高中一年级线性规划求最值

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高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法

线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。

线性规划最值问题

线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。

在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。

线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。

求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。

2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。

3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。

4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。

线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。

- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。

- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。

总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。

通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。

该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。

特别解析：线性规划求最值

特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（）．（A ）［－2，－1］（B ）［－2，1］（C ）［－1，2］（D ）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-，变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（）分析：将目标函数变形可得124z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。

-5 53O x yC AB L二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________．解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为32．注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -==-的几何意义，当然本题也可设y t x=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32t =，即得到的最大值是32．例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过 -2 2 Ox y •（-1，-3） -2。

利用线性规划求最值

利用线性规划求最值陕西宁强县天津高级中学李红伟简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。

简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。

解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。

现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。

一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=）例1．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。

解析：不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。

图中阴影部分即为可行域。

图示—1由⎩⎨⎧=+-=-+,01,03x y x 得⎩⎨⎧==,2,1y x )2,1(A ∴ 由⎩⎨⎧=-+=,03,2y x x 得⎩⎨⎧==,1,2y x )1,2(B ∴ 由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得⎩⎨⎧==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2，即z表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+⨯=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+⨯=Z .所以，Z 的最大值为7，Z 最小值为4.这类问题的解决，关键在于能够正确理解目标函数的几何意义——目标函数的“截距”。

二、线性约束条件下非线性目标函数的最值1．距离型：22)()(b y a x z -+-= 即z 几何意义为可行域内的动点）（y x ,与定点),(b a 的距离的平方。

高中线性规划

高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一部分，是线性代数的重要内容之一。

线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过线性规划可以求解出一组满足一定约束条件的最优解。

线性规划的基本形式是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这使得线性规划问题能够用简洁的数学模型来描述。

线性规划的数学模型可以用如下的标准格式来表示：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数项。

线性规划的求解过程一般分为以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，将其表示为x₁、x₂、...、xₙ。

2. 建立目标函数：根据实际问题确定需要最大化或最小化的目标函数，并将其表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ。

3. 建立约束条件：根据实际问题确定约束条件，并将其表示为线性不等式的形式，即a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ。

4. 确定非负约束条件：由于线性规划问题的解必须满足变量的非负性，即x₁≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0。

5. 求解最优解：将线性规划问题转化为数学模型后，可以利用线性规划的求解方法，如单纯形法、对偶理论等，求解出目标函数的最大值或最小值，以及相应的决策变量的取值。

高中线性规划

高中线性规划一、概述线性规划是数学中的一个分支，用于解决最优化问题。

在高中数学中，线性规划通常是在给定一些约束条件下，寻找一个目标函数的最大值或最小值。

本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解题步骤和示例。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化一个线性函数来达到某种目标。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1、c2、...、cn为常数，x1、x2、...、xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件。

约束条件通常表示为一组线性不等式或等式。

例如，ax1 + bx2 + ... + zxn ≤ d，其中a、b、...、z为常数，x1、x2、...、xn为变量，d为常数。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。

三、解题步骤高中线性规划的解题步骤如下：1. 确定问题：明确问题的目标和约束条件。

2. 建立数学模型：将问题转化为数学形式，确定目标函数和约束条件。

3. 绘制图形：根据约束条件绘制图形，确定可行解的区域。

4. 确定顶点：在可行解的区域内，确定顶点（极值点）。

5. 计算目标函数值：计算每个顶点对应的目标函数值。

6. 比较目标函数值：比较所有顶点对应的目标函数值，找出最优解。

四、示例假设某公司生产两种产品A和B，每天生产时间为8小时。

产品A每件利润为100元，产品B每件利润为200元。

生产一件产品A需要2小时，生产一件产品B 需要4小时。

公司希望最大化每天的利润。

1. 确定问题：最大化每天的利润。

2. 建立数学模型：目标函数：Z = 100A + 200B（最大化利润）约束条件：2A + 4B ≤ 8（生产时间约束）非负约束：A ≥ 0，B ≥ 03. 绘制图形：根据约束条件绘制图形，可行解区域为一个三角形。

4. 确定顶点：可行解区域的顶点为(0, 0)，(0, 2)，(4, 0)。

线性规划求最值问题

(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意：目标函数化为斜截式后，分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z，与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪，弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时，你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能善待自己和他人。一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！

教学课题：线性规划求最值

教学课题：线性规划求最值教学目标：理解线性规划的一般概念，掌握线性规划的基本解题步骤，能够从现实情境中抽象出二元一次不等式组，建立目标函数，并求目标函数的最大及最小值。

通过本节课学习，进一步认识数学在实际生活中的应用，渗透数形结合及数学建模思想，培养学生数学来源于生活、应用于生活的意识。

教学重点：利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决目标函数的最值问题。

教学难点：掌握利用数形结合的思想方法在目标函数有不同变化的情形下解决最值问题。

教学过程：一、问题提出有同学提出这样的问题：问题：已知变量x,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

分析解答：如图，做出可行域，由，表示斜率为a -，纵截距为z 的平行直线系，要使的目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。

则直线y ax z =-+过A 点且在直线4x y +=与3x =之间。

即1a -<-，则的取值范围是(1,)+∞二、引入课题本题通过做出可行域，挖掘a -与z 的几何意义，借助数形结合，利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组，即可求解。

从中锻炼学生较强的基本功，对处理几何动态生成问题能力要求较高。

我们都知道，二元一次不等式组可以表示平面区域，也称约束条件，在线性约束条件下求目标函数的最大最小值问题成为线性规划问题。

处理线性目标函数最值，应注意多用数形结合的数学思想作指导，目标直线要画准确，移动时保持平行，尤其注意直线斜率的应用，它能准确的确定直线的位置。

本节课我们通过几何画板这个画图软件，来探讨一下不同的目标函数在约束条件下的最值取得的技巧和方法。

问题串：求下面目标函数的最值。

1、约束条件为4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，目标函数为2z x y =+。

线性规划求最值

线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。

线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。

线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。

解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。

2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。

3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。

4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。

5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。

如果不满足，则需要重新调整模型。

线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。

通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。

然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。

总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。

通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。

不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值

线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材料、设备等）以生产出最大利润或最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下，使用最少的原料或以最小的成本配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标函数取得极值（极大值或极小值）。

线性规划求最值的常见题型

④综上,z最大值为3；z最小值为-3.
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
��0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)�� = ��++31的最值.
从目标函数的几何意义思考
非线性目标函数
（1）�� = (�� + 3)2+(�� + 1)2的最大值和最小值
可求得��可��目��9��行标��,��域8函��中数.=的��的��点几��到��何��P2意=点义=的��可��距2��表��离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题二、求非线性目标函数的最值问题三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视台的广告时间为主要变量，公司的收益为两个电视台获得的收益总和，故可设两个电视台的广告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别

线性规划最值问题

1
C 1,1
1
0
x1
x
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (1)设z=4x-3y,求z的最大值； y (2)设z= ，求z的最小值；
x
y
5
22 A 1, 5
y y0 ( 2) z x x0 z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率。
y1 (其中k为小于零的常数)时，的最小值为2， x
能力提升
则实数k的值是________． -3
解析：不等式组所表示的可行域如图所示，点P(x，y)为可行域内的点时
k 1 y1 3 有＝kBP≥kBA＝＝2， x k 3 解得k＝－3.
一个半平面内的点的坐标适合不等式 Ax＋By＋C＞0 , 而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0 , 即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点,分别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定.因此, 如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样,半平面就是二元一次不等式的几何表示．
B 5,2
1
C 1,1
1
观察可知zmin kOB
x
2 5
0
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (3)设z= x 2 y 2 ,求z的取值范围.
( 3) z x 2 y 2的几何意义是可行域中的点到原点 O
基础自查
(2)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域,可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax＋By＋C 的符号的正负．当C≠0时，常选用原点． 2．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中，表示平面区域，直线l应画成虚线，画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的区域时,应把边界画成实线．

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧线性规划是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模的基础。

它通过数学方法来解决实际问题，寻找最优解。

本文将介绍解线性规划问题的步骤和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。

一、了解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。

线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

其中，线性约束条件是指各个变量之间的关系是线性的，线性目标函数是指目标函数是线性的。

二、确定决策变量和目标函数解决线性规划问题的第一步是确定决策变量和目标函数。

决策变量是指需要决策的变量，目标函数是指需要优化的目标。

例如，假设有一个生产问题，需要确定生产不同产品的数量，那么生产不同产品的数量就是决策变量，而总利润就是目标函数。

三、列出线性约束条件在确定了决策变量和目标函数之后，需要列出线性约束条件。

线性约束条件可以是等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。

例如，假设生产不同产品的数量不能超过某个限制值，那么可以列出相应的不等式约束条件。

四、绘制可行域图为了更直观地理解线性规划问题，可以绘制可行域图。

可行域图是指将线性约束条件表示在坐标系中，形成的一个区域。

决策变量的取值必须在这个区域内，才满足线性约束条件。

通过绘制可行域图，可以更好地理解问题的约束条件和可行解的范围。

五、确定最优解在确定了可行域图之后，需要确定最优解。

最优解是指在满足线性约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。

通过观察可行域图和目标函数的变化趋势，可以推测最优解的位置。

六、检验最优解在确定了最优解之后，需要对最优解进行检验。

检验最优解的方法是将最优解代入目标函数和约束条件中，计算是否满足所有约束条件。

如果满足所有约束条件，则最优解是可行解；如果不满足所有约束条件，则需要重新调整决策变量的取值。

七、灵活运用线性规划的方法和技巧在解决线性规划问题时，可以灵活运用一些方法和技巧来简化计算过程。

线性规划求最值(详细)

z=2x+y
可行解：满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解可行域: 可行解组成的集合（阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解：使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ线性规划问题：可行域线性目标函数在线性约最优解束条件下的最值的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1） 3x+5y-25=0
x
理解记忆：三个转化转化
约束条件
可行域
一组平行线 A Z y x Β B
寻找平行线的最大(小) 纵截距
目标函数 Z=Ax+By
转化
最优解
转化
四个步骤： 1.画：画可行域 2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线 3. 求：求交点点的坐标，并求最优解 4.答：
B A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A 时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念：线性约束条件：
目标函数，线性目标函数
x 4 y 3 3 x 5 y 25 x 1

一、目标函数
A 1 z Ax By即y x z表示一组平行线， B B A 1 其中为斜率， z为纵截距， B B 当B>0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大 . ---------向下----------------------------------减小. Z 减小. 当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小 . ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.

线性规划最值问题

线性规划最值问题
线性规划是一种优化问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使得目标函数最大或最小的变量值。

在线性规划最值问题中，
我们将面临以下几个步骤：
1. 定义目标函数：线性规划最值问题首先需要定义一个目标函数，该函数描述了需要最大化或最小化的目标。

目标函数是由一组
线性变量组成的数学表达式。

2. 设置约束条件：线性规划最值问题还需要设置一组线性约束
条件，这些约束条件用于限制变量的取值范围。

约束条件可以是大
于等于、小于等于或等于某个值的等式或不等式。

3. 制定模型：将目标函数和约束条件组合在一起，形成线性规
划模型。

这个模型可以通过数学表达式来描述。

4. 解决问题：通过线性规划算法，我们可以求解线性规划问题
的最优解。

最优解是使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。

5. 分析结果：最后，我们对线性规划问题的解进行分析和解释。

我们可以判断最优解的可行性，以及根据最优解提供决策建议。

线性规划最值问题可以应用于多种实际场景中，如生产计划优化、资源分配、投资组合优化等。

通过解决线性规划最值问题，我
们可以在复杂的决策环境下，找到最优的决策方案，提高效率和效益。

参考文献：
[1] 王静.线性规划方法. 中国人民大学出版社, 2009.。

求“线性规划”最值题的几种方法

理念．方法三：区间求值法
＋２ｙ一２≤ ０．
解由＝＋Ｙ，则Ｙ＝一＋。，并代入
，
～Ｙ＋１≥ ０，
２ｘ— ＋１＞１０，
，
｛【～２ｙ＜￣Ｏ，得｛３ｘ一２ｚ＜￣０，如
＋２ｙ一２ ≤０，【
观察、分析巧妙地求出＝２ｘ— Ｙ的最大值，此法需要在平
时解题中积累经验才能做到．
２ｘ— Ｙ的最大值为——．
收稿日期：２０１７— ０７— ０１
作者简介：苏保明（１９６６．２一），男；云南省红河州蒙自县人，高级教师，从事高中数学教学研究
一
：，／／）ｘ－：
２＋２１＞０．
／－＇７．，
例３（２０１３年高考新课标Ｉ卷文科：１４）设，ｙ满足
图１所示，由图可知Ｚ＝＋Ｙ的最
大值应是点Ａ的纵坐标，由
ｆ３ｘ－２ｚ＝０：，。解得ｚ＝寻，
方法二：相加消元法
评注
首先由＝２ｘ —ｙ变形为Ｙ＝２ｃ— ｐｚ，并代入原
满足的约束条件｛
＝
。，
不等式组消去未知数，化为不等式组｛－ ≤ ≤ ３，经过【一ｌ≤ｚ≤ ・
－— －—— —
４０・－－－ — —
２０１７年９月第２５期
方法四：待定系数法

已知线性规划求最大值

已知线性规划求最大值
线性规划是一种应用于运筹学的数学模型，它由一个线性方程组组成，把资源配置到
客户或任务上，以满足一定的目标函数最大化或最小化。

因为有一些强大的解决方案，线
性规划通常被广泛应用于商业和工业领域。

解决线性规划问题的基本方法是以极小化或极大化的目标函数为依据，对方程组的约
束条件进行满足。

求最大值线性规划，要求最大化目标函数，同时，满足给定的约束条件，解决的方法可以利用算法或解析法两种手段。

算法求解，常用的方法有拉格朗日乘子法，它利用 Lagrange 乘子法构造拉格朗日函数，求解带约束条件的函数极值问题；也可以采用梯度法求解，即按照梯度的方向求解变量，最终获得目标函数的极大值；此外，还可以使用 simplex 法求解，它利用有限个点
来表示空间，並且假定解在凸面上，以此构造一步步的搜索过程，达到最大值的目的。

解析法求解的基本思想是采用解析的手段，将线性规划问题转换为优化问题，然后利
用凸性条件来求解，当系统有多种流程的时候，利用解析的方式可以更精确地定位极值点。

以上就是求解最大值线性规划的主要方法，无论使用哪种方法，都必须遵守给定的应
用领域，确定满足限制条件，以得出最大值线性规划的解决方案。