重庆南开中学高一数学下期末综合复习试题

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2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（）A ．34-B ．34C ．43-D ．432．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进制 0123456789ABCDEF10进制12345678910 11 12 13 14 15现在，将十进制整数2019化成16进制数为（） A ．7E 3B ．7F 3C ．8E 3D ．8F 33．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >4．已知向量()a ab ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（） A ．23π B ．34π C ．56π D ．π5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，若1AD =，2AB =，3BD =，则AF BD ⋅=( )A ．32B ．1-C ．33D ．23-6．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC =3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO =x AB +(1-x)AC ，则x 的取值范围是 ( ) A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．103⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8．圆被轴所截得的弦长为（） A ．1B ．C ．2D ．39．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（） A ．2015年第三季度环比有所提高 B ．2016年第一季度同比有所提高 C ．2017年第三季度同比有所提高D ．2018年第一季度环比有所提高10．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4B ．4-C ．5D ．5-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年重庆市南开中学高一下学期人教A版数学期末考试试卷

2016年重庆市南开中学高一下学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共11小题；共55分）1. 直线的倾斜角是A. B. C. D.2. 如果，那么下列不等式可能正确的是A. B. C. D.3. 某校教职工年龄结构分布如表，为了该校未来的发展，学校决定从这些教职工中采用分层抽样方法随机抽取人参与“教代会”，则应从岁以下教职工中抽取的人数为年龄岁岁及以下岁以上人数人A. B. C. D.4. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定5. 垂直于直线且平分圆：周长的直线的方程为A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，那么输出的的值为A. B. C. D.7. 非零向量，满足：，，则与的夹角A. B. C. D.8. 数列满足，若，则的值是A. B. C. D.9. 已知实数，满足：且则的最小值为A. B. C. D.10. 已知，满足且目标函数的最大值，则的最小值为A. B. C. D.11. 已知直线：及直线：都与两不同的圆，相切，且圆，均过点，则这两圆的圆心距A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）12. 已知向量，且，则实数．13. 过直线上任意一点做圆的切线，切点为，则切线的最小值为．14. 已知数列是等比数列，若，则的最小值为．15. 已知，且，若平面上点满足，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知顶点，边上的高所在的直线方程为：，边上的中线所在直线方程为：．（1）求点坐标；（2）求边所在直线方程．17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值．18. 已知某鱼塘仅养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从鱼塘中捕出这两种鱼各条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回鱼塘，待完全混合后，再每次从鱼塘中随机地捕出条，记录下其中有记号的鱼的数目，然后立即放回鱼塘中，这样的记录做了次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图．（1）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼的平均数；（2）为了估计鱼塘中鱼的总重量，现按照（Ⅰ）中的比例对条鱼进行称重，所得称重鱼的重量介于（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组，第二组，，第九组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（）若第二、三、四组鱼的条数成公差为的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；（）通过抽样统计，初步估计鱼塘里共有条鱼，使在（）的条件下估计该鱼塘中鱼重量的众数及鱼的总重量．19. 已知圆，其中为圆心．（1）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程；（2）过点作圆的两条弦，使得，求四边形面积的最大值．20. 在数列中，，．（1）求数列的通项；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值．21. 已知定点，，平面上动点到点的距离与到点的距离之比为（，且为常数）．（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当时，记点的轨迹与轴交于，两点，若过点做圆的两条切线，分别交轴于，两点，在构成三角形的条件下，求的最大值，并指出取得最大值时的点坐标．答案第一部分1. D 【解析】直线的斜率是，倾斜角是．2. B 【解析】因为，为增函数，故，故A 一定错误；当时，，故 B可能正确；当或时，或无意义，当时，，故C一定错误；为增函数，，故 D 一定错误；3. A 【解析】每个个体被抽到的概率等于，所以应从岁以下教职工中抽取的人数为．4. B 【解析】因为所以．因为，所以，即是直角三角形．5. C【解析】把圆的方程化为标准方程得：，所以圆心坐标为，因为所求直线平分圆，所以圆心在所求直线上，又所求直线与直线垂直，的斜率为，所以所求直线的斜率为，则所求直线的方程为，即．6. C 【解析】模拟执行程序，可得，．执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；满足条件，执行循环体，，；此时，不满足条件，退出循环，输出的值为．7. D 【解析】根据条件，，，所以，且消去得，，所以，所以，所以，因为，所以．8. C 【解析】因为数列满足，，所以，，，，所以．则．9. A 【解析】且，则，所以，当且仅当，即，所以的最小值10. B【解析】由目标函数得，作出的可行域如图：因为，，所以直线的斜率为负，且截距最大时，也最大．平移直线，由图象可知当经过点时，直线的截距最大，此时也最大．由解得即．此时，即，则当且仅当，并且，即时，，时取等号，故的最小值为．11. B 【解析】设圆心坐标为，由于圆与直线：，：都相切，根据点到直线的距离公式得：，所以圆心只能在直线上，设，，则圆的方程为，圆的方程为，将代入，得：，，所以，是方程，即的两根，所以，，所以．第二部分12.【解析】因为，，所以，因为，所以，所以． 13.【解析】由圆，得，作出图象如图，因为圆的半径为定值，要使切线的值最小，则圆心与直线上点的距离最小，该最小距离，所以切线的最小值为．14.【解析】因为数列是等比数列，，所以，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为．15.【解析】根据条件，；所以；又因为，所以；建立一平面直角坐标系，为坐标原点，在轴正半轴确定点，确定点，如图所示：则，；设，所以；所以；所以在以为圆心，半径为的圆上，如图所示：设圆心，则；圆上的点到的最小距离为，最大距离，且；所以的取值范围为．第三部分16. （1）如图，由边上的高所在的直线方程为：，得，则，又，所以，即．联立解得．（2）设，则，中点，则，即．联立解得所以．所以所在直线方程为，即．17. （1）因为，所以，所以．因为，所以，整理得，，所以，所以，所以．（2）根据上面，时：，所以，所以，即面积的最大值为．18. （1）根据茎叶图可知，鲤鱼的平均数目为：，鲫鱼的平均数目为：．（2）（）因为第二、三、四组鱼的条数成公差为的等差数列，设第二、三、四组的条数分别，，，所以，解得，所以第二、三、四组的频率分别为，，，可将频率分布直方图补充完整．（）因为区间对应的小矩形最高，所以众数为千克，中位数为：千克，平均数为：千克，所以鱼的总重为千克．19. （1）化圆为，可得圆的圆心坐标为，半径为，如图，当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，，，，，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，直线的方程为，由，得，即，所以，所以圆心到直线的距离为．则，解得：．所以直线的方程为，即．综上，所求直线的方程为：和．（2）设圆心到，的距离分别为，，则．四边形的面积为：当且仅当时取等号．20. （1）当时，由及可得两式相减可得，化简可得，所以，所以综上可得，．（2），由（）可知当时，，设，则，所以，故当时，是递增数列，又及，可得，所以所求实数的最小值为．21. （1）设，则由题意，，所以，时，方程为，表示直线；且时，方程为，方程表示圆．（2）当时，方程为．令，可得．由题意知，两条切线的斜率都存在，设点，切线的斜率为，则切线方程为，即，，所以，记其两根分别为，，在中，令，得，所以，所以令，则，所以，当时，取得最小值，此时，，所以最大值为．此时点的坐标为．。

重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题

22．如图所示，在等腰直角VOAB 中， AOB π ,OA 2, M 为线段 AB 的中点，点 P,Q 2
分别在线段 AM , BM 上运动，且 POQ π ，设 AOP . 4
(1)设 PM f ，求的取值范围及 f ；
(2)求△OPQ 面积的最小值.
试卷第 4 页，共 4 页
6
A． 7 8
B． 7 8
C． 15 16
D． 15 16
6．在等腰△
ABC
中，∠BAC＝120°，AD
平分∠BAC
且与
BC
相交于点
D，则向量
uuur BD
在
uuur BA
上的投影向量为（
）
A．
3
uuur BA
2
B．
3
uuur BA
4
C．
3
uuur BA
2
D．
3
uuur BA
4
7．在平面四边形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点.若 AB 2 ， CD 3 ，且
6
,
4
B．
4
,
6
C．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
,
6
D．
0,
4
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（）
A．
uuur AB
uuuur AM
uuuur BM
B．零向量与任意向量共线
C．互为相反向量的两个向量的模相等
D．若向量
r a
，
r b
满足
ar
r 1， b
4 ，则 3
ar
r b
5
10．已知△ ABC 的重心为 O，边 AB，BC，CA 的中点分别为 D，E，F，则（）

南开中学高一(下)期末试题——数学

重庆南开中学高2 01 5级2 01 2～2 01 3学年度高一(下)期末数学试题第I 卷(选择题共5 0分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点M(1,2)，N(2,1)，则直线MN 的倾斜角是 ( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．不存在2．已知a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是 ( )A ．cb 2<ab 2B ． ab>acC ． c(b ﹣a)<0D ．ac(a ﹣c)>03．直线1:30l x +=与直线230l y -+=的夹角为 ( )A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π 4．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60km ／h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60，70)，[70，80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图．则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )A ．75辆B ．120辆C ．180辆D ．270辆5．若实数x ，y 满足线性约束条件：20030x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =+的最小值为（）A ．0B ．3C ．92D ．4 6．直线kx ﹣y ﹣2k+l=0与圆(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=4的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与k 有关7．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( )A ．8B ．6C ．4D ．38．若0,0p q >>，,p q 的等差中项是12，且12,x p y q p q =+=+，则x y +的最小值为( )A ．7B ．5 C．4+ D．3+9．已知A(﹣2,0)，B(2,0)，c(0,2)，直线13y x b =+将ABC ∆分割成面积相等的两部分，则b 的值为 ()A ．12B ．23C ．34D ．1 10．已知圆M ：4x 2+4y 2+8x+16y ﹣5=0，直线l ：x+y ﹣1=0，△ABC 的顶点A 在直线l 上，顶点B ，C 都在圆M 上，且边AB 过圆心M ，45BAC ∠= ．则点A 横坐标的最大值为( )A ．52B ．32C ．12D ．12- 第II 卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为____________12．圆心在原点，并与直线3x ﹣4y ﹣10=0相切的圆的方程为_____________．13．已知正实数日，b 满足(a+1)(b+2)=8，则2a+b 的最小值为__________14．将一张坐标纸折叠一次，使点(5,1)与(7,3)重合，则与原点重合的点的坐标为______15．对于满足不等关系2210x y x y ⎧+≤⎨+≥⎩的任意实数x ，y ，均有ax+y ≤2恒成立，则a 的取值范围为_________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分)以下茎叶图记录了甲、乙两组同学在某次数学测验中的成绩，两组记录中各有一个数据模糊，无法确认，在图中以x ，y 表示，已知乙组数据的平均数与乙组数据的中位数相等．(1)求y ：(2)若甲组数据与乙组数据的平均数相等，求x 与甲组数据的方差．(注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数．)17．(本小题满分l3分)在平面直角坐标系xOy 中，已知三点A(﹣1,0)，B(0,4)，C(3,4)(1)求AC 边上的高所在直线l 的方程；(2)求与直线l 平行且距离为18．(本小题满分13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 即的对边分别为a ，b ，c 如且满足(2)cos cos a c B C b-= (1)求角B 的大小； (2)设(sin ,cos 2),(1,1)m A A n ==，且1,m n b ⋅== ABC 的面积．19．(本小题满分12分)已知直线l ：3x+4y+1=0将圆C ：x 2+y 2﹣2mx ﹣4y+m 2﹣8=0(m>0)截为长度为1：5两段圆弧(1)求圆C 的方程；(2)若点P(x ，y)为圆C 上一动点，求x 2+y 2+2x+4y 的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)数列{}n a 满足11121,()2n n n n n a a a n N a +++==∈+ (1)证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)设112n n n b a n +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为S n ，若对于任意n N +∈均有220n n S λ+≤成立，求λ的取值范围。

2023-2024学年重庆市南开中学高一(下)段考数学试卷(3)(含答案)

2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =3−2i ，则z 的实部与虚部的和为( )A. −1B. 1C. 5D. −52.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos2A >cos2B ”是“a <b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 满足a ⋅b =10，且b =(4,−3)，则a 在b 上的投影向量为( )A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)4.在复平面内，复数z =|3+4i|7−i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进24.4米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.526.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ba +c +ca +b ≥1，则角A 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix =cosx +isinx ，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )A. e πi =1B. |e π2i −e θi |(θ∈R)的最大值为2C. 复数e π4i在复平面内对应的点位于第二象限D. 若z 1=e π3i ，z 2=e θi在复平面内分别对应点Z 1，Z 2，则△OZ 1Z 2面积的最大值为328.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosB b +cosC c =23sinA 3sinC，cosB +3sinB =2，则a +c 的取值范围是( )A. (32, 3]B. (32,3]C. [32, 3]D. [32,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆市南开中学2015-2016学年度秋高一数学下学期期末测试卷

重庆南开中学高2018级高一（上）期末考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1、已知集合{}{}224,log 0x A x B x x =≤=>，则A B ⋂=（）A 、[]1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,1 2、“6πα=”是“1sin 2α=”的（）条件 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为10cm ，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）2cmA 、25B 、5C 、254D 、2524、已知函数()1254x f x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（） A 、()0,1 B 、()1,2 C 、()2,3 D 、()3,45、函数()()2lg 6f x x x =-++的单调递减区间为（） A 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 、1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭6、将函数sin y x =的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像1C ，再将图像1C 向右平移3π个单位得到的图像2C ，则图像2C 所对应的函数的解析式为（） A 、1sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B 、1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C 、sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 、2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 7、若()ln 1ln 1,1,ln ,,2x x x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A 、c b a >> B 、b c a >>C 、a b c >>D 、b a c >> 8、已知()0,απ∈且3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A 、210B 、210-C 、7210D 、7210- 9、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=恒成立，且()11f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A 、0B 、1C 、2D 、310、化简tan 204sin 20+的结果为（）A 、1B 、12C 、3D 、311、如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=。

重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题 1．已知复数12iz i=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．15B ．15iC ．25D ．25i2．直线350x +=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π43．已知向量a r 与b r 满足2,a b ==r r ，且a r 与b r的夹角为π6，则2a b -=r r （）A ．3BC ．2D 4．如图，在三棱锥-P ABC 中，2,PM MC N =u u u u r u u u u r 为BC 的中点，设,,AB a AC b AP c ===u u u r u u u r u u u r r r r，则用,,a b c r r r表示MN u u u u r 为（）A ．1136a b c +-r r rB ．111263a b c --r r rC ．1126a b c --r r rD ．111323a b c --r r r5．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足222,b a c ac ABC =+-V 则b 的最小值为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．庑殿顶是中国古代殿宇建筑屋顶的常见样式，屋顶包含一条正脊､四条垂脊，四个屋顶面.已知南开中学午晴堂侧楼屋顶为庑殿顶样式，整个屋顶长20m ，宽7.2m ，正脊长12.8m ，四个屋顶面坡度均为1:2.4，其中坡度是指坡面的垂直高度和水平宽度的比值，则午静堂侧楼屋顶面积为（）A ．2144mB ．2156mC ．2169mD ．2172m7．如图，已知圆台12,O O AB 为上底面圆1O 的一条直径，且2,AB CD =是下底面圆2O 的一条弦，260CO D ∠=o，矩形ABCD 的面积等于）A ．B ．C ．D ．8．已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ，BA u u u r 在BC u u ur 上的，则cos A =（）A B C D二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．对于平面,,,,,a b c αβγαβαγβγ⋂=⋂=⋂=，若//a b ，则//b cB ．对于平面α和直线,a b ，若,//a b b α⊥，则a α⊥C ．对于平面,αβ和直线,a b ，若,a b a ⊥P ,b αP β，则αβ⊥D ．对于平面,αβ和直线a ，若,,a a βαβα⊥⊥⊄，则a P α10．已知圆22:10C x y mx ny +--+=，圆心C 关于直线:1l y x =-+对称点为()1,0,,A M N -为圆C 上两点，且满足12AM AN ⋅=u u u u r u u u r ，点O 为坐标原点，则下列正确的是（） A ．2,4m n ==B ．y 轴与圆C 相切C ．线段MN 的中点轨迹为圆D ．MN 11．如图，棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为11A B 的中点，动点Q 满足()1,,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u u r，则下列说法正确的是（）A ．平面1B DQ ⊥平面1ACDB ．直线PQ 与平面11CCD D 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．设1CD ⋂平面1BPD Q =，则三棱锥1P ACQ -的体积为83D ．以11CC D △的边1CD 所在直线为旋转轴将11CC D △旋转，则在旋转过程中，则1PC 的取值范围是⎡⎣三、填空题12．已知直线()1:230l a x y -+-=和直线2:10l x ay ++=垂直，则实数=a . 13．已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为线段AC 的中点，π,23B BD c a ==+u u u r ，则sin sin ABD CBD ∠∠=. 14．已知三棱锥S ABC -中，,,22AB BC SC BC AB BC ⊥⊥==，三棱锥S ABC -的体积为23，则当SA 取最小值时，三棱锥S ABC -外接球的体积为.四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c )cos sin c b A b A -=.(2)若3,a b ==ABC V 的面积.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中12,,AB BC CC AC M N ====分别是11,AB B C 的中点.(1)求证：//MN 平面11ACC A ；(2)求异面直线1A B 与MN 所成角的余弦值.17．已知圆222:220C x y ax by a +--+=满足：①1,0a b >>；②与圆22:1O x y +=外切；③被直线1x =分成两段圆弧，其弧长的比为1:2. (1)求圆C 的方程；(2)若直线l 与圆C 相交于,M N 两点，四边形OCNM 为平行四边形，求直线l 的方程. 18．已知在平行四边形ABCD 中，E 是CD 边上一点，且满足3,2CE ED CAE DAE ∠∠==，2AD DE DC =⋅.(1)求DAE ∠的大小；(2)现以AC 为折痕把ACD V 折起，使点D 到达点P 的位置，且AE BE ⊥.如图：（i ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（ii ）求平面EAB 与平面PAB 夹角的余弦值.19．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且π3,4,,3AB AD DAB M ∠===为BC 的中点，点P 在平面ABCD 内的射影为点H ，且(1)求证：PA DM ⊥；(2)当PAB V 为等边三角形时，求点H 到平面PBC 的距离；(3)若(PA m m PAH ∠θ=>=，记三棱锥P ABH -的外接球表面积()f θ，当函数()f θ取最小值时，平面BPC 与平面DPC 夹角的大小为π2θ-，求实数m 的值.。

重庆南开中学1112高一数学下学期期末考试(扫描版)新人教版

重庆南开中学11-12 学年度下学期高一数学期末考试（扫描版）新人教版重庆南开中学高2014级2011-2012学年度高一（下）期末数学试题第I 卷（选择题共50分）、选择莎本大壺共io 水题，毎加题5分.共甜分.在每小曲给出的四个备堆项中. 只有一项罡符合题冃要求的一已知点M （】,2）, N （l,lh 则直线MN 的倾纵轴是（）已妙。

上为1F 零实数，Wa<b.不算式成立的垦（已知柿圆#!一+丄二=1,长铀在护轴上+若議距为4・10— m JW — 2D. 8第I STA. 45°B. 90’C. 135* 0.不存在3. B M<b\C.已知歸足等差数列依」的前丹顶利，若吗=4,则A. 5B. WC 15D. 20某栓对商三年级男生的身体发育傭况进行调査.共抽取他名男生的身岛竹:为样本.JC 频率分布药方图如题4图所示，则或奇在［M7. 间的人数为（ A. 30 B, 36 C. 39D, 42179｝之点统b-尸+ 1 = 0与圆（X-1）2 +/ 4的位置关系是（A.相交0-相切C.相离 1+ 2+9”已知桶圆务+斗土 13 A" A 0）的左右値点分别是耳，码，点尸是椭圆上一点’点财 a b是线段尸耳的中点，且|OFj = 2|OM|,OM 丄户殆则椭圆的离心率为（）C. 41-\10.谡MBC 的角 A,B f C 所对的边分别为 a,b,c * 若a 7 +d 2 = a6cosC +Jia^sinC >则MBC 的形状为（C.等腰直角三粛形第n 巻（非选择题共loo 分）二、填空題：本幻8共5小題，毎小題5分，共鬲分.把答案填写在答题卡相应位覽上. 1L 某T 厂共有职T 3（H ）0人，其中老、中、肯年駅工比例为5:3:2,现用分层抽样的方法7.如题7图是一个稈睜框图，则输出结果为（9 1010 11D .1112 \ +j>0«.设O 是原点* M （2,-l},若点N （x,刃满足不等式y<x + 2,则阪•而的最小O^x<l值是（〉B.C. -}D. 0A. V3-1 A. 直角非尊腰三角形B, 答腰菲竽边二甬形D,等边三角形从所有职工中抽取一个容量为斗00的样本，则抽収的中年职工人数为_____________ __第2員・12已驚” =厂1〉.且a V S .则日一”工 _______________ .1413.已知且口+ b = 则的最小值为________________________________ +a b14.已知点F（l,l）是直线/被梯圆—+ —= 1所截得的弦的中点，则直线f的方程24为________________ ・^1沉若克线/平分lS!x2 -i-y1^4x-4y + l = 0的圆周，且与曲綫x = J1J 有两个不同的交点，剜直线/的斜率的取值范围是 ______________ •三、解答题；本大題共6水题，共75分.解答应写出立宇说明、证明过程或滅算步鼻.⑹（本小题満分13分）已^AIIC的三个顶点的坐标XJ J（0,0）,负】,2）, C（2-4）.< i）求 M边上的高所在宣线f的方程；（11）求与直线Z平行且距离为2$的自线方程.□ •（本小题满分二3分）已知椭恻C的长轴长为乩11与捕圆：兰十疋匕订育相同的篠点. 2516■*C I）求椭囲C的方程；（1【）设川（72）, F为椭圖C的右焦点*尸为楠圆（7上一点，求円| + ±网的罐小值.庚”（本小题構分13分）已知MBC^t ^A r B t C的对边分别为a,h,s丑为锐角且y/3a = 2bsinA.（I）求角月的大小丫（11>设m+c=3#=2运，求2皿7的面积.隼3頁13.(本少題満分12分》已知圜(7：/ +旷~2耳-4川岗=0 (耐此5)被眉x + ^-5 = 0^得的技板为2^2.(I )求圆C的方桂；(II)若点P(x,y) Piffle上一动总求X1 y2 T-6x+2vfi$|>大值利酸小优20.(本小題满分12分) 已知动澜尸与圜G：(jc + iy+y—丄外t,与恻849 C2:(X™1)2+/=—内切.S< I)求动圆圆心P的轨迹匚的方圍(1Q设点耐(打)屣否存在过点F(l,0)H»轴不垂程的盲线/与轨迹C：于小£两4点，使得莎+倔丄屈？若存在，求出贯线r的方程；若不存在，说明理hEL (本小题满分12分)如题2$图所示：加个实数码，a2» ••・，% tnAgnw N)依es次按噸时针方向圃成个圜圈.(1)当/n = 20!4时，若a t =1 t«B+1 =a fl +2** (ne N* Sin <rr)> 求气+ 他+…十务的值:(H)段圆圈上按顺时针方向任堂相邻的三个数牛、吋$均満足；片-加戸+ (1 - A)u r(2 > 0),求证；a, = a2h* 二—重庆南开中学高2014级2011 - 2012学年度高一(下)期末数学试题参考答集一、选择题B C D C A D C B A D10+ 提示：a 2 +b 2 = «&cosC + V3tj/>sinC = 2odsin(C + —)< 2ab > 当且仅C =—时 63取“=”，乂占+b*工2ab,当且仅当a = b 时取所以a^b 且C ■兰T \ABC3为墀边三帮形*故选4 二、填空題 lh 120 12. 2^5三、解答题丄6〔解】:(I ) k^. = - 2, /. k)--.化白线2 的方梅为：x — 2y + 3 = 0** 25)设所求直线方理为x-2y+m-0・由条杵有匸色啓录仔n 桝二口试-7.•.所求直线方程为x-2y + 13 = 0或兀・2片一7 = 0. 17.［解】：x 2 v 2(1 )由条件，2。

2014-2015年重庆市南开中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．24．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．207．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．3910．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．1812．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．19．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：A（10，1），B（2，y），∴＝（﹣8，y﹣1），向量，∵，∴﹣8+2y﹣2＝0∴y＝5故选：A．2．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．【解答】解：由题意（﹣2，3）在圆外，∴（﹣2﹣a）2+（3﹣2）2＞9，解得a＜﹣2﹣2或a＞﹣2+2，故选：B．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．2【解答】解：若y＝x﹣1＝2，则x＝3，与不满足条件x＞1矛盾；若y＝log2x＝2，则x＝4，满足条件x＞1，符合题意，∴输入的实数x的值是4．故选：C．4．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵b＞0＞a，∴，因此①能推出成立；②∵0＞a＞b，∴ab＞0，∴，∴，因此②能推出成立；③∵a＞0＞b，∴，因此③不能推出；④∵a＞b＞0，∴，∴，因此④能推出成立．综上可知：只有①②④能推出成立．故选：C．5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，∴直线方程为＝，即3x+4y+6＝0，∴点（﹣1，1）的直线l的距离d＝＝，故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：在等差数列中，S9+S21＝+＝×2a5+×2a11＝9a5+21a11＝3（3a5+7a11）＝3×5＝15，故选：C．7．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π【解答】解：由已知可得：以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球与圆柱的组合体，半球的半径和圆柱底面的半径为1，圆柱的高为2，故半球面的面积为：2πr2＝2π，圆柱的底面面积为：πr2＝π，圆柱的侧面积为：2πrh＝4π，故组合体的表面积为：7π，故选：A．8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：因为，，所以＝0，＝0，所以，所以＝2，所以；故选：B．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．39【解答】解：∵a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，∴数列{a n}是以1为首项、3为公比的等比数列，∴a n＝＝1•3n﹣1＝3n﹣1，∴b n＝log3a n＝＝n﹣1，∴数列{b n}是以0为首项、1为公差的等差数列，∴其前10项和为：＝45，故选：B．10．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．【解答】解：设A（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点B（x0，y0）在直线2x+y+3＝0上，∴线段AB的中点（，）在直线x+y﹣2＝0上，由题意得：，∴a+2b＝9，∴+＝+＝++≥+2＝，当且仅当：＝即b＝2a时“＝”成立，故选：C．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．18【解答】解：由＝1，得：xy＝2x+y+6，由条件利用基本不等式可得xy＝2x+y+6≥2+6，令xy＝t2，即t＝＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0可解得t≤﹣，t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，所以xy≥18．故选：D．12．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠ECF为120°，∴在Rt△PEC中，PC＝2．故问题转化为在直线x+2y﹣5＝0上找到一点，使它到点C的距离为2．设P（x0，2.5﹣0.5x0），∵C（1，0），∴|PC|2＝（x0﹣1）2+（2.5﹣0.5x0）2＝4∴x0＝1或．∴点P的横坐标x0的取值范围是[1，]故选：B．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝×2×2＝2，高h＝3，故几何体的体积V＝Sh＝2，故答案为：214．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是1或﹣3．【解答】解：由圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，可得直线AB的方程﹣2x﹣4y+m+1＝0，圆O到直线AB的距离为d＝＝，∵|AB|＝，∴2＝，解得m＝1或﹣3．故答案为：1或﹣3．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，6+2]．【解答】解：由题意，x，y满足的平面区域如图阴影部分，则在阴影部分（包括边界）的点中到原点距离，最小值为原点到直线的距离为：；最大值为＝1+，所以x2+y2的取值范围是[，6+2]．故答案为：[，6+2]．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝（1，1）．【解答】解：∵直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，∴＝，即a n＝3n，∴b n＝23n＝8n，∴S n＝＝•8n+1﹣，∴，即＜，∴＜，∴＜，∴当m＝1时，只需＜成立即可，又∵n＝1是上述不等式的一个解，∴正整数对（1，1）满足条件，故答案为：（1，1）．注：此题答案不唯一．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．【解答】解：（1）记数列{a n}的公差为d，∵S5＝5a1+d＝5（a1+2d）＝10，∴a3＝a1+2d＝2，又∵S6＝15，∴a6＝S6﹣S5＝15﹣10＝5，∴d＝＝＝1，∴a1＝a3﹣2d＝2﹣2＝0，∴数列{a n}的通项a n＝a1+（n﹣1）d＝n﹣1；（2）∵a n＝n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前10项和为：1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．【解答】解：∵直线方程x+y﹣1＝0，∴直线的斜率k＝﹣1，则垂直直线x+y﹣1＝0的斜率k＝1，设所求直线的方程为y＝x+b，∴直线在x轴上的截距为﹣b，在y轴上的截距为b，∵与l垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴S＝|b||﹣b|＝，即b2＝1解得b＝±1，∴所求的直线方程为y＝x+1或y＝x﹣1．（2）所求直线经过点（2，3）和（0，﹣5）的中点或与点（2，3）和（0，﹣5）所在直线平行．①直线经过点A（2，3）和B（0，﹣5）的中点（1，﹣1）时，直线方程为x＝1；②当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，∵k AB＝4，∴y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2＝0或x＝119．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．【解答】（1）证明：设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO＝，∴三棱锥E﹣BDC的体积＝＝．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：因为AE＝AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．因为CD⊂平面ABCD，所以AG⊥CD．（2）存在点M在线段AC上，且＝，使得：GM∥平面ABF．证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，因为＝，所以＝＝，因为BC＝2EF，点G是EF的中点，所以BC＝4GF，又因为EF∥AD，四边形ABCD为正方形，所以GF∥MN，GF＝MN．所以四边形GFNM是平行四边形．所以GM∥FN．又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM∥平面ABF．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于A（2，0）在圆C1上，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），圆C1的圆心到l的距离为d，所以d＝．由点到直线l的距离公式得d＝＝，即k2＝1，解得k＝1或﹣1，所以直线l的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，即x﹣y﹣2＝0，或x+y﹣2＝0；（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b＝k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b＝﹣（x﹣a），∵⊙C1和的半径r1＝2，⊙C2的半径为r1＝1，圆心距O102＝3，直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即＝2×整理得k（a+2b）+2a﹣b﹣6＝0或（2b﹣a）k++2a+b﹣6＝0，∵k的取值有无穷多个，∴或解得或，这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（，）经检验点P1和P2满足题目条件22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【解答】（1）解：∵＝﹣1其中n∈N*，又x0＝﹣1，x1＝1，∴（x n+1，0）•（x n+1﹣1，0）＝﹣1，∴（x n+1）（x n+1﹣1）＝﹣1，化为＝1，∴数列为等差数列，首项为1，公差为1，∴＝1+（n﹣1）＝n，∴x n＝．（2）证明：当a＝2时，＝2﹣1，可得：（x n+1）（x n+1﹣1）＝1，化为x n+1＝＞1，a n+1＝＝＝，（只有n＝1时取等号）．∴a n+1＜…＜＝．∴S n＝a1+a2+…+a n＜＝＜＝．∴S n＜．。

2019-2020学年重庆市南开中学高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 直线x −y +1=0的倾斜角为( )A. −45°B. −30°C. 45°D. 135° 2. 数列{a n }是各项都为正数的等比数列，a 2a 8=25，则a 5=( )A. 10B. 6C. 5D. 4 3. 抛物线x =2y 2的准线方程是( )A. y =−12B. x =−18C. y =12D. x =184. 在△ABC 中，AB =5，sinA =2sinC ，cosB =45，则△ABC 的面积为( )A. 10B. 15C. 20D. 305. 与直线l 1：x +y +3=0和l 2：x +y +1=0都相切的圆的直径为( )A. √2B. 2C. 1D. √226. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225−k +y 29−k =1(k <9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等7. 实数x ，y 满足线性约束条件{x +y ≥4x −y ≥2x ≤4，则z =x −2y 的最小值为( )A. −2B. −1C. 0D. 18. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，A 为C 上的点，F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，若|AF|=2，则C 的方程为( )A.x 22−y 22=1B.x 24−y 24=1C.x 24−y 28=1D.x 24−y 22=19. 正数m ，n 满足m +n =2，则1m+1+1n+2的最小值为( )A. 35B. 45C. 54D. 210. 过抛物线y 2=6x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 在直线y =1上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A. 3√102B. 4√5C. 9√22D. 911. 在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于D.若∠BAC =π3，AB +AC =4，则AD 长度的最大值为( )A. √3B. 2C. 3D. 3√312. 如图，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1向一条渐近线作垂线，分别交C 的左右两支于A ，B 两点，且|AB|=|BF 2|，则ba =( )A. √3B. 2√2C. 3+√3D. √3+1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(x −1,x +1)，b ⃗ =(−2,1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数x =______． 14. 若双曲线x 24−y 28−k =1的一条渐近线方程为x +2y =0，则k =______．15. 数列{a n }中，a 1=6，a 2=9，且{a n+1−a n }是以2为公差的等差数列，则a n =______． 16. 已知M 为椭圆x 216+y 212=1上一动点，O 为坐标原点，A ，B 两点在圆C ：(x −1)2+y 2=25上，且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)记AB 中点为N ，则N 的轨迹方程为______； (2)弦长|AB|的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=1，a ⃗ ⊥(3a ⃗ −2b ⃗ ).(1)求|b⃗ |； (2)若|2a ⃗ −m b ⃗ |=√7，求m ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足acosC =(2b −c)cosA(1)求角A ；(2)若a=3，求△ABC面积S的最大值．19.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)．(1)求△ABC外接圆E的标准方程；(2)过P(3,2)作直线l交圆E于M，N，若|MN|=4，求直线l的方程．20.已知等比数列{a n}的各项都为正数，S n为其前n项和，a3=8，S3=14．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记T n=a1(a1−1)(a2−1)+a2(a2−1)(a3−1)+⋯…+a n(a n−1)(a n+1−1)，求使得T n≥20202021成立的正整数n的最小值．21.已知F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过P(2,0)的直线l交C于A，B两点，M(x0,y0)为AB的中点，且|FA|+|FB|=2(x0+1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若AB的中垂线与C的准线交于点N，且|AB|=87|MN|，求直线l的斜率．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，F1，F2为E的左、右焦点，动点P在直线1：x=−3上，过P作E两条切线，切点分别为M，N.且|MF1|+|MF2|=2√2．(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过F1，F2分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D．(i)证明：|F1A|⋅|F2B|为定值；(ii)记△AF1C和△BF2D的面积分别为S1，S2.求S1S2的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由直线x −y +1=0变形得：y =x +1 所以该直线的斜率k =1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1， ∵α∈[0,180°)， ∴α=45°．故选C ．把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．2.答案：C解析：解：由题意可得：a 5=√a 2a 8=5，故选：C ．由题意可得：a 5=√a 2a 8．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：由抛物线的标准方程：y 2=12x ，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴，即2p =12，则p2=18，∴抛物线的准线方程：x =−18，故选：B ．将抛物线方程转化成标准方程：抛物线的焦点在x 轴正半轴，即2p =12，则p2=18，即可求得准线方程．本题考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：在△ABC 中，AB =5，sinA =2sinC ，cosB =45，由正弦定理得：a =2c =2×5=10；且sinB=√1−cos2B=35；∴△ABC的面积为：12acsinB=12×5×10×35=15；故选：B．先根据正弦定理求得a=2c=10；再根据同角三角函数基本关系式求出sin B，进而求得结论．本题主要考查了正弦定理的应用，同角三角函数的关系式的应用，属于基础题5.答案：A解析：解：根据题意，直线l1：x+y+3=0和l2：x+y+1=0，两直线平行，其间的距离d=√1+1=√2，若圆与直线l1：x+y+3=0和l2：x+y+1=0都相切，则该圆的直径为d=√2；故选：A．根据题意，分析可得直线l1//l2，分析可得与直线l1：x+y+3=0和l2：x+y+1=0都相切的圆的直径为两平行线间的距离，求出两直线间的距离即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及平行线间的距离计算，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线x225+y29=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．曲线x225−k +y29−k=1(k<9)表示焦点在x轴上，长轴长为2√25−k，短轴长为2√9−k，离心率为√25−k，焦距为8的椭圆．对照选项，可知D正确．故选：D．7.答案：C解析：解：由约束条件{x +y ≥4x −y ≥2x ≤4作出可行域如图，联立{x =4x −y =2，解得A(4,2)，化目标函数z =x −2y 为y =x2−z2，由图可知，当直线y =x2−z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为0．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.答案：B解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，A 为C 上的点，F 为C 的右焦点，且AF 垂直于x 轴，若|AF|=2，可得{ca=√2b2a =2c 2=a 2+b 2，解得a =b =2，所求双曲线方程为：x 24−y 24=1．故选：B ．利用双曲线的离心率，结合通径，转化求解即可．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：∵正数m ，n 满足m +n =2，∴(m +1)+(n +2)=5，m+15+n+25=1，∴1m+1+1n+2=(1m+1+1n+2)(m+15+n+25)=25+n+25(m+1)+m+15(n+2)≥25+2√5(m+1)⋅5(n+2)=45，当且仅当m =32，n =12时“=”成立，故选：B ．将已知变形为m+15+n+25=1，得到1m+1+1n+2=(1m+1+1n+2)(m+15+n+25)，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查了基本不等式的性质，注意满足条件“一正二定三相等”，本题属于基础题．10.答案：A解析：解：由抛物线y 2=6x ，得焦点坐标为(32,0)，设直线AB 的方程为x =ty +32，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M ，联立{x =ty +32y 2=6x，消去x 得y 2−6ty −9=0，∴y 1+y 2=6t ，y 1y 2=−9，由y M =y 1+y 22=3t =1，得t =13，∴S △AOB =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×32×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12×32×√4−4×(−9)=3√102．故选：A ．由抛物线方程求得焦点坐标，设直线AB 的方程为x =ty +32，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M ，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得t ，代入三角形面积公式求解．本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：A解析：解：如图，设AD =x ，由已知得D 点到AB ，AC 两边的距离为AD ⋅sin30°=12x ，且AB +AC =4．∴S △ABC =12⋅(AB +AC)⋅12x =12×4×12x =x ．又∵S △ABC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin π3=√34⋅AB ⋅AC ≤√34⋅(AB+AC 2)2=√3，(当且仅当AB =AC =2时，取等号)． ∴x ≤√3，即AD 的最大值为√3．故选：A ．设AD =x ，则D 到两边AB ，AC 的距离为12x ，经计算可知S △ABC =12⋅(AB +AC)⋅12x =x ；然后再结合三角形的面积公式后、基本不等式可求得△ABC 面积的最大值，则问题可解．本题综合考查了解三角形的知识、基本不等式的应用．属于中档题．12.答案：D解析：解：连接AF2，则|BF1|−|BF2|=2a，|AF2|−|AF1|=2a，又|AB|=|BF2|，∴|AF1|=2a，|AF2|=4a，又|F1F2|=2c，∴cos∠AF1F2=4a2+4c2−16a22×2a×2c =c2−3a22ac，又直线AB与双曲线的一条渐近线为：y=−bax垂直，∴直线AB的斜率为tan∠AF1F2=ab ，∴cos∠AF1F2=bc，∴c2−3a22ac =bc，即c2−3a2=2ab，∴b2−2a2=2ab，故(ba )2−2ba−2=0，∴ba =1+√3或ba=1−√3(舍)．故选：D．在△AF1F2中利用余弦定理计算cos∠AF1F2，再根据直线垂直求出cos∠AF1F2，从而列方程得出a，b的关系．本题考查双曲线的简单性质，直线与直线的位置关系，属于中档题．13.答案：−13解析：解：∵向量a⃗=(x−1,x+1)，b⃗ =(−2,1)，且a⃗//b⃗ ，∴−2(x+1)−(x−1)=0，解得x=−13．故答案为：−13．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出x的值．本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14.答案：7解析：解：在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24−y28−k=1的一条渐近线方程为x+2y=0，即渐近线方程为：y=−√8−k2x∴√8−k=1，解得k=7．故答案为：7．双曲线x24−y28−k=1的一条渐近线方程为x+2y=0，列出方程，能求出k的值．本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合能力，是中档题．15.答案：n2+5解析：解：∵{a n+1−a n }是以2为公差的等差数列， ∴a n −a n−1=(a 2−a 1)+2(n −2)=2n −1，∴a n =a 1+(a 2−a 1)+⋯…+(a n −a n−1)=6+3+5+⋯…+(2n −1)=5+n(1+2n−1)2=n 2+5．故答案为：n 2+5．由{a n+1−a n }是以2为公差的等差数列，可得：a n −a n−1=2n −1，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：x 24+y 23=1 [8,4√6]解析：解：(1)设AB 中点N(x,y)，M(x 0,y 0)，所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，又因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x,y)=−12(x 0,y 0)，所以{x =−12x 0y =−12y 0，即{x 0=−2xy 0=−2y ，又点M(x 0,y 0)在椭圆x 216+y 212=1 上，所以x 0216+y 0212=1，所以(−2x)216+(−2y)212=1，即x 24+y 23=1．(2)|AB|2=4(r 2−|CN|2)=4(25−|CN|2)=100−4|CN|2，由(1)可设N(2cosθ,√3sinθ)，C(1,0)所以|CN|2=(2cosθ−1)2+(√3sinθ−0)2=4cos 2θ−4cosθ+1+3sin 2θ，θ∈[0,2π] =cos 2θ−4cosθ+4=(cosθ−2)2，θ∈[0,2π] 所以|CN|2∈[1,9]，所以100−4|CN|2∈[64,96]，即|AB|∈[8,4√6].(1)设AB 中点N(x,y)，M(x 0,y 0)，根据题意可以推出ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(x,y)=−12(x 0,y 0)，即{x 0=−2xy 0=−2y，代入椭圆方程即可得N 的轨迹方程． (2)由(1)可设N(2cosθ,√3sinθ)，C(1,0)，由两点之间的距离公式可得|CN|2，θ∈[0,2π]，进而推出|AB|2=4(r2−|CN|2)=100−4|CN|2的取值范围．本题考查轨迹方程，向量与圆锥曲线，弦长公式，参数方程，属于中档题．17.答案：解：(1)∵向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为π3，且|a⃗|=1，a⃗⊥(3a⃗−2b⃗ ).∴a⃗⋅(3a⃗−2b⃗ )=3a⃗2−2a⃗⋅b⃗ =3−2×1×|b⃗ |cosπ3=3−|b⃗ |=0．解得|b⃗ |=3．(2)∵|2a⃗−m b⃗ |=√7，∴7=(2a⃗−m b⃗ )2=4a⃗2−2m a⃗⋅b⃗ +m2⋅b⃗ 2=4−3m+9m2，整理得3m2−2m−1=0，解得m=−13或m=1．解析：(1)由a⃗⊥(3a⃗−2b⃗ ).得a⃗⋅(3a⃗−2b⃗ )=3−2×1×|b⃗ |cosπ3=3−|b⃗ |=0.由此能求出|b⃗ |.(2)由|2a⃗−m b⃗ |=√7，得7=(2a⃗−m b⃗ )2=4a⃗2−2m a⃗⋅b⃗ +m2⋅b⃗ 2，由此能求出m．本题考查向量的模、实数值的求法，考查向量的数量积、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)利用正弦定理asinA =bsinB=csinC化简已知的等式得：sinAcosC=(2sinB−sinC)cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，∴sin(A+C)=sinB=2sinBcosA，∵B为三角形的内角，即sinB≠0，∴cosA=12，又A为三角形的内角，则A=π3；(2)∵a=3，cosA=12，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得：9=b2+c2−bc≥2bc−bc，∴bc≤9，∴S△ABC=12bcsinA≤9√34，则△ABC面积S的最大值为9√34．解析：(1)由正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据sin B的值不为0，得出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；(2)由a及cos A的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，最后由bc的最大值及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.答案：解：(1)由题意知，圆心E 在直线x =1与BC 的中垂线上，∵B(3,0)、C(0,3)，∴BC 的中垂线方程为y =x ，故圆心E(1,1)，半径r =|AE|=√(1+1)2+12=√5． ∴圆E 的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=5；(2)设直线l ：y −2=k(x −3)，即kx −y −3k +2=0．由|MN|=4，知圆心E 到直线l 的距离为d =√(√5)2−4=1．再由点到直线的距离公式可得：√1+k 2=1，解得k =0或k =43．∴直线l 的方程为：y =2或y =43x −2．解析：(1)由题意知，圆心E 在直线x =1与BC 的中垂线上，写出BC 的中垂线方程，求得E 点坐标，进一步求得圆的半径，可得圆的方程；(2)由已知利用垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k ，则直线方程可求．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)等比数列{a n }的各项都为正数，设公比为q ，则{a 1q 2=3a 1+a 1q =13−8，解得{a 1=2q =2．所以a n =2×2n−1=2n ． (2)由于a k (ak −1)(a k+1−1)=2k(2−1)(2−1)=12−1−12−1．所以T n =a 1(a1−1)(a 2−1)+a 2(a 2−1)(a 3−1)+⋯…+a n(a n −1)(a n+1−1)=12−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1=1−12n+1−1，由于T n ≥20202021，故1−12n+1−1≥1−12021，解得n ≥10．即正整数n 的最小值为10．解析：(1)直接根据等比数列的性质列方程，求出数列的通项公式． (2)利用裂项相消法求出数列的和，再利用T n ≥20202021成立求出n 的最小值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线定义可知：|FA|+|FB|=x 1+p2+x 2+p2=2x 0+p =2(x 0+1) 所以p =2，即抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)设直线l ：x =my +2，{x =my +2y 2=4x ⇒y 2−4my −8=0⇒{y 1+y 2=4m y 1y 2=−8，所以x 0=x 1+x 22=m 2(y 1+y 2)+2=2m 2+2，|AB|=√1+m 2|y 1−y 2|=√(1+m 2)(16m 2+32)=4√(m 2+1)(m 2+2)， |MN|=√1+m 2|x 0+1|=√1+m 2(2m 2+3)，由|AB|=87|MN|得：4√(m 2+1)(m 2+2)=87√1+m 2(2m 2+3)，解得m 2=2或m 2=−3116(舍) 所以直线l 的斜率为±√22．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，抛物线定义推出|FA|+|FB|=2x 0+p =2(x 0+1)，解得p =2，进而可得抛物线C 的方程．(2)设直线l ：x =my +2，联立直线与抛物线消x 得关于y 的一元二次方程，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，计算出|AB|，|MN|，再由|AB|=87|MN|解得m ，进而算出斜率．本题考查抛物线方程以及直线与抛物线相交问题，解题中注意对抛物线定义，弦长公式的应用，属于中档题．22.答案：(1)解：由{2a =2√2e =ca=√22a 2=b 2+c2，解得{a 2=2b 2=1c 2=1．故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；(2)(i)证明：设M(√2cosθ,sinθ)，则PM ：x ⋅√2cosθ2+y ⋅sinθ=1，即√2x ⋅cosθ+2y ⋅sinθ=2． ∴|F 1A|⋅|F 2B|=|(2+√2cosθ)(2−√2cosθ)|2cos 2θ+4sin 2θ=4−2cos 2θ2+2sin 2θ=1；(ii)解：设P(−3,t)，过P 点的切线方程为：y =k(x +3)+t ，联立{y =k(x +3)+t x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k(3k +t)x +2(3k +t)2−2=0．由△=0，得2k 2+1−(3k +t)2=0，即7k 2+6kt +t 2−1=0．设PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=−6t7，k 1k 2=t 2−17．由(i)知，|AF 1|⋅|BF 2|=1，|CF 1|⋅|DF 2|=1．∴S 1S 2=|AF 1|⋅|CF 1||BF 2|⋅|DF 2|=|AF 1|2⋅|CF 1|2=(2k 1+t)2(2k 2+t)2(1+k 12)(1+k 22)=4k 1k 2+2t(k 1+k 2)+t 21+(k 1+k 2)2−2k 1k 2+(k 1k 2)2 =t 4+8t 2+16t 4+20t 2+64=1−12t 2+16∈[14,1)．解析：(1)由已知列关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)(i)设M(√2cosθ,sinθ)，则写出PM 的方程，利用点到直线的距离公式写出|F 1A|⋅|F 2B|，化简即可证明为定值；(ii)设P(−3,t)，过P 点的切线方程为：y =k(x +3)+t ，联立直线方程与椭圆方程，得关于x 的一元二次方程，由△=0得7k 2+6kt +t 2−1=0.设PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=−6t7，k 1k 2=t 2−17，结合(i)知，|AF 1|⋅|BF 2|=1，|CF 1|⋅|DF 2|=1，把S 1S 2转化为关于k 与t 的代数式即可求得取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．。

重庆市南开中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题(3月31日)

A、B，Î，(0、πsin) \ 0 sAin> 0 B > ，故 sin A < sin B ，
由正弦定理可得
sin
A
<
sin
B
Û
a 2R
<
b 2R
Û
a
<
b
，
反之，也成立，即为充要条件.
故选：C．
3．D
【分析】向量
r a
在向量
r b
上的投影向量的定义计算即可.
r 【详解】因为向量 b
rr
= (4, -3) ，且 a ×b
CD = 20km ，求 A，C 两点间距离； (2)求 tan ÐBDC 的值． 18．在平面四边形 ABCD 中，点 B, D 在直线 AC 的两侧， AB = 3 ， BC = 5 ，四个内角分
别用
A,
B, C ,
D
表示，
cos
B
=
-
cos
D
=
3 5
.
(1)求 Ð BAC ； (2)求△ABD 与VACD 的面积之和的最大值.
i
sin
2
-
cosq
-
i
sin q
|=|
i
-
cosq
-
i
sin q
|=|
(1 -
sin q )i
-
cosq
|
=
cos2 q + (1- sinq )2 =
2 - 2sinq
£
2
，当q
=
-
π 2
+
2πk(
k ÎZ)
时取等号，B 正确；
对于

重庆南开高2018级高一(下)期末数学试题+答案

开始结束输出n ↓ ↓ ↓ 否重庆南开中学高2018级高一（下）期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1．直线10x -=的倾斜角为（）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π2．如果b a <,那么下列不等式可能成立的是（）A ．33b a >B ．22b a >C ．b a ln ln >D ．b a e e >3．某校教职工年龄结构分布如下表，为了该校未来的发展，学校决定从这些教职工中采用分层抽样的方法随机抽取50人参与“教代会”，则应从35岁及以下教职工中抽取的人数为（）A ．22B ．18C ．10D ．54．设△ABC 的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．垂直于直线210x y +-=且平分圆：2220x y x y ++-=周长的直线l 的方程为（）A ．230x y -+=B ．230x y -+=C ．2450x y -+=D ．20x y += 6．执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（）A ．9B ．10C ．11D ．127．非零向量,a b 满足：()a b a +⊥，()2a b b +⊥，则a 与b 的夹角,a b <>= （）A ．4π B ．3π C ．32π D ．43π 8．数列}{n a 满足121,12210,21<≤-<≤⎩⎨⎧=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2016a 的值为（） A ．76 B ．75 C ．73 D ．719．已知实数,x y 满足：0x >且220x xy -+=，则2x y +的最小值为（）A．．．．10．直线0ax by b a ++-=与圆2220x y x +--=相交于B 、A ，则AB 的最小值为（）A ．3B ．2C ．2D ．111．已知,x y 满足3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩且目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值为10，则54a b +的最小值为（）A ．6B ．8C ．60D ．80 12．已知直线11:2l y x =及直线2:2l y x =都与圆1C 、2C 相切，圆1C 、2C 均过点3(1,)2P ，则这两圆的圆心距12C C =（）ABCD第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．已知向量(1,)a a =，(1,2)b =-且2a b +∥b ，则实数a = ．14．过直线:l 220x y +-=上任意一点P 作圆:C 2220x y x ++=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为．15．已知数列{}n a 是等比数列，若3698a a a =-，则172104124816a a a a a a ++的最小值为．16．已知1OA =，2OB =且1OA OB ⋅=-，若平面上点C 满足|2|2OA CB +=，则OC 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知△ABC 顶点(1,2)A -，AB 边上的高CD 所在直线方程为：20x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线方程为：230x y -+=．（Ⅰ）求B 点坐标；（Ⅱ）求边AC 所在直线方程．18．（12分）在△ABC ，A B C ∠、、的对边分别为a b c 、、，向量(,2)m b c a =-，(2cos ,1)n C =且m n m n +=-．（Ⅰ）求B ∠的大小；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积S 的最大值．19．（12分）已知某鱼塘仅养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从鱼塘中捕出这两种鱼各1 000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回鱼塘，待完全混合后，再每次从鱼塘中随机地捕出1 000条鱼，记录下其中有记号的鱼的数目，然后立即放回鱼塘中．这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图．（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数，并由此估计鱼塘中鲤鱼和鲫鱼的数量；（Ⅱ）为了估计鱼塘中鱼的总重量，现按照（Ⅰ）中的比例对100条鱼进行称重，所得称重鱼的重量介于[0,4.5](单位：千克)之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5)，第二组[0.5,1)，…，第九组[4,4.5 ]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．① 若第二、三、四组鱼的条数成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；② 在①的条件下估计该鱼塘中鱼重量的众数及鱼的总重量． 20．（12分）已知圆O ：226260x y x y +---=（O 为圆心）（Ⅰ）若过点(1,0)P 的直线l 与圆O 交于M 、N 两点，且8OM ON ⋅=-，求直线l 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 作圆O 的两条弦AC 、BD 使得0AC BD ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）已知数列{}n a 中，1123111,23()2n n n a a a a na a n N *++=+++⋅⋅⋅+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值．22．（12分）已知定点()7,0A ，()1,0B ，平面上动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为λ(0λ>，且为常数）. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当2λ=时，记P 点的轨迹与y 轴交于M N 、两点，若过点P 作圆22:(1)1C x y -+=的两条切线1l 、2l 分别交y 轴于H K 、两点，在构成三角形的条件下，求PMNPHKS S ∆∆的最大值，并指出取得最大值时的P 点坐标．重庆南开中学高2018级高一（下）期末考试数学参考答案一、选择题（每小题5分）DBABC CDCAB DB二、填空题（每小题5分）13．2- 14．55515．6 16．[22,22]-+三、解答题（共70分）17．（10分）【解】：（Ⅰ）AB CD l l ⊥，:3AB l y x ⇒=-，与:230BE l x y -+=联立得(6,9)B --；（Ⅱ）设00(,2)C x x -，则001(,)22x x E +-，代入:230BE l x y -+=得083x =- ∴814(,)33C -， ∴:201120AC l x y ++=．18．（12分）【解】：（Ⅰ）由m n m n +=-得0m n ⋅=， ∴2cos 20m n b C c a ⋅=+-=2sin cos sin 2sin 2sin()B C C A B C ⇒+==+sin 2cos sin C B C ⇒=，又sin 0C ≠，1cos ,23B B π⇒=⇒=；（Ⅱ）222221cos ,42422a cb B ac ac ac ac ac +-==⇒+=+≥⇒≤， ∴13sin 324S ac B ac ==≤，当且仅当2a c ==时S 取得最大值3．19．（12分）【解】：（Ⅰ）=80x 鲤，=20x 鲫，即每次捕出1 000条鱼，有记号的鱼有100条，占10%，而总的有记号的鱼有2 000条，故鱼塘鱼的总数大约有20 000条，其中鲤鱼占80%，约16 000条，鲫鱼占20%，约4 000条；（Ⅱ）①设每组鱼的条数为n a 条，则10.080.51004a =⨯⨯=，50.50.510025a =⨯⨯=，60.280.510014a =⨯⨯=，70.120.51006a =⨯⨯=，80.080.51004a =⨯⨯=，90.040.51002a =⨯⨯=，故2343244515,8,22a a a a a a ++=⇒===，故频率分布直方图补充如下：②该鱼塘中鱼重量众数的估计值为2.25千克；鱼重量的平均值：(0.250.080.750.16 1.250.301.750.44 2.250.50 2.750.28 3.250.123.750.08 4.250.04)0.52.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故鱼总重量的估计值为：20 000 2.0240400⨯=（千克）20．（12分）【解】：（Ⅰ）圆O ：22(3)(1)16x y -+-=，44cos 8OM ON MCN ⋅=⨯⨯∠=-0120MON ⇒∠=，由垂径定理得：圆心到直线l 的距离2d =设l ：(1)y k x =-，即0kx y k --=，∴324d k ==⇒=-∴所求直线l 的方程为：3(1)4y x =--或1x =；（Ⅱ）设圆心O 到弦AC 、BD 的距离分别为1d 、2d ，则AC =BD =，由0AC BD ⋅=，即AC BD 、垂直相交于点P ，故222121d d OP +==221211616312ABCD S AC BD d d =⋅=-+-=当且仅当12d d ==时，四边形ABCD 面积的最大值为31．21．（12分）【解】：（Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=， n N *∈① 123123(1)2n n na a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥② ①-②：1122n n n n nna a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=，即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又212231a a =≠⨯，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ．（Ⅱ）(1)1nn a a n n λλ≤+⇔≥+，令21122132(1)n n n n a b n n n n -⎧=⎪⎪==⎨+⎪⋅≥⎪+⎩，2n ≥时，1312n n b nb n +=>+，又0n b >，故2n ≥时，1n n b b +>，又121123b b =>=，故213b =是{}n b 中的最小值．由条件，存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立min 113n a n λ⎛⎫⇔≥= ⎪+⎝⎭，即λ的最小值为13．22．（12分）【解】：（Ⅰ）设(,)P x yλ=222222(1)(1)(142)490x y x λλλλ⇒-+-+-+-=………………（*）（1）若1λ=，（*）化为：4x =，即为P 的轨迹方程，表示线段AB 的中垂线；（2）若1λ≠，（*）化为：2222222736()1(1)x y λλλλ--+=--，即为P 的轨迹方程，表示以227(,0)1λλ--为圆心，261λλ-为半径的圆．（Ⅱ）当2λ=时，P 的轨迹方程为：22(1)16x y ++=，则M，(0,N 设00(,)P x y ，过点P 的圆C 的切线为：00()y y k x x -=-，则：222000001(2)2(1)10x x k x y k y ⇒-+-+-=∴01H K y y x k -=⋅-又2200(1)16x y ++=，∴H K y y -=∴M N PMNPHK H K MN y y S S HK y y ∆∆-===-（000[5,3],0,2x x x ∈-≠≠）令0154x t -=，（[3,35],15,7t t t ∈≠≠），则2149(14)16t t =+- 当35t =时即05x =-时，PMNPHKS S ∆∆(5,0)P -．。

2019-2020学年重庆市南开中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年重庆市南开中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°2．数列{a n}是各项都为正数的等比数列，a2a8＝25，则a5＝（）A．10B．6C．5D．43．抛物线x＝2y2的准线方程是（）A．y＝﹣B．x＝﹣C．y＝D．x＝4．在△ABC中，AB＝5，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积为（）A．10B．15C．20D．305．与直线l1：x+y+3＝0和l2：x+y+1＝0都相切的圆的直径为（）A．B．2C．1D．6．曲线＝1与曲线＝1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等7．实数x，y满足线性约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．18．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A为C上的点，F为C的右焦点，且AF垂直于x轴，若|AF|＝2，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝19．正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（）A．B．C．D．210．过抛物线y2＝6x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝1上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．4C．D．911．在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D．若∠BAC＝，AB+AC＝4，则AD长度的最大值为（）A．B．2C．3D．312．如图，F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1向一条渐近线作垂线，分别交C的左右两支于A，B两点，且|AB|＝|BF2|，则＝（）A．B．2C．3+D．+1二、填空题（共4小题）.13．已知向量＝（x﹣1，x+1），＝（﹣2，1），若∥，则实数x＝．14．若双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为x+2y＝0，则k＝．15．数列{a n}中，a1＝6，a2＝9，且{a n+1﹣a n}是以2为公差的等差数列，则a n＝．16．已知M为椭圆+＝1上一动点，O为坐标原点，A，B两点在圆C：（x﹣1）2+y2＝25上，且满足++＝．（1）记AB中点为N，则N的轨迹方程为；（2）弦长|AB|的取值范围为．三、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．已知向量与向量的夹角为，且||＝1，⊥（3﹣2）．（1）求||；（2）若|2﹣m|＝，求m．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A；（2）若a＝3，求△ABC面积S的最大值．19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求△ABC外接圆E的标准方程；（2）过P（3，2）作直线l交圆E于M，N，若|MN|＝4，求直线l的方程．20．已知等比数列{a n}的各项都为正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n＝++……+，求使得T n≥成立的正整数n的最小值．21．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过P（2，0）的直线l交C于A，B两点，M（x0，y0）为AB的中点，且|FA|+|FB|＝2（x+1）．（1）求抛物线C的方程；（2）若AB的中垂线与C的准线交于点N，且|AB|＝|MN|，求直线l的斜率．22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2为E的左、右焦点，动点P在直线1：x＝﹣3上，过P作E两条切线，切点分别为M，N．且|MF1|+|MF2|＝2．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过F1，F2分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D．（i）证明：|F1A|•|F2B|为定值；（ii）记△AF1C和△BF2D的面积分别为S1，S2．求的取值范围．参考答案一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合答案请涂写在机读卡上.1．直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1所以该直线的斜率k＝1，设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，∵α∈[0，180°），∴α＝45°．故选：C．2．数列{a n}是各项都为正数的等比数列，a2a8＝25，则a5＝（）A．10B．6C．5D．4【分析】由题意可得：a5＝．解：由题意可得：a5＝＝5，故选：C．3．抛物线x＝2y2的准线方程是（）A．y＝﹣B．x＝﹣C．y＝D．x＝【分析】将抛物线方程转化成标准方程：抛物线的焦点在x轴正半轴，即2p＝，则＝，即可求得准线方程．解：由抛物线的标准方程：y2＝x，可知抛物线的焦点在x轴正半轴，即2p＝，则＝，∴抛物线的准线方程：x＝﹣，故选：B．4．在△ABC中，AB＝5，sin A＝2sin C，cos B＝，则△ABC的面积为（）A．10B．15C．20D．30【分析】先根据正弦定理求得a＝2c＝10；再根据同角三角函数基本关系式求出sin B，进而求得结论．解：在△ABC中，AB＝5，sin A＝2sin C，cos B＝，由正弦定理得：a＝2c＝2×5＝10；且sin B＝＝；∴△ABC的面积为：ac sin B＝×5×10×＝15；故选：B．5．与直线l1：x+y+3＝0和l2：x+y+1＝0都相切的圆的直径为（）A．B．2C．1D．【分析】根据题意，分析可得直线l1∥l2，分析可得与直线l1：x+y+3＝0和l2：x+y+1＝0都相切的圆的直径为两平行线间的距离，求出两直线间的距离即可得答案．解：根据题意，直线l1：x+y+3＝0和l2：x+y+1＝0，两直线平行，其间的距离d＝＝，若圆与直线l1：x+y+3＝0和l2：x+y+1＝0都相切，则该圆的直径为d＝；故选：A．6．曲线＝1与曲线＝1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．解：曲线＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线＝1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．7．实数x，y满足线性约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z＝x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为0．故选：C．8．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A为C上的点，F为C的右焦点，且AF垂直于x轴，若|AF|＝2，则C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【分析】利用双曲线的离心率，结合通径，转化求解即可．解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A为C上的点，F为C的右焦点，且AF垂直于x轴，若|AF|＝2，可得，解得a＝b＝2，所求双曲线方程为：﹣＝1．故选：B．9．正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（）A．B．C．D．2【分析】将已知变形为+＝1，得到+＝（+）（+），再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．解：∵正数m，n满足m+n＝2，∴（m+1）+（n+2）＝5，+＝1，∴+＝（+）（+）＝++≥+2＝，当且仅当m＝，n＝时“＝”成立，故选：B．10．过抛物线y2＝6x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝1上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．4C．D．9【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，设直线AB的方程为x＝ty+，点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得t，代入三角形面积公式求解．解：由抛物线y2＝6x，得焦点坐标为（，0），设直线AB的方程为x＝ty+，点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，联立，消去x得y2﹣6ty﹣9＝0，∴y1+y2＝6t，y1y2＝﹣9，由，得t＝，∴S△AOB＝|OF|•|y1﹣y2|＝×＝．故选：A．11．在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D．若∠BAC＝，AB+AC＝4，则AD长度的最大值为（）A．B．2C．3D．3【分析】设AD＝x，则D到两边AB，AC的距离为x，经计算可知；然后再结合三角形的面积公式后、基本不等式可求得△ABC面积的最大值，则问题可解．解：如图，设AD＝x，由已知得D点到AB，AC两边的距离为，且AB+AC＝4．∴＝．又∵＝＝，（当且仅当AB＝AC＝2时，取等号）．∴，即AD的最大值为．故选：A．12．如图，F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1向一条渐近线作垂线，分别交C的左右两支于A，B两点，且|AB|＝|BF2|，则＝（）A．B．2C．3+D．+1【分析】在△AF1F2中利用余弦定理计算cos∠AF1F2，再根据直线垂直求出cos∠AF1F2，从而列方程得出a，b的关系．解：连接AF2，则|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF2|﹣|AF1|＝2a，又|AB|＝|BF2|，∴|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，又|F1F2|＝2c，∴cos∠AF1F2＝＝，又直线AB与双曲线的一条渐近线为：y＝﹣x垂直，∴直线AB的斜率为tan∠AF1F2＝，∴cos∠AF1F2＝，∴＝，即c2﹣3a2＝2ab，∴b2﹣2a2＝2ab，故（）2﹣﹣2＝0，∴＝1+或＝1﹣（舍）．故选：D．二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知向量＝（x﹣1，x+1），＝（﹣2，1），若∥，则实数x＝﹣．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出x的值．解：∵向量＝（x﹣1，x+1），＝（﹣2，1），且∥，∴﹣2（x+1）﹣（x﹣1）＝0，解得x＝﹣．故答案为：﹣．14．若双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为x+2y＝0，则k＝7．【分析】双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为x+2y＝0，列出方程，能求出k的值．解：在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为x+2y＝0，即渐近线方程为：y＝x ∴，解得k＝7．故答案为：7．15．数列{a n}中，a1＝6，a2＝9，且{a n+1﹣a n}是以2为公差的等差数列，则a n＝n2+5．【分析】由{a n+1﹣a n}是以2为公差的等差数列，可得：a n﹣a n﹣1＝2n﹣1，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出．解：∵{a n+1﹣a n}是以2为公差的等差数列，∴a n﹣a n﹣1＝（a2﹣a1）+2（n﹣2）＝2n﹣1，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+……+（a n﹣a n﹣1）＝6+3+5+……+（2n﹣1）＝5+＝n2+5．故答案为：n2+5．16．已知M为椭圆+＝1上一动点，O为坐标原点，A，B两点在圆C：（x﹣1）2+y2＝25上，且满足++＝．（1）记AB中点为N，则N的轨迹方程为；（2）弦长|AB|的取值范围为[8，4]．【分析】（1）设AB中点N（x，y），M（x0，y0），根据题意可以推出＝（+）＝﹣，（x，y）＝﹣（x0，y0），即，代入椭圆方程即可得N的轨迹方程．（2）由（1）可设N（2cosθ，sinθ），C（1，0），由两点之间的距离公式可得|CN|2，θ∈[0，2π]，进而推出|AB|2＝4（r2﹣|CN|2）＝100﹣4|CN|2的取值范围．解：（1）设AB中点N（x，y），M（x0，y0），所以＝（+），又因为++＝．所以＝﹣，所以＝（+）＝﹣，所以（x，y）＝﹣（x0，y0），所以，即，又点M（x0，y0）在椭圆上，所以，所以，即．（2）|AB|2＝4（r2﹣|CN|2）＝4（25﹣|CN|2）＝100﹣4|CN|2，由（1）可设N（2cosθ，sinθ），C（1，0）所以|CN|2＝（2cosθ﹣1）2+（sinθ﹣0）2＝4cos2θ﹣4cosθ+1+3sin2θ，θ∈[0，2π]＝cos2θ﹣4cosθ+4＝（cosθ﹣2）2，θ∈[0，2π]所以|CN|2∈[1，9]，所以100﹣4|CN|2∈[64，96]，即|AB|∈[8，4]．三、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．已知向量与向量的夹角为，且||＝1，⊥（3﹣2）．（1）求||；（2）若|2﹣m|＝，求m．【分析】（1）由⊥（3﹣2）．得•（3﹣2）＝3﹣2×＝3﹣||＝0．由此能求出||．（2）由|2﹣m|＝，得7＝（）2＝4﹣2m+，由此能求出m．解：（1）∵向量与向量的夹角为，且||＝1，⊥（3﹣2）．∴•（3﹣2）＝3﹣2＝3﹣2×＝3﹣||＝0．解得||＝3．（2）∵|2﹣m|＝，∴7＝（）2＝4﹣2m+＝4﹣3m+9m2，整理得3m2﹣2m﹣1＝0，解得m＝﹣或m＝1．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A；（2）若a＝3，求△ABC面积S的最大值．【分析】（1）由正弦定理化简已知的等式，利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据sin B的值不为0，得出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a及cos A的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，最后由bc的最大值及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解：（1）利用正弦定理＝＝化简已知的等式得：sin A cos C＝（2sin B﹣sin C）cos A，即sin A cos C+cos A sin C＝2sin B cos A，∴sin（A+C）＝sin B＝2sin B cos A，∵B为三角形的内角，即sin B≠0，∴cos A＝，又A为三角形的内角，则A＝；（2）∵a＝3，cos A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得：9＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，∴bc≤9，∴S△ABC＝bc sin A≤，则△ABC面积S的最大值为．19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求△ABC外接圆E的标准方程；（2）过P（3，2）作直线l交圆E于M，N，若|MN|＝4，求直线l的方程．【分析】（1）由题意知，圆心E在直线x＝1与BC的中垂线上，写出BC的中垂线方程，求得E点坐标，进一步求得圆的半径，可得圆的方程；（2）由已知利用垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求．解：（1）由题意知，圆心E在直线x＝1与BC的中垂线上，∵B（3，0）、C（0，3），∴BC的中垂线方程为y＝x，故圆心E（1，1），半径r＝|AE|＝．∴圆E的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；（2）设直线l：y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2＝0．由|MN|＝4，知圆心E到直线l的距离为d＝．再由点到直线的距离公式可得：，解得k＝0或k＝．∴直线l的方程为：y＝2或y＝．20．已知等比数列{a n}的各项都为正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n＝++……+，求使得T n≥成立的正整数n的最小值．【分析】（1）直接根据等比数列的性质列方程，求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和，再利用T n≥成立求出n的最小值．解：（1）等比数列{a n}的各项都为正数，设公比为q，则，解得．所以．（2）由于＝．所以T n＝++……+＝＝1，由于T n≥，故，解得n≥10．即正整数n的最小值为10．21．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过P（2，0）的直线l交C于A，B两点，M（x0，y0）为AB的中点，且|FA|+|FB|＝2（x+1）．（1）求抛物线C的方程；（2）若AB的中垂线与C的准线交于点N，且|AB|＝|MN|，求直线l的斜率．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线定义推出|FA|+|FB|＝2x0+p＝2（x0+1），解得p＝2，进而可得抛物线C的方程．（2）设直线l：x＝my+2，联立直线与抛物线消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，计算出|AB|，|MN|，再由|AB|＝|MN|解得m，进而算出斜率．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可知：|FA|+|FB|＝x1++x2+＝2x0+p＝2（x0+1）所以p＝2，即抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设直线l：x＝my+2，⇒y2﹣4my﹣8＝0⇒，所以x0＝＝（y1+y2）+2＝2m2+2，|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4，|MN|＝|x0+1|＝（2m2+3），由|AB|＝|MN|得：4＝（2m2+3），解得m2＝2或m2＝﹣（舍）所以直线l的斜率为±．22．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2为E的左、右焦点，动点P在直线1：x＝﹣3上，过P作E两条切线，切点分别为M，N．且|MF1|+|MF2|＝2．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过F1，F2分别向PM，PN作垂线，垂足分别为A，B，C，D．（i）证明：|F1A|•|F2B|为定值；（ii）记△AF1C和△BF2D的面积分别为S1，S2．求的取值范围．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）设M（，sinθ），则写出PM的方程，利用点到直线的距离公式写出|F1A|•|F2B|，化简即可证明为定值；（ii）设P（﹣3，t），过P点的切线方程为：y＝k（x+3）+t，联立直线方程与椭圆方程，得关于x的一元二次方程，由△＝0得7k2+6kt+t2﹣1＝0．设PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，，结合（i）知，|AF1|•|BF2|＝1，|CF1|•|DF2|＝1，把转化为关于k与t的代数式即可求得取值范围．【解答】（1）解：由，解得．故椭圆E的方程为；（2）（i）证明：设M（，sinθ），则PM：，即．∴|F1A|•|F2B|＝；（ii）解：设P（﹣3，t），过P点的切线方程为：y＝k（x+3）+t，联立，得（1+2k2）x2+4k（3k+t）x+2（3k+t）2﹣2＝0．由△＝0，得2k2+1﹣（3k+t）2＝0，即7k2+6kt+t2﹣1＝0．设PM，PN的斜率分别为k1，k2，则，．由（i）知，|AF1|•|BF2|＝1，|CF1|•|DF2|＝1．∴＝＝∈[，1）．。

重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题

重庆南开中学高2025级高一（下）期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.1.直线10x +=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.已知a ，b 均为单位向量，且a 与b 夹角为60°，则2a b −=（）A.3 C.23.将ABC △按斜二测画法得到A B C ′′′△，如图所示，2B C ′′=，2A B ′′=，30A B C ′′′∠=°，则ABC △的面积（）A.2B.C.4D.4.过四棱锥P ABCD −任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD 平行的直线有（）A.4条B.5条C.6条D.7条5.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13AM AB = ，11113D N D C = ，3AB =，1AD =，12AA =，则直线DM 与BN 所成角的余弦值为（）C.13 6.在ABC △中，BC 边上的高12AD BC =，且AB AC ≠，则A ∠为（）A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定7.已知ABC △是边长为2的正三角形，动点P 满足CP mCA nCB =+ ，且21m n +=.若Q 为AB 的中点，则PQ 的最小值为（）A.14B.12C.328 8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵。

斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣。

”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

如图所示为鳖臑V ABC −，VA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别在棱VB ，VC 上，且EF VC ⊥，AE VB ⊥.若4VA =，则三棱锥V AEF −外接球的体积为（）A.163πB.C.323π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.9.下列四个命题中不正确．．．的是（） A.m β⊂，αβ⊥，则m α⊥B.m α∥，m n ∥则n α∥C.m α⊥，αβ∥，则m β⊥D.αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥，则m α⊥10.已知i 为虚数单位，复数12i z =+，复数2z 满足：11z −=，则()21z kz k R −∈可能的取值为（）A.0B.12C.1D.211.如图，正方体1111ABCD A B C D −的梭长为4，F 是侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点E 在棱1CC 上，且11C E =，则下列结论正确的有（）A.平面1AD E 被正方体1111ABCD A B C D −截得截面为等腰梯形B.若1DF FD = ，直线1AF D E ⊥C.若F 在1DD 上，BF FE +D.若1DF BD ⊥，点F 的轨迹长度为12.在三棱锥P ABC −中，11123PA PB PC ===.记二面角B PA C −−、C PB A −−、A PC B −−的大小分别为A θ、B θ、C θ，V 为三棱锥P ABC −的体积，则下列结论正确的是（） A.sin sin sin sin A B BPC CPA θθ=∠∠ B.cos cos sin sin C CPA APBθθθ=∠∠ C.sin sin sin A V APB APC θ=⋅∠⋅∠ D.cos sin sin B V BPA BPC θ=⋅∠⋅∠第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共45分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 13.3i 1i+=−______. 14.若两条平行直线1l ：3440x y −−=与2l ：340x y C −+=间的距离为2，则C =______. 15.若圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2，1O 、2O 分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为______.16.在ABC △中，若3AB BC BC AC ⋅=⋅ ，则角A 的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.17.已知()1,1A −−、()2,5B 在直线l 上.（1）求直线l 的方程；（2）若直线1l 倾斜角是直线l 倾斜角的2倍，且与l 的交点在y 轴上，求直线1l 的方程.18.在直三棱柱111ABC A B C −中，3AB =，4BC =，12AA =，90ABC ∠=°，点D 为AC 的中点.（1）求证：1AB ∥面1C BD ；（2）求三棱锥11B BDC −的体积.19.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，且ABC △面积S =（1）若sin sin 2sin A C B +=，求b ；（2）若2AM MC = ，求当BM 取得最小值时ABC △的周长.20.在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ADC PAD ∠=∠=°，224AD BC CD ===，3PA =，E 为棱PD 上一点，且AE CD ⊥.（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）若2DE EP =，求二面角A EB C −−的正弦值.21.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin tan cos 2sin b A a A B a C +=.（1）求A ；（2）若D 为BC 延长线上一点，且4CAD π∠=，求BC CD的取值范围. 22.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=°，将ABD △沿BD 翻折，使点A 到点P 处.E ，F ，G 分别为BD ，PD ，BC 的中点，且FG 是PD 与BC 的公垂线.（1）证明：三棱锥P BCD−为正四面体；（2）若点M，N分别在PE，BC上，且MN为PE与BC的公垂线.①求PMME的值；②记四面体BEMN的内切球半径为r，证明：1112r EM BN>+.。

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重庆南开中学高一数学下期末综合
复习试题
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重庆南开中学高一下期末数学试卷
<考试时间：120分钟满分150分）
一、选择题：<本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）b5E2RGbCAP
1. 下列说法中正确的是<）.
(A>若∥，则与方向相同
(B>若||＜||，则＜
(C>起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等
(D>所有的单位向量都相等
2. 已知sin+cos=,且，则tan=( >.
(A> (B> (C> (D>
3. 若为平行四边形的中心，，，则
等于<）.
(A> (B> (C> (D>
4. =<）.
(A> (B>
(C> (D>
5. 已知的周期为1，最大值与最小值的差是3，且函数的图象过点，则函数表达式为<）.
<A）<B）
<C）<D）
6. 把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是( >.
<A）向左平移个单位<B）向右平移个单位
<C）向左平移个单位<D）向右平移个单位
7. (>=( >.
(A>cos (B>-cos (C> sin (D>
cos
8. 若，且，则可以是<）.
<A）|sin| <B）cos<C）sin2<D）sin||
9. 已知|cos|=cos,|tan|=-tan,则的取值范围是
( >.
<A）<B）
<C）<D）
10. 下列各函数中，最小正周期是的函数是<）.
(A> (B> (C> (D>
11、△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为< ）p1EanqFDPw
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
12．设，已知两个向量，
，则向量长度的最大值是< ）DXDiTa9E3d
A. B. C.
D.
二、填空题<本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．方程x2－2ax＋a＋=0，有二实根α、β，则<α－1）2＋<β－1）2的最小值为。

14．函数f(x>=的值域为。

15．不等式的解集是。

16.已知,的夹角为,则在上的投影为_____________；
17．下列命题中正确的序号为<你认为正确的都写出来）
①的周期为，最大值为；②若x是第一象限的角，则
是增函数；③在中若则；④
且⑤既不是奇函数，也不是偶函数；RTCrpUDGiT
三、解答题<本大题共6小题，共70分）
18．(本小题10分>已知向
量
求函数的最大值、最小正周期，并写出在上的单调区
间。

19. (本小题12分>已知A 、B 、C 坐标分别为
，
若
，求角的值；
若
，求的值。

20．(本小题12分> 如图，在△ABC 中，点M 为BC 的中点，A 、B 、C 三点坐标分别为<2，-2）、<5，2）、<-3，0），点N 在AC 上，且
，AM 与BN 的交点为P ，求：5PCzVD7HxA
<1）点P 分向量所成的比的值；
<2）P 点坐标.
21．(本小题12分>已知△ABC 的周长为6，成等比数
列，求
<I ）试求B 的取值范围；
A C
B
M
N
P
<Ⅱ）求的取值范围.
22．(本小题12分>、某外商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年需各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售蔬菜总收入为50万元．jLBHrnAILg
<I）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？<II）若干年后，外商为开发新工程，对加工厂有两种处理方案：
<1）若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元的价格出售该厂；<2）若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂．问：哪一种方案比较合算？请说明理由．
23．(本小题12分>设，，其中，且
<1）求证：；<2）求证：函数与的图象有两个不同的交点
<3）设与图象的两个不同交点为、，求证：
重庆南开中学高一下期末综合复习
数学试卷
一、选择题：1C2 B3 B4 C5D6A7 D8 A9D10C
11B12C
二、填空题：13、14、15、
16、3 17、①③④⑤xHAQX74J0X
三、解答题： 18、解：
所以的最大值为，最小正周期，在上递增，在上递减。

19．解：<1）.
，
，
∵，， 4分
又…..6分
<2）由知：。

，∴
∴= 12分20．解：<1）∵A、B、C三点坐标分别为、、
由于M为BC中点，可得M点的坐标为<1，
1）……2分
由可得N点的坐标为……4分
又由可得P点的坐标为<，
从而得，，
∵与共线故有>>－((＝0 解之得
4 …8分
∴点P的坐标为<，
）……12分21．解:<1）设依次为,则,由余弦定理得故有，…6分
<2）又从而
所以
…10分
……12分
22．解：由题设知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列
设纯利润与年数的关系为，
则
<I）获纯利润就是要求，
即，
，
从第3年开始获利．…………………………………………6/
<II）<1）年平均纯利润，
，当且仅当时，取“=”号，
，
第<1）种方案共获利<万元），此时
．…………10/
<2），
当时，．
故第<2）种方案共获利<万元）．…………12/
比较两种方案，获利都为144万元，但第<1）种方案需6年，而第<2）种方案需10年，
故选择第<1）种方案．
23、解<1）由，可知
由得即，且… 4分
<2）由得
故有两个不同交点…… 8分
<3）
又从而得证……12分
申明：
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