西南科技大学-保险精算论文

m
注： S 0(0) 1

n
f 0 (t ) d t
（2）X 岁个体的生存分布 一个刚出生的个体生存至 x 岁，记此时的个体用符号(x)表示，假设 x 为 整数。个体(x)的未来生存时间为一随机变量，记为 Tx ，则 Tx T 0 x 。 又记 Tx 的整数部分为 Kx ，小数部分为 Sx 则 Tx Kx Sx 。同时， Tx 的分布 函数、生存函数及密度函数分别为： 分布函数为： Fx (t ) P (Tx t ) ； 生存函数（生存分布）： S x (t ) P (Tx t ) 1 Fx (t ) (t ) 密度函数： f x (t ) Fx(t ) S x
3.1 生命保险产品保费厘定..................................................................10 3.2 生命年金产品保费厘定..................................................................10 第 4 节 结论............................................................................................... 11 参考文献..................................................................................................... 11 附表.............................................................................................................12

1
目
录
摘 要.............................................................................................................1 第 1 节 绪论.................................................................................................3 1.1 1.2 第2节 2.1 2.2 第3节 研究背景..........................................................................................3 研究意义..........................................................................................3 生命表建立的理论依据及计算...................................................4 生命表建立的理论依据..................................................................4 生命表的计算..................................................................................7 常见保险产品的保费厘定 .....................................................10
3
第2节
生命表建立的理论依据及计算
2.1 生命表建立的理论依据
（1）新生婴儿的生存分布 T0：一个 0 岁的人未来生存的时间，也就是他的寿命，通常以年来计算。 假定 T0 的分布函数和密度函数为：
F0 (t ), f 0 (t ) (t 0),
F0 (t ) P[T0 t ], f 0 (t ) F0 (t ).
寿命为 X 的生存函数（或分布）： S 0(t ) P[T 0 t ], t [0,) 与分布函数的关系： S 0(t ) 1 F 0(t ) 与密度函数的关系： f 0(T ) 1 S 0(t ) 新生儿将在 m 岁至 n 岁之间死亡的概率：
P r( m X n ) F 0 ( n ) F 0 ( m )
Mx Cx k
k 0

——公式（10）
6
同理定义如下计算函数：
Rx Mx k
k 0

——公式（11）
Nx Dx k
k 0
——公式（12）
Sx Nx k
k 0
——公式（13）
2.2 生命表的计算
计算前提相关假设：已知 l 0 1000000 ，并且给定 0～105 岁个体的死亡 率 qx ，计算出生存率 px 、生存人数 lx 、死亡人数 d x 、 Lx 、 Tx 、 ex、 e x ； 已 知 利 率 为 i 2.5% 。 根 据 已 完 成 的 生 命 表 建 立 对 应 的 替 换 函 数 表
0
0
e x Tx lx
0
——公式（6）
（8）简单（整数化）生命期望值 ex （整数化） 生命期望值， 记为 ex ， 即： Kx 的数学期望值被称为简单的
ex lx t lx
t 1

——公式（7）
（9）为了计算各种类型的生命保险与生命年金的预期现值，我们将定义 换算函数，这些换算函数可以把很长的计算简化。 第一个换算函数用 Dx 表示，是为了简化生存保险的单位预期现值公式而 定义的，于是有下列相关公式:
1.2
研究意义
研究生存模型的意义重大。所有的生存模型都是在某种程度上对现实生活做了简 化或抽象的产物。这些模型是根据过去搜集的数据而建立的。这些包含基本因素的模型 将被运用到当前人口，用来预测每年的出生、死亡等的数量。下面是生存模型可给出回 答的一些问题： （1） 一个 50 岁的人下一年死亡的概率是多少？ （2）假如有 1000 名 50 岁的人中，下一年可能死去多少人？ （3）如果某 50 岁的人，投保了一个 10 年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少 保费？（即定价问题！） （4）一些特定因素（如一天吸 60 根烟卷）对 50 岁男性公民未来的生存时间有怎样的影 响？
所以有： S0 ( x t ) S0 ( x) S x (t )
S x (t u ) S x (t ) S x t (u ) S x (u ) S x u (t )
（3）精算界已设计了一些国际标准符号，包括世界公认的生存和死亡概率符 号。定义： 1） Px Sx (1) P[Tx 1] 一个 X 岁的人在 x+1 岁仍然生存的概率；被称为 生存概率。 2） qx Fx (1) P[Tx 1] 一个 X 岁的人在未来一年内死亡的概率； 称为 死亡概率，不严格的讲，它是度量 x 岁到（X+1)岁之间的死亡率，但不要忽略 一个事实，它是用概率定义的。 ◆ 注明 从定义中可以看出： px 1 qx ——公式（1）

Cx、Dx、M x、N x、Rx、S x
A 1 2 …… 107 x 0 …… 105
。
D E F G H
生命表各函数值在表格中的所处位置如下表所示：
B qx
0.002 489
C
I
px
lx
dx
Lx
Tx
ex
ex
0
……
1.0
J 1 …… 107 i 2.5%
K
Cx
L
M
N
O
P
Mx
Rx
Dx
Nx
Sx
1）根据所给条件 105 个 qx 以及公式（1）在单元格 C2 中输入公式：=1-B2。 回车便得到 p 0 0.997511 ，将 C2 单元格的右下角黑色小十字拖曳经过 C3～
dx lx lx 1
( x 0)
——公式（2）
上述等式两边同时除以 lx ，得到： dx 1 px qx ， dx lx qx ——公式（3） lx （6）UDD 假设及其相关计算公式 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存 状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分 布假定， 估计分数年龄的生存状况。这里给出均匀分布假定(线性插值)UDD
这些符号很有用的一个原因是整数年龄的 qx 的数值常常用表格形式列出。 其中有生命偶然事件的概率和其他相关数字的表格称为生命表。 （4） lx 函数 生命表中最重要也是最基本的函数便是 lx ，可以由他计算出其他一切数 据。 lx 表示在具体的特定群体中年龄为 x 岁的人数。 （5） dx 函数 我们可以把 dx 当作是服从于一个给定的生命表中 lx 个 x 岁的人在 x+1 岁 前死亡的预期人数。在一个给定生命表中，函数 dx 被定义为：
且有：
Fx (t ) P (Tx t ) P ( x T0 x t T0 x ) P ( x T0 x t ) P (T0 x ) F0 ( x t ) F0 ( x ) 1 F0 ( x )
S x (t ) P (Tx t ) P (T0 x t T0 x ) P (T0 x t ) S 0 ( x t ) P (T0 x ) S0 ( x) 4
西南科技大学
保险精算学课程设计
（生命表的建立及其在保险精算中的应用）
学
院
理学院 11 级数学 01 班 张 静 20112879 张 倩 教授 2014-12-15
年级专业 姓 学 名 号
指导教师 教师职称 完成日期
摘 要
本文根据生命表建立的理论知识与相应的计算公式， 利用 EXCEL 工具完善 残缺生命表，计算了出生存率 px 、生存人数 lx 、死亡人数 d x 、Lx 、Tx 、ex、 e x 等，并运用所得生命表分析一些常见的保险产品保费的厘定。 关键词：理论知识，递推公式。