02-2.1 谓词的基本概念(下)PPT
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离散数学课件 第二章 谓词逻辑-1
n元谓词：含有n个变元。
例如：
F(x):
x是人。
G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。
(3) 2是偶数且是素数。
命题符号化举例(续)
例: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y
原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
2-4 变元的约束
定义:量词的辖域（作用域）是邻接量词之后的最 小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该 子公式的两端有括号。 量词辖域的确定方法： （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人 若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x) 若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的 命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元 谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。 设：H(x):x是人 M(x):x是要死的 则前提：H(x)→M(x) H(Socrates) 结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
例如：
F(x):
x是人。
G(x,y): x与y是兄弟。
F(x)是一元谓词， G(x,y)是二元谓词。 一元谓词表达了个体的“性质”, 而多元谓 词表达了个体之间的“关系”。
例： 将下列命题符号化： (1) 熊猫是动物。 (2) 上海位于南京与杭州之间。
(3) 2是偶数且是素数。
命题符号化举例(续)
例: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y
原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)))
2-4 变元的约束
定义:量词的辖域（作用域）是邻接量词之后的最 小子公式，故除非辖域是个原子公式，否则应在该 子公式的两端有括号。 量词辖域的确定方法： （1）若量词后有括号，则括号内的子公式就是 该量词的辖域； （2）若量词后无括号，则与量词邻接的子公式 为该量词的辖域。
例：F(x)：x是不怕死的 D(x)：x是要死的 M(x)：x是人 若论述域是全人类： 则:人总是要死的 可译为 （x）D(x) 有些人不怕死 可译为 （x）F(x) 若论述域不是全人类： 则:人总是要死的 可译为 (x)(M(x)D(x)) 有些人不怕死 可译为 (x)(M(x) F(x)）
一般地, 一个由n个个体和n元谓词所组成的 命题可表示为P(a1, a2, …, an), 其中P表示n元 谓词, a1, a2,…, an 分别表示n个个体。 a1, a2,…,an 的排列次序通常是重要的。 B(a, b, c)不同于B(b, a, c)。
2-2 命题函数与量词
将下面表示（Socrates 三段论）符号化： 所有的人总是要死的。 Socrates是人。 所以Socrates是要死的。 设：H(x):x是人 M(x):x是要死的 则前提：H(x)→M(x) H(Socrates) 结论：M(Socrates) 需证: (H(x)→M(x))∧H(Socrates)M(Socrates)
谓词逻辑的基本概念
三、4.4.6 三例不等
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
(x)(A(x) B(x)) (x)A(x) (x)B(x)
四、三个有趣的例子 4.4.7 积木世界的形式描述
若以P(x)表示x是有理数，Q(x)表示x是实数， 这句话的形式描述应为
(x)(P(x)Q(x))
“所有的……都是……”，这类语句的形式描述 只能使用而不能使用∧. 当P(x)与Q(x)为此例 中的谓词常项时，上式真值与论域无关。
4.4.2 “有的实数是有理数”的形式化
以P(x)表x是有理数，Q(x)表示x是实数，这句 话的形式描述应为 (x)(P(x)∧Q(x))
辑的个体域除明确指明外，都认为是包括一切事 物的一个最广的集合．以D表示． 谓词的变化范围:不做特别声明时，指一切关系或 一切性质的集合． 同一谓词在不同论域下的描述形式可能不同，所 取的真假值也可能不同．
4.1.3 谓词的抽象定义
将谓词视作为一个个体的性质或多个个体间的 关系．还可进一步抽象地定义: 谓词是给定的个体域到集合｛T，F｝上的一个 映射．
设P(x，y)是二元谓词，对两个变元的量化可得4 种形式．
(1) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y可交换
(2) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
注意x和y不可交换，且y是x的函数
(3) (x)(y)P(x, y) (x)((y)P(x, y))
非合式公式： (x)F(x)∧G(x),违反第三条 (x)((x)F(x)),违反第四条 (x)P(y)违反第四条
谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
如 F(x)G(x), xF(x)yG(y)是pq的代换实例 定理 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
7
基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
10
例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.
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基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
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例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)
人工智能课件 2[1].2--谓词逻辑表示法
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2011-5-16
中国矿业大学计算机学院
5
人工智能
介绍几个概念 命题常量：如果一个命题标识符 命题常量： 命题常量。 表示确定的命题，就称为命题常量 表示确定的命题，就称为命题常量。 命题变元： 如果命题标识符只表 命题变元 ： 示任意命题的位置标志，就称为命题变 示任意命题的位置标志，就称为命题变 元。
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注意： 注意：
（1）因为命题变元可以表示任意命题，所 因为命题变元可以表示任意命题， 以它不能确定真值， 命题变元不是命题。 以它不能确定真值，故命题变元不是命题。 当命题变元P （ 2 ） 当命题变元 P 用一个特定的命题取代 才能确定真值，这时也称为对 时 ， P 才能确定真值 ， 这时也称为 对 P 进行指 派。 （3）当命题变元表示原子命题时，该变元 当命题变元表示原子命题时， 称为原子变元 原子变元。 称为原子变元。
也称为原子公式) (1)原子谓词公式是合式公式 (也称为原子公式)。 ( 2 ) 若 P、Q 是合式公式， 则 (┐P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 是合式公式 ， (┐ P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 P) (P→Q)、 Q)也是合式公式 也是合式公式。 (P→Q)、(P←→ Q)也是合式公式。 是合式公式， 是任一个体变元， x)P、 ( 3 ) 若 P 是合式公式 ， x 是任一个体变元 ， 则 ( ∀ x)P、 x)P也是合式公式 也是合式公式。 （∃x)P也是合式公式。 任何合式公式都由有限次应用( (4)任何合式公式都由有限次应用(1)、(2)、(3) 来 产生。 产生。
注意： 注意：
谓词逻辑可以由原子和5 种逻辑连接词， 谓词逻辑可以由原子和 5 种逻辑连接词 ， 再加 上量词来构造复杂的符号表达式。 上量词来构造复杂的符号表达式。这就是所谓的谓 公式。 词逻辑中的公式 词逻辑中的公式。
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介绍几个概念 命题常量：如果一个命题标识符 命题常量： 命题常量。 表示确定的命题，就称为命题常量 表示确定的命题，就称为命题常量。 命题变元： 如果命题标识符只表 命题变元 ： 示任意命题的位置标志，就称为命题变 示任意命题的位置标志，就称为命题变 元。
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注意： 注意：
（1）因为命题变元可以表示任意命题，所 因为命题变元可以表示任意命题， 以它不能确定真值， 命题变元不是命题。 以它不能确定真值，故命题变元不是命题。 当命题变元P （ 2 ） 当命题变元 P 用一个特定的命题取代 才能确定真值，这时也称为对 时 ， P 才能确定真值 ， 这时也称为 对 P 进行指 派。 （3）当命题变元表示原子命题时，该变元 当命题变元表示原子命题时， 称为原子变元 原子变元。 称为原子变元。
也称为原子公式) (1)原子谓词公式是合式公式 (也称为原子公式)。 ( 2 ) 若 P、Q 是合式公式， 则 (┐P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 是合式公式 ， (┐ P)、(P∧Q)、(P∨Q)、 P) (P→Q)、 Q)也是合式公式 也是合式公式。 (P→Q)、(P←→ Q)也是合式公式。 是合式公式， 是任一个体变元， x)P、 ( 3 ) 若 P 是合式公式 ， x 是任一个体变元 ， 则 ( ∀ x)P、 x)P也是合式公式 也是合式公式。 （∃x)P也是合式公式。 任何合式公式都由有限次应用( (4)任何合式公式都由有限次应用(1)、(2)、(3) 来 产生。 产生。
注意： 注意：
谓词逻辑可以由原子和5 种逻辑连接词， 谓词逻辑可以由原子和 5 种逻辑连接词 ， 再加 上量词来构造复杂的符号表达式。 上量词来构造复杂的符号表达式。这就是所谓的谓 公式。 词逻辑中的公式 词逻辑中的公式。
第2章 谓词演算
E23 E24 E25 E26 E27 E28 I15 I16 E29 E30 E31 E32
表 2.2.1 (x) A x B x x A x x B(x) (x) A x B x x A x x B(x) ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x)
量词分配率
量词转换率 ¬ (x)A(x)(x)¬ A(x) (x) AB x A x B(x) 量词辖域扩张率 (x) AB x A x B(x) 量词辖域收缩率 x A x x B(x) (x) A x B x (x) A x B x x A x x B(x) (x)A(x)B(x)[A(x)B] (x)A(x)B(x)[A(x)B] A(x)B(x)(x)[ AB(x)] A(x)B(x)(x)[ AB(x)]
例 5 如果你进去，我出来。 令：F(x)：x 进去，G(x)：x 出来，a：你，b：我 则全式为：F(a)G(b) 表示谓词公式的一般准则： 名词：专名一般为个体，如张三、朝鲜。 通名一般为谓词，如人、楼房。 代名词：人称代词（你、我、他） 、指示代词（这个、那个）是个体。 其他代词（如何、每个、有些、一些）为量词（见后） 。 形容词：一般为谓词。 数词：一般为量词（见后） 。 动词：一般为谓词，如来、去、见、读、给。 副词：与所修饰的动词合并为谓词，不再分解。 前置词：一般是命题联结词
§2.1.3
谓词演算公式
如果 P(x1 ，x2 ， … ，xn )中没有联结词和量词就称其为谓词演算原子式，其中 P 为谓词，x1 ，x2 ， … ，xn 为个体变元。 定义 2.1.2 谓词演算公式（简称公式）产生规则： 1) 每个原子公式都是公式。 2) 若 A 是公式，则¬ A 是公式。 3) 若 A、B 是公式，则(AB)，(AB)，(AB)，(A↔B)也都是公式。 4) 若 A 是公式，x 是任一变元且在 A 中不出现(x)或(x)，则(x)A 或(x)A 也是 公式。 5) 只有按上述四个规则有限步得到的符号串才是公式。 谓词演算公式是一个按上述规则由原子公式、命题联结词、量词及括号组成 的字符串。 如：(x)P(x) (x)[P(x)R(y)] (y)(x)F(x，y)(x)P(x) (x)( x)P(x)
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
2-123 谓词逻辑(Predicate Logic)
2-2.2 量词(quantifier)
定义：特性谓词 在讨论带有量词的命题函数时，必须确 定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。 限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓 词。 利用特性谓词，对以上两个命题进行符 号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
ax可以表示x是a类型的命题表达了客体的性质称为一元谓词可以表示x小于y类型的命题表达了客体之间的关系称为二元谓词可以表示点x在y与z之间类型的命题表达了客体之间的关系称为三元谓表示n元谓词在这里n个客体变元的顺序不能随意改动
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （ Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
定义2．存在量词(existential quantifier) 用符号 “ ” 表示。 x 表示存在个体域里的个体。 (x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一 些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values: （ x ） P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in
数理逻辑-谓词逻辑
体事物或抽象的概念 ；个体域 个体域是个体（客体）的取 个体域 值范围；谓词 谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间 谓词 的关系的词
大写字母表示谓词，小写字母表示个体（客体） 注意：单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体
词和谓词分开不是命题.
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
谓词也称为命题函数 命题函数或简单命题函数 命题函数 相关概念：零元谓词，n元谓词，全总个体域，复合命题
求在解释I下各公式的真值.
(1) x( F(x)∧G(x,a)) (2) xy L(x,y)
2.3 谓词的等值演算
谓词公式分类
在任何解释下，谓词公式A取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)； 在任何解释下谓词公式A取真值0，公式A为 永假式； 至少有一个解释是公式A取真值1，公式A称 为可满足式。
函数
命题是谓词的特殊情况
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
量词是在命题中表示数量的词 量词有两类：
全称量词，表示“所有的”，“任何的”，或 “每一个”； 存在量词，表示“存在某个”或“至少有一 个”.
命题符号化必须指明个体域
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
对于一个谓词，如果其中每个变量都有一个量词作 用之下，则它就不再是命题函数，而是一个命题了。 在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表 项：递归定义 P43 原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 0 1 函数P(x1,x2, ,xn) P(x ,…,x )，统称原子公式 由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式。
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
第三章_谓词逻辑与归结原理 ppt课件
同一率: A ∨0 <=> A； A ∧ 1 <=> A； 零率: A ∨1 <=> 1； A ∧ 0 <=> 0； 排中律： A ∨ ~ A <=> 1 矛盾律： A ∧ ~ A <=> 0
*蕴含等值式： A→B<=> ~ A ∨ B ； *等价等值式： A↔B<=> (A→B) ∧(B →A) ； 假言易位式： A → B<=> ~ B → ~ A ； 等价否定等值式： A ↔ B<=> ~ A ↔ ~ B； 归谬论： (A → B) ∧ (A → ~B) <=> ~ A ；
设A为任一命题公式，若A在它的各种赋值下取值均为假，则称 A是永假式。
例： P∧~P
3.1 命题逻辑
可满足式 satisfiable
设A为任一命题公式，如果存在一组取值使A为真，则A为可满 足式。
即：对于命题公式A，若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
例：P∧Q
非重言式的可满足式
既是可满足式，又不是重言式
人工智能的经典实验环境—怪物洞穴 (wumpus世界)
洞穴有多个房间组成 某个房间中藏着一只怪物wumpus，它会吃掉进入
这个房间的人，相邻房间中能够感觉到臭味 某些房间中有陷阱，进入房间会被陷阱吞噬，相邻
房间中能够感觉到微风 游戏的主角是一个智能体，可以进入相邻的房间
（对角线不可以） 智能体有且仅有一支箭，用这支箭可以射杀怪物 某个房间中有金子，游戏的目标是智能体找到金子
3.1 命题逻辑
合取范式与析取范式
简单析取式：有限个命题变元或其否定，析取联结符 p∨q; ~p ∨q ; p ; q
合取范式：有限个简单析取式，合取 p∧(p∨q) ∧(~p ∨q)
*蕴含等值式： A→B<=> ~ A ∨ B ； *等价等值式： A↔B<=> (A→B) ∧(B →A) ； 假言易位式： A → B<=> ~ B → ~ A ； 等价否定等值式： A ↔ B<=> ~ A ↔ ~ B； 归谬论： (A → B) ∧ (A → ~B) <=> ~ A ；
设A为任一命题公式，若A在它的各种赋值下取值均为假，则称 A是永假式。
例： P∧~P
3.1 命题逻辑
可满足式 satisfiable
设A为任一命题公式，如果存在一组取值使A为真，则A为可满 足式。
即：对于命题公式A，若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
例：P∧Q
非重言式的可满足式
既是可满足式，又不是重言式
人工智能的经典实验环境—怪物洞穴 (wumpus世界)
洞穴有多个房间组成 某个房间中藏着一只怪物wumpus，它会吃掉进入
这个房间的人，相邻房间中能够感觉到臭味 某些房间中有陷阱，进入房间会被陷阱吞噬，相邻
房间中能够感觉到微风 游戏的主角是一个智能体，可以进入相邻的房间
（对角线不可以） 智能体有且仅有一支箭，用这支箭可以射杀怪物 某个房间中有金子，游戏的目标是智能体找到金子
3.1 命题逻辑
合取范式与析取范式
简单析取式：有限个命题变元或其否定，析取联结符 p∨q; ~p ∨q ; p ; q
合取范式：有限个简单析取式，合取 p∧(p∨q) ∧(~p ∨q)
离散数学-2-1谓词的概念与表
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在谓词逻辑中，可以使用特定的 推理规则，如Modus Ponens和 Modus Tollens，来推导新的命 题。
推理过程的逻辑分析
前提分析
在推理过程中，需要仔细分析给出的前提，以确保正确地应用推 理规则。
结论分析
在推导结论时，需要确保结论在逻辑上是从前提得出的。
逻辑谬误
在推理过程中，应避免出现逻辑谬误，如非形式谬误和形式谬误。
等价关系
定义：如果命题A和命题B的真值相同，那么就说A和B等价。 符号表示：A↔B。 例子：一个角是直角当且仅当它的三角形的两条边长度相等（A↔B）。
矛盾关系
定义
如果命题A和命题B的真值相反，那么就说A和B是矛 盾的。
符号表示
A∧¬B 或者 ¬A∧B。
例子
所有的猫都是动物（A），有些动物不是猫 （¬A∧B）。
分类
一元谓词
一元谓词是指只包含一个个体变量的谓词。 例如，“P(x)”表示“x是红色的”。
二元谓词
二元谓词是指包含两个个体变量的谓词。例如， “Q(x,y)”表示“x大于y”。
n元谓词
n元谓词是指包含n个个体变量的谓词，其中 n大于等于2。例如，“R(x,y,z)”表示“x等 于y和z的和”。
特性
04
谓词的推理规则
推理规则的种类
附加规则
将新的信息添加到前提中，从而 得出新的结论。
实例化规则
将抽象的谓词实例化为具体的对 象，从而得出新的结论。
01
02
分离规则
从前提中分离出结论，即如果前 提为真，则结论一定为真。
03
04
重写规则
将前提中的某些部分替换为等价 的表达式，从而得出新的结论。
在谓词逻辑中，可以使用特定的 推理规则，如Modus Ponens和 Modus Tollens，来推导新的命 题。
推理过程的逻辑分析
前提分析
在推理过程中，需要仔细分析给出的前提，以确保正确地应用推 理规则。
结论分析
在推导结论时，需要确保结论在逻辑上是从前提得出的。
逻辑谬误
在推理过程中，应避免出现逻辑谬误，如非形式谬误和形式谬误。
等价关系
定义：如果命题A和命题B的真值相同，那么就说A和B等价。 符号表示：A↔B。 例子：一个角是直角当且仅当它的三角形的两条边长度相等（A↔B）。
矛盾关系
定义
如果命题A和命题B的真值相反，那么就说A和B是矛 盾的。
符号表示
A∧¬B 或者 ¬A∧B。
例子
所有的猫都是动物（A），有些动物不是猫 （¬A∧B）。
分类
一元谓词
一元谓词是指只包含一个个体变量的谓词。 例如，“P(x)”表示“x是红色的”。
二元谓词
二元谓词是指包含两个个体变量的谓词。例如， “Q(x,y)”表示“x大于y”。
n元谓词
n元谓词是指包含n个个体变量的谓词，其中 n大于等于2。例如，“R(x,y,z)”表示“x等 于y和z的和”。
特性
04
谓词的推理规则
推理规则的种类
附加规则
将新的信息添加到前提中，从而 得出新的结论。
实例化规则
将抽象的谓词实例化为具体的对 象，从而得出新的结论。
01
02
分离规则
从前提中分离出结论，即如果前 提为真，则结论一定为真。
03
04
重写规则
将前提中的某些部分替换为等价 的表达式，从而得出新的结论。
左孝凌离散数学课件2.1谓词概念与表示-2.2命题函数与量词
①若x，y，z ∈ R（实数），且P(x,y)：x小于y，则这个式子表 示“若x小于y且y小于z，则x小于z”。这是一永真式。
②若 x，y，z ∈人，且P(x,y)解释为：x为y的儿子，则这个式 子表示“若x为y的儿子且y是z的儿子则x是z的儿子”。这是一 个永假式。
③若x，y，z ∈地面上的房子，且P(x,y)：x距离y 10米，则这 个式子表示“x距离y10米且y距离z10米则x距离z10米”。这 个命题的真值将由x，y，z的具体位置而定，它可能为T， 也可能为F。
的取值范围有关。
2.2命题函数与量词
三、量词 • 量词：全称量词()和存在量词() 1.全称量词：用来表达“一切”、“所有”、“凡”、
“每一个”、“任意”等词，用符号“” 表示，
– ｘ表示对个体域里的所有个体 – ｘＦ(ｘ)表示个体域里的所有个体具有性质F. – 符号“”称为存在量词.
15
2.2命题函数与量词
18
2.2命题函数与量词
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
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2.2命题函数与量词
三、量词
2.1谓词的概念与表示
一、基本概念
1. 客体 2. 谓词 3. 表示方法：谓词用大写字母，客体用小写字母 例1、采用谓词表示下列命题
1) 地球绕着太阳转； 2）济南位于北京与南京之间； 3）张三是大学生，李四是工人 解：1）设：L:……绕着……转，a：地球；b：太阳
即，L(a，b) 2）设：L：…位于…与…之间，a：济南；b：北京；c：南京
02-21.1 谓词逻辑的基本概念-课件
定义 和一个个体相联系的谓词称为一元谓词，和二个个体相联 系的谓词称为二元谓词，和n个个体相联系的谓词称为n元谓词。
个体常元 表示具体的或特定的个体，如a，b，c，等； 个体变元 表示抽象的或泛指的个体，如x，y，z，等。 谓词常项 表示具体性质或关系的谓词， R(a)表示a是人； 谓词变项 表示抽象或泛指的谓词 ，如：P(a)表示a具有P性 质。
1
离散数学及其应用
命题逻辑的局限性
考虑下述推理: 例如，著名的“苏格拉底（Socrates，古希腊哲学家，公元前470~399）
论证”就是如此：“所有的人总是要死的。因为苏格拉底是人，所以苏格 拉底是要死的”。这个推理是我们公认的数学推理中的真命题。
但在命题逻辑中，符号表示为： 令 p: 所有人会死, q: 苏格拉底是人, r: 苏格拉底会死 前提： p, q 结论： r 符号化为 (p q) r 不能证明其正确性
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
16
离散数学及其应用
14
离散数学及其应用
量词
当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为n个元素的 集合{a1，a2，a3，an}时，有
x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an) x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an)
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离散数学及其应用
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
个体常元 表示具体的或特定的个体，如a，b，c，等； 个体变元 表示抽象的或泛指的个体，如x，y，z，等。 谓词常项 表示具体性质或关系的谓词， R(a)表示a是人； 谓词变项 表示抽象或泛指的谓词 ，如：P(a)表示a具有P性 质。
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离散数学及其应用
命题逻辑的局限性
考虑下述推理: 例如，著名的“苏格拉底（Socrates，古希腊哲学家，公元前470~399）
论证”就是如此：“所有的人总是要死的。因为苏格拉底是人，所以苏格 拉底是要死的”。这个推理是我们公认的数学推理中的真命题。
但在命题逻辑中，符号表示为： 令 p: 所有人会死, q: 苏格拉底是人, r: 苏格拉底会死 前提： p, q 结论： r 符号化为 (p q) r 不能证明其正确性
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
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离散数学及其应用
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离散数学及其应用
量词
当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为n个元素的 集合{a1，a2，a3，an}时，有
x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an) x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an)
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离散数学及其应用
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
离散数学及其应用课件第2章第1节
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例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
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离散数学及其应用
1
第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
2
2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
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例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
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例题
例题
在个体域分别为：(a):自然数集合，(b):实数集合时，将下列命题符号化， 并给出它们的真值。 1. 对于任意的x，均有x2−3x+2=(x−1)(x−2); 2. 存在x，使得x+5=2。
解 假设F(x)：x2−3x+2=(x−1)(x−2)，G(x)：x+5=2。 (a) 个体域为自然数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为0。 (b) 个体域为实数集合。 1. 符号化为：xF(x)，真值为1。 2. 符号化为：xG(x)，真值为1。
注意：除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，多 个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变 原命题的含义。
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离散数学及其应用
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第2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑的基本概念 2.2 谓词合式公式 2.3 谓词公式的解释和分类 2.4 谓词演算的关系式 2.5 前束范式 2.6 谓词演算的推理
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2.1谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体词和谓词 定义2.1.1 个体词是指可以独立存在的客体，可以是一个 具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。
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例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？
解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为 x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4) 而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
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例题
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小节
谓词逻辑中进行命题符号化，首先也要确定简单命题及它们之间的 联结词，然后对简单命题在谓词逻辑中用谓词、量词和个体进行符 号化，在这里要注意：
1 根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词； 2 根据个体域和是否有量词，确定是否需要特性谓词； 3 分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号化为一元和n元谓词； 4 注意谓词及量词的先后顺序； 5 命题的符号化形式不是唯一的。
2)在D 1 中的有些个体(人)喜欢唱歌，因而“有的人喜欢唱歌”符号化为： x为D1：人类集合 和D2：全总个体域条件时，在 一阶逻辑中将下面两个命题符 号化。
1)凡人都呼吸。 2)有的人喜欢唱歌。
当个体域是D2：全总个体域条件时， 分析:D 2 中除了有人外，还有万物，因而在1)，2)符号化时，必须考虑将人
2）存在量词: 表示存在、有一个（是Exist中第一个字母E旋转180o）。 x：个体域中有一个x。 日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词统称 为 存在量词。
如：xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F；xyG(x,y)表示个体域中存在x和 y
有关系G ；xyG (x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得x和y有关系G ； xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y,x和y有关系G 。
量词
表示个体常元或变元之间数量关系的词为量词。
1）全称量词: 表示所有的、每一个（是All中第一个字母A旋转180o）。 x：对个体域中所有的x。 日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词 可统称为全称量词。
如：xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F；xyG(x,y)表示个体域中所有的 x 和y有关系G 。
例2.1
在个体域分别为D1：人类集合 和D2：全总个体域条件时，在 一阶逻辑中将下面两个命题符 号化。
1)凡人都呼吸。 2)有的人喜欢唱歌。
解：当个体域是D1：人类集合时， 令F(x): x呼吸； G(x): x喜欢唱歌。
1)在D 1 中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为： xF(x)
注意：特性谓词的使用
❖ 由例2.2可知，命题1)，2)在不同的个体域D 1 和D 2 中符号化的形式不一样。主要区 别在于，在使用全总个体域时，要将人与其他事物区分开来，为此引进了谓词 M(x)，像这样的谓词称为特性谓词。
在命题符号化时一定要正确使用特性谓词。 一般，在全总个体域中， 对全称量词，特性谓词常作蕴涵的前件（如：x(M(x)→F(x))）； 对存在量词，特性谓词常作合取项（如：x(M(x)∧G(x))）。
说明：全称量词是对某类个体的全部进行肯定的判断，存在量词是对某类个 体 的部分有所肯定的判断。
设个体域为D，G(x)是某个具体的谓词，则xG(x)表示“对D 中的任何一个个体，都有 G(x)这个性质”，显然，这是一个可以确定真值的命题。
当D为有穷集时： xG(x)的真值为1，当且仅当对于每一个x∈D，G(x)都成立； xG(x)的真值为0，当且仅当存在某一个x∈D，使得G(x)不成立。 xG(x)表示“至少存在D中的一个个体，有G(x)这个性质”，显然，这是一个可以确定 真值的命题。当D为有穷集时： xG(x)的真值为0，当且仅当对于每一个x∈D，G(x)都不成立；xG(x)的真值为1，当 且仅当至少存在某一个x∈D，使得G(x)都成立。
小节
本小节的思维形式注记图：
量词
分解
命题 分解 个体
分解
谓词
全称量词
存在量词
个体常元
取值范围
个体变元
谓词常元
个体域 特殊 全总个体域
简单命题函数
复合命题函数
谓词变元
联结词
分离出来。 令M(x): x是人；
F(x): x 呼 吸 ； G(x): x喜欢唱歌。
在D 2中，1)，2)可以分别重述如下: 1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸 。 2)在宇宙间存在着喜欢唱歌的人。 于是1)，2)的符号化形式分别为
1）x(M(x)→F(x))
2）x(M(x)∧G(x))