实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；

（2）找：找出等量关系；

（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（4）列：列出一元二次方程；

（5）解：求出所列方程的解；

（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（7）答：作答。

二、典型题型

1、数字问题

例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36

2、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数

例3、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题

循环问题：又可分为单循环问题21n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2

12n(n-3) 例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

例5、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？

例6、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（ ）

A.()1821=+x x

B. ()1821=-x x

C.()18212=+x x

D.()21821⨯=-x x

练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110场，则联赛中共有多少个队参加比赛？

2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?

3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?

4、平均增长率问题：M=a(1±x)n ， n 为增长或降低次数 , M 为最后产量，a 为基数，x 为

平均增长率或降低率

例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

例8、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？

练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求

这两个月的平均增长率.

2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？

5、商品销售问题

例9、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

例10、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。

2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

6、面积问题

例11、如图，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?

例12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为

4cm 的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。

已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是

1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。

练习：1、一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm 2，两条直角边的长分别是 。

2、为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为 米，宽为 米。

7、工程问题

例13、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A ．请甲队单独完成此项工程出．B 请乙队单独完成此项工程；C ．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

练习：搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成，有货物存量相的两个仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？

8、行程问题

例14、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。问甲、乙的速度各是多少? X 2X