信号与系统 §1.3 信号的基本运算
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《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号加法运算的应用
02
CHAPTER
信号的减法运算
信号减法运算的定义
信号减法运算是指将两个信号对应时间点的值相减，得到一个新的信号。
信号减法运算可以用数学表达式表示为：y(t) = x1(t) - x2(t)。
信号减法运算满足交换律和结合律，即x1(t) - x2(t) = x2(t) - x1(t)，以及(x1(t) - x2(t)) - x3(t) = x1(t) - (x2(t) + x3(t))。
信号减法运算的应用
03
CHAPTER
信号的乘法运算
01
02
04
信号乘法运算的定义
信号乘法运算是指两个信号的对应时间点的值相乘，得到一个新的信号。
信号乘法运算适用于时间域和频率域两种情况。
在时间域中，信号乘法运算可以用于实现信号的幅度调整和波形变换。
在频率域中，信号乘法运算可以用于实现信号的频谱分析和调制解调等操作。
信号积分运算的应用
05
CHAPTER
信号的微分运算
信号微分运算的定义
信号微分运算是指对信号进行求导的过程，即对信号的每个时间点上的值进行求导，得到一个新的信号。
在信号处理中，信号的微分运算常用于提取信号的突变点和边缘信息，以及分析信号的波形变化趋势。
信号微分运算的性质
信号微分运算具有线性性质，即对于两个信号的加法或乘法运算，其微分运算结果等于各自微分运算结果的加法或乘法运算。
在实际应用中，信号加法运算可以用于组合多个信号、增强信号强度、合成新的信号等。
03
信号加法运算满足线性性质，即对于任意常数$k$，有$k(a+b)=ka+kb$。
线性性质
信号与系统 §1.3 信号的基本运算
号的加法和乘法
sint
sint
t sin8t
t sin8t
t sint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲ ■ 第 3页
二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
▲
■
第 7页
3.信号的尺度变换 (横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。 f (2 t ) 如 1 t → 2t 压缩
f(t) 1 -2 o 2 t
-1 o 1
1 -4 o 4 t
t
f (0.5 t )
▲
■
第 4页
1. 信号反转(反折)
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (· ) 的反转或反折。 从图形上看是将f (· )以纵坐标为轴反转180o。如
f t 1
2
t→-t
1
f t 1 1 O
O
t
2
t
▲
■
第 5页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (t) → f (t + t0)称为对信号f (· )的 平移或移位。若t0 >0，则将f (t-t0)右移； f(t +t0)左移。 如 f (t-1)
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
反转，得f (– 2t – 4)
sint
sint
t sin8t
t sin8t
t sint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲ ■ 第 3页
二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
▲
■
第 7页
3.信号的尺度变换 (横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。 f (2 t ) 如 1 t → 2t 压缩
f(t) 1 -2 o 2 t
-1 o 1
1 -4 o 4 t
t
f (0.5 t )
▲
■
第 4页
1. 信号反转(反折)
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (· ) 的反转或反折。 从图形上看是将f (· )以纵坐标为轴反转180o。如
f t 1
2
t→-t
1
f t 1 1 O
O
t
2
t
▲
■
第 5页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (t) → f (t + t0)称为对信号f (· )的 平移或移位。若t0 >0，则将f (t-t0)右移； f(t +t0)左移。 如 f (t-1)
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
反转，得f (– 2t – 4)
信号与系统基础及应用第1章 信号与系统基础知识
1 xe (t) 2 [x(t) x(t)]
1 xo (t) 2 [x(t) x(t)]
2.信号分解为基本信号的有限项之和 xa (t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)]
xa (t) tu(t) (t 1)u(t 1) u(t 2)
t
2
Gτ t
1
O
2
t
2
⦿其他函数只要乘以门函数，就只剩下门内的部分。
3.符号函数(Signum)
1,t 0 sgn(t) 1,t 0
sgnt
O
t
sgn(t) u(t) u(t) 2u(t) 1
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
1.3.1 信号的相加和相乘
1
0 1
0
1
信号的和
0
1
信号的积
0
1.3.2 信号的微分与积分
积分 原信号 微分
1.3.3 信号的平移、翻转与展缩
时移
右移
左移
展缩
x(t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)] x(2t) 2t[u(t) u(t 0.5)] [u(t 0.5) u(t 1)] x( t ) t [u(t) u(t 2)] [u(t 2) u(t 4)]
《信号与系统基础及应用》
• 第1章 信号与系统基础知识 • 第2章 连续时间信号分析 • 第3章 连续时间系统分析 • 第4章 离散时间信号分析 • 第5章 离散时间系统分析 • 第6章 离散傅里叶变换及应用 • 第7章 数字滤波器设计
第1章 信号与系统基础知识
第一章 信号与系统概论(2)
−2t − 2t −∞
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
信号与系统实验_信号的基本运算单元
信号与系统实验_信号的基本运算单元学号：2 姓名：实验⼀信号的基本运算单元⼀、实验⽬的1.掌握信号与系统中基本运算单元的构成；2.掌握基本运算单元的特点；3.掌握对基本运算单元的测试⽅法；⼆、预备知识1.学习“信号的运算”⼀节；2．复习matlab软件的使⽤⽅法。
三、实验原理在“信号与系统”中，最常⽤的信号运算单元有：减法器、加法器、倍乘器、反相器、积分器、微分器等，通过这些基本运算单元可以构建⼗分复杂的信号处理系统。
因⽽，基本运算单元是“信号与系统”的基础。
四、实验内容1、⽤matlab编写两个正弦信号（⼀个⾼频，⼀个低频）相加，相减，相乘。
绘出频谱图，并说明意义clc,clearsyms t w;N = 6724;t =0:0.01:(N-1)/100;W =t*100/N;%产⽣⾼频以及低频信号并进⾏运算f1 = 4/8*sin(10^4*t);f2 = 4/10*sin(t+pi/5);f3 = f1+f2;f4 = f1-f2;f5 = f1.*f2;%进⾏傅⾥叶变换F1w = abs(fft(f1,N))*2/N;F2w = abs(fft(f2,N))*2/N;F3w = abs(fft(f3,N))*2/N;F4w = abs(fft(f4,N))*2/N;F5w = abs(fft(f5,N))*2/N;%%绘图%f1学号：2 姓名：subplot(5,2,1),plot(t,f1);title('f1');subplot(5,2,2),plot(W,F1w); title('F1w');%f2subplot(5,2,3),plot(t,f2);title('f2');subplot(5,2,4),plot(W,F2w); title('F2ww');%f3subplot(5,2,5),plot(t,f3);title('f3=f1+f2');subplot(5,2,6),plot(W,F3w); title('F3w');%f4subplot(5,2,7),plot(t,f4);title('f4=f1-f2');subplot(5,2,8),plot(W,F4w); title('F4w');%f5subplot(5,2,9),plot(t,f5);title('f5=f1*f2');subplot(5,2,10),plot(W,F5w); title('F5ww');学号：2 姓名：解释：两个正弦信号的相加、相减、相乘，周期为两正弦信号周期的最⼩公倍数，包络线是低频正弦信号的分量，⾼频信号主要影响包络线内信号的频率，相加、相乘和相减幅值、相位都会发⽣改变。
信号与系统全套课件
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号
《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号的基本运算
1 线性运算
2 平移运算
信号的线性运算是指对信号进行加法和数乘操作， 结果仍然是信号。
平移运算改变信号在时间或空间上的位置，通过 延时或提前来实现。
3 缩放运算
4 对称运算
缩放运算改变信号的振幅或幅度范围，通过增大 或减小信号的幅度来实现。
对称运算改变信号的对称性，通过翻转信号使其 与原信号一致。
线性运算
加法运算
信号的加法运算是指两个信号相加，对应位置的值相加 得到新的信号。
乘法运算
信号的乘法运算是指两个信号相乘，对应位置的值相乘 得到新的信号。
平移运算
1
正向平移
信号的正向平移是将信号向右或向上移动一定距离。
2
负向平移
信号的负向平移是将信号向左或向下移动一定距离。来自3平移运算的应用
平移运算常用于时域信号分析中，可以改变信号的起始时间或位置。
缩放运算
放大运算
信号的放大运算是指增加信号的幅度，使其振幅或幅 度范围增加。
缩小运算
信号的缩小运算是指减小信号的幅度，使其振幅或幅 度范围减小。
对称运算
1 水平对称
水平对称是指将信号沿垂直轴进行翻转，左右对称。
2 垂直对称
垂直对称是指将信号沿水平轴进行翻转，上下对称。
《信号与系统教学课件》 §1.3信号的运算
信号的定义、分类和基本运算是了解信号与系统的重要基础。本节课将介绍 信号的不同运算方式，包括线性运算、平移运算、缩放运算和对称运算。
信号的定义
什么是信号？
信号是随时间、空间或其它独立变量的变化而变化的 量，描述了某种信息或现象的特征。
信号的类型
常见的信号类型包括连续信号和离散信号，它们在时 间或空间上的变化特性不同。
第1章-信号与系统(陈生潭)
1 2 3 4 5
k
图 1 3 2 离 散 信 号 的 相 加 和 相 乘
. -
1 2 3 4 5
k
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.3.2 翻转、平移和展缩
将信号 f(t)( 或 f(k)) 的自变量 t( 或 k) 换成 -t( 或 -k) ，得到另一 个信号f(-t)(或f(-k))， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意 义是将自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作 为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯， 自变量轴 不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180°， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。
能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号
离散信号f(k)的能量定义为
E f (k )
k
2
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.2 信号的基本特性
信号的基本特性包括时间特性、 频率特性、 能量特性和
信息特性。
在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的
正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。
2
4 k
t) 第 1 章f ( 信号与系统的基本概念
f (k )
－2
0
2
t
－3
0
3
k
f (t －2)
f (k －2)
0
2
4
t
－2 0
2
4
6 k
f (t ＋2)
f (k ＋2)
－4
－2
0 (a )
t
－6 －4 －2 0 (b )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信号与系统 总结
解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1
显然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不满足可分解性，故为非线性
（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0)
y (t) = yzs(t) + yzi(t) 满足可分解性；
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其 周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周 期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
例: 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin (3πk/4) + cos (0.5πk) （2）f2(k) = sin (2k)
δ(5t)(t 2)2 dt ? 4
5
f(5－2t)
f(t) (4)
例: 已知信号f (5 2t)的波形，
(2)
请画出f (t)的波形。
t 0 123
-1 0 1 2 3
第 11 页
1.5 系统的特性与分类
连续系统与离散系统：分别用微分方程与差分方程来描述 动态系统与即时系统：动态系统也称为记忆系统 线性系统与非线性系统：齐次性和可加性
求导
(2) -1
f '(t)
1t 0 (-2)
第8 页
1.4 阶跃函数和冲激函数
冲激函数的性质（习题1.10）
取样性
δ(t) f (t) f (0) δ(t)
δ(t) f (t) d t f (0)
f (t) δ(t t 0) f (t0 ) δ(t t 0)
第1章信号与系统概论
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1.2常见的基本Βιβλιοθήκη 号• 1.2.1直流信号• 直流信号定义为:
• 式中，C为实常数。直流信号一也称为常量信号，它是非时限的信号。 当C=1时称为单位直流信号。
• 1.2.2正弦信号
• 1.连续时间正弦信号 • 由于正弦函数和余弦函数二者在相位上相差π/2，在本书中统称正弦
信号。正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形 是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号都可以分解为正弦信号的 叠加。一个正弦信号可表示为:
• 即复指数序列可以用余弦和正弦序列表示。反过来，正弦和余弦序列 也可以用复指数序列来表示，即:
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1.2常见的基本信号
• 一般离散时间的复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示，如图 1.2.3所示。
• 1.2. 4抽样信号
• 抽样信号定义为: • 抽样信号的波形如图1. 2.4所示，它具有以下性质
是频率相同、振幅随时间变化的正(余)弦信号。s的实部σ表征了该信 号振幅随时间变化的状况，其虚部ω表征了其振荡角频率。若σ >0， 它们是增幅振荡;若σ <0，则是衰减振荡;当σ =0，是等幅振荡。图 1.2.2所示为增幅和衰减两种情况的振荡信号波形。 • 2.离散时间复指数信号 • 与连续的情况下一样，复指数离散时间信号或序列定义为:
• 1.单位斜坡信号 • 连续单位斜坡信号r(t)的定义为:
上一页 下一页 返回
1.2常见的基本信号
• 其波形如图1. 2. 5中的直线a所示，显然它的导数在t=0处不连续。图 1.2.5中的直线b为r(t-t0)的波形。
• 离散单位斜变(斜坡)序列定义为:
• 2.单位阶跃信号及其相关的信号 • 连续时间单位阶跃信号用ε(t)表示，定义为:
1.2常见的基本Βιβλιοθήκη 号• 1.2.1直流信号• 直流信号定义为:
• 式中，C为实常数。直流信号一也称为常量信号，它是非时限的信号。 当C=1时称为单位直流信号。
• 1.2.2正弦信号
• 1.连续时间正弦信号 • 由于正弦函数和余弦函数二者在相位上相差π/2，在本书中统称正弦
信号。正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形 是数学上的正弦曲线而得名。任何复杂信号都可以分解为正弦信号的 叠加。一个正弦信号可表示为:
• 即复指数序列可以用余弦和正弦序列表示。反过来，正弦和余弦序列 也可以用复指数序列来表示，即:
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1.2常见的基本信号
• 一般离散时间的复指数信号可以用实指数和正弦信号来表示，如图 1.2.3所示。
• 1.2. 4抽样信号
• 抽样信号定义为: • 抽样信号的波形如图1. 2.4所示，它具有以下性质
是频率相同、振幅随时间变化的正(余)弦信号。s的实部σ表征了该信 号振幅随时间变化的状况，其虚部ω表征了其振荡角频率。若σ >0， 它们是增幅振荡;若σ <0，则是衰减振荡;当σ =0，是等幅振荡。图 1.2.2所示为增幅和衰减两种情况的振荡信号波形。 • 2.离散时间复指数信号 • 与连续的情况下一样，复指数离散时间信号或序列定义为:
• 1.单位斜坡信号 • 连续单位斜坡信号r(t)的定义为:
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1.2常见的基本信号
• 其波形如图1. 2. 5中的直线a所示，显然它的导数在t=0处不连续。图 1.2.5中的直线b为r(t-t0)的波形。
• 离散单位斜变(斜坡)序列定义为:
• 2.单位阶跃信号及其相关的信号 • 连续时间单位阶跃信号用ε(t)表示，定义为:
信号与系统教案-网络工程-徐沁
安徽大学本科教学课程教案课程代码：ZX36096
课程名称：信号与系统
授课专业：网络工程
授课教师：徐沁
职称/学位：讲师/博士
开课时间：二○一六至二○一七学年第二学期
第1次课程教学方案
第10次教学活动设计
第11次课程教学方案
第11次教学活动设计
第12次课程教学方案
第12次教学活动设计
第13次课程教学方案
第13次教学活动设计
第14次课程教学方案
第14次教学活动设计
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第1章_信号与系统的基本概念_1.3信号的基本运算
（2）位移 ）位移(shift)
位移： 位移：x[n]→x[n±k] → ± 如果序列y(n)与序列 与序列x(n)之间满足关系 之间满足关系y(n)=x(n-k)， 如果序列 与序列 之间满足关系 ， 其中k为整数 则称序列y(n)是序列 为整数， 是序列x(n)的移位。 的移位。 其中 为整数，则称序列 是序列 的移位 当k>0时，称为向右移位。 时 称为向右移位。 当k<0时，称为向左移位。 时 称为向左移位。 或者说， 表示将x[n]右移 个单位， 右移k个单位 或者说，当k>0时，x[n-k]表示将 时 表示将 右移 个单位， x[n+k]表示将 表示将x[n]左移 个单位。 左移k个单位 表示将 左移 个单位。
序列的差分(difference)与函数的微分 与函数的微分(differential)相对应。 相对应。 序列的差分 与函数的微分 相对应 序列的求和(sum)与函数的积分 与函数的积分(integral)相对应。 相对应。 序列的求和 与函数的积分 相对应 后向差分的定义： 后向差分的定义： 一阶后向差分： 一阶后向差分： ∇x ( n) = x ( n) − x ( n − 1) 二阶后向差分： 二阶后向差分： 2 x(n) = ∇x(n) − ∇x(n − 1) = x(n) − 2 x(n − 1) + x(n − 2) ∇ 三阶后向差分： 三阶后向差分： ∇ 3 x(n) = ∇ 2 x(n) − ∇ 2 x(n − 1) = x(n) − 3x(n − 1) + 3 x(n − 2) − x(n − 3) 依此类推， 阶后向差分 阶后向差分： 依此类推，N阶后向差分： ∇ N x(n ) = ∇ ∇ N −1 x(n )
（3）尺度变换 ）尺度变换(scaling)
信号与系统第1章-第二次
sin(t − )δ (t − 1) d t = ? 0 −3 4
1
0
π
2 ∫−∞ sin(t − 4 )δ (t ) d t = − 2 9 2 π − ∫−1 sin(t − 4 )δ (t ) d t = ? 2
∞
π
∫
∫
ε(t)
[
]
««信号与系统»»
1.4 阶跃函数和冲激函数
也称冲激偶） 2. 冲激函数的导数δ’(t) （也称冲激偶）
o -1
1
2
t
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)] - - -
o (a)
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分 ）
∫
t
−∞
ε (τ ) d τ = tε (t )
««信号与系统»»
1.4 阶跃函数和冲激函数
二、冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时 是个奇异函数 间极短一种物理量的理想化模型。 间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义 狄拉克最早提出 最早提出） （由狄拉克最早提出）
««信号与系统»»
1.3 信号的基本运算
1.3 信号的基本运算 信号的＋、－、 ＋、－、× 一、信号的＋、－、×运算
两信号f 的相+、－、 两信号 1(·) 和f2 (·)的相 、－、×指同一时刻两 的相 、－、× 信号之值对应相加减乘 。如
2 , k = −1 3 , k = 0 f1 (k ) = 6 , k = 1 0 , k其他 2, k = −1 3 , k = 0 6, k = 0 2 , k = 1 f 1 (k ) + f 2 (k ) = 8, k = 1 f 2 (k ) = 4, k = 2 4 , k = 2 0 , k其他 0, k其他 9 , k = 0 f 1 ( k ) × f 2 (k ) = 12 , k = 1 0 , k其他
信号与系统基本运算
移位和反转,与连续信号一样。
尺度变换：压缩相当于抽取，扩展相当于内插零。 注意:离散信号的自变量只能取整数.
f(n) (6)
(4.5)
(3) (2) (1.5) 1 2 3 4 n
-1
0 (-1)
第1章 信号与系统的基本概念
作业: P36 1.2 1.4
第1章 信号与系统的基本概念
§1.5 基本连续时间信号
R( t ) u( )dt
t
u( t ) ( )dt
t
t
(t )
(t ) d ( t ) dt
(t )
( )dt
t
t
( t )
( t )
的量纲为1 /s ， 的量纲为rad/s 讨论
0, 0 直流 0, 0 升指数信号 0, 0 衰减指数信号
0, 0 等幅 0, 0 增幅振荡 0, 0 衰减
虚指数信号频率问题讨论
结论2：虚指数信号的频率取值越大，频率越高
第1章 信号与系统的基本概念
单位斜变信号 R( t )
ห้องสมุดไป่ตู้
t R(t ) 0
R(t)
t 0
t－t0 R(t－t0 ) t 0 0
t t0 t t0
R(t-t0)
0
1
t
0
t0
t0+1
t
第1章 信号与系统的基本概念
第1章 信号与系统的基本概念
虚指数信号周期性讨论
f (t ) e ( t ) cos( t ) + j sin( t )
f (t + nT ) e
第一章 信号与系统的基本概念
第一章信号与系统的基本概念§1.1 绪言信号与系统是一门重要的专业基础课。
是许多专业（通信、信息处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。
重要性体现在两个方面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。
在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换），还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础。
信号研究的主要内容：顾名思义系统合成：信号一个典型的电系统—通信系统信息源转换电信号电信号还原受信者（声音、文字、图象）/响应通信系统○1系统：控制系统抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系经济系统○2信号：时间的函数f(t)，一维函数，确定信号* 信号与系统的关系：互相依存信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、处理.系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组合。
离开了信号，系统就失去了意义.§1.2 信号一.定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间）变化的物理量。
本课程主要研究电信号（电流、电压）。
二.信号的分类：从不同的角度1 从函数的定义域（时间）是否连续：○1连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。
t是连续的，f （t）可是，也可不是表达方式时间的函数（解析式），如f（t）=Asinπt波形图表示：上述两种表达方式，可以互换。
信号和函数两个词可互相通用○2离散时间信号：在一些离散的瞬间才有定义。
t=kT点上有定义，其余无定义序列f （k ）=2k ，k ≥0 表达方式 图形表示：序列值f （k ）=｛0、1、2、4、8、……｝2 从信号的重复性：○1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T 重复变化连续f （t ）=f （t+mT ）离散f （k ）=f （k+mK ） K 为整数 ○2 非周期信号：不具有周期性的信号 例：正弦序列f （k ）=sink β β为角频率，反映周期性重复的速率, 决定序列是否具有周期性按定义：sink β=sin(β·k+m ·2π) β=6π时，βπ2 =12，为整数，是周期序列，k =12β=318π时，βπ2=431，为有理数，是周期序列，k =31β=21时，βπ2 =4π，为无理数，是非周期序列tf （kt ）−−→−简化f （k ） 0 T 2T 3T间隔相等 kT3 实信号：物理可实现的复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f （t ）=e st ，-∞＜t ＜+∞， δ= σ+j ω f （t ）=e （σ+j ω）t =e σ t ·e j ωt = e σ t cos ωt+j e σ t sin ωt σ＞0，增幅振荡 σ＜0，衰减振荡 σ=0，等幅振荡当ω=0，f （t ）= e σt 为实指数信号当σ=ω=0，f （t ）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。
第二讲 信号的基本运算与波形变换
o
②再平移 f (– t) → f (– t +2)= f [– (t – 2)]
19
【例1. 6】 信号的波形如图所示，求 f t 1, f t 1, f t , f t 1 及 f t 1 的表达式，并画出其波形。
解 由信号 f t 的波形图可得 0, t 0 f t t ,0 t 1 0, t 1
n0 n0 n0
n0 0 n y 2 ( n) f ( n) 1 n0 n a (1 a n ) n0 1 a
13
4. 取模（或取绝对值）运算 连续时间复信号的取模运算
yt f t
离散时间复信号的取模运算
yn f n
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 0 0, 0, t 1 1 t 0
t 1 0 0, t 1 0, f t 1 t 1,0 t 1 1 t 1,1 t 2 0, 0, t 1 1 t2
' f (t ) (t ) (t 1)
11
a n , 【例1. 5】已知单边衰减指数序列为 f n 0, 试分别求其一阶差分和一次累加。 解：
0 y1 (n) f (n) f (n 1) 1 a n a n 1
n0 , n0
1 n y (n) 2 n 1
n 1 n 1
求x(n)+ y(n)。 解：
n 1 z ( n) x ( n) y ( n) 2 n 1 n 3 2
n 1 n 1 n 1
信号与系统(上册)
2 2 T0 n1T1 n2T2 n1 n2 1 2
如果
1 T2 n1 t 有理数， n1 , n2 均为整数， f 则为周期信号， 2 T1 n2
其周期
为：
T0
2 T0 n1T1 n1 1
14
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
17
1.1.4能量信号与功率信号
（2） f (t ) t t 0 解：因为归一化能量为
W t 2 dt
0
归一化功率为：
1 P lim T T
T
0
1 1 3 1 2 t dt lim T lim T T T 3 T 3
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
15
1.1.4能量信号与功率信号
1.能量信号 能量信号的归一化能量为有限值，归一化功率为零。即满 足 0 W ，P 0 。
2.功率信号 功率信号的归一化功率为有限值，归一化能量为无限大。 即满足 W ， 0 P 。一般，周期信号为功率信号。
设为正实数，则 (t t0 ) 的定义式为
t t0
（1） 0
(t t0 )dt 1 其波形如图 t t0 0 t t0
t0
t
(t t0 ) 的波形
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
25
1.2.1常用连续信号及其性质
（2）冲激信号的性质 1）筛选性
f (t ) (t ) f (0) (t )
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例1 平移与反转相结合
例2 平移与尺度变换相结合 例3 平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。
可以看出： 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要
注意一切变换都是相对 t 而言。
通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易 出错；对逆运算，反之。
▲
■
第9页
§1.3 信号的基本运算
两信号相加或相乘 信号的时间变换
➢ 反转 ➢ 平移 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
■
第1页
一、信号的加法和乘法
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint
sint
t
t
sin8t sin8t 源自tsint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲
■
第2页
加法和乘法
•信号 f1 和信号 f2 的加法和乘法等于 同一瞬间信号的瞬时值相加或相乘
所构成的信号。
f (•) f1 • f2 •
f (•) f1 • f2 •
▲
■
第3页
离散序列相加、乘
例：已知序列
2, k 1
f1 (k )
3 , 6 ,
k k
0 1
0, k其他
2, f1 (k) f2 (k) 86,,
4, 0,
k 1 k 0 k 1 k 2 k其他
3, k 0
f2
如
f (2 t )
t → 2t 压缩
1
f(t)
1
-1 o 1
t
-2 o
2 t t → 0.5t 扩展
f (0.5 t ) 1
-4
o
4t
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
▲
■
第8页
4. 混合运算举例 f t f at b f at b a
f t
1
t→-t
f t
1
2
O 1t
1 O
2t
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。
▲
■
第6页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为对信号f (·)
的平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f (·)右移；否则左
移。
f (t-1)
如
1
t → t – 1右移
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t + 1左移
f (t+1) 1
-1 o t
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
▲
■
第7页
3.信号的展缩(尺度变换）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。
若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。
(k)
2 , 4 ,
k k
1 2
0 , k其他
9 , k 0 f1(k) f2 (k) 12, k 1
0 , k其他
▲
■
第4页
二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
▲
■
第5页
1. 信号反转
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。 从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180o。如