点题型二：已知函数83)87,21(,872102)1,1(,11,21111223112323)(2),()1(02)1()1,1(A 2)2()1,1(A 2)1(""""00000000320002020003000033=-+-=-==----==-==-+-=--+==--='-==----=--=y x y x y x y x x x x x x x x y k x x x f x x y y x y x x x y x x y 切线方程为切点为，当切线方程为切点为，当或解得，则有设切点为易得切线方程为解析：处的切线方程；上的点求过曲线处的切线方程；在点求曲线【示例】在某点的切线与过某点的切线题型三：弄清011)(1,01ln 1)1(0)(.)(,0)(0,1ln )(01ln 1ln 1ln ),(),,(T )3()0,(A .)()0,(A )3(.ln )(222222222000020020000000=++-='==++⨯==>'>++==+++=+'=-=-=--ey x x f e x e e e e h x h x h x h x x x e x h x x e x ex x x x f k y x e x f y e x x x f AT 得切线方程是由所以最多只有一个根，又所以是单调递增函数所以时，当设即所以则设切点解析：切线方程。
导数题型最新归纳总结
导数题型归纳总结-----------学大教育西稍门高中数学组一．导数的定义和几何意义函数)(x f 在x 0处的导数：)(0x f ' =0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即=k )(0x f ' 求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上注：若过曲线外一点11(,)x y 向曲线作切线，要先设切点00(,())x f x ，用10010()k=f (x )y f x x x -'=- 1、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则a = b =2、已知232x x y -=，则过原点)0,0(的切线方程是 3、已知3()3f x x x =-，过点(1,)(2)A m m ≠-可作()y f x =的三条切线，则m 的范围是4 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点5 、已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ,Q 的横坐标分别为4，-2，过P ,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为(A ) 1 (B ) 3 (C )-4 (D ) -8二 导数单调性题型一：讨论()0f x '=是否有根型（1）若导数是二次函数，需判断判别式∆（2）若导数是一次函数y kx b =+，需判断k 的正负1 已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数；（2）求()f x 的单调区间；2.已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，求()f x 的单调性.3.已知函数()(1)e (0)x a f x x x =->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；（II ）求函数()f x 的单调区间4 已知m ∈R ，函数f （x ）＝1ln m mx x x ---，x x g ln 21)(+= 若y ＝f (x )一g (x )在［1，＋∞）上为单调增函数，求实数m 的取值范围题型二：比较两根大小讨论型1、设函数R b a b ax x a x x f ∈+++-=、其中,4)1(3)(23（Ⅰ）若函数)(x f 在3=x 处取得极小值是21，求b a 、的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间;2.已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；(2)求函数()f x 的单调区间与极值。
导数常考知识点总结
导数常考知识点总结一、导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的瞬时变化率。
给定函数f(x)，在点x处的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]其中，f'(x)表示函数f(x)在x处的导数。
这个极限表示了当自变量x的变化量h趋向于0时，函数值的变化量与自变量变化量的比值，即函数的瞬时变化率。
二、导数的性质1. 可导性：如果函数f(x)在x处可导，则称f(x)在x处可导，也可以说函数f(x)在x处是光滑的。
2. 连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可导且在区间(a, b)内连续，则f(x)在区间[a, b]上连续。
3. 导数的性质：导数具有线性性，即对于任意实数a、b，以及可导函数f(x)和g(x)，有\[(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x)\]三、导数的计算方法导数的计算方法包括常用函数的导数、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等。
1. 常用函数的导数：常用函数的导数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
例如，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为f'(x) = nx^{n-1}。
2. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则来计算。
设u=g(x)和v=f(u)，那么f(g(x))的导数为f'(u)·g'(x)。
3. 反函数的导数：如果函数f(x)的反函数存在且可导，则反函数f^{-1}(x)的导数为\[(f^{-1}(x))' =\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]4. 隐函数的导数：对于隐函数y=f(x)的导数，可以通过求解导数的方法来计算。
四、高阶导数高阶导数是指对一个函数的导数再次求导得到的结果。
如果函数f(x)的导数存在且可导，则f(x)的导数f'(x)也可以再次求导，得到f''(x)，称为f(x)的二阶导数。
导数的11个专题(243页)
（2）当 a 0 时， 令 f (x) 0 ，得 x a ．
当 0 x a 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 为减函数；
当 x a 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 为增函数．
综上所述，当 a 0 时，函数 f (x) 的单调递增区间为 (0, ) ．
取 x1
1+ 2
ea
e ，则 g(x1) a(1
2
1 2
ea
a
1 2
1) 2 ae a
0．
故 g(x) 在 (1, ) 上存在唯一零点．
取 x2
-1- 2
ea
<
1 e
，则
g
(
x2
)
a(1
2 a
1
e
2 a
1) 2
1
ae
2 a
2a 4
为增函数，所以 f (x)min f (a) a a ln(a) ． 依题意有 f (x)min a a ln(a) 0 ，解得 a e ，所以 2 a 1 ．
（3）当 a 2 时，即 a 2 时， f (x) 在区间 1, 2 上为减函数，
因此当 a 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线．
（3）当 a 0 时， f (x) x ，显然不存在过点 P (1，3) 的切线．
综上所述，当 a 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线；
当 a 0 时，不存在过点 P (1，3) 的切线．
【例 1-2】（2015-2016 海淀一模理 18）已知函数 f (x) ln x 1 1 ， g( x) x 1 .
导数常用公式知识点总结
导数常用公式知识点总结一、导数的定义导数是一个函数在某一点的变化率或者斜率，可以看作是函数在该点附近的局部线性逼近。
若函数y=f(x)在点x=a处可导，则其导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) - f(a)] / h二、基本导数公式1. 常数函数的导数若f(x) = c（c为常数），则f'(x) = 02. 幂函数的导数若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)3. 指数函数的导数若f(x) = a^x（a>0，且a≠1），则f'(x) = ln(a) * a^x4. 对数函数的导数若f(x) = log_a(x)（a>0，且a≠1），则f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)6. 反三角函数的导数若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)7. 综合运用若f(x) = e^x * sin(x)，则f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)三、导数的运算法则1. 导数的和与差的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，则有：(a) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(b) (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)2. 导数的积的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 导数的商的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，且g'(x) ≠ 0，则有：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)4. 复合函数的导数若y = f(g(x))，且f(u)和g(x)均可导，则有：y' = f'(g(x)) * g'(x)5. 反函数的导数若y = f^-1(x)，且f'(f^-1(x)) ≠ 0，则有：(dy / dx) = 1 / (dx / dy)四、高阶导数1. 一阶导数若f(x)在点x处可导，则其一阶导数记作f'(x)，表示函数在该点的斜率或变化率。
导数大题20种主要题型
导数大题20种主要题型一、求函数的单调性1. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间。
2. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的单调性。
二、求函数的极值3. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点，求出极值。
4. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值。
三、求函数的最大值或最小值5. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的单调区间，从而确定函数的最大值或最小值。
6. 给出函数解析式和区间，求函数在区间内的极值点，并求出极值，再与区间端点的函数值比较，得到函数的最大值或最小值。
四、确定函数图像的单调区间7. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数图像的单调区间。
8. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数解析式，并求导数，确定函数图像的单调区间。
五、判断函数的零点9. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的零点个数。
10. 给出函数解析式和大致的图像，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的零点是否存在。
六、判断函数的最值点11. 给出函数解析式和区间，判断函数在区间内的最值点。
12. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，确定函数在某一点的最值点。
七、判断函数的极值点13. 给出函数解析式，求导数，并根据导数正负确定函数的极值点。
14. 给出函数图像的大致形状，根据图像的变化趋势，判断函数在某一点的极值点。
八、求解不等式九、求解方程的根十、利用导数证明不等式十一、利用导数求最值十二、利用导数求多变量函数的平衡点十三、利用导数研究函数的图像性质十四、利用导数研究函数的极值和最值十五、利用导数求解高阶导数十六、利用导数求实际问题的最优解十七、利用导数求解曲线的切线方程十八、利用导数研究函数的凹凸性十九、利用导数求解函数的零点个数二十、物理问题的应用。
导数的十一个小专题
一、零点个数问题1. 方程02ln =--x x 有几个根2.已知函数2ln )(ax x x f -=，若)(x f 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为______3.已知当),1(+∞∈x 时，关于x 的方程1)2(ln -=-+k x k x x 有唯一的实数解，则k 的值所在的范围是________4.（2018皖南八校）已知函数x a x x x f ln )(2-+=，2121)(2++=x x x g （1）若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在点（1,2）处的切线互相垂直，求a 的值（2）讨论函数21)()(+-=x g x f y 的零点个数 5.（2017全国1）已知函数x e a ae x f x x --+=)2()(2（1）讨论函数)(x f 的单调性（2）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围6.已知函数xxe e x a xf +-=)1()(没有零点，求a 的取值范围 7.（2018安徽皖南八校）函数2121)(,ln )(22++=-+=x x x g x a x x x f （1）若曲线)(x f y =与)(x g y =在点（1,2）处切线互相垂直，求a 的值（2）讨论函数21)()(+-=x g x f y 的零点个数二、构造函数1. 已知奇函数)(x f 在R 上的导数为)('x f ，且当]0,(-∞∈x 时，1)('>x f ，则不等式3)2()12(-≥+--x x f x f 的解集________2. 函数)(x f 在定义域)0,(-∞内恒满足)(3)()(2'x f x xf x f <<，其中)('x f 为)(x f 的导函数，则（ ）21)2()1(41.A <<f f 81)2()1(161.B <<f f 21)2()1(31.C <<f f 41)2()1(81.D <<f f 3.函数)('x f 为)(x f R x ∈的导函数，若32)()(x x f x f =--，且0>x 时，2'3)(x x f >，则不等式133)1()(2+->--x x x f x f 的解集是__________三、切线问题1. （2016全国2）若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则b=________2.过点),(a a P 与曲线x x x f ln )(=相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是_______3.函数x x f ln )(=的图像在点))(,(00x f x P 处的切线l 与函数x e x g =)(的图像也相切，则满足条件的切点P 的个数_______四、极值点偏移问题1.已知函数)()2()(R a a e x x f x ∈+-=（1）确定函数)(x f 的零点个数（2）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，证明：221<+x x2. 函数)(1)(R a ae x x f x ∈+-=有两个零点21,x x（1）求a 的范围（2）证明：221>+x x e e3. 已知函数R x x mx x x x f ∈--=,21ln )(2，若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：221e x x >⋅4.已知函数)(ln )(R a xa x x x f ∈++= （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求a 的取值范围（2）若x x a x xf x g -+-=2)1()()(有两个极值点21,x x ，且21x x <.求证：3221e x x >⋅五、数形结合问题 1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧><--=0,ln 0,12)(x xx x e x x f ，若关于x 的方程t x f =)(有三个不同实根，则t 的取值范围________2.已知x ex x f =)(，若关于x 的方程01)()]([2=-++m x mf x f 恰有3个不同实根，则m 的范围______3.13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的取值范围______4.函数x x x f +-=331)(在)10,(2a a -上有最大值，a 的取值范围是_________ 5.已知函数x x g e x f x 2ln 21)(,)(14+==-，若)()(n g m f =成立，则m n -的最小值为______六、函数的性质1.已知13s i n )1()(22+++=x x x x f ，)('x f 为)(x f 的导函数，则=---++)2019()2019()2019()2019(''f f f f ________2.已知函数)1ln()(23x x x x f -+-=，若)0(,≠+∈∀b a R b a ，b a b f a f ++)()(的值（）A. 恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定七、相等替换（利用0)(0'=x f ）1. （2018山西）已知函数19)(,3)(2-=+=x x g x e x f x（1）讨论函数)0,)((ln )(>∈-=b R a x bg x a x ϕ在),1(+∞上的单调性（2）比较)(x f 与)(x g 的大小2. 已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且0)(≥x f（1）求a 的值（2）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--<<x f e2.（2019合肥一模21）已知函数)1ln()(+-=x e x f x（1）求)(x f 的单调区间（2）若R a ax x f x g ∈-=.)()(，求)(x g 的极小值的最大值八、不等替换（利用常见的不等关系，如1ln ,1-<+>x x x e x ）1.已知函数21)(ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间（2）若当0≥x 时，0)(≥x f ，求a 的取值范围九、恒成立问题1.设函数x ex e x g x x e x f 222)(,1)(=+=，若),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是______2.（2018江南十校）已知函数)()1(21)(2R a e x ax x f x ∈--=，若]1,0[,,321∈∀x x x 都有)()()(321x f x f x f ≥+，求实数a 的取值范围_______十、恒成立问题1.已知函数ax x g xx a x f 2)(,1ln )2()(=+-= （1）当0=a 时，求)(x f 的极值（2）若]3,1[,),2,3()()()(21∈--∈∀+=x x a x g x f x F 恒有)()(3ln 2)3ln (21x F x F a m ->-+成立，求m 范围十一、同类型问题1.（2018安徽黄山联考）x ax x x f ln 2)(2+-=（1）当a=1时，求)(x f 的单调性（2）若)('x f 为)(x f 的导函数，)(x f 有两个不相等极值点)(,2121x x x x <，求)()(221x f x f -的最小值2.（2018全国1）已知函数x a x x x f ln 1)(+-=（1）讨论)(x f 的单调性（2）若函数)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：2)()(2121-<--a x x x f x f 3.（2019合肥一模12题）已知x x ax x f ln 2)(2+-=有两个不同的极值点21,x x ，若不等式)()(21x f x f +>λ恒成立，则λ的取值范围是________。
导数经典题型归类(共12类)
导数经典题型归类（共12类）导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（_）在点_= 处的导数f’（）的几何意义是曲线在点_= 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标代入曲线方程求出 y0 (2)求出导数f′(_)，把代入导数求得函数y＝f(_)在点_=处的导数f′(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(_－)．②点（，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(_1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(_1)(_－_1) (3)利用点（，y0）在切线上求出（_1，y1）；(4)把（_1，y1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1.（20__全国卷Ⅲ）已知f(_)为偶函数，当_＜0时，f(_)=f（-_）+3_，则曲线y=f（_）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（20__新课标全国Ⅱ）设曲线y=a_-ln（_+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2_，则a= A.0 B.1 C.2 D.3 3.（20__全国卷Ⅱ）若直线y=k_+b是曲线y=ln_+2的切线，也是曲线y=ln（_+1）的切线，则b= 4.（20__江西）若曲线y=e-_ 上点P处的切线平行于直线2_+y+1=0，则点P的坐标是 5.（20__江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=a_2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7_+2y+3=0平行，则a+b= 6.（20__新课标全国）设点P在曲线y=e_上，点Q 在曲线y=ln（2_）上，则▕PQ▏的最小值为 A.1-ln2 B.（1-ln2）C.1+ln2D.(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=_3和y=a_2+_-9都相切，则a等于 8.抛物线y=_2上的点到直线_-y-2=0的最短距离为 A.B.C.D.1 9.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f（_）=2_3-3_.（1）求f（_）在区间[-2，1]上的最大值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（_）相切，求t的取值范围.11.已知函数f（_）=4_-_4，_∈R.(1) 求f（_）的单调区间 (2) 设曲线y=f（_）与_轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（_），求证：对于任意的实数_，都有f（_）≤g（_）(3) 若方程f（_）=a（a为实数）有两个实数根_1，_2，且_1＜_2，求证：_2-_1≤-+4.导数专题二利用导数四则运算构造新函数一．知识点睛导数四则运算法则：[f(_)±g（_）]’=f′(_)±g′(_) [f(_)·g（_）]’=f′(_)·g(_) +f(_)·g′(_) [ ]′= 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
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【考点分类】 考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例 1-1】（2015-2016 朝阳一模理 18）已知函数 f (x) x a ln x, a R ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）当 x 1, 2 时，都有 f (x) 0 成立，求 a 的取值范围；
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（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次 为主。 七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数 f x 单调增（减）转化为导函数 f x 0 恒成立；ห้องสมุดไป่ตู้（2） f x g x h x ，由 g x 0 （或 g x 0 ）可将 f x 0 恒成立转化为 h x 0 （或 h x 0 ）恒成立；
（Ⅲ）试问过点 P(1，3) 可作多少条直线与曲线 y f (x) 相切？并说明理由．
【答案】（Ⅰ）函数 f (x) 的定义域为 x x 0 ． f (x) 1 a x a ．
xx （1）当 a 0 时， f (x) 0 恒成立，函数 f (x) 在 (0, ) 上单调递增；
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导数专题一、单调性问题
【知识结构】
【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨 论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关 系及与区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定 义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出 f ' x ， f x 随 x 变化的情况表，并写出函数的
单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点 函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为 0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为 f (x) 0 或 f (x) 0 恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解 参变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小 于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较；
导数的11个专题
目录
导数专题一、单调性问题....................................................................................................................... 2 导数专题二、极值问题......................................................................................................................... 38 导数专题三、最值问题......................................................................................................................... 53 导数专题四、零点问题......................................................................................................................... 77 导数专题五、恒成立问题和存在性问题........................................................................................... 118 导数专题六、渐近线和间断点问题................................................................................................... 170 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题........................................................................... 190 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元....................................................................... 201 导数专题九、公切线解决导数中零点问题....................................................................................... 214 导数专题十、极值点偏移问题........................................................................................................... 219 导数专题十一、构造函数解决导数问题........................................................................................... 227