概率论复习题
大学 概率复习题
第一章 概率论的基本概念 1. 若事件B A ,满足21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P ，则)(B A P = .2. 若事件B A ,满足7.0)(,4.0)(==B A P A P ，且5.0)|(=B A P ，则)|(A B P = .3. 设有两个相互独立事件A 与B 发生的概率分别为1p 和2p ，则两个事件恰好有一个发生的概率为4．()0.3P A =，()0.5P B =，若A 与B 相互独立，则()P AB = _.5．设B A ,为两个互不相容的事件，且()()0,0>>B P A P ，则 正确． A . ()1=AB P ； B . ()0=B A P ； C . B A =； D . Φ=-B A ．6. 设有10件产品，其中有3件次品，从中任取3件，则3件中有次品的概率为( ) A.1201 B.247 C.2417 D.40217、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个球，设事件A=“3个中至少有1个白球”，事件B=“3个中恰好有一个白球”，则事件B -A =A ．“至少2个白球”B ．“恰好2个白球”C ．“至少3个白球”D ．“无白球”8. A ，B 为两个事件，若B A ⊂，则下列关系式正确的是 ． A . )()(B P A P >； B . ()()P A P B ≤； C . 1)()(=+B P A P ； D . ()()P B P A >.9. 设甲袋中装有n只白球，m只红球，乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一个球放入乙袋中，再从乙袋中任意取出一只球．求：（1）从乙袋中取到白球的概率是多少？（2）若从乙袋中取到的是白球，则先前从甲袋中取到白球的概率是多少？10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“0”和“1”．由于通讯系统受到干扰，当发出信号“0”时，收报台未必收到信号“0”，而是以概率0.8和0.2收到信号“0”和“1”；同样，当发出信号“1”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“1”和“0”．求：（1）收报台收到“0”的概率；（2）当收报台收到信号“0”的时候，发报台确是发出信号“0”的概率．11. 某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。
概率论复习题题库
第一章 随机事件与概率第一部分 作业1. 将三封信任意投到四个信筒中，求三封信都投到同一信箱和分别投到三个不同信箱的概率。
2. 设,A B 是任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：(|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
3. 甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱，求：从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
4. 三台机器独立的运转着，三台机器不发生故障的概率分别为0.9、0.8和0.7，求三台机器至少有一台发生故障的概率。
第二部分 综合练习一、填空题1. 已知()0.5,()0.25P A P B A ==，则()P AB = 。
2. 试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次不发生的概率是 。
3. 设A 表示事件“掷一颗骰子出现偶数点”，B 表示事件“掷一颗骰子出现2点”则A 与B 的关系是 。
4. 将3个球随机地放入4个盒子中，则事件“盒中球个数最多为1”的概率为 .5. 设在三次独立试验中，事件A 发生的概率都相等。
若已知A 至少发生一次的概率为0.784，则A 在一次试验中发生的概率为 。
二、选择题1. 对于任意两事件A 和B ，( ) A. 若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 B. 若AB ≠Φ，则A 和B 可能独立 C. 若AB =Φ，则A 和B 一定独立 D. 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立2. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第2次命中目标的概率为( ) A. 23(1)p p - B. 26(1)p p - C. 223(1)p p - D. 226(1)p p - 3. 设事件A 与事件B 互不相容，则( ) A. ()0P A B = B. ()()()P AB P A P B = C. ()1()P A P B =- D.()1P A B ⋃= 4. 设事件A B ⊂且0()1P A <<，则必有( )A. ()(())P A P A A B ≥+B. ()(())P A P A A B ≤+C. ()()P B P B A ≥D. ()()P B P B A ≤5. 随机事件A 、B 适合B A ⊂，则以下各式错误的是( )。
概率论复习题
第1章 随机事件及其概率一、填空题1、已知,5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,2.0)(=B A P 则=)(AB P _______________.2、已知,25.0)()()(===C P B P A P ,15.0)()(==BC P AB P ,0)(=AC P 则A 、B 、C 至少有一个发生的概率为_______________.3、把9本书随意放在书架上，指定的3本放在一起的概率为_____________.4、包括甲、乙在内的n 个人排队，他们之间恰有r 个人的概率为____________.5、设A 、B 、C 为三个事件，则“至少有一个事件不发生”可表示为______________.6、设A 、B 、C 为三个事件，则“至多只有一个事件发生”可表示为______________.7、设31)(=A P ，41)(=B P ，61)(=AB P ,则=)(B A P ______________. 8、假设3.0)(=A P ， 2.0)(=B P ，∅=AB ，则)(B A P ⋃=_________________. 9、设31)(=A P ，41)(=B P ，21)(=⋃B A P ,则=⋃)(B A P ______________. 10、假设5.0)(=A P ， 4.0)(=B P ，3.0)(=B A P ，则)(B A P ⋃=_________________. 11、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内没有信的概率为________________.12、两封信随机的投入到四个邮筒中，则前两个邮筒内都有信的概率为________________. 13、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球中有黑球的概率为______________.14、袋中有5个白球，3个黑球，从中一次任取两球，则取到的两球都是黑球的概率为______________.15、袋中有4黑6白大小相同的10个小球，现在从中不放回地任取两球，两个全是黑球的概率________________.16、甲、乙两人独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，则在一次射击中目标被击中的概率为______________.17、某城市发行A,B 两种报纸，在这两种报纸的订户中，订阅A 报的有45%，订阅B 报的有30%，同时订阅两种报纸的有15%，则只订一种报纸的概率为___________________. 18、从一批产品中抽取3件，以i A 表示第i 次抽到废品，则事件“第一次和第二次至少抽到一件废品”可表示为_______________.19、设n 个人围成圆圈，甲、乙是其中两人。
概率复习题-答案
<概率论>试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，。
则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________ ________8. 设～,且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知，则＝16.设，且与相互独立，则17.设的概率密度为，则＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19.设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有～或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有～或～.21.设是独立同分布的随机变量序列,且，那么依概率收敛于.22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24.设X1,X2,…X n为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）P (A+B) = P (A);（B）（C）（D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论期末考试复习题及答案
第一章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容,则P (B ）=____61_______。
2。
设P (A )=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独立,则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2,P （B)=0。
3，则P(B A ）=___0.5_____。
4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A,B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________。
A 与B 相互独立5．设P(A ）=0。
5，P （A B ）=0.4，则P （B ｜A ）=___0。
2________。
6．设A ，B 为随机事件，且P （A)=0.8,P(B)=0。
4，P(B|A ）=0。
25，则P （A ｜B ）=____ 0。
5______．7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0。
6________．8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次,则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____。
9．一袋中有7个红球和3个白球,从袋中有放回地取两次球,每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0。
21_____。
10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45％，35％，20％，且各车间的次品率分别为4％,2％,5%.求:（1）从该厂生产的产品中任取1件,它是次品的概率; 3.5% （2)该件次品是由甲车间生产的概率. 3518第二章1。
设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=___0。
1587____。
（附：Φ（1)=0。
8413) 设随机变量X~N （2，22），则P ｛X ≤0｝=(P ｛(X-2）/2≤-1} =Φ（-1)=1—Φ(1）=0。
概率论复习题(3课时)
概率论复习题一 填空1、一批产品的废品率为0.1，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复3次，则3次中恰有两次取到废品的概率是 ．2、袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，则取出的3个球中红球个数ξ的概率分布为 ．3、设在10只晶体管中有两个次品，从中任取两次，每次取一个，作不放回抽样，设{=A 第一次取得正品第二取得次品}，则=)(A P ．4、一批产品中，一、二、三、等品率分别为0.8、0.16、0.04，若规定一、二等品为合格品，求产品的合格率： ． 6、设)(x F 为ξ的分布函数，则对任意的b a ,)(b a <，有=-)()(a F b F ．8、若ξ)2,5(~2N ，则{}32<-ξP＝ ．10、设[][]⎩⎨⎧∉∈=c x c x xx ,00,02)(ϕ ，是一随机变量的概率密度函数，则c＝ 。
11、已知,1-=ξE 3=ξD ，则[])2(32-ξE ＝ ． 12、设有20个某种零件，其中16个一级品，4个二级品，今从中任取3个，则至少有一个一级品的概率 ．13、 C B A ,,三人入学考试合格的概率分别是52,21,32，三人中恰有两人合格的概率是 。
14、加工一件产品需要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.95，0.85，0.9。
若三道工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为 。
15、某批产品一等品率为8.0，进行重复抽样检验，共取出4件样品。
设ξ表示4件样品中的一等品数，则ξ的概率分布为 ；4件样品中至少有2件一等品的概率为 ；4件样品中一等数ξ的最可能值是 。
16、一批产品20件，其中有8件是次品，从这批产品中随机抽取5件，设ξ表示这5件中的次品数，则ξ的分布律是 （只要求写出分布律，不用计算具体数值）。
17、随机变量ξ的概率分布如下表则 =ξE ；=ξD 。
18、已知ξ服从)4,150(2N ，则140(P ＜=≤)160ξ ，=≤)150(ξP 。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论复习题经典罕见版
复 习 题1、设,,A B C 为三个事件，满足,C AB C AB ⊃⊃。
（1）证明：AC CB AB = ；（2）若进一步有()()()P AB P A P B =，求证：()()()P AC P A P C ≥。
2、一枚硬币出现正面的概率为p ．甲乙两人轮流掷硬币，先掷得正面者为获胜．（1）甲先掷，求甲、乙为获胜者的概率各是多少？（2）如果有k 个人轮流掷硬币，各人获胜的概率又是多少？3、将“每天进入图书馆的人数为n ”的事件记为,0,1,2,n A n = 设(),0,!n n P A e n λλλ-=>每个进入图书馆的人以概率(01)p p <<借书，且各个人是否借书彼此间没有关系.（1）求进入图书馆的人中恰有k 个人借书的概率.（2）若某天借书的人数为k ,试求该天进入图书馆的人数为n 的概率.4、甲、乙二人轮流抛掷一枚均匀的骰子，甲先抛，一直到抛出了1点交给乙，而到乙抛出了1点再交给甲掷，并如此下去.（1）求第n 次抛掷由甲掷的概率；（2）如果已知第n 次是由甲抛掷的，求第1-n 次也是由甲抛掷的概率。
5、设随机变量X 的概率密度函数为||1,()0,||1,x p x x <=≥⎩其中A 为常数．（1）求A 的值；（2）计算(||0.5)P X ≤。
6、设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为22,1(,)0,Cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其它， 求：（1）常数C ；（2）()P X Y >。
7、设二维随机变量(,)X Y 具有联合概率密度函数:2(),01,(,)0,.x y y x p x y +≤≤≤⎧=⎨⎩其它 （1） 求随机变量X 和Y 的边缘密度函数，并判断X 和Y 是否独立？（2） 计算(1)P X Y +≤.8、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为222(,(,)0,C R x y R p x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它, （1） 求常数C ；（2） 当2R =时，求二维随机变量(,)X Y 在以原点为圆心，1r =为半径的圆域内的概率.9、设连续型随机变量X 的密度函数为22,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，令21X Y e -=-，求证Y 在(0,1)上服从均匀分布。
概率论复习题
第一章1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。
解：设Ai={取到第i 个箱子}，i=1,2，Bj={第j 次取到一等品}，j=1,2 （1）由全概率公式52301821501021)()()()()(2121111=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P （2）所求概率为)()()(12112B P B B P B B P =，其中1942.02930171821495091021)()()()()(2212121121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=A B B P A P A B B P A P B B P 故：4856.0521942.0)()()(12112≈==B P B B P B B P2. 某段时间[t 0,t 0+t]内，t>0，证券交易所来了k 个股民的概率为tek k t λλ-!)(，k=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立。
（1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率。
解：设A k ={交易所来了k 个股民}，k=0,1,2,……，B={有r 个股民购买长虹股票}。
（1）由于......2,1,0,!)()(==-k e k t A P tk k λλ，,1.....2,1,0,0)(-==r k A B P k......1,,)1()(+=-=-r r k p p C A B P r k r r k k故由全概率公式可得tpr rk rrk r kk k k e r tp t e k k t p p C A B P A P B P λλλλ--∞=∞==--==∑∑!)(!)()1()()()(0（2）由Bayes 公式得所求概率为,......1,,)!()]1([)()()()()1(+=--==---r r m e r m p t B P A B P A P B A P p t r m m m m λλ显然，1,......1,0,0)(-==r m B A P m3. 设一射手每次命中目标的概率为p ，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为（A ）55510)1(p p C - （B ）5549)1(p p C - （C ）54410)1(p p C -（D ）5449)1(p p C -解：B4. 设有三个事件A,B,C ，其中P(B)>0,P(C)>0，且事件B 与事件C 相互独立，证明：)()|()()|()|(C P C B A P C P BC A P B A P +=分析：利用关系式)()(C AB ABC AB ⋃=证明：由于事件B 和事件C 相互独立，故事件B 和事件C 相互独立，又因为 )()()(C AB ABC C C AB AB AB ⋃=⋃=Ω= 所以)()()(C AB P ABC P AB P += )()()|()()()|()()|()()|(C P B P C B A P C P B P BC A P C B P C B A P BC P BC A P +=+=从而有)()()|(B P AB P B A P =)()|()()|(C P C B A P C P BC A P +=第二章1. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步调试，经调试后以概率可以出厂；以概率定为不合格品不能出厂。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论复习题和答案
概率论复习题和答案# 概率论复习题和答案一、选择题1. 事件A和B是互斥的，如果P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.4答案：C. 0.72. 抛掷一枚均匀的硬币，求正面朝上的概率。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A. 0.53. 随机变量X服从均值为μ，方差为σ²的正态分布，那么P(X > μ)是多少？A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 不能确定答案：A. 0.5二、填空题4. 如果事件A的概率是0.6，事件B的概率是0.5，且P(A∩B) = 0.2，那么P(A∪B)等于______。
答案：0.75. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么X 的期望E(X)等于______。
答案：3三、简答题6. 什么是条件概率？请给出条件概率的定义和公式。
答案：条件概率是指在已知某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的相对概率。
条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) /P(B)。
7. 什么是大数定律？请简述其主要内容。
答案：大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件在大量重复实验中所表现出的稳定性。
主要内容是，当独立同分布的随机变量的个数趋于无穷大时，它们的算术平均值会趋近于它们的期望值。
四、计算题8. 某工厂生产的灯泡，其寿命超过1000小时的概率为0.7。
如果随机抽取5个灯泡，求至少有3个灯泡寿命超过1000小时的概率。
答案：首先计算恰好有3个、4个、5个灯泡寿命超过1000小时的概率，然后将这些概率相加。
使用二项分布公式计算，具体计算过程略。
9. 假设有一批零件，其合格率为90%。
如果从这批零件中随机抽取100个，求至少有85个是合格品的概率。
答案：使用正态近似的方法来计算，首先计算期望和标准差，然后使用标准正态分布表来查找对应的概率。
概率论复习题
一、选择题1.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ）A.0.12B.0.25C.0.375D.0.52.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<.,0;2x 1,x 2;1x 0,x 其它 则P{0.2<X<1.2}的值是（）A.0.5B.0.6C.0.66D.0.73.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D （ ） A.31B.32C.1D.3104.设二维随机变量则F （0,1）=（ ）A.0.2B.0.6C.0.7D.0.85.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.0;0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为（ ）A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=416.设随机变量X 的E （X ）=μ,D(X)=2σ，用切比雪夫不等式估计≥σ≤-)3|)X (E X (|P （ ）A.91 B.31C.98D.1 1. 事件A,B 是任意两个事件,与A B=B 不等价的是( ).(a)A B ⊂ (b) B A ⊂ (c) AB =Φ (d) AB =Φ2. 已知12(),()F x F x 是分布函数,为使12()()()F x aF x bF x =-是个分布函数,则应取( ).(a)32,55a b ==- (b)22,33a b == (c)13,22a b =-= (d)13,22a b ==-3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.4. 总体上讲，甲地的气温)(X 比乙地的气温)(Y 高，而甲地的温差比乙地的温差小, 则正确的是： (A) DY DX EY EX >>,； (B) DY DX EY EX <<,； (C) DY DX EY EX ><,； (D) DY DX EY EX <>,。
概率论复习题
概率论复习题1．甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，用A ，B 表示下列事件：（1）甲、乙两人至少有一人击中目标；（2）甲、乙两人都击中目标；（3）甲、乙两人中恰好有一人击中目标.2. 同时掷两颗骰子，求出现点数之和为5的概率.3. 设A ，B 为两个事件，且已知概率()0.4,()0.3P A P B ==，分别在下列情况下求(),()P AB P A B +.（1）事件A 与B 互斥；（2）事件A 与B 独立.4. 设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，()0.3,()0.4P A P B ==，求P （A B ）5. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，求取得两球颜色相同的概率.6. 设P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，(|)0.6P B A =，求(),(),(|),(|)P AB P AB P A B P A B .7. 设,A B 是两个随机事件，已知()()0.4,()0.5P A P B P A B ==+= 求：(),(|),(),(|)P AB P A B P A B P A B -.8.()F x 为X 的分布函数，求(3)F9. 设随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<,10,101;10,0x x x 求当x ≥10时，X 的概率密度f （x ）.10. 某气象站天气预报的准确率为0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p 1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p 2.11. 设随机变量~(10,4)X N ，计算：（1）{1012}P X << ；（2）{8}P X ≤；（3）{102}P X -< 其中(0)0.5,(1)0.8413Φ=Φ=12. 设随机变量X 服从区间[1，2]上的均匀分布.（1）写出X 的概率密度函数；（2）求随机变量21Y X =-的概率密度函数()Y f y .13. 设随机变量X 的概率密度为,01()0,kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 求：（1）常数k （2）1{1}2P X -<≤ （3）EX （4）DX14. 设随机变量X 服从二项分布(,), 1.6, 1.28B n p EX DX ==，求,n p15. 某种产品中有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误认为次品的概率为5%，次品被误认为正品的概率为10%，从中任取1个产品。
概率论数理统计复习测验题
模拟试卷一、单项选择题：(每题2分，共14分)1.同时掷两颗骰子，消失的点数之和为10的概率为( )a 1 n 1 「5 c 7A. -B.—C∙— D.—4 12 12 122,设A,3为相互独立的随机大事，则下列正确的是( )A.P(B | A)=尸(A | B) B, P(B∣ A)=尸(A)C. P(A∖ B) = P(B)D. P(AS) = P(A)P(B)3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不行能听从()A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布4.设X听从正态分布N(2,4),Y听从参数为2的泊松分布，且X与丫相互独立，则D(2X-Y) =.A.14B.16C.18D.205.设x与y是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度分别为力和心(χ),则.A.∕1 (x) + f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.3(/。
) +力。
))必为某一随机变量的概率密度C./；(工)-力*)必为某一随机变量的概率密度D.力。
)力(幻必为某一随机变量的概率密度6.设X,,X2√-,Xπ是总体X的简洁随机样本，O(X) = ,,记1 n 1 //x=-Yx if s2 =——y(X,.-X)2，则下列正确的是建 /=1 "1 /=1A. S是。
的无偏估量量B. S是。
的极大似然估量量c.S2是，的无偏估量量 D.S与又独立7.假设检验时，当样本容量肯定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯其次类错误的概率( ).A.变小B.变大C.不变D.不确定1O2,在三次独立试验中，大事A消失的概率相等,若已知A至少消失一次的概率等于则27大事A在一次试验中消失的概率为3,若X〜N(l,4), y~N(L3)且X与y独立，则X — y〜4.设x和y是两个相互独立且听从同一分布的连续型随机变量，则P｛X>Y｝=.5.设随机变量X的分布未知，E(X) = μ , D(X) = σ29则采用切比雪夫不等式可估量P(∖X~μ∖< 2。
概率论复习题
复习题一 填空题1. 袋内有a 个白球与b 个黑球，每次从袋中任取一球，取出的球不再放回，则第k 次取得黑球的概率是___________.2. 设随机变量X 服从参数为的Poisson 分布，X 的方差为_____________.3. 设A,B 为两个相互独立的事件，则______________.4. 设(X,Y)的联合概率密度为，则P(0<X<1,1<Y<2)=_________. 5.设且X 与Y 相互独立，则2X+Y~_______________.6. 设随机变量服从柯西(Cauchy)分布，即其密度为则X 的期望E(X)为_________________.7.设A，B是两个随机事件，8．设随机变量相互独立，且均服从参数为2的指数分布，则.10. 设火炮射击某目标的纵向偏差（单位：），那么射击5弹时每弹的纵向偏差绝对值都不超过5的概率是（答案用标准正态分布的分布函数表示）.11．设随机变量序列相互独立且服从U （0,1），则当时，_________.λ21(),(),53P A P B ==()P A B =(34)12,0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(2,4),(1,9),X N YN 21(),,(1)f x x x π=-∞<<+∞+X Y 与{max(,)1,min(,)1}P X Y X Y >>=_________2~(0,10)X N m m ________________{,1}n X n ≥n →∞P 311---ni in X =→∑12．已知二维随机变量的协方差矩阵为，求与13. 某连队有N 名士兵，每人各有一支枪，这些枪外形完全相同。
在一次紧急集合中，若每人随机地取走一支枪，则取到自己枪的平均人数是 . 14. 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从中任取一个数，记为Y ，则 .15. 已知，则P(B)= _________.17. 设随机变量X 的概率密度为，则c ＝ 。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论复习题
概率论简明教程 一．选择题1．设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件为 D ．(A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙两种产品均畅销”； (C ) “甲种产品滞销”； (D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” .2．设A B ⊂，则下面正确的等式是 B .（A ）)(1)(A P AB P -=； （B ）)()()(A P B P A B P -=-； （C ）)()|(B P A B P =； （D ）)()|(A P B A P =3．设随机变量X 的分布律为 5,4,3,2,1,15/)(===k k k X P 。
则)5.25.0(<<X P 的值是 B .(A ) 6.0 ； (B ) 2.0 ；C ) 4.0 ； (D ) 8.0 ．4．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 B .)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .5. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，如果 A ，则恒有1)(0≤≤x f .(A ))1,0(~N X ； (B )),0(~2σN X ；(C )),1(~2σ-N X ； (D )),(~2σμN X .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<+=,)(0,)1(/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为 C 的随机变量.(A ) 独立同分布； (B ) 独立不同分布； (C ) 不独立同分布； (D ) 不独立不同分布.7. 设X 为随机变量，若1.1)(2=X E ，1.0)(=X D ，则一定有 B .(A )9.0)11(≥<<-X P ； (B )9.0)20(≥<<X P ； (C )9.0)11(<≥+X P ； (D )1.0)1(≤≥X P .8. 设A B ⊂，则下面正确的等式是 B 。
概率论复习题库
第一章一、填空题1、已知34.0)(=A P ,52.0)(=B P ,26.0)(=AB P ,则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
2、设事件A 、B 相互独立，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，=)(B A P ，()P A B -= 。
3、设事件A 、B 互不相容，且()0.4P A =，()0.3P B =，则()P A B ⋃= ，)(B A P = ，()P AB = 。
3、设,,A B C 表示随机事件，则事件“C B A 、、都不发生”表示为 ，“A B 、至少有一个发生”表示为 。
4、甲,乙两人进行射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.85,则（1）至少一人击中目标的概率是 ，（2）两人同时命中的概率是 。
5、甲乙丙三人独立地同时破译密码，若各人能译出密码的概率为1/5，1/4，1/3，则此密码能被他们同时译出的概率为 ，此秘密能被破译出的概率为 。
6、某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25%、35%、40%，这三台机器的不合格品率依次为5%、4%、2%，现从总产品中任取一件，求恰好抽到不合格品的概率是 .二、选择题：1、设A,B 为两事件，则ABAB 为（ ） ()()()()A B AC D A B ΦΩ⋃2、设A ,B 为两事件，则AB 表示事件( )（A ）B 发生且A 不发生 （B ）A 与B 恰有一个发生 （C ）A 发生且B 不发生 （D ）A 与B 不同时发生 3、若()()()P AB P A P B =，则（ ）. (A) A ，B 相互独立 (B)A ，B 构成样本空间的一个划分(C)AB φ= (D)()()P B A P A =4、设袋中有5个白球3个黑球，不放回地依次从袋中随机取一球。
则第一次和第二次都取到白球的概率是（ ）. (A) 514 (B) 2564 (C) 58 (D) 38第二章 一、填空题 1、设..(4,9)r v XN ，则{0}P X == , {10}P X <= , (31)E X --= ，(2)D X -= ，21Y X =+ 。
概率论复习
1、 将一个硬币抛掷3次，观察正面出现的次数，则样本空间s=_________。
2、 设A,B 均为随机事件，B 包含于A ，P(A)=0.8，P(A-B)=0.4，则P(A 非B 非)=_________。
3、 掷两颗均匀的色子，已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10的概率为__ __。
4、 设随机变量x 服从参数为n ，p 二项分布，则分布律______。
5、 从六名候选人甲、乙、丙、戊、己中选出4名委员则甲、乙中恰有一人被选中的概率为________。
6、 设ABC 是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C 至少有一个发生的概率为________。
7、 已知P(A)=1/4，P(B | A)=1/3，P(A | B)=1/2，则P(A ∪B)=_______。
8、 对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=_______。
9、 设A,B 为两个事件，且P(B)>0条件概率公式P(A/B)=______。
10、 已知随机变量X 的概率密度为f (x )={ax +b ， x <10， 其他，且P{x>0.5}=5/8，则a=__。
b=__。
11、 相关系数是两个随机变量之间____________程度的一种变量。
12、 设随机变量x 的分布函数为F (x )={ 0， x <0x 2， 0≤x ≤11， x >1，则x 的概率密度为f(x)=____________，P(0.3<X<0.7)=__________。
13、 设X 为连续型随机变量，F(x)=∫f (x )dx ∞−∞，则f(x)称概率密度函数，则P(a<X<b)=_______。
14、 设X~N(1，1/2)，Y~N(0，1/2)，且相互独立，Z=X+Y ，则P(Z>0)的值为_______(结果用正态分布函数形式表示)。
概率论复习题
一、设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率。
解：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)∵P(AB)=P(BC)=O∴P(ABC)=0∴至少有一个发生的概率P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)=1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0=5/8二、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所给定颜色如数得到订货的概率是多少?解：设A=“订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆”。
则A的基本事件数为，基本事件总数为=24310。
则所求概率为[小结]对古典概型问题，关键是找出其基本事件总数，以及所求事件包含的基本事件数。
同时要注意，两者要在同一个样本空间中计算所求事件的概率。
三、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率将3个球随机地放入4个杯子中去，易知共有43种放置法，以A i表示事件“杯子中球的最大个数为i”，i=1，2，3。
解：A3只有当3个球放在同一杯子中时才能发生，有4个杯子可以任意选择，于是∴A1只有当每个杯子最多放一个球时才能发生。
∴N(A1)=4·3·2=A43∴又∵A1∪A2∪A3=Ω，且，i≠j∴P(A1)+P(A2)+P(A3)=1四、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率．解：以A记事件“孩子得病”，以B记事件“母亲得病”，以C记事件“父亲得病”，按题意需要求。
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一. 单项选择题
1. 3抛掷枚均匀对称的硬币，恰好有一枚正面向上的概率是（ ） A ．0.125 B ．0.25 C ．0.375 D ．0.5
2. 设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()()P A 1P
B =-
B ．()()P B-A P A =
C ．()()()P AB P A P B =
D ．()()P A B P A -= 3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）
A ．11,01()0,
x F x ≤≤⎧=⎨
⎩其他 B ．21,
0(),01
1,1x F x x x x -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
C ．30,0(),01
1,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
D ．40,0()2,01
2,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
4.设2(,4)X N μ，2(,5)Y
N μ。
记1{4}p P X μ=≤-，2{5}p P Y μ=≥+，则
A. 对任意实数μ，都有12p p =
B. 对任意实数μ，都有12p p >
C. 对任意实数μ，都有12p p <
D.对个别实数μ才有12p p = 5. 设随机变量X 与Y 独立，都服从()0,θ上的均匀分布，则[min(,)]E X Y = A.
2θ B. θ C. 3θ D. 4
θ
6. X Y 设二维随机变量（，）的概率密度为1
,02,02
(,)40,
x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，
{}01,02P X Y <<<<=则（ ）
A. 14
B. 12
C. 3
4 D.1 7.
00X Y D X D Y >>设（，）为二维随机变量，且（），（），则下列等式成立的是
（ ）
A ．·E XY E X E Y =（）（）（）
B ．cov(,)()()
XY X Y D X D Y ρ=
C ．
D X Y D X D Y +=+（）（）（）
D ．()()cov 2,24cov ,X Y X Y =
二、填空题
1. A B ()()()0.3()P AB P AB P A P B ===已知事件，满足，且，则（ ）
2. X X 服从标准正态分布，那么分布密度函数为（ ）
3(,)f x y X 设是二维连续型随机变量的联合密度函数，则关于随机变量的边缘分
()Y f y =布密度函数（ ）.
4. ()DX 2DY 1X Y D 2X 2Y ==-已知，，且和相互独立，则＝（ ）。
5. ||1XY ρ=的充分必要条件是（ ）
6. 设4DX =，9DY =，0.5XY ρ=，则(23)D X Y -=（ ）
7. 设随机变量(,1,2,
,;2)ij X i j n n =≥独立同分布，且2ij EX =
11
121212221
2
n n n n nn
X X X X X X Y X X X =
,则EY =（ ）
8. 设12
,,
,,
n X X X 为独立随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布，则
1
lim {()/}n
n i i P X n x λ→∞=-≤=∑（ ）
三、计算题 1.
325%某工厂有甲，乙，丙个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的，35%40%35%6%8%，，个车间中产品的废品率分别为，，， 求全厂产品的废品率。
2. 现有两箱同类型产品，第一箱装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中任取两次，每次取一件，不放回。
试求下列事件的概率。
（1）第一次取到的产品是一等品；
（2）第二次取到的产品是一等品；
（3）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品； （4）在第二次取到一等品的条件下，第一次取到一等品。
3. X (),(0)x f x Ae x -=<<+∞连续型随机变量的概率密度为，求：1A （）常数， 2X 023X （）落在区间（，）内的概率；（）的分布函数。
4.(,),X Y X Y αβ设的分布律由下表给出，问为何值时与相互独立？
5. 4Y X =-，求Y 的密度函数。
6. 设随机变量X 与Y 独立且具有相同的分布律
,}X Y ，V XY =的分布律。
7. 设随机变量X 与Y 独立，都服从()0,1上的均匀分布，求使方程220
a Xa Y ++=有实根的概率。
8.
22,~(1,3)~(0,4)X Y X Y X N Y N （，）服从二维正态分布，。
与的相关系数
1
,3XY ρ=-34
X Y
Z =
+。
1(),()2X Z E Z D Z 求（
）；（）与的相关系数。
9. (,)ξη设随机变量的联合密度函数02, (,)?
A
x y x
f ξη⎧<<<=⎨
⎩其他
()()() 12()3,A f y x ηξξη求常数；条件密度函数；讨论的相关性和独立性。
四、证明题
1. ()()()
A B 0P A 1P B A P B A <<=设，是两个随机事件，，，
A B 证明：与相互独立。
2. 设随机变量ξ的方差()D ξ存在，证明：对任意0ε>，有
{}2
()
()D P E ξξξεε
-≥≤。
3. 设X 为随机变量，证明：2()DX E X C ≤-，其中C 为任意常数。