2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 + 参考答案

2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

考试时间:2019年6月30日上午9:00

1.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i −+.

2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =21

3.

3.函数()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期=2π.

4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=

5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115

. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A B C D −内部有一小球，该小球与正方体的对角线段

1AC 相切，则小球半径的最大值=45

. 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则

cos AHB ∠=6−

. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.

例如：3123894765T ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.

9、如图所示，设ABCD是矩形，点,E F分别是线段,

AD BC的中点，点G在线段EF上，点,D H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:3

HAB GAB

∠=∠.

10、设O是坐标原点，双曲线:

C

22

22

1

x y

a b

−=上动点M处的切线交C的两条渐近

线于,A B两点.

(1)求证：ABC

∆的面积S是定值; （2）求AOB

∆的外心P的轨迹方程.

11.（1）求证：对于任意实数,,x y z 都有:)22223x y z xy yz zx ++≥++..

（2）是否存在实数k >,,x y z 下式恒成立？

()22223x y z k xy yz zx ++≥++

试证明你的结论.

标答：

12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.