人教版九年级数学下册 相似三角形的判定教案

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人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2优秀教学案例

人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2优秀教学案例
五、教学拓展
1.邀请相关领域的专家或从业者,进行专题讲座或实践活动,让学生深入了解相似三角形在实际中的应用;
2.组织学生进行数学竞赛或研究性学习,鼓励他们探索相似三角形的更多判定方法;
3.开展数学沙龙或小组讨论活动,让学生分享自己的学习心得和经验。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
1.创设情境:通过展示建筑设计中相似三角形的应用实例,让学生感受到相似三角形在现实生活中的重要性;
2.利用几何模型和实物道具,让学生亲自动手操作,加深对相似三角形判定方法的理解;
3.设计多样化的练习题,让学生在解决实际问题的过程中,学会运用相似三角形的判定方法。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心,使他们愿意主动参与到数学学习中;
2.培养学生严谨的逻辑思维能力和团队合作精神,使他们能够在解决问题过程中充分发挥自己的潜能;
3.教能力。
(三)小组合作
1.学生分组进行讨论和实践,共同探索相似三角形的判定方法;
2.教师巡回指导,给予学生个性化的建议和帮助;
3.小组成员相互评价、总结,共同提高对相似三角形判定方法的理解。
(四)反思与评价
1.教师引导学生回顾本节课的学习内容,总结相似三角形的判定方法及其应用;
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2优秀教学案例
一、案例背景
本节课是人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定2,学生在学习了相似三角形的判定1之后,已经掌握了AA相似定理,但对新的判定方法——角角相似定理和边边边相似定理的理解和应用还不够熟练。此外,学生对于实际问题中相似三角形的识别和应用也存在一定的困难。因此,在教学过程中,我需要通过设计丰富的教学活动,引导学生深入理解相似三角形的判定方法,提高他们的解决问题的能力。同时,我还要注重培养学生的逻辑思维能力、团队协作能力和创新意识,使他们在学习中获得全面发展。

人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(平行线法)教案

人教版九年级数学下27.2相似三角形的判定(平行线法)教案
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调平行线法判定相似三角形的步骤和条件。对于难点部分,如同位角、内错角的判定,我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与相似三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和测量,学生可以直观地感受相似三角形的性质。
在讲授过程中,我尽力用清晰的图示和实际的例题来解释同位角、内错角等概念,但显然,这部分内容对于一些学生来说仍然是一个难点。我意识到,可能需要通过更多的互动和实际操作来加强他们的理解。在未来的教学中,我打算引入更多的实物模型或互动软件,让学生能够更直观地感受这些几何关系。
实践活动环节,学生分组讨论和实验操作的效果比我预期的要好,大家积极参与,热烈讨论。我观察到他们在解决问题的过程中能够运用所学的知识,这让我感到很欣慰。不过,我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题,这可能是因为他们对问题的理解不够深入。在接下来的教学中,我需要更明确地设定讨论的主题和目标,引导学生们更加聚焦。
在小组讨论环节,我发现学生们对于相似三角形在实际生活中的应用有很多自己的想法,这是一个很好的现象。通过分享和交流,他们能够从不同的角度理解相似三角形的应用。但同时,我也注意到有些学生在讨论中比较沉默,可能是因为他们不够自信或者没有被充分地激发思考。我需要在这方面多做一些工作,鼓励每个学生都参与到讨论中来,提高他们的参与度和自信心。
-强调:在讲解过程中,教师要着重强调这些判定条件的逻辑关系,以及如何从已知条件出发,逐步推导出相似关系。
2.教学难点
-难点内容:本节课的难点在于学生对于平行线法的理解和应用,尤其是在实际问题中的运用。

九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)

九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)

27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)【知识与技能】1.了解相似三角形的概念及其表示方法;2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理;3.掌握相似三角形判定的预备定理.【过程与方法】经历从探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.【情感态度】体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律,发展辩证思维能力. 【教学重点】平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.【教学难点】探索平行线分线段成比例定理的过程.一、情境导入,初步认识问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢?问题2如果△ABC与△A1B1C1相似,能类似于两个三角形全等,给出一种相似表示方法吗?△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ,那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗?问题3 如何判定两个三角形相似呢?【教学说明】通过上述三个问题的设置,既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识,又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾,教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究,获取新知问题1 如图,任意画两条直线l 1,l 2,再画三条与l 1,l 2相交的平行线l 3,l 4,l 5分别度量AB ,BC ,DE ,EF 长度,则EFDEBC AB 与相等吗?呢?与DF DE AC AB 呢?与DFEFCA BC【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形,测出所截各条线段的长度(尽可能准确些),然后求出相应比值的近似值,便于作出说明.教师巡视,发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形,帮助他们分析,找出原因,尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果,形成感性认知.最后,教师可综合大多数同学的认知,给予总结,得出结论.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.【教学说明】这一结论不要求学生证明,只需形成感性认识.为了便于记忆,上述定理的结论可使用下面形象化的语言,如:.等全下全下,全上全上,上下上下,下上下上==== 问题 2 如图,当l 1//l 2//l 3时,在(1)中是否仍有呢?,,AF EFAC BCAF AE AC AB EF AE BC AB ===在(2)中是否仍有呢?,,DFBFACBCDF DB AC AB BF DB BC AB ===【教学说明】针对问题2,教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明,不可继续用测量方法得到,这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组,小组讨论,相互交流,形成认识,最后教师再与全 班同学一道分析,得出结论.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得到的对应线段的比相等.问题3 如图,在△ABC 中,DE// BC ,DE 分别交AB 、AC 于D 、E ,则△ABC 与△ADE 能相似吗?为什么?问题4如图,已知DE//BC,DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E,则△ADE与△ABC能相似吗?为什么?【教学说明】将全班学生分成两组,分别完成问题3、4的探究,教师应先给予点拨,突破难点(即添加辅助线,达到两个三角形的三边的比能相等的目的),然后学生自主完成,锻炼逻辑思维能力和推理能力.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).三、运用新知,深化理解1.如图,DE//BC,EF//AB,请尽可能多地找出图中的相似三角形,并用符号表示出来.2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点,E 为AD 中点,连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. (1) 求AC EG 的值;(2)求CF EG 的值;(3)求FCAF的值.3.如图,已知在△ABC 中,DE//BC ,AD=EC ,BD=1cm ,AE=4cm ,BC=5cm , 求 DE 的长.【教学说明】 让学生自主完成,也可合作完成,在练习中加深理解.教师巡视指导,及时点拨.在完成上述题目后,教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解:△ADE ~△ABC ,△CEF ~△CAB, △ADE ~△EFC. 2.解:(1)∵EG//AC ,∴△DGE ~△DCA ,∴21==DA DE AC EG . (2)∵EG//AC ,E 是AD 的中点,∴G 是CD 的中点,即CG=DG.又D 是BC 的中点,∴BD=CD ,∴BG=3CG ,BC=4CG ,∴34BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ~△BFC,∴43==BC BG FC FG . (3)过D 点作DH//CF ,交BF 于H.易得DH=AF ,∴21==FC DH FC AF . 3.解:∵DE//BC ,∴ECAEDB AD =,又AD=CE ,∴AD 2=4,∴AD=2,∴AB=3.由DE//BC 可知△ADE ~△ABC ,∴)(cm 310352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动,课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识? 2.你还有哪些疑惑?【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识,重点应关注哪些内容,还有什么地方不太明白,及时解疑.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发,遵循学生的理解认知能力,由浅入深、逐步推进,激发学生自主探究的学习热情,培养学生的自主学习能力.27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(1)一、新课导入 1.课题导入问题1:我们学过哪些判定两个三角形全等的方法?问题2:类比上面这些方法,猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些? 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标(1)能用符号表示两个三角形相似,能确定它们的相似比、对应边和对应角.(2)能叙述平行线分线段成比例定理及其推论,并能结合图形写出正确的比例式.(3)能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点重点:平行线分线段成比例定理及其推论. 难点:正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习1.自学指导(1)自学内容:教材P29~P30思考上面的内容. (2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理,并完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲:①三个角相等,三条边成比例的两个三角形相似.在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,AB BC CAk A B B C C A ==='''''', 那么△ABC 和△A′B′C′相似,记作△ABC ∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′的相似比为k,△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.②相似三角形的对应角相等,对应边成比例.③完成教材P29探究:a.如图1,量一量,算一算,ABBC与DEEF相等吗?BCAB与EFDE呢?ABAC与DEDF呢?BCAC与EFDF呢?b.由上一步可得:∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=DEEF,BCAB=EFDE,ABAC=DEDF,BC AC =EFDF.c.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE):BC与EF,AC与DF.④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中,会出现图2和图3两个基本图形:在这两个图形中,把DE看成平行于△ABC的边BC的直线,截其他两边(如图1)或其他两边的延长线(如图2),于是可得推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.即:∵DE∥BC,∴ADDB=AEEC,ADAB=AEAC,BDAB=CEAC.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:能否正确理解“对应线段”,尤其是在推论的两个图形中.②差异指导:根据学情,指导学生结合图形理解“对应线段”.(2)生助生:小组交流、研讨.4.强化(1)分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等(强调“对应”).1.自学指导(1)自学内容:教材P30思考~P31.(2)自学时间:6分钟.(3)自学方法:学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明,并完成自学参考提纲.(4)自学参考提纲:①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1,作EF∥AB).证三个角相等:∠A公共,由DE∥BC可得∠ADE=∠B,∠AED=∠C.证三条边成比例:由DE∥BC可得ADAB=AEAC,由EF∥AB可得BFBC=AEAC.由DE∥BC,EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形,所以BF=DE.故DE BCADAB=AEAC=BFBC.所以△ADE∽△ABC.②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E,那么△ADE与△ABC 相似吗?能否给予证明?相似.∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ,EF ∥BD ,∴,AE AD BF AEAC AB BC AC==. 又∵四边形BDEF 是平行四边形,∴DE=BF,∴AE AD DEAC AB BC==. ∴△ADE ∽△ABC.③如图3,△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AEFC EC=. 又∵四边形BDEF 是平行四边形, ∴BD=EF,DE=BF. ∴AD AE DEEF EC FC==, ∴△ADE ∽△EFC.④如图4,DE ∥FG ∥BC ,找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ,易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学:结合自学指导进行自学. 3.助学 (1)师助生:①明了学情:看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导:根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. (2)生助生:小组交流、研讨. 4.强化(1)判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. (2)点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题,并点评. 三、评价1.学生学习的自我评价:这节课你有什么收获?还有哪些不足?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时先给出相似三角形的定义,说明有关概念,明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分,因此在形成相似三角形的概念之后,主要安排学习比例线段,进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理,为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力,由浅入深,逐步推进.一、基础巩固(70分)1.(10分)如图,在△ABC中,DE∥BC, 且AD=3,DB=2.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC,其相似比是35.第1题图第2题图2.(10分)如图,DE∥BC,DF∥AC,则图中相似三角形一共有(C)A.1对B.2对C.3对D.4对3.(10分)如图,DE∥BC,12ADDB,则AEAC=(B)A.12B.13C.23D.32第3题图第4题图4.(10分)如图,已知AB ∥CD ∥EF ,那么下列结论正确的是(A )5.(10分)如图,AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ,且AG=2,GD=1,DF=5,求BC CE .解:∵AB ∥CD ∥EF,∴35BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图,DE ∥BC.(1)如果AD=5,DB=3,求DE ∶BC 的值;(2)如果AD=15,DB=10,AC=15,DE=7,求AE 和BC 的长.解:(1)∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC,∴58DE AD BC AB ==. (2)AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353. 二、综合应用(20分)7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ,AD ∥BC ,∠B=∠DCA.(1)写出对应边的比例式;(2)写出所有相等的角;(3)若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长.解:(1)BC AB AC CA DC DA==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由(1)中的结论和已知条件可知121066DC AD==,求得AD=3,DC=5. 三、拓展延伸(10分)8.(10分)如图,在△ABC 中,DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ,试证明:ADAB=DOCO.证明:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,∴,AD DE DO DE AB BC CO CB==. ∴AD DO AB CO =.。

相似三角形的判定教案3篇

相似三角形的判定教案3篇

相似三角形的判定教案3篇相似三角形的判定教案1最近,我们九年级学完了《相似三角形的判定》的内容,相似三角形是初中数学学习的重点内容,对学生的能力培养与训练,有着重要的地位,而“相似三角形判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在。

在本章教学中,主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中,获得三角形相似的判定方法;培养学生提出问题、解决问题的能力。

2013年12月10日,我在九年级二班刚好就上了《相似三角形的判定》第一课时的内容。

在本节课的教学中,我是通过平行线分线段成比例定理引入教学的,先让学生画三条平行线,再画两条相交直线与其相交,从而得出得出了一些线段,并再让学生自己操作:量一量、算一算、比一比,从图形中判断,得出那些结论。

整个教学过程进展较为顺利,基本完成了教学任务。

在本节课的教学中,我认为以下这几个方面做得较好:1、教学引入照顾到了到多数的同学,培养了学生的动手测量和计算能力。

利用三角板画平行线、相交线,通过测量对比,学生基本能全员参与,调动了学生学习的兴趣和积极性。

学生更易于从图形当中得到结论,这样引入能很好的使学生体验到生活中的数学知识。

通过后来练习及作业反馈、九年级四班的同学也比较容易得出了平行线分线段成比例定理这个结论,说明这种引入的方法是成功的。

2、对教学内容进行了合理整合。

把相似三角形的判定方法放到下一节课学习,使学生对相似三角形的识别方法有个整体的认识,然后再利用第二、三节课巩固深入,杜绝传统的“学生在一节课内学完一个知识点就做相应的练习,模仿套用知识而不需选择,当学完全部相似知识点进行综合练习时,容易产生混淆”的现象。

本节课只学习了平行线分线段成比例定理的内容,以及由此演变而形成的“A 字型”图和“X型图”从一开始就摆脱学生的依赖心理,把问题抛给学生,有效的锻炼了学生的思维,同时还利用全等三角形的识别类比相似三角形的识别,学生容易理解。

3、注意到了推理的逻辑性和严密性。

数学教案三角形相似的判定(优秀3篇)

数学教案三角形相似的判定(优秀3篇)

数学教案三角形相似的判定(优秀3篇)知识结构本文范文为朋友们整理了3篇《数学教案三角形相似的判定》,可以帮助到您,就是本文范文我最大的乐趣哦。

角形相似的判定篇一(第3课时)一、教学目标1.使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用。

2.继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解。

3.通过了解定理的证明方法,培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力。

4.通过学习,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点。

二、教学设计类比学习,探讨发现三、重点及难点1.教学重点:是直角三角形相似定理的应用。

2.教学难点:是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路。

四、课时安排3课时五、教具学具准备多媒体、常用画图工具、六、教学步骤[复习提问]1.我们学习了几种判定三角形相似的方法?(5种)2.叙述预备定理、判定定理1、2、3(也可用小纸条让学生默写). 其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?(①作相似,证全等;②作全等,证相似)3.什么是“勾股定理”?什么是比例的合比性质?【讲解新课】类比判定直角三角形全等的“HL”方法,让学生试推出:直角三角形相似的判定定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

已知:如图,在∽ 中,求证:∽建议让学生自己写出“已知、求征”。

这个定理有多种证法,它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法,即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”,教材上采用了代数证法,利用代数法证明几何命题的思想方法很重要,今后我们还会遇到。

应让学生对此有所了解。

定理证明过程中的“ 都是正数,,其中都是正数”告诉学生一定不能省略,这是因为命题“若,到”是假命题(可举例说明),而命题“若,且、均为正数,则”是真命题。

例4 已知:如图,,,,当BD与、之间满足怎样的关系时∽ .解(略)教师在讲解例题时,应指出要使∽ .应有点A与C,B与D,C与B 成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边。

相似三角形的判定数学教学教案

相似三角形的判定数学教学教案
似。
相似比
相似图形对应边的比叫做相似比。
相似图形的性质
相似图形的对应角相等,对应边成 比例。
三角形中的基本元素

三角形有三个内角,分别 用A、B、C表示。
中线
连接三角形的一个顶点和 它对边的中点的线段叫做
三角形的中线。
01
02
03
04
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三角形有三条边,分别用 a、b、c表示。

从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线 ,顶点和垂足之间的线段
05
3. 若满足以上两个条件,则判定两个三角形相似。
03
1. 确定两个三角形中两边对应成比例;
06
示例与解析:通过具体题目,展示如何应用该方法判定两 个三角形相似,并给出详细的解析过程。
三边成比例判定法
定理内容:如果两个三角形的三边对应 成比例,那么这两个三角形相似。
示例与解析:通过具体题目,展示如何 应用该方法判定两个三角形相似,并给 出详细的解析过程。
相似三角形的判定数学教 学教案
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 相似三角形的判定方法 • 典型例题解析与讨论 • 学生自主练习与互动环节 • 课堂小结与作业布置
01
课程介绍与目标
教学目标
知识与技能
使学生掌握相似三角形的基本概念和性质, 理解相似三角形的判定条件,能够运用相似 三角形的知识解决简单的实际问题。
2. 若满足该条件,则判定两个三角形相 似。
判定步骤 1. 确定两个三角形中三边对应成比例;
直角三角形中的特殊判定法
定理内容:在直角三 角形中,如果斜边和 一条直角边与另一个 直角三角形的斜边和 一条直角边对应成比 例,那么这两个直角 三角形相似。

人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计

人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计
4.培养学生勇于面对困难、克服挫折的品质,使他们具备解决问题的信心和决心。
在教学过程中,教师要关注学生的个体差异,因材施教,使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时,教师要善于运用启发式教学,引导学生主动发现、总结相似三角形的判定方法,提高他们的数学素养。通过本章节的学习,使学生掌握相似三角形的判定方法,为后续几何学习打下坚实基础。
(2)结合数学学科特点,探讨相似三角形在艺术、建筑等领域的应用,撰写一篇小论文。
作业要求:
1.学生独立完成作业,确保解题过程的正确性和答案的准确性。
2.注重作业书写的规范性和整洁性,体现良好的学习态度。
3.鼓励学生积极参与小组合作作业,提高团队协作能力。
4.教师在批改作业时,关注学生的解题思路和方法,及时给予评价和指导。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.重点:相似三角形的判定方法及其应用。
2.难点:相似三角形的判定过程中,学生对于比例关系的理解和运用;以及在解决实际问题时,相似变换的灵活运用。
(二)教学设想
1.创设情境,导入新课
利用生活中常见的相似图形,如照片放大、缩小等,引导学生观察、思考相似三角形的性质。通过实际案例,激发学生探究相似三角形判定的兴趣。
1.帮助学生巩固几何基础知识,特别是全等三角形的判定方法,为学习相似三角形打下坚实基础。
2.注重培养学生的观察能力和空间想象力,提高他们发现相似三角形判定方法的能力。
3.针对学生个体差异,设计不同难度的问题,使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。
4.加强对学生合作学习的引导,培养他们沟通交流、共同解决问题的能力。
(2)鼓励学生积极参与拓展性学习,提高他们的数学素养。
(3)充分挖掘学生的潜能,激发他们的创新意识。

九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)

九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)

27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定(3)【知识与技能】1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法.2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题.【过程与方法】在观察、动手探究等活动中,掌握判定三角形相似的方法,体会转化思想.【情感态度】经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的探究、交流能力和推理能力.【教学重点】掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】探究两个判定定理的过程及其证明方法.一、情境导入,初步认识观察展示教师用的大三角板(45°和45°) 及学生用小三角尺(45°和45°),请学生们观察这样的两个三角形相似吗?对应相等,这样的两个三角形相似吗?【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1,2后,提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢?”,进而展示所准备好的三角尺,让学生获得感性认识,顺理成章地提出思考,激发学生求知欲望.二、思考探究,获取新知问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′,使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,分别度量这两个三角形的边长,计算C A AC C B BC B A AB '''''',,的值,你有什么发现? 由此你能作出一个怎样的猜想?【教学说明】让全班同学动手画图,并按要求独立完成探索过程,获得结论后,与同伴交流;只要画图和测量尽可能准确,则会得到它们 的比值相等,从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视,对出现偏差的结论应予以帮助,查找问题,尽量让他们也能获得正确结论.问题2 如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,则△ABC ~△A ′B ′C ′吗?说说你的理由.【教学说明】教师应引导学生论证上述结论,在学生动笔前给予适当点拨,让学生能独立完成说理.在巡视时,对有困难的学生给予指导,并给出足够的时间,锻炼学生的合情推理能力.对应相等,那么这两个三角形相似.试一试如图,点D是AB边上一点,且∠ACD=∠B,试问:图中是否存在能够相似的二角形?如果存在,请指出来,并说明理由. 【教学说明】现学现用,巩固所学新知识.问题3对于直角三角形,我们知道“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形是全等的”,那么如果两个直角三角形中,有一条直角边与斜边的比对应相等,这样的两个直角三角形相似吗?【教学说明】教师应先与学生一道交流,找出两个直角三角形的已知条件有哪些(用图形和符号语言来表述),从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件,能否通过推理计算获得相应条件,从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论.然后让学生独立完成,或相互交流获得论证过程.直角三角形相似的特殊判定方法:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.三、典例精析,掌握新知例1教材P35例2.例2如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB边上的高线.求证:(1)△ABC~△CBD;(2)CD2=AD•DB.【教学说明】例1可让学生自主探究,独立完成,再相互交流.例2则需师生共同探讨,利用直角三角形及高线定义找出图中能够相等 的角,从而获得相似的三角形有哪些,进而可解决问题.但它的证明过程仍可由学生自己完成,教师再挑选两至三份作业予以展示,共同评析,达到掌握本节知识的目的.四、运用新知,深化理解1.底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论.2.如图,AD 、BE 是AABC 的高线,它们相交于点 F.求证:AF • DF=BF • EF.3. 如图,△ABC 中,CD 是边AB 上的高,且BD CD CD AD ,试求∠ACB 的大小.【教学说明】1,3两题分别应用本节的两种三角形相似的判定方法来获得结论,是对本节知识较好的理解与掌握的体现,而第2题则是用一般三角形相似的判定方法来解决直角三角形中的相似问题,具有代表性.这些练习可根据实际情况选做,要求学生自主完成或相互交 流来得到结论.在完成上述题目后,教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动,课堂小结1.本节学习两种判定三角形相似的方法,它们分别是什么?2.总结一下判定两个直角三角形相似的方法.【教学说明】釆用师生互动方式进行,教师设问,学生抢答,进行必要的知识梳理.1.布置作业:从P42〜44习题27.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应强调学生自主探究的原则,让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用,本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定(3)——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景:拿一个含30°角的三角尺,让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1:你是怎么判定的?能用前面学习的判定定理判定它们相似吗?问题2:我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理,那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢?(板书课题)2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似;知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点:相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点:定理的证明.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容:教材P35.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:仿照上课时探究1,2完成探究提纲.(4)探究提纲:①探究:与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′,使得∠A=∠A′,∠B=∠B′.a.操作判断:分别测量这两个三角形的边长,计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值,你有什么发现?∠C=∠C′ 吗?由此你得到一个什么样的猜想?b.交流比较:把你的结果跟你周围的同学比较,你们的结论相同吗?c.归纳猜想:两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明:已知△ABC 和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证:△ABC ∽△A′B′C′.证明:在A′B′上截取A′D=AB,过D 作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE ∥B′C′,AB=A′D,∴∠A′DE=∠B′=∠B.∴△ABC ≌△A′DE.∴△ABC ∽△A′B′C′.e.推理格式:∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴△ABC ∽△A′B′C′.②教材P35例2:如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E 是AC 上一点,AE=5,ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边?这两个三角形相似吗?b.怎样证明这两个三角形相似?由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式?c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边,AE,AD 是△AED 的边,这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4. ③如图,若∠B=∠AED ,则△ADE ∽△ACB 吗?为什么?△ADE ∽△ACB.理由:∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗?顶角相等的两个等腰三角形相似吗?证明你的结论.(相似,证明略)2.自学:学生参照自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导:根据学情进行指导.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:∠A=∠A′,∠B=∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导(1)自学内容:教材P36.(2)自学时间: 6分钟.(3)自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲:①由已知∠C=∠C′=90°,AB ACA B A C='''',能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗?为什么?(不能,∠C和∠C′并非对应两边的夹角)②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似,还差什么条件?AB BC A B B C=''''③能否像前面三个判定定理的证明一样,构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢?④如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高.求证:a.△ACD∽△ABC;b.△CBD∽△ABC.证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.a.在△ACD和△ABC中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.b.在△CBD和△ABC中,∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4,那么以3k和4k(k>0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗?为什么?(相似,理由:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)2.自学:学生参照自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:直角三角形相似判定定理的归纳与证明.②差异指导:根据学情进行指导.(2)生助生:生生互动交流、研讨.4.强化(1)直角三角形相似的判定方法.(2)点学生口答后,点3位学生板演,并点评.三、评价1.学生学习的自我评价:这节课你学到了些什么?有哪些收获和不足?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时应以学生自主探究为原则,让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中,通过设计问题和启发、引导,让学生悟出学习方法和途径,培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用,难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法,教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中,应鼓励学生相互交流探讨,以提高学生的学习热情.一、基础巩固(70分)1.(10分)如图,当∠ADE=∠C(答案不唯一)时,△ABC∽△AED(填写一个条件).第1题图第2题图2.(10分)如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC ∽△EPD,则点P所在的格点为(C)A.P1B.P2C.P3D.P43.(10分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于点D,求证:△ABC∽△BDC.证明:∵AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.∴△ABC∽△BDC.4. (10分)如图,AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD 的长.解:∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠CAB.∴△ABD∽△CBA,∴BD BA AB CB=,即4410BD=,BD=1.6(cm).5.(30分)从下面这些三角形中,选出相似的三角形.①、⑤、⑥相似,③、④、⑧相似,②和⑦相似.二、综合应用(20分)6.(20分)如图,△ABC中,D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16.(1)求证:△ABC∽△DAC;(2)求CD的长.(1)证明:∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.(2)解:∵△ABC∽△DAC,∴CD ACCA BC=,即8816CD=,∴CD=4.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点,过M点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有(C)A.1条B.2条C.3条D.4条。

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《相似三角形的判定》教案
课标要求
1.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;
2.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似;
3.了解相似三角形判定定理的证明.
教学目标
知识与技能:
1.了解相似三角形及相似比的概念;
2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论;
3.掌握相似三角形判定方法:平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法;
4.进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题.
过程与方法:
类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定,体会特殊与一般的关系,从而掌握相似三角形的判定方法.
情感、态度与价值观:
发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.
教学重点
掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似.
教学难点
探究三角形相似的条件,并运用相似三角形的判定定理解决问题.
教学流程
一、知识迁移
类比相似多边形的相关知识回答下面的问题:
1.对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
2.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
师介绍:“相似”用符号“∽”来表示,读作“相似于”,2题可以用符号表示为
∵△ABC∽△DEF,
∴A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F;AB AC BC DE DF EF
==.
如何判断两个三角形相似呢?反过来
∵A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F;AB AC BC DE DF
k
EF
===
∴△ABC∽△DEF.
师介绍:△ABC与△DEF的相似比为k,△DEF与△ABC的相似比为1
k

追问:当k=1,这两个三角形有怎样的关系?
引出课题:如何判断两个三角形相似呢?有没有更简单的方法?回顾学习三角形全等时,我们知道,除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外,还有判定的简便方法(SSS,SAS,ASA,AAS).类似地,判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢?
二、探究归纳
(一)平行线分线段成比例
探究1:如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5.分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB ,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,
AB BC 与
DE
EF
相等吗?任意平移l5.
AB
BC

DE
EF
还相等吗?
当l3//l4//l5时,

AB DE
BC EF
=,
BC EF
AB DE
=,
AB DE
AC DF
=,
BC EF
AC DF
=等.
基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.迁移:将基本事实应用到三角形中,
当DE//BC时,有
AD AE BD CE =,BD CE AD AE =,AD AE AB AC =,BD CE AB AC
=等. 结论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
应用:如图AB //CD //EF ,AF 与BE 相交于点G ,AG =2,GD =1,DF =5,求BC CE
的值.
(二)相似三角形的判定
思考:如图1,在△ABC 中,DE ∥BC ,且DE 分别交AB ,AC 于点 D ,E , △ADE 与△ABC 有什么关系?
图1 图2 分析:用定义证明△ADE ∽△ABC , 需要具备的条件:角:∠A =∠A ,∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ;边:
AD AE DE AB AC BC ==. 如何证明AE DE AC BC
=呢? 判定三角形相似的定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
变式:如图2,DE ∥BC ,且 DE 分别交 BA ,CA 的延长线于点 D ,E ,△ABC 与△ADE 相似吗?
符号语言:
∵DE //BC
∴△ABC ∽△ADE
应用:如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,且 AD =3,DB =2.写出图中的相似三角形,并指出其相似比.
探究2:任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍.度量这两个三角形的角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论.
在△ABC 与△A′B′C′中,如果满足AB BC AC A B B C A C
=='''''',求证:△ABC ∽△A ′B ′C ′.
判定三角形相似的定理一:三边成比例的两个三角形相似.
符号语言: AB BC AC A B B C A C ==''''''
ABC A B C '''∴∆∆∽
类比:对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中,如果
,AB AC A A A B A C
'=∠=∠'''',这两个三角形一定相似吗?
判定三角形相似的定理二:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言:
,AB AC A A A B A C '=∠=∠''''
ABC A B C '''∴∆∆∽
思考:对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中,如果
,AB AC B B A B A C '=∠=∠''''
,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
应用:例1根据下列条件,判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似,并说明理由:
(1)AB =4 cm ,BC =6 cm ,AC =8 cm ,A ′B ′=12 cm ,B ′C ′=18 cm ,A ′C ′=24 cm .
(2)∠A =120°,AB =7 cm ,AC =14 cm ,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm ,A ′C ′=6 cm . 追问:这两个三角形的相似比是多少?
练习:判断图中的两个三角形是否相似.为什么?
探究3:观察两副三角尺,其中有同样两个锐角(30°与 60°,或 45°与 45°)的两个三角尺大小可能不同,它们相似吗?试着说说理由.
迁移:对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中,如果,A A B B ''∠=∠∠=∠,这两个三角形一定相似吗?
判定三角形相似的定理三:两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言:
,A A B B ''∠=∠∠=∠
ABC A B C '''∴∆∆∽
应用:例2如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,AB=10,AC=8.E 是 AC 上一点,AE =5,ED ⊥AB ,垂足为 D .求 AD 的长.
问题:根据三角形相似的条件,判定两个直角三角形相似有哪些方法呢?
思考:我们知道,两个直角三角形全等可以用“HL ”来判定.那么,满足斜边和一条
直角边成比例的两个直角三角形相似吗?
判定直角三角形相似定理:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
练习:如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,求证:(1)△ACD∽△ABC;(2)△CBD∽△ABC.
三、应用提高
1.如图,△ABC 中,DE∥FG∥BC,找出图中所有的相似三角形.
第1题图第2题图
2.有一块三角形的草地,它们一条边长为25m.在图纸上,这条边长为5cm,其他两条边的长都为4cm,求其他两条边的实际长度.
3.底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢?证明你的结论.
四、体验收获
说一说你的收获.
1.三角形相似的定义;
2.平行线分线段成比例的基本事实、推论及在三角形中的运用;
3.三角形相似的判定方法.
五、拓展提升
1.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4cm,5cm 和6cm,另一个三角形框架的一边长为2cm,它的另外两条边长应当是多少?说出你的制作方案.
2.如图,△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB,求证△ADE∽△EFC;
六、课内检测
1.根据下列条件,判断△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由:
(1)∠A=40°,AB=8 cm,AC=15 cm,∠A′=40°,A′B′=16cm ,A′C′=30 cm.(2)AB=10 cm,BC=8 cm,AC=16 cm,A′B′=16cm ,B′C′=12.8cm ,A′C′=25.6cm.
2.如果Rt△ABC 中的两条直角边分别为3和4,那么以3k和4k(k为正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗?为什么?
七、布置作业
必做题:教材42页习题27.2第2、3、7题.
选做题:教材44页习题27.2第13题.
附:板书设计
教学反思:§ 27.2.1 相似三角形的判定
一:相似三角形
二:平行线分线段成比例基本事实
1.推论
2.在三角形中的应用
三:相似三角形的判定定理
例题板演学生板演。

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