九年级下学期期末考试数学试卷(附答案)

九年级下学期期末考试数学试卷(附答案)一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．﹣2021的倒数是（）A．2021 B．﹣2021 C．D．﹣2．函数y＝2+中自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥C．x≤D．x≠3．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣44．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为s甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖6．已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣17．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是．10．分解因式：a2b﹣4b3＝．11．2020年我国武汉暴发新冠肺炎疫情，全国人民发扬“一方有难，八方支援”的精神，积极参与到武汉防疫抗疫保卫战中．据统计，参与到武汉防疫抗疫中的全国医护人员约为42000人，将42000这个数用科学记数法表示为．12．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝cm2．13．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段CD＝．14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．15．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A﹣|+（sin B﹣）2＝0，则∠C＝．16．如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是．三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）+tan260°．18．（8分）解方程：（1）4x2﹣25＝0；（2）x2﹣2x﹣4＝0．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AD的长．20．（8分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出蓝色，或者转盘A转出蓝色，转盘B转出红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小明获得音乐会门票；若两个转盘转出同种颜色则小芳获得音乐会门票．（1）利用列表或树状图的方法表示所有等可能出现的结果；（2）此规则公平吗？试说明理由．21．（8分）为宣传普及新冠肺炎防控知识，引导学生做好防控，某校举行了主题为“防控新冠，从我做起“的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩，已知抽取得到的八年级的数据如下（单位：分）：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到下表：成绩等级分数（单位：分）学生数D等60＜x≤70 5C等70＜x≤80 aB等80＜x≤90 bA等90＜x≤100 2八、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：（分数80分以上、不含80分为优秀）年级平均数中位数优秀率八年级78分c分m%九年级76分82.5分50%（1）根据题目信息填空：a＝，c＝，m＝；（2）八年级王宇和九年级程义的分数都为80分，请判断王宇、程义在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由．22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A'B'C'以点O为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点．（1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC与△A'B'C'的位似比是．（2）请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△ABC的位似比等于2：1．23．（10分）如图，在△ABC中，BC＝4，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB．24．（10分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式：（2）求水管AB的长;25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．26．（12分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？（填“是”或“否”），并说明理由；（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．【解答】解：﹣2021的倒数是．故选：D．2．【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0;解得，x≥．故选：B．3．【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．4．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个;从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．5．【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项C符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意；故选：C．6．【解答】解：根据题意，得（2+）2﹣4×（2+）+m＝0;解得m＝1；解法二：对方程变形得：x（x﹣4）+m＝0，再代入x＝2+，得到：（+2）（﹣2）+m＝0;即m﹣1＝0，m＝1故选：B．7．【解答】解：如图，连接OC;∵OA⊥BC;∴＝;∴∠AOC＝∠AOB＝50°;∴∠ADC＝∠AOC＝25°;故选：B．8．【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，;∴b＝2a＜0;∴abc＞0，故①abc＜0错误；当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0;∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；∵x＝﹣1时，y有最大值;∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）;即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|）;∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2）;∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1;∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2）;即x1＝1，x2＝﹣3;∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．所以正确的是②④；故选：C．二、填空题9．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5;∴该抛物线的对称轴是直线x＝1;故答案为：直线x＝1．10．【分析】先提取公因式b，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2b﹣4b3＝b（a2﹣4b2）＝b（a+2b）（a﹣2b）．故答案为b（a+2b）（a﹣2b）．11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：42000＝4.2×104．故答案为：4.2×104．12．【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm;∴圆锥的母线l＝＝2（cm）;∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．故答案为：2π．13．【解答】解：∵线段AB＝1，点C是AB黄金分割点;∴较小线段AD＝BC＝1×;则CD＝AB﹣AD﹣BC＝1﹣2×＝﹣2．故答案是：﹣2．14．【解答】解：∵一元二次方程有实数根;∴Δ＝≥0且≠0;解得：m≤5且m≠4;故答案为：m≤5且m≠4．15．【解答】解：∵|cos A﹣|+（sin B﹣）2＝0;∴cos A﹣＝0，sin B﹣＝0;∴cos A＝，sin B＝;∴∠A＝60°，∠B＝45°;则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°;故答案为：75°．16．【分析】连接AC，OD，DE，设E（x，y），利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，AC是⊙D的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出CE2+BE2＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得当OE为⊙D 的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后进行计算即可解答．【解答】解：连接AC，OD，DE;设E（x，y）;∵∠AOC＝90°;∴AC是⊙D的直径;∵AO＝BO＝CO＝1;∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0）;∴AC＝;CE2＝（x﹣1）2+y2;BE2＝（x+1）2+y2;∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2;∵OE2＝x2+y2;∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大;∴OE2＝AC2＝（）2＝2;∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6;故答案为：6．三、解答题17．（8分）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）+tan260°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2×+3×﹣4×1＝1+﹣4＝﹣；（2）原式＝+（）2＝+3．18．（8分）解方程：（1）4x2﹣25＝0；（2）x2﹣2x﹣4＝0．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．【解答】解：（1）方程变形得：x2＝;开方得：x＝±;解得：x1＝，x2＝﹣；（2）方程移项得：x2﹣2x＝4;配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5;开方得：x﹣1＝±;解得：x1＝1+，x2＝1﹣．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AD的长．【分析】（1）由余角的性质可得∠DEA＝∠C＝90°，可得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，由相似三角形的性质可得，即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB;∴∠DEA＝∠C＝90°;由∵∠A＝∠A;∴△ABC∽△ADE；（2）∵AC＝8，BC＝6;∴AB＝＝＝10;∵△ABC∽△ADE;∴;∴;∴AD＝5．20．（8分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出红色，转盘B转出蓝色，或者转盘A转出蓝色，转盘B转出红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小明获得音乐会门票；若两个转盘转出同种颜色则小芳获得音乐会门票．（1）利用列表或树状图的方法表示所有等可能出现的结果；（2）此规则公平吗？试说明理由．【分析】（1）根据题意列表，即可得出所有可能出现的情况；（2）共有6种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种，两个转盘转出同种颜色的结果有2种，再求出小明获得音乐会门票的概率和小芳获得音乐会门票的概率，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意列表如下：黄蓝红第二个转盘第一个转盘红（红，黄）（红，蓝）（红，红）蓝（蓝，黄）（蓝，蓝）（蓝，红）共有6种等可能的结果；（2）此规则公平，理由如下：由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种，两个转盘转出同种颜色的结果有2种;∴小明获得音乐会门票的概率为＝，小芳获得音乐会门票的概率为＝;∴小明获得音乐会门票的概率＝小芳获得音乐会门票的概率;∴此规则公平．21．【分析】（1）利用唱票的方法得到a、b的值，再利用中位数的定义求c，然后用5除以20得到m的值；（2）利用中位数的意义进行判断．【解答】解：（1）由题意，得a＝10，b＝3，c＝77.5;m%＝＝25%，即m＝25；故答案为：10，77.5，25；（2）王宇在八年级的排名更靠前．理由如下：八年级的中位数为77.5分，而王宇的分数为80分，所以王宇的排名更靠前；而九年级的中位数为82.5分，程义的分数都为80分，所以他在九年级为中下游．22．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；（2）直接利用位似比得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求，△ABC与△A'B'C'的位似比是：1；2；故答案为：1：2；（2）如图所示：△A1B1C即为所求．23．【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△CDB中，利用锐角三角函数求出CD，BD，再在Rt△ACD中，求出AD，然后进行计算即可解答．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D;在Rt△CDB中，∠B＝45°，BC＝4;∴CD＝BC sin45°＝4×＝4;BD＝BC cos45°＝4×＝4;在Rt△ACD中，∠A＝30°;∴tan30°＝＝;∴AD＝＝4;∴AB＝AD+BD＝4+4;∴AB的值为4+4．24．【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将（3，0）代入求得a值；（2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长．【解答】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m;则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3;代入（3，0）求得：a＝﹣．将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．【分析】（1）连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC为直角，即可得证；（2）根据全等三角形的性质和平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AD∥OC;∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD;又∵OA＝OD;∴∠DAO＝∠ADO;∴∠COD＝∠COB;在△COD和△COB中;;∴△COD≌△COB（SAS）;∴∠CDO＝∠CBO＝90°;∵OD是⊙O的半径;∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB;∴CD＝CB;∵DE＝BC;∴ED＝CD．∵AD∥OC;∴＝;∵⊙O的半径为2;∴＝;∴AE＝3．26．（12分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？是（填“是”或“否”），并说明理由；（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可．（2）证明Δ≥0．（3）想办法求出ab的值可得结论．【解答】（1）解：∵a＝，b＝，c＝;∴a2+b2＝c2;∴a，b，c能构成直角三角形;∴方程＝0是否为是弦系一元二次方程”．故答案为：是．（2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab;∵a2+b2＝c2;∴Δ＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0;∴弦系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣x+b＝0，即a+b＝c;∵2a+2b+c＝6;∴3c＝6;∴c＝2;∴a2+b2＝4，a+b＝2;∵（a+b）2＝a2+b2+2ab;∴ab＝2;∴S△ABC＝ab＝1．27．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线表达式，求解即可；（2）连接OQ，得到点Q的坐标，利用S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC得出△BCQ的面积，再令S＝2，即可解出m 的值；（3）证明△APC∽△QPH，根据相似三角形的判定与性质，可得，根据三角形的面积，可得QH ＝，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线A（﹣1，0），B（4，0），可得：;解得：;∴抛物线的解析式为：;令x＝0，则y＝2;∴点C的坐标为（0，2）；（2）连接OQ;∵点Q的横坐标为m;∴Q（m，）;∴S＝S△OCQ+S△OBQ﹣S△OBC＝﹣＝﹣m2+4m;令S＝2;解得：m＝或;（3）如图，过点Q作QH⊥BC于H，连接AC;∵AC＝，BC＝，AB＝5; 满足AC2+BC2＝AB2;∴∠ACB＝90°，又∠QHC＝90°，∠APC＝∠QPH;∴△APC∽△QPH;∴;∵S△BCQ＝BC•QH＝QH;∴QH＝;∴＝; ∴当m＝2时，存在最大值．。