垂线的画法练习题
垂线的画法
垂线的画法知识精讲利用三角板画垂线的方法（1）任意画一条直线与已知直线垂直。
先画一条直线，让三角板的一条直角边与这条直线重合，沿三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是已知直线的垂线，如下图。
这种情况下可以画出无数条已知直线的垂线。
（2）过直线上一点画一条直线与已知直线垂直。
让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的直角顶点与直线上的点重合，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线上一点已知直线的垂线，如下图。
这种情况下只能画出1条直线与已知直线垂直。
（3）过直线外一点画一条直线与已知直线垂直。
让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的另一条直角边通过直线外的那一点，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线外一点已知直线的垂线，如下图。
这种情况下只能画出1条直线与已知直线垂直线。
易错易误点画完垂线后不要忘记标上垂直符号以上总结了三种画已知直线的垂线的方法，画好垂线后，最后都要记得在垂足处标上垂直符号。
典型例题例1 请画出过直线外一点的垂线。
解析：让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的另一条直角边通过直线外的那一点，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线外一点已知直线的垂线，最后要记得标上直角符号。
答案：如图所示。
例2 请画出过直线上一点的垂线。
解析：让三角板的直角边与这条直线重合，平移三角板，使三角板的直角顶点与直线上的点重合，沿着三角板的另一条直角边再画一条直线，所画直线就是过直线上一点已知直线的垂线，最后要标上直角符号。
答案：如图所示。
(新)冀教版四年级数学上册《过一点画直线的垂线,画长方形、正方形》配套练习(附答案)
7.2 过一点画直线的垂线，画长方形、正方形⏹教学内容教材80、81页过一点画直线的垂线，画长方形、正方形⏹教学提示画垂线、长方形和正方形，教材安排了两个活动。
首先介绍工人师傅用角尺画垂线的方法，然后说明我们通常用三角尺来画垂线。
接着安排了两个画图活动。
活动一，画垂线。
（1）过直线上一点画这条直线的垂线。
（2）过直线外一点画这条直线的垂线。
教材用图示分别呈现了画垂线的三个步骤。
教学时，教师可以示范画一个，边画边介绍画的步骤。
如，过直线上的一点画垂线：①将三角板的一条直角边与直线重合；②平移三角板，使得直角顶点与已知点重合；③沿三角板的另一条直角边画一条直线。
新画的这条直线就是过直线上一点画出的已知直线的垂线。
过直线外一点画这条直线的垂线可先让学生尝试画，然后交流自己的画法。
活动二，画长方形。
因为画长方形是画垂线方法的具体运用，所以按教材要求，先让学生自己试着画一画，然后交流自己的画法。
如果学生自己画有困难，教师可以示范。
教材还安排了试一试，要求学生独立画一个边长4厘米的正方形。
要鼓励学生运用所学的画垂线的方法，要画美观。
教学中，要给学生充分动手画的时间，教师也要重视画图方法的指导。
⏹教学目标知识与能力1、会用直尺和三角板按要求画垂线、长方形、正方形。
过程与方法1、经历学习画垂线、自主尝试画长方形或正方形的过程，掌握其画法。
情感、态度与价值观1、在尝试画图的过程中，进一步体会长方形、正方形的特征。
⏹重点、难点重点过一点画已知直线的垂线。
难点画长方形、正方形。
⏹教学准备教师准备：课件、三角板、角尺。
学生准备：三角板、直尺、铅笔、橡皮。
⏹教学过程（一）新课导入1、复习旧知，揭示本质师：上节课我们一起认识了垂直，下面我们一起做一个游戏。
（1）拿一张正方形的纸对折两次，使两条折痕互相垂直。
（2）展示学生作品。
这两条折痕互相垂直吗？你是怎样想的？引导学生说出：只要它们相交成直角，就说明两条折痕互相垂直。
2、点明课题，提出挑战师：刚才我们把正方形的纸对折两次，使两条折痕互相垂直。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(7)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上，AD⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有( )条．A．6 B．5 C．4 D．32．到直线a的距离等于2㎝的点有（）个A．0个B．1个C．无数个D．无法确定3．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A．点A到BC的垂线段为AD B．点C到AD的垂线段为CDC．点B到AC的垂线段为AB D．点D到AB的垂线段为BD4．下列语句叙述正确的有( )①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角;②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度6．下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线与已知直线垂直；B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；C．互相垂直的两条线段一定相交；D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是3cm，则点A 到直线l的距离是3cm.7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35° B．40° C．45° D．60°9．如图，已知ON丄a，OM丄a,所以OM与ON重合的理由是（）.A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短二、填空题1．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，点C到AB的距离是4.8 cm，那么点B到AC的距离是____ cm，点A到BC的距离是____ cm，A，B两点间的距离是____ cm.2．如图，AB⊥l 1，AC⊥l 2，垂足分别为B ，A ，则A 点到直线l 1的距离是线段__的长度．3．如图，直线AB CD ，相交于点，O EO AB ⊥．重足为35，O EOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为__________度4．已知OA⊥OC 于O ，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC 的度数为____________度．5．如图，直线a 与b 相交于点O ，直线c⊥b，且垂足为O ，若∠1=35°，则∠2=_____．三、解答题1．如图，已知直线a ，b ，点P 在直线a 外，在直线b 上，过点P 分别画直线a ，b 的垂线．2．如图，按要求画图并回答相关问题：(1)过点A 画线段BC 的垂线，垂足为D ；(2)过点D 画线段．．DE∥AB，交AC 的延长线于点E ；(3)指出∠E 的同位角和内错角．3．如图所示，点P 是∠ABC 内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?4．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）⊥于点O．5．如图，己知90∠=，过点O作直线CD，作OE CDAOB()1图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；()2若70∠的度数；∠=，求BOCAOD()3将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分DOE∠的∠，求此时AOD度数．参考答案一、单选题1．B分析：根据点到直线距离的定义进行解答即可．详解：解：∵AB、AC互相垂直，AD⊥BC，∴线段AB的长度是点B到直线AC的距离；线段AC的长度是点C到直线AB的距离；线段AD的长度是点A到直线BC的距离；线段CD的长度是点C到直线AD的距离；线段BD的长度是点B到直线AD的距离．∴图形中能表示点到直线的距离的线段有5条．故选：B．点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟知概念是关键．2．C解析：详解：解：到直线a的距离等于2的点的轨迹是与a平行，且到a的距离等于2的两条直线，直线是由无数个点组成．故选C．3．D解析：A. 点A到BC的垂线段为AD，正确； B. 点C到AD的垂线段为CD，正确；C. 点B到AC的垂线段为AB，正确；D. 点B到AD的垂线段为BD.故选D.4．B解析：试题①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线,那么这两个角是对顶角;故错误.②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;错误.③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;正确.④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离.错误.故选B.5．B解析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.6．D解析：对照垂线的两条性质逐一判断．①从直线外一点引这条直线的垂线，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．详解：解：A、和一条直线垂直的直线有无数条，故A错误；B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故B错误；C、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故C错误；D、直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点A 到直线l的距离，故D正确．故选：D．点睛：本题考查的是垂线的相关定义及性质，只要记住并理解即可正确答题．7．C分析：根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可．详解：这样做的理由是垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．8．A解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.9．B解析：利用OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选B．二、填空题1．6 10解析：∵BC⊥AC，CB=8cm， AC=6cm，∴点B到AC的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，故答案为8，6，10.2．AB详解：解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l的距离是线段AB的长度．1故答案为：AB．3．125分析：根据垂直的定义及角的加法，求出∠BOC的度数，根据对顶角相等求解即可．详解：⊥∵EO AB∴∠EOB=90°∵∠EOC=35°∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°∴∠AOD=∠BOC =125°故答案为：125点睛：本题考查的是垂直的定义及角的加减，掌握垂直的定义及能从图形中确定角之间的关系是关键．4．30°或150°分析：根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．详解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB：∠AOC=3：2，∴∠AOB=60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图，①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故答案为30°或150°.点睛：此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．5．55°解析：如下图，∵直线a、b、c相交于点O，且c⊥b，∴∠1+∠2+3∠=180°，∠3=90°，又∵∠1=35°，∴∠2=180°-35°-90°=55°.故答案为55°.三、解答题1．图形见解析.分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可详解：解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线．点睛：垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.2．（1）见解析（2）见解析（3）∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.解析：（1）如图，过A点作AD⊥BD与BC的延长线交于D点即可；（2）如图，过D点作DE∥AB与AC的延长线交于E点即可；（3）根据同位角与内错角的定义进行解答即可.详解：(1)(2)如图所示．(3)∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.点睛：本题主要考查基础作图，同位角与内错角的定义，熟练掌握其知识点是解此题的关键.3．（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B解析：试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E ，过点P 作AB 的平行线交BC 于F ；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP 然后利用等量代换得到结论即可． 解:如图所示，(1)①直线PD 即为所求；②直线PE 、PF 即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.4．详见解析.解析：试题分析：（1）过点C 作AB 的平行线．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．根据垂线段最短，可得CD 长度最小，量出CD 的长度，然后按比例尺求出实际的距离． 试题如图：（1）过点C 画一平行线平行于AB ．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．然后用尺子量CD 的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．经测量0.9,CD cm =0.92000180018.cm m ⨯==5．（1）AOD BOE ∠=∠；（2）160BOC ∠=；（3）45AOD ∠=.解析：（1）根据垂直定义可得∠DOB+∠BOE=90°，再根据同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；（2）根据余角定义可得∠BOD=20°，再根据邻补角互补可得∠BOC 的度数；（3）根据角平分线性质可得∠DOB=12∠DOE=45°，再根据角的和差关系可得答案．详解：解：()1AOD BOE∠=∠，∵OE CD⊥于点O，∴90DOB BOE∠+∠=，∵90AOB∠=，∴90AOD DOB∠+∠=，∴AOD BOE∠=∠；()2∵70AOD∠=，90AOB∠=，∴20BOD∠=，∴18020160BOC∠=-=；()3∵OB所在的直线平分DOE∠，∴1452DOB DOE∠=∠=，∵90AOB∠=，∴904545AOD∠=-=．点睛：此题主要考查了垂线，以及余角，补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．。
5.1.2_垂线(第2课时)
拓展应用1
如图：在铁路旁边有 一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车 最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建 火车站，并说明理由。
垂线段最短
张庄
N
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的 长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
6.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（ B ）
（A）从P点到AB的垂线段 (B)从P点到AB的垂线段长 （C）从P点到AB的垂线（D）从 P点到AB的垂线长
7.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上，
若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l
的距离是（ C ）
A．4cm
B. 小于4cm
C
A
D
B
2、已知： 如图AD＜AE ＜AC＜ AB，能说AD的长是A到BC的 距 离吗？
A
答：不能。
B
D EC
3、如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D， DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE 和AB的大小
解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线段最短)
又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线段最短)
制作：月光留步
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
E
E
E
注意:画线段(或射线)的
垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
课堂练习
1.过点 P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A
B
C
D
2、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、直线AD⊥BC于 D、直线BE⊥AC于E、直线A CF⊥AB于F
2.垂线的画法
例2 从小区 A点处要修一条通往公路的柏油路，怎样修最近?画出来。
分析:把柏油路看作一条直线，从点到直线垂直线段最短，也就是过 A 点作已知直线的垂线就是最短路线。
规范解答：正方形的两条对角线相交成直角，即这两条对角线互相垂直。 同时正方形相邻的两条边也互相垂直。
例1 在下面两条平行线间画出最大的正方形。
分析:正方形的特点是:对边平行，邻边垂直，四条边长度都相等。要在两条 平行线间画最大的正方形，就要把平行线间的垂直线段作为正方形的边 长，且正方形的一组对边一定要在平行线上截取。
题中是聪聪、明明和小精灵讨论如何画一个长10厘米，宽8厘米的长方形的 情境。 2.再看题，找一找题中提供了哪些有价值的数学信息？
题中按解决问题的三个基本步骤依次告诉我们，题目中心条件是已知长方 形的长是10厘米，宽是8厘米，要解决的问题是画出这个长方形。
过程解读
1.思维导引:
要画一个长方形，根据长方形相邻两边互相垂直的特征，可以用画垂线的 方法来画。 2.方法探究: 画一个长10厘米，宽8厘米的长方形。因为长方形对边互相平行，相邻的 两条边又互相垂直，所以可以用画垂线的方法画这个长方形。
规范解答:
帮你做一做 教材第59页“做一做”第1题、第2题 2.请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线a、b是否互相平行。
规范解答: 图①、②、③中直线 a、b都是互相平行的，因为平行线间的 距离处处相等。
学点3 利用画垂线的方法解决问题（画长方形） 画一个长10厘米、宽8厘米的长方形。
初中数学九年级《尺规作图(3)画垂线》
在解数学选择题时，直接法是最基本和使用率 最高的一种方法。当题目具备一定的条件和特 征时，可考虑采用其他几种方法。有时解一个 选择题需要几种方法配合使用。另外还要注意 充分利用题干和选择支两方面所提供的信息， 全面审题。不但要审清题干给出的条件，还要 考察四个选项所提供的信息（它们之间的异同 点及关系、选项与题干的关系等），通过审题 对可能存在的各种解法（直接的、间接的）进 行比较，包括其思维的难易程度、运算量大小 等，初步确定解题的切入点。
• 已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
作法：
• （1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； • （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
h
a
动手实践
• AB、AC分别是菱形ABCD 的一条边和对角线，请你 用尺规把这个菱形补充完 整。
C
A
B
生活离不开数学
• A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
•教学反思 • 本节课你掌握了哪些知识？ • 还有哪些疑惑？
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
练：下列命题正确的是( ) A 对角线互相平分的四边形是菱形 B 对角线互相平分且相等的四边形
是菱形 C 对角线互相垂直的四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是
菱形
直接依据定义判断
（六）方程法 通过设未知数，找等量关系，建方程，解方程，使问题得以 解决的方法。
垂线练习题
范围是(
)A
A.大于8
B.小于3
C.大于3而小于8
D
D.小于3或大于8
B
C
7、如图，点A处是一座小 屋，BC是一条公路，一人 在O处。
A．
（1）此人到小屋去，怎样走最近？
为什么？
（2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？
．
O
8、下列说法正确的是（ ）
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。 A
D
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C
（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 B
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
9. 在学校运动会上，一名运动员打破了年级记录。如 图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。如何测量 他的成绩。
C F┓ D
A
• •
EB
垂线段。 C. 从直线外一点到这条直线的
垂线的长。 D. 从直线外一点到这条直线的
垂线段的长。
5、如图，AC⊥BC，AB=10，
AC=8，BC=6，则点A到BC的
距离是
，点B到AC的距
离是
，A、B两点间的距
离是
。
C
A
B
6、如图，AB⊥BD ， CB⊥CD ，
AD=8，BC=3，则线段BD长的取值
2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE=
。
（A）36° (B) 64° (C)144° (D) 54°D来自OAB
C
E
3.选择题
过点 P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A
B
C
D
4、点到直线的距离是指( ) • 从直线外一点到这条直线的 • 垂线。 B. 从直线外一点到这条直线的
人教版七年级下知识点试题精选-关于垂线的习题
七年级下册关于垂线的习题一．选择题（共20小题）1．已知：如图，OC⊥AB，DE平分∠AOC，那么∠AOE等于（）A．135°B．50°C．45°D．155°2．一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，则这两个角的大小关系为（）A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定3．给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；②一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（）A．能B．不能C．有的能有的不能 D．无法确定4．下列说法正确个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线l外一点有且只有一条直线与直线I垂直；④过直线l上一点有且只有一条直线与已知直线l垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．下列说法中，正确的是（）A．相交的两条直线叫做垂直B．经过一点可以画两条直线C．平角是一条直线D．两条直线相交，只有一个交点6．已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角7．画一条线段的垂线，垂足在（）A．线段上B．线段的端点C．线段的延长线上 D．线段上或线段的延长线上8．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：5，则∠BOD=（）A．105°B．112.5°C．135° D．157.5°9．如图，AB、CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足关系是（）A．对顶角B．相等C．互补D．互余10．下列语句中，正确的个数是（）①平面上，一条直线只有一条垂线；②过直线上一点，画已知直线的垂线只能画一条；③过直线外一点且垂直于这条直线的垂线有且只有一条；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°12．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=∠AOC，则∠BOC=（）A．150°B．140°C．130° D．120°13．如图，AO⊥OB，若∠AOC=50°，则∠BOC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1=35°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°15．如图，直线a与b相交于点O，MO⊥直线a，垂足为O，若∠2=35°，则∠1的度数为（）A．75°B．65°C．60°D．55°16．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（）A．36°B．44°C．50°D．54°17．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（）A．155°B．145°C．135° D．125°18．下列语句中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．垂线最短C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．有一个公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角19．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③20．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD=70°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°二．填空题（共20小题）21．如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠AOC=55°，则∠DOE=．22．如图，CD⊥AB，垂足为C，EF过点C，若∠1=130°，则∠2=．23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=32°，则∠AOC=．24．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的垂线．25．如图，∠ABD=90°，直线⊥直线，垂足为，过D点有且只有条直线与直线AC垂直．26．如图，已知FE⊥AB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF=度．27．如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF=50°，那么∠BED=°．28．如图，已知AB⊥CD垂足为O，EF经过点O．如果∠1=40°，则∠2=°．29．如图，直线AB与CD相交于E点，EF⊥AB，垂足为E，∠1=110°，则∠2=度．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=度，∠COB=度．31．直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC：∠BOD=2：7，射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为．32．若a∥b，c⊥a，则c与b的位置关系是．33．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠1=60°，则∠2=．34．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC=40°，那么∠EOD的大小是．35．已知：如图，CD⊥AB于D，∠1=30°，则∠FDB=，∠BDE=．36．如图，点O是直线AB上一点，OC是一条射线，且∠AOC=32°，若过点O作射线OD，使OD⊥OC，则∠BOD的度数为．37．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=35°时，∠BOD的度数为．38．如图，已知直线a，b，c相交于点O，且a⊥c，垂足为O，若∠1=50°，则∠2的度数为．39．直线AB与射线OC相交于点O，OC⊥OD于O，若∠AOC=60°，则∠BOD=度．40．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=度．三．解答题（共10小题）41．如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数．42．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，∠1=35°．求∠2、∠3及∠EOB的度数．43．如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=25°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．44．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC 的平分线吗？为什么？45．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．46．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1=29°．求∠2和∠3的度数．47．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．48．如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD的直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF=25°，求∠AOB的度数．（2）若OA平分∠BOE，则∠DOF的度数是．（直接写出答案）49．如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，OG平分∠AOE，若∠DOF=50°，求∠AOG的度数．50．如图所示，点O为直线BD上的一点，OC⊥OA，垂足为点O，∠COD=2∠BOC，求∠AOB的度数．七年级下册关于垂线的习题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知：如图，OC⊥AB，DE平分∠AOC，那么∠AOE等于（）A．135°B．50°C．45°D．155°【分析】首先根据垂直的定义得到∠AOC=90°，再根据角平分线的定义求出∠AOD=45°，最后根据邻补角定义得到∠AOE+∠AOD=180°即可求解．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC=45°，∴∠AOE=180°﹣∠AOD=180°﹣45°=135°．故选：A．【点评】此题主要考查了垂线、角平分线、邻补角的定义，关键是理清角之间的关系，求出∠AOD的度数．2．一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，则这两个角的大小关系为（）A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定【分析】此题可以通过两个图形得出这两个角的关系相等或互补．【解答】解：如图：图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠1=∠2，图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠1+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°．所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，故选C．【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．3．给出条件：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；②一条直线是另一直线的垂线，并且能否以上述任何一个为条件得出另外两个为内容的结论，正确的是（）A．能B．不能C．有的能有的不能 D．无法确定【分析】分别用①、②、③作为条件，依据垂直的定义分别进行判断即可．【解答】解：①作为条件，②③为结论正确；②作为条件，①③为结论正确；③作为条件，①②为结论正确．故选A．【点评】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握定义是解题的关键．4．下列说法正确个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线l外一点有且只有一条直线与直线I垂直；④过直线l上一点有且只有一条直线与已知直线l垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据垂线的定义和垂线的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；③应为在同一平面内，过直线l外一点有且只有一条直线与直线I垂直；④应为在同一平面内，过直线l上一点有且只有一条直线与已知直线l垂直．综上所述，说法正确的是②共1个．故选A．【点评】本题考查了垂线的定义与性质，是基础题，主要性质“在同一平面内”的条件限制．5．下列说法中，正确的是（）A．相交的两条直线叫做垂直B．经过一点可以画两条直线C．平角是一条直线D．两条直线相交，只有一个交点【分析】运用直线，相交线，垂线的定义及角的概念可判定．【解答】解：根据直线，相交线，垂线的定义及角的概念可判定D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了直线，相交线，垂线的定义及角的概念，解题的关键是熟记定义及角的概念．6．已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．【解答】解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），又∵AB⊥CD，∴∠1+∠COE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴两角互余．故选：B．【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．7．画一条线段的垂线，垂足在（）A．线段上B．线段的端点C．线段的延长线上 D．线段上或线段的延长线上【分析】画一条线段的垂线，是指画线段所在的直线的垂线．【解答】解：由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．故选D．【点评】本题考查线段垂线的画法，知道画一条线段的垂线，是指画线段所在的直线的垂线是解题的关键．8．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：5，则∠BOD=（）A．105°B．112.5°C．135° D．157.5°【分析】AO⊥BO，∠AOC：∠BOC=1：5，可求得∠AOC，再根据周角的定义求得结果．【解答】解：设，∠AOC=x，∠BOC=5x，∴∠AOB=4x，∵AO⊥BO，∴4x=90°，∴x=22.5°，∴∠BOD=360°﹣90°﹣90°﹣22.5°=157.5°，故选D．【点评】本题主要考查了垂直的定义，周角的定义，熟记定义是解题的关键．9．如图，AB、CD交于点O，OE⊥AB，则∠1与∠2一定满足关系是（）A．对顶角B．相等C．互补D．互余【分析】由垂直的定义可知∠EOA=90°，从而可知∠1+∠AOC=90°，由对顶角的性质可知：∠2=∠AOC，从而可知∠1+∠2=90°．【解答】解；∵OE⊥AB，∴∠EOA=90°．∴∠1+∠AOC=90°．∵∠2=∠AOC，∴∠1+∠2=90°．∴∠1与∠2互为余角．故选：D．【点评】本题主要考查的是余角的定义、垂直的定义、对顶角的性质，发现∠2=∠AOC是解题的关键．10．下列语句中，正确的个数是（）①平面上，一条直线只有一条垂线；②过直线上一点，画已知直线的垂线只能画一条；③过直线外一点且垂直于这条直线的垂线有且只有一条；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可．【解答】解：①平面上，一条直线只有一条垂线，说法正确；②过直线上一点，画已知直线的垂线只能画一条，说法错误；③过直线外一点且垂直于这条直线的垂线有且只有一条，说法错误；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误．正确的说法只有1个，故选：A．【点评】此题主要考查了垂线的性质，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，注意“在平面内”这几个字．11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（）A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°【分析】此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．【解答】解：①当OC、OD在AB的一旁时，∵OC⊥OD，∠COD=90°，∠AOC=30°，∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=60°；②当OC、OD在AB的两旁时，∵OC⊥OD，∠AOC=30°，∴∠AOD=60°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=120°．故选D．【点评】此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析．12．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=∠AOC，则∠BOC=（）A．150°B．140°C．130° D．120°【分析】根据平角、直角及角的和差关系可求出∠AOC+∠EOD=90°，再与已知∠EOD=∠AOC联立，求出∠AOC，利用互补关系求∠BOC．【解答】解：∵∠COD=180°，OE⊥AB，∴∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，∠AOE=90°，∴∠AOC+∠EOD=90°，①又∵∠EOD=∠AOC，②由①、②得，∠AOC=60°，∵∠BOC与∠AOC是邻补角，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=120°．故选：D．【点评】此题主要考查了对顶角、余角、补角的关系．13．如图，AO⊥OB，若∠AOC=50°，则∠BOC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据OA⊥OB，可知∠BOC和∠AOC互余，即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°．又∵∠AOC=50°，∴∠BOC=90°﹣∠AOC=40°．故选C．【点评】本题考查了垂线，余角的知识．要注意领会由垂直得直角这一要点．14．如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠1=35°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】由图和已知条件可以得到∠EOA的度数，∠EOA与∠1和∠2的关系，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOA=90°，又∵∠2+∠EOA+∠1=180°，∠1=35°，∴∠2=55°，【点评】本题考查垂线、平角，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．15．如图，直线a与b相交于点O，MO⊥直线a，垂足为O，若∠2=35°，则∠1的度数为（）A．75°B．65°C．60°D．55°【分析】根据对顶角和垂线的性质解答即可．【解答】解：∵∠2=35°，MO⊥直线a，∴∠1=90°﹣35°=55°．故选D．【点评】此题考查垂线的性质，关键是根据垂线的性质得出与∠1互余的度数．16．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD=（）A．36°B．44°C．50°D．54°【分析】根据题意可以得到∠EOD的度数，由∠AOE=36°，∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，从而可以得到∠BOD的度数．【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠AOE=36°，∴∠BOD=54°，【点评】本题考查垂线、平角，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（）A．155°B．145°C．135° D．125°【分析】由对顶角相等可求得∠BOD，根据垂直可求得∠EOB，再利用角的和差可求得答案．【解答】解：∵∠AOC=35°，∴∠BOD=35°，∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°，∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+35°=125°，故选D．【点评】本题主要考查对项角相等和垂直的定义，掌握对顶角相等是解题的关键，注意由垂直可得到角为90°．18．下列语句中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．垂线最短C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．有一个公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角【分析】分别利用垂线以及对顶角的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、相等的角一定是对顶角，错误；B、垂线短最短，故此选项错误；C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误；D、有一个公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了垂线和对顶角的定义，正确把握定义是解题关键．19．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据垂线的定义，可得答案．【解答】解：①两直线相交所成的四个角都是直角，②两条直线相交，对顶角互补，③两直线相交所成的四个角都相等，故选：D．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义．20．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD=70°，则∠CON的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】直接利用垂线的定义结合角平分线的定义得出答案．【解答】解：∵∠BOD=∠AOC=70°，射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠COM=90°﹣35°=55°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠AOM的度数是解题关键．二．填空题（共20小题）21．如图直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠AOC=55°，则∠DOE=35°．【分析】根据对顶角相等的性质求出∠BOD的度数，再利用余角的和等于90°求解即可．【解答】解：∵∠AOC=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°，∵OE⊥AB于O，∴∠GOE=90°﹣55°=35°．故答案为：35°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质以及余角的和等于90°的性质，需要熟练掌握．22．如图，CD⊥AB，垂足为C，EF过点C，若∠1=130°，则∠2=40°．【分析】首先利用互补关系求出∠BCE，再由CD⊥AB得出∠BCD=90°，即∠BCE+∠2=90°，从而求得∠2．【解答】解：由已知得：∠BCE=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，∵CD⊥AB，∴∠BCE+∠2=90°，∴∠2=90°﹣∠BCE=90°﹣50°=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了垂直的定义和补角定义，要注意领会由垂直得直角和互补角的关系．23．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=32°，则∠AOC=58°．【分析】由OE⊥AB，∠EOD=32°，利用互余关系求∠BOD，再利用对顶角相等求∠AOC．【解答】解：∵OE⊥AB，∠EOD=32°，∴∠BOD=90°﹣∠EOD=90°﹣32°=58°，∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=58°．故答案为：58°．【点评】此题考查的知识点是垂线，关键是利用垂直的定义及对顶角相等求解．24．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的所在直线的垂线．【分析】根据垂线的定义，可得答案．【解答】解：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，作一条线段或射线的垂线就是作它们的所在直线的垂线．故答案为：所在直线的．【点评】本题考查了垂线，注意作一条线段或射线的垂线就是作它们的所在直线的垂线．25．如图，∠ABD=90°，直线AC⊥直线BD，垂足为B，过D点有且只有1条直线DB与直线AC垂直．【分析】根据当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直解答．【解答】解：根据垂线的性质可知，直线AC⊥直线BD，垂足为B，过D点有且只有1条直线DB与直线AC垂直．依次填：AC，BD，B，1，DB．【点评】此题主要考查了垂线的定义及过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的性质．26．如图，已知FE⊥AB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF=30度．【分析】本题利用邻补角的数量关系、互余关系，将已知角与所求角联系起来求解．【解答】解：∵∠AED与∠AEC是邻补角，∠AEC=120°，∴∠AED=180°﹣120°=60°，∵FE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠DEF=90°﹣∠AED=30°．【点评】本题主要考查了邻补角的性质，以及垂直的定义．27．如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF=50°，那么∠BED=40°．【分析】根据垂直的定义可得∠CEF=90°，然后求出∠AEC，再根据对顶角相等解答．【解答】解：∵EF⊥CD，∴∠CEF=90°，∴∠AEC=∠CEF﹣∠AEF=90°﹣50°=40°，∴∠BED=∠AEC=40°．故答案为：40．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．28．如图，已知AB⊥CD垂足为O，EF经过点O．如果∠1=40°，则∠2=50°．【分析】根据垂直的定义可得∠BOC=90°，然后求出∠3，再根据对顶角相等可得∠2=∠3．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∴∠3=∠BOC﹣∠1=90°﹣40°=50°，∴∠2=∠3=50°．故答案为：50．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，熟记概念和性质并准确识图是解题的关键．29．如图，直线AB与CD相交于E点，EF⊥AB，垂足为E，∠1=110°，则∠2= 20度．【分析】根据对顶角相等求出∠EOD，继而得出∠2，由∠BOE=∠BOD+∠EOD，计算∠BOE即可．【解答】解：∵∠AED与∠1互为对顶角，∴∠AED=∠1=110°，又∵AB⊥EF，∴∠AEF=90°，∴∠2=110°﹣∠AEF=20°，故答案为：20．【点评】本题考查了垂线的定义，用到的知识点为：对顶角相等，垂线产生直角．30．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=52度，∠COB=128度．【分析】由已知条件和观察图形可知∠EOD与∠DOB互余，∠DOB与∠AOC是对顶角，∠COB与∠AOC互补，利用这些关系可解此题．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，又∠EOD=38°，∴∠DOB=90°﹣38°=52°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠AOC=52°，∵∠COB与∠AOC互补，∴∠COB=180°﹣52°=128°．故答案为：52；128．【点评】本题利用垂直的定义，对顶角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．31．直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC：∠BOD=2：7，射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为50°．【分析】首先根据叙述作出图形，根据条件求得∠COB的度数，然后根据∠BOE=∠COE﹣∠COE即可求解．【解答】解：∵∠BOC=×180°=40°，又∵OE⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了角度的计算，理解垂直的定理，根据条件正确作出图形是关键．32．若a∥b，c⊥a，则c与b的位置关系是垂直或异面．【分析】由于没有说明a，b，c在空间内的位置关系，因而需要分两种情况：在同一平面内，不在同一平面内，分别讨论．【解答】解：根据a，b，c在空间内的位置关系可知：1、当三条直线在同一平面内，根据两直线平行，一条直线与这两条中的一条垂直，则与另一条直线也垂直，故c与b的位置关系是：垂直；2、当三条直线不在同一平面内，c与b的位置关系是：异面．填：垂直或异面．【点评】由于没有说明a，b，c在空间内的关系，要注意分类讨论．33．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠1=60°，则∠2=30°．【分析】根据垂线的定义，可得∠DOE的度数，根据余角的定义，可得∠BOD，根据对顶角的性质，可得答案．【解答】解：由OE⊥CD，得∠DOE=90°．由余角的定义，得∠BOD=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，由对顶角相等，得∠2=∠BOD=30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的定义，对顶角的性质．34．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC=40°，那么∠EOD的大小是50°．．【分析】依据垂线的定义可求得∠EOB=90°，然后依据对顶角的性质可求得∠BOD 的度数，最后依据∠EOD=∠EOB﹣∠DOB求解即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°．∵∠DOB=∠AOC=40°，∴∠EOD=∠EOB﹣∠DOB=90°﹣40°=50°．故答案为：50°．【点评】本题主要考查的是对顶角的性质和垂线的定义，掌握对顶角的性质和垂线的定义是解题的关键．35．已知：如图，CD⊥AB于D，∠1=30°，则∠FDB=60°，∠BDE=120°．【分析】由垂线的定义可知∠CDB=90°，从而可求得∠FDB=60°，然后根据∠FDB+∠BDE=180°可求得∠BDE=120°．【解答】解：∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90°．∴∠FDB=90°﹣30°=60°．∵∠FDB+∠BDE=180°，∴∠BDE=180°﹣60°=120°．故答案为：60°；120°．【点评】本题主要考查的是垂线的定义、邻补角的性质，掌握垂线的定义和邻补角的性质是解题的关键．36．如图，点O是直线AB上一点，OC是一条射线，且∠AOC=32°，若过点O作射线OD，使OD⊥OC，则∠BOD的度数为58°或122°．【分析】根据垂线定义可得∠COD=90°，然后再由条件∠AOC=32°可得∠AOD的度数．【解答】解：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠AOC=32°，∴∠AOD=90°﹣32°=58°，或∠AOD=32°+90°=122°，故答案为：58°或122°．【点评】此题主要考查了垂线定义，关键是正确画出图形，分类讨论．37．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=35°时，∠BOD的度数为55°或125°．【分析】此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．【解答】解：①当OC、OD在AB的一旁时，∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠AOC=35°，∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=55°；②当OC、OD在AB的两旁时，∵OC⊥OD，∠AOC=35°，∴∠AOD=55°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=125°．故答案为：55°或125°．【点评】此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析，理清图中的角之间的关系．38．如图，已知直线a，b，c相交于点O，且a⊥c，垂足为O，若∠1=50°，则∠2的度数为140°．【分析】先根据对顶角相等得出∠3的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a⊥c，垂足为O，∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°+50°=140°．故答案为：140°．【点评】本题考查的是垂线，熟知垂直的定义是解答此题的关键．39．直线AB与射线OC相交于点O，OC⊥OD于O，若∠AOC=60°，则∠BOD=30或150度．【分析】根据题意画出图形，由OC⊥OD，∠AOC=60°，利用垂直的定义易得∠AOD，再利用补角的定义可得结果．【解答】解：根据题意画图如下，情况一：如图1，∵OC⊥OD，∠AOC=60°，∴∠AOD=∠COD﹣∠AOC=90﹣60°=30°，∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°﹣30°=150°；情况二：如图2，∵OC⊥OD，∠AOC=60°，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+60°=150°，∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°﹣150°=30°，故答案为：150或30．【点评】此题考查了角的计算，关键是根据题意画出图形，要注意分两种情况画图．40．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB= 133度．【分析】根据垂直定义可得∠AOM的度数，然后再根据角的和差关系可得∠AOD，再利用对顶角相等可得答案．【解答】解：∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，∵∠MOD=43°，∴∠AOD=90°+43°=133°，∴∠COB=133°，故答案为：133．【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，掌握对顶角相等．三．解答题（共10小题）41．如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数．【分析】首先根据垂直定义可得∠AOB=90°，再由∠AON=120°可得∠BON，再根据角平分线的性质可得∠MOB=∠NOB，进而得到答案．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AON=120°，∴∠BON=120°﹣90°=30°，∵OB平分∠MON，∴∠MOB=∠NOB=30°，∴∠AOM=90°﹣30°=60°．【点评】此题主要考查了垂线、角平分线的定义，关键是理清图中角的和差关系．42．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，∠1=35°．求∠2、∠3及∠EOB的度数．【分析】根据对顶角相等可得∠3=∠1=35°，根据邻补角互补可得∠EOB=145°，再由垂直可得∠BOC=90°，根据∠2=90°﹣∠1即可算出度数．【解答】解：∵∠1=35°，∴∠3=35°（对顶角相等），∠EOB=180°﹣35°=145°，∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°，∴∠2=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°．【点评】此题主要考查了对顶角，邻补角，以及垂直的定义，题目比较简单，要注意领会由垂直得直角这一要点．43．如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=25°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．【分析】先根据对顶角的性质求出∠COE的度数，再由垂线及定义得出∠AOE的度数，最后根据角平分线的定义求出∠AOG的度数．【解答】解：∵∠FOD=∠COE（对顶角相等），∠FOD=25°，∴∠COE=25°．∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°（垂直定义），∴∠COE+∠AOC=115°，即∠AOE=115°．∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=∠AOE（角平分线定义），即∠AOG=55.5°．【点评】本题考查的是对顶角的性质，垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．44．如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD．OE是∠BOC 的平分线吗？为什么？【分析】OE是∠BOC的平分线．由于∠AOB是平角，OD是∠AOC的平分线，∠DOE=90°，易求∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．【解答】解：OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵OD是∠AOC的平分线，OE⊥OD，∴∠AOD=∠COD，∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COE+∠AOC=∠BOE+∠AOD，即∠COE=∠BOE．∴OE是∠BOC的平分线．【点评】本题考查了角的计算．解题的关键是理解角平分线的定义．45．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．【分析】首先由GF⊥AB可得∠2+∠4=90°，又因为∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠1+∠3=90°，由此即可得到CD与AB的位置关系．【解答】解：相互垂直．理由：∵GF⊥AB，∴∠2+∠4=90°，而∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴CD⊥AB．【点评】此题主要考查了垂直的性质与判定，并运用了等角的代换．46．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1=29°．求∠2和∠3的度数．【分析】根据∠1与∠2是对顶角；∠2与∠3互为余角，即可解答．【解答】解：如图，由题意得：∠2=∠1=29°（对顶角相等），∵AB⊥CD（已知），∴∠BOD=90°（垂直的定义），∴∠3+∠2=90°，即29°+∠3=90°，∴∠3=61°．【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，解决本题的关键是由垂直得直角．47．如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．【分析】根据对顶角相等得到∠DOF=∠COE，又∠BOF=∠BOD+∠DOF，代入数据计算即可．【解答】解：如图，∵∠COE=35°，∴∠DOF=∠COE=35°，∵AB⊥CD，∴∠BOD=90°，∴∠BOF=∠BOD+∠DOF，=90°+35°=125°．【点评】本题主要利用对顶角相等的性质及垂线的定义求解，准确识别图形也是解题的关键之一．48．如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD的直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF=25°，求∠AOB的度数．（2）若OA平分∠BOE，则∠DOF的度数是30°．（直接写出答案）【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠DOC=50°，由垂直的定义可得∠BOD=90°，易得∠BOC=40°，因为OA⊥OC，可得结果；（2）利用垂直的定义易得∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，可得∠COD=∠AOB，设∠DOF=∠COF=x，利用平分线的定义可得∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，由平角的定义可得5x+90°﹣2x=180°，解得x，即得结果．【解答】解：（1）∵∠DOF=25°，OF平分∠COD，∴∠DOC=50°，∵OB⊥OD，∴∠BOC=90°﹣50°=40°，∵OA⊥OC，∴∠AOB=90°﹣∠BOC=50°；（2）∵∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，∴∠COD=∠AOB，设∠DOF=∠COF=x，∵OA平分∠BOE，∴∠AOE=∠AOB=∠COD=2x，∠BOC=90°﹣2x，。
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
人教版数学七年级下册垂线同步练习题含答案
人教版数学七年级下册垂线同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 是过点O 的一条直线，已知⊥1=40°，则⊥2=（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ） A ．减小40︒B ．减小10︒C ．减小20︒D ．不变3．如图所示，已知：,1:23:2CD AB ⊥∠∠=，则FDC ∠=（ ）A ．120︒B ．126︒C ．135︒D ．144︒4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( ) A ．这条线段上 B ．这条线段的端点处 C ．这条线段的延长线上D ．以上都有可能5．数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段，正确的是( )A ．AB ．BC ．CD ．D6．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）A．120°B．60°C．90°D．150°7．如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（）A．点A到BC的距离是AD的长度B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度D．点B到AC的距离是AB的长度DE=，点F是射线OB上的任意一点，8．如图，OD平分AOB∠，DE AO⊥于点E，5则DF的长度不可能是（）A．4B．5C．6D．79．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度10．如图，在直角三角形ABC中，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）A ．线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离 B ．线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离 C ．线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离 D ．线段BD 的长度表示点A 到BD 的距离 11．下列命题是真命题的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C ．互相垂直的两条线段一定相交D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短12．平面直角坐标系中，点()1,2A -，()2,1B ，经过点A 的直线a x ∥轴，点C 是直线a 上的一个动点，当线段BC 的长度最短时，点C 的坐标为（ ）． A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,2二、填空题13．如图，当直线AB 与CD 相交于O 点，⊥AOD ＝______时，那么AB 与CD 垂直，记作：AB ______CD ． 符号语言：因为⊥AOD ＝90°（已知） ， 所以AB ⊥CD ( ) ．14．如图，直线AB 和CD 交于O 点，OD 平分⊥BOF ，OE ⊥CD 于点O ，⊥AOC =40︒，则⊥EOF =_______．15．如图， 直线AB ， CD ， EF 相交于点O ， 若:1:2AOE COE ∠∠=， AB CD ⊥， 则COF ∠=______度．16．如图，已知CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，则ACD ∠的余角是__．17．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊥BOC ＝α，点F 在直线AB 上且在点O 的右侧，点E 在射线OC 上，连接EF ，直线EM 、FN 交于点G ．若⊥MEF ＝n ⊥CEF ，⊥NFE ＝（1﹣2n ）⊥AFE ，且⊥EGF 的度数与⊥AFE 的度数无关，则⊥EGF=__．(用含有α的代数式表示）18．如图所示，⊥AOC 与⊥BOD 都是直角，且⊥AOB ：⊥AOD ＝2：11，则⊥AOB ＝_______．三、解答题19．如图，已知⊥AOB =20°．（1）若射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，请你在图中画出所有符合要求的图形； （2）请根据（1）所画出的图形，求⊥COD 的度数．20．如图1，1A BC ∠、1ACM ∠的角平分线2BA 、2CA 相交于点2A ，(1)如果164A ∠=︒，那么2A ∠的度数是多少，试说明理由并完成填空； 解：（1）结论：2∠=A ______度．说理如下：因为2BA 、2CA 平分1A BC ∠和1ACM ∠（已知）， 所以121A BC ∠=∠，122A CM ∠=∠（角平分线的意义）． 因为111ACM A BC A ∠=∠+∠，221A ∠=∠+∠（ ） （完成以下说理过程）(2)如图2，164A ∠=︒，如果2A BC ∠、2A CM ∠的角平分线3BA 、3CA 相交于点3A ，请直接写出3A ∠度数；(3)如图2，重复上述过程，1n A BC -∠、1n A CM -∠的角平分线n BA 、n CA 相交于点n A 得到n A ∠，设1A θ∠=︒，请用θ表示n A ∠的度数（直接写出答案）21．如图，CE 是ABC 的外角ACD ∠的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ．(1)求证：2BAC B E ∠=∠+∠．(2)若CA BE ⊥，30ECD ACB ∠-∠=︒时，求E ∠的度数．22．直线AB ，CD 相交于点O ，OF CD ⊥于点O ，作射线OE ，且OC 在AOE ∠的内部．(1)当点E ，F 在直线AB 的同侧；⊥如图1，若15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，求EOF ∠的度数；⊥如图2，若OF 平分∠BOE ，请判断OC 是否平分AOE ∠，并说明理由； (2)若2AOF COE ∠=∠，请直接写出∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系．23．如图所示，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置(保留作图痕迹)． （2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)24．如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A ､B ､C 均在格点上仅用无刻度直尺画图：（1）过点A 画线段BC 的平行线AD ； （2）过点B 画线段BC 的垂线，垂足为B ； （3）过点C 画线段AB 的垂线，垂足为E ；（4）线段CE 的长度是点C 到直线________的距离；（5）线段CA ､CE 的大小关系是_________（用“<”连接），理由是__________________．参考答案：1．C【分析】根据垂直得到⊥BOD =90°，然后平角的性质求解即可． 【详解】⊥AB ⊥CD ， ⊥⊥BOD =90°，⊥⊥1+⊥BOD +⊥2=180°，⊥1=40°， ⊥40°+90°+⊥2=180°， ⊥⊥2=50°， 故选：C ．【点睛】此题考查了直角和平角的性质，解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质． 2．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒．入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 3．B【分析】根据CD AB ⊥，可得⊥ADC =⊥BDC =90°可得⊥1+⊥2=90°，由1:23:2∠∠=，可求⊥1=54︒，⊥2=36︒，由对顶角性质可得⊥ADF =⊥2=36°，利用角的和可得⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =126°． 【详解】解：⊥CD AB ⊥ ⊥⊥ADC =⊥BDC =90° ⊥⊥1+⊥2=90°， ⊥1:23:2∠∠=，设⊥1=3x ︒，⊥2=2x ︒， ⊥3x +2x =90， 解得18x =，⊥⊥1=54︒，⊥2=36︒， ⊥⊥ADF =⊥2=36°，⊥⊥FDC =⊥ADC +⊥ADF =90°+36°=126°． 故选：B ．【点睛】本题考查垂直定义，角的和与比例，掌握垂直定义，根据角的和与比例建构方程，会解方程是解题关键． 4．D【分析】画一条线段的垂线，就是画线段所在的直线的垂线，进而得出答案．【详解】作一条线段的垂线，实际上是作线段所在直线的垂线，垂足可能在这条线段上，可能在端点处，也可能在线段的延长线上． 故选：D ．【点睛】本题考查线段垂线的画法．正确把握垂线的定义是解题关键． 5．A【详解】A.根据垂线段的定义，故A 正确； B.BD 不垂直AC ，所以错误；C.是过点D 作的AC 的垂线，所以错误；D.过点C 作的BD 的垂线，也错误. 故选：A. 6．C【分析】根据平角的概念结合角平分线的定义列式求解． 【详解】解：⊥O 是直线AD 上一点 ⊥180AOD ∠=︒⊥射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠ ⊥12COB AOB ∠=∠，12EOB BOD ∠=∠⊥1111=()902222COE COB EOB AOB BOD AOB BOD AOD ∠∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查平角及角平分线的概念，正确理解相关概念列出角的和差关系是解题关键． 7．C【分析】根据点到直线的距离的定义判断各选项即可．【详解】A 、点A 到BC 的距离是AD 的长度，本选项正确，不符合题意； B 、点B 到AD 的距离是BD 的长度，本选项正确，不符合题意； C 、点C 到AD 的距离是DE 的长度，故本选项错误，符合题意； D 、点B 到AC 的距离是AB 的长度，本选项正确，不符合题意． 故选C ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，关键是对点到直线的距离的意义的掌握． 8．A【分析】根据角平分线的性质，可知点D 到OB 和OA 的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为5，即可判断．【详解】⊥OD 平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E ，5DE =， ⊥D 到OB 的距离等于5， ⊥5DF ≥故DF 的长度不可能为4，故选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 9．C【分析】根据点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度进行求解即可.【详解】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度，而CD 是点C 到直线AB 的垂线段， 故选C.【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟知点到直线的距离的概念是解题的关键. 10．D【分析】根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可． 【详解】解：A. 线段AC 的长度表示点C 到AB 的距离，说法正确，不符合题意； B. 线段AD 的长度表示点A 到BC 的距离，说法正确，不符合题意； C. 线段CD 的长度表示点C 到AD 的距离，说法正确，不符合题意；D. 线段BD的长度表示点B到AD的距离，原说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．11．D【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，A没有告知在同一平面内，是假命题；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，B 是假命题；互相垂直的两条线段不一定相交，C是假命题；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，D是真命题．答案：D题型解法：命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，确定假命题可举反例证明．12．D【分析】根据题意画出图形，根据直线a//x轴，得到直线a为直线y= 2，根据垂线段最短即可得出答案．【详解】如图，⊥直线a// x轴，⊥直线a为直线y= 2，当BC⊥a时，线段BC最短，⊥点C的坐标为(2，2)．故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于x轴的坐标的特点，以及垂线段最短是解题的关键．13．90°⊥垂直的定义【解析】略14．130°【分析】根据对顶角性质可得⊥BOD =⊥AOC=40°．根据OD 平分⊥BOF ，可得⊥DOF =⊥BOD =40°，根据OE ⊥CD ，得出⊥EOD =90°，利用两角和得出⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°即可．【详解】解：⊥AB 、CD 相交于点O ，⊥⊥BOD =⊥AOC=40°．⊥OD 平分⊥BOF ，⊥⊥DOF =⊥BOD =40°，⊥OE ⊥CD ，⊥⊥EOD =90°，⊥⊥EOF =⊥EOD +⊥DOF =130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．15．120【分析】根据垂直的定义和对顶角相等的性质可得答案．【详解】解：AB CD ⊥，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，又:1:2AOE COE ∠∠=，119030123AOE AOC ∴∠=∠=︒⨯=︒+， AOE BOF ∠=∠，3090120COF BOF BOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：120．【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等的性质，解题的关键是掌握垂直的定义． 16．DCF ∠，ECB ∠【分析】根据垂直的定义和余角的定义，找和ACD ∠相加得90°的角即可．【详解】解：CF AB ⊥于C ，DC CE ⊥，90ACF BCF DCE ∴∠=∠=∠=︒，90ACD DCF∴∠+∠=︒，18090ACD BCE DCE∠+∠=︒-∠=︒ACD∴∠的余角是：DCF∠，ECB∠．答案：DCF∠，ECB∠．【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的定义，解题关键是准确识图，找出图中90°角，准确进行推理判断．17．13α##α3【分析】利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及三角形内角和定理求解．【详解】解：⊥⊥CEF＝⊥AFE+⊥BOC，⊥BOC＝α，⊥⊥CEF＝α+⊥AFE，⊥⊥MEF＝n⊥CEF，⊥⊥MEF＝n（α+⊥AFE），⊥⊥EGF＝⊥MEF﹣⊥NFE，⊥⊥EGF＝n（α+⊥AFE）﹣（1﹣2n）⊥AFE＝nα+（3n﹣1）⊥AFE，⊥⊥EGF的度数与⊥AFE的度数无关，⊥3n﹣1＝0，即n＝13，⊥⊥EGF＝13α；故答案为：13α．【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角度计算，解题的关键是理解⊥EGF的度数与⊥AFE 的度数无关的含义．18．20°【分析】由⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD知⊥AOB=⊥COD，设⊥AOB=2α，则⊥AOD=11α，故⊥AOB+⊥BOC=5α=90°，解得α即可．【详解】解：⊥⊥AOB+⊥BOC=⊥BOC+⊥COD，⊥⊥AOB=⊥COD，设⊥AOB=2α，⊥⊥AOB：⊥AOD=2：11，⊥⊥AOB+⊥BOC=9α=90°，解得α=10°，⊥⊥AOB =20°．故答案为20°．【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角，正确表示出各角度数是解题关键． 19．（1）见解析；（2）⊥COD=20°或160°．【分析】（1）根据垂直的定义画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ；（2）如图1，由于OC ⊥OA ，OD （或OD’）⊥OB ，则⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，于是利用周角的定义可计算出⊥COD =160°，利用⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’可得到⊥COD ′=20°，如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°．【详解】解：（1）如图1、如图2，OC 、OD （或OD ′）为所作；（2）如图1，⊥OC ⊥OA ，OD ⊥OB ，⊥⊥BOD =⊥BOD’=⊥AOC =90°，⊥⊥COD =360°﹣90°﹣90°﹣20°=160°，⊥COD ′=⊥BOC ﹣⊥BOD’=90°+20°﹣90°=20°，如图2，同理可得⊥COD =160°，⊥COD ′=20°，⊥⊥COD =20°或160°．【点睛】本题考查了基本作图—过一点作已知直线的垂线，分情况作出图形是解决此题的关键.20．(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析(2)16° (3)1()2n θ︒-【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；（2）根据（1）的解法即可直接求解；（3）利用（1）的结论求解．（1）解：结论：⊥A 2＝32度．说理如下：因为BA 2、CA 2平分⊥A 1BC 和⊥A 1CM （已知），所以⊥A 1BC ＝2⊥1，⊥A 1CM ＝2⊥2（角平分线的意义）．因为⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1，⊥2＝⊥1+⊥A 2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．所以⊥A 1CM ＝⊥A 1BC +⊥A 1＝2⊥1＋⊥A 1＝2（⊥1+⊥A 2），所以⊥A 1＝2⊥A 2，因为⊥A 1＝64°，所以⊥A 2＝32°．故答案为：32，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，⊥⊥A 1＝4⊥A 3，⊥⊥A 3＝14⊥A 1＝16°． （3）由（1）得：⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 2＝2⊥A 3，…，⊥An ﹣1＝2⊥An ，⊥⊥A 1＝2⊥A 2，⊥A 1＝4⊥A 3，⊥A 1＝8⊥A 4，…，⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥A 1＝2n ﹣1•⊥An ，⊥⊥An ＝112n A -∠＝1()2n θ-︒． 【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确解决（1），读懂题意是关键．21．(1)见解析(2)20︒【分析】（1）利用外角的性质，BAC E ACE ∠=∠+∠，ECD E B ∠=∠+∠，再利用角平分线的定义推出ACE ECD ∠=∠，通过等量代换即可求证；（2）先利用30ECD ACB ∠-∠=︒，180ACD ACB ∠+∠=︒，求出40ACB ∠=︒，进而求出B ，再代入（1）中结论即可求解．（1）证明：⊥BAC ∠是ACE ∆的外角，⊥BAC E ACE ∠=∠+∠，⊥ECD ∠是BCE ∆的外角，⊥ECD E B ∠=∠+∠，⊥CE 是ACD ∠的平分线，⊥ACE ECD E B ∠=∠=∠+∠，⊥2BAC E ACE E B E B E ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠；（2）解：⊥30ECD ACB ∠-∠=︒，⊥30ECD ACB ∠=∠+︒，⊥2260ACD ECD ACB ∠=∠=∠+︒，⊥180ACD ACB ∠+∠=︒，⊥260180ACB ACB ∠+︒+∠=︒，解得40ACB ∠=︒．⊥CA BE ⊥，⊥90BAC ∠=︒，⊥18050B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，由（1）知2BAC B E ∠=∠+∠，⊥90502E ︒=︒+∠，解得20E ∠=︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义等，牢固掌握上述知识并灵活运用是解题的关键．22．(1)⊥45︒；⊥平分，理由见解析(2)32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒【分析】（1）⊥先利用角度的和差关系求得COE ∠，再根据90EOF COE ∠=︒-∠，可得EOF∠的度数；⊥先根据角平分线定义EOF FOB ∠=∠，再结合余角定义和对顶角相等可得结论； （2）需要分类讨论，当点E ，F 在直线AB 的同侧，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，再分别表示AOC ∠、∠BOE ，再消去α即可．（1）解：⊥⊥OF CD ⊥于点O ，⊥90COF ∠=︒，⊥15BOD ∠=︒，120BOE ∠=︒，⊥1801801201545COE BOE BOD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，⊥904545EOF COF COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EOF ∠的度数为45︒；⊥平分．理由如下：⊥OF 平分∠BOE ， ⊥12EOF FOB EOB ∠=∠=∠， ⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥90COE EOF FOB BOD ∠+∠=∠+∠=︒，⊥COE BOD ∠=∠，⊥AOC BOD ∠=∠，⊥COE AOC ∠=∠，⊥OC 平分AOE ∠．（2）如图，当点E ，F 在直线AB 的同侧，设COE α∠=，⊥2AOF COE ∠=∠，⊥22AOF COE α∠=∠=，⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥290AOC AOF COF α∠=∠-∠=-︒⊥，⊥()1801802902703BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-⊥，⊥×3＋⊥×2得，32270AOC BOE ∠+∠=︒；如图，当点E ，F 在直线AB 的异侧；设COE α∠=，⊥2AOF COE ∠=∠，⊥22AOF COE α∠=∠=，⊥OF CD ⊥，⊥90COF ∠=︒，⊥902AOC COF AOF α∠=∠-∠=︒-⊥，⊥()180********BOE AOC COE ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒+⊥，⊥＋⊥×2得，2270AOC BOE ∠+∠=︒．综上所述，∠BOE 与AOC ∠之间的数量关系：32270AOC BOE ∠+∠=︒或2270AOC BOE ∠+∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线定义，对顶角相等，垂直的定义，平角的定义，等式的恒等变形等知识，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．分类讨论是解题的关键． 23．（1）作图见解析；（2）当汽车从A 向B 行驶时，在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M 越来越远，离村庄N 越来越近．【分析】（1）点与直线的连线中，垂线段最短，所以MP AB ⊥，NQ AB ⊥．（2）观察图形可以得到在AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ 这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．⊥，垂足为Q，点P、Q 【详解】解：(1)过点M作MP AB⊥，垂足为P，过点N作NQ AB就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【点睛】本题主要考查了点与直线距离以及尺规作图相关知识，熟练掌握点与直线的距离和尺规作图是解决本题的关键．<；垂线段最短．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AB；（5）CE CA【分析】（1）（2）（3）利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；（4）利用垂线段的性质直接回答即可；（5）利用垂线段最短比较两条线段的大小即可．【详解】（1）如图，直线AD即为所求；（2）如图，直线BF即为所求（3）如图，直线CE即为所求；（4）AB<；垂线段最短．（5）CE CA【点睛】本题考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图．。
5.1.2.2垂线画法习题
基础题
知识点1 垂线的画法
)
1.下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角板放法正确的是(
.
A．线段上B．线段的端点
C．线段的延长线上D．以上都有可能
4、过点P画出射线AB或线段AB的垂线
.P.P .P
5、过点P分别画已知角的两边的垂线。
P
知识点2 垂线的性质
6．下列说法正确的有( )
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．(教材P9习题T12变式)已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )
8.(2019广东广州模拟)如图,OM⊥NP,ON⊥NP,所以ON与OM重合,理由是
易错点未给出图形，考虑不周全致错
9．已知OA⊥OC，过点O作射线OB，且∠AOB＝30°，则∠BOC的度数为．
10.(2018河南郑州五中月考,18,★★☆)如图,AB交CD于O,OE⊥AB.
(1)若∠EOD=20°,求∠AOC的度数;
(2)若∠AOC∶∠BOC=1∶2,求∠EOD的度数.。
2022四年级数学上册八垂线与平行线第5课时垂线的画法画垂线习题课件苏教版
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；；
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使与
人笔
庄记
重使
；人
逻精
辑确
You made my day!
与； 修史
辞鉴
使使
人人
善明
辩智
。；
诗
歌
知识点2 画已知直线的垂线
2．分别过下面的点，画出相应直线的垂线，并填一 填。
画图略
我发现：过直线上(或外)一点画已知直线的垂线， 可以画( 1 )条。
易错点
3．下面画垂线的方法对吗？若不对，请改正。
改正略 辨析：没有正确掌握画垂线的方法
提升点1 过角内部一点画角两边的垂线
4．过A点画出已知角两边的垂线。
8 垂线与平行线
第7课时 画垂线
SJ 4年级上册
提示：点击 进入习题
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知识点1 垂线的画法
1．看图归纳画垂线的方法。 过直角尺的一条(直角)边与这条直线( 重合)。 (2)沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直
线上的已知点(重合)。 (3)沿三角尺的另一条直角边画一条(直线)。 (4)标出( 垂直符号 )。
提升点2 通过画垂线解决实际问题
5．王师傅准备从家出发分别铺一条通往A路和B路的 石子路，怎样铺最近？请画出最近的路线。
6．小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳。它想到 小鸡家玩，怎样走比较合适？(请画出来。)
7．公路旁有甲、乙两个村，要在公路邻村的一边修 建一个公共汽车站，使这个公共汽车站到两个村 的距离相等，公共汽车站应建在什么地方？在图 上画出来。
垂线的画法
条直线互相垂直。其中一条直线是另一
条直线的（ 垂线 交点叫做（ ），这两条直线的 ）。
垂足
下列图是互相垂直的画“√”
√
生活中有哪些互相垂直的事物？
我们的作业本上的方格线；窗户 的窗框；墙面的横竖线；一个 90°角的两条边；三角板的两 条直角边。
在方格纸上画一组垂线
三移：
直尺与直线重合
三角板一条直角边紧靠住直尺
三角板另一条直角边向已知点平移ຫໍສະໝຸດ 四画：沿三角板直角边画垂线
标上直角符号
五标：
六延长：
延长垂线使图美观
思考：
过一点能画（ 线垂直的直线。
１
）条与已知直
不管这个点在直线上还是直线外，都只 能画一条。
方格纸上一些线本身就是垂直的，取两条相交的直 线就是一组互相垂直的直线。
用三角板画一组垂线
用三角板 画一个直 角，延长 两条边就 是一组互 相垂直的 直线
用量角器画一组垂线
先用量角器画一个直 角
延长两条边就是一 组互相垂直的直线。
一条直线 的垂线有 无数条
过已知直线上一点Ａ，画出这条直线的垂线
用量角器画
Ａ
过已知直线上一点Ａ，画出这条直线的垂线。
用三角板画
Ａ
如图，为了方便村民出行，政府打算从张庄村修一 条路通往省道。你能在图上画出最佳线路吗？
张庄村
最佳方案：从张庄 村修一条垂直于省 道的路，能使距离 最近
你能用三角板 画出来吗？
过直线上和直线外一点作已知直线的垂线的方法：
一合：
二靠：
垂线的画法
答：使皮尺经过落脚步点且与起跳线垂直， 然后读出落脚点到起跳线之间的长度，因为 落脚点与起跳线之间的垂线段长度才是落脚 点到起跳线间的距离。
一、认真思考再判断：
1、两条直线相交成90度角，这两条直线一定互相垂直。 （
堂清测试
×） 3、两条平行线之间的距离都相等。 （ √ ） 4、任何一条直线都有无数条垂线。 （ √ ）
2、平行线之间的垂线只有一条。 （
√
）
5、有两条直线都和第三条直线互相垂直，那么这两条直线互相平行。 （
√
）
√） 7、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。（ √ 8、两条平行线之间的线段都相等。（ × ）
6、过直线外一点只能画出一条已知直线的垂线。（
）
二、完成课本58页做一做
平移靠点 画线 添符号
(2)过直线外一点，给这条直 线画垂线
(2)过直线外一点，给这条直 线画垂线
自学提纲（二）
1、认真学习课本59页例3（1），思考：
（1）从直线外一点A到这条直线能画 几条线段？哪条最短？ （2）什么叫点到直线的距离？
2、试完成例3（2），量一量，你发现了什 么？
与两条平行线互相垂直的线段长度都（ 相等）。
提示：画垂线要用三角尺的哪两条边？画的时候， 首先把三角尺怎样放？直角顶点应该放在哪里？ 然后怎么办？
• 3、结合上题想一想：过直线外一点怎样画 该直线的垂线？ • 4、过一点能画（ 1 ）条已知直线的垂线。
(1)过直线上一点，给这条直
线画垂线
(1)过直线上一点，给这条直 线画垂线
三步曲： 重课堂小结
本节课你学到了哪些知识？ 画垂线的方法：重合、平移靠点、画线、添符号。 过一点只能画一条已知直线的垂线。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短， 它的长度叫做这点到直线的距离。 与两条平行线互相垂直的线段长度都相等。