2020中考数学专题复习 平方差公式及其应用(含解析)
2020中考复习--平方差公式背景题训练(有答案)
2020中考复习--平方差公式背景题训练一、选择题1.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为()A. 9a2−4b2B. 3a+2bC. 6a2+2b2D. 9a2−6ab2.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)3.如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪开拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)4.将图甲中两个小长方形的位置变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为()A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. a(a−b)=a2−abD. (a+b)(a−b)=a2−b25.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是()A. 4m2+12m+9B. 3m2+6mC. 3m+6D. 2m2+6m+96.如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是()A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a2−ab=a(a−b)7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()A. a2−b2=(a−b)2B. (a−b)2=a2−2ab+b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)二、填空题8.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______________9.在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下边这个图形可以解释的乘法公式是________________。
平方差公式典型易错题
平方差公式典型易错题摘要：1.平方差公式的概念及应用2.典型易错题分析3.解题技巧与策略4.实战演练正文：在我们的数学学习中，平方差公式是一个基础且重要的知识点。
它不仅应用于各种数学题目，更是解决许多复杂问题的重要工具。
然而，许多学生在运用平方差公式时，容易出现一些典型错误。
本文将针对这些典型易错题进行分析，并提供一些解题技巧与策略，帮助大家更好地掌握平方差公式。
首先，我们来回顾一下平方差公式的概念。
平方差公式是指两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。
用数学公式表示为：a - b = (a + b)(a - b)。
掌握这个公式，我们能轻松地解决许多有关平方差的问题。
接下来，我们来看一些典型易错题。
易错题1：求解下列等式a - 4 = 0许多同学会直接将平方差公式应用于此类题目，试图求解(a + 2)(a - 2) = 0。
然而，这类题目并不适合直接使用平方差公式。
正确的解法是先将4变为2，然后运用平方差公式，得到：a - 4 = a - 2 = (a + 2)(a - 2) = 0易错题2：求下列多项式的值f(x) = x - 9有些同学在求解此类题目时，会误将f(x) = x - 9视为平方差公式的形式，试图求解(x + 3)(x - 3) = 0。
实际上，这是一个完全平方公式的形式，正确的解法是：f(x) = x - 9 = (x + 3)(x - 3) = (x + 3) - 9为了解决这类题目，我们需要掌握解题技巧与策略。
1.仔细审题，正确识别题目类型，判断是否适合使用平方差公式。
2.在解题过程中，注意化简和变形，使题目更接近平方差公式的形式。
3.熟练掌握平方差公式的应用，特别是在解决实际问题时，能迅速找到解题思路。
最后，我们通过实战演练来巩固所学知识。
实战演练：求解下列等式a - 5a + 6 = 0解：首先，我们尝试将此等式化为平方差公式的形式。
通过观察，我们可以将6变为2，然后应用平方差公式：a - 5a + 6 = a - 2 + (2 × 3)a - 2 × 3 = (a - 2)(a - 3) = 0因此，a = 2，a = 3。
知识点059 平方差公式(解答)
1、化简：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]考点：平方差公式；完全平方公式。
分析：把（a+b）看成一个整体，利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式计算后化简即可．解答：解：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]，=（a+b）2﹣c2﹣（a﹣b）2﹣4ab，=（a+b）2﹣（a﹣b）2﹣4ab﹣c2，=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2﹣c2，=﹣c2．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题关键，要把（a+b）看成一个整体，计算时要注意运算符号的处理．2、（1）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．根据上面的规律，得（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+229+230的值．考点：平方差公式。
专题：阅读型；规律型。
分析：仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数加1，根据此规律就可求出本题．解答：解：（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（2）1+2+22+23+24+…+229+230=（2﹣1）（1+2+22+23+24++229+230）=231﹣1．点评：本题主要锻炼学生从已知的题中找规律．所以学生平时要注意培养自己的总结概括能力．3、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=考点：平方差公式。
分析：利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．解答：解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），=××××××…××××，=×，=．点评：本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．4、计算：（1）﹣3m（2m+n﹣1）；（2）（3x﹣2）（x+4）；（3）（x+y﹣2）（x+y+2）．考点：平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式。
初中数学专题1.1 巧用平方差公式
1.1 巧用平方差公式我们把公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2称为乘法公式中的平方差公式；反过来a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )称之为因式分解中的平方差公式．在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形，平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程（组）的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面都有广泛的运用．例1 已知712—1可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是( )．A ．41B ．43C ．47D ．49【解】用平方差公式作因式分解：712－1＝(76＋1)(76－1)＝(72＋1) (74－72＋1) (73＋1) (73－1)＝50(74－72＋1)(7＋1)(72－7＋1)(7－1)(72 ＋7＋1)＝43·48·50·57(74－72＋1)，而74－72＋1＝48·49＋1不能被41，49，47整除，故答案选B ．【注】 也可以用立方差公式分解76－1，如果先用立方差公式，那么76－1＝ (72－1)( 74 ＋72＋1)＝48(74＋72＋1)，而74＋72＋1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74＋72 ＋1＝74＋2·72＋1－72＝(72＋1)2－72＝(72＋7＋1) (72—7＋1).例2已知对任意大于2的正整数n ，n 5－5n 3 ＋4n 都是正整数m 的倍数，求m 的最大值．【解】 n 5 －5n 3＋ 4n ＝n (n 4－5n 2＋4)＝n (n 2－4)(n 2 －1)＝n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)．因为n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5 !的倍数，又当n ＝3时，原式＝120，故m 的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数（其中一个为4的倍数），1个3的倍数，顺便提一句，也可以利用组合数公式来证明连续n 个正整数的乘积是n ！的倍数，这是因为由!)1()2)(1(n n m m m m C n m +-⋅⋅⋅--=可知连续的n 正整数乘积n m C n n m m m m !)1()2)(1(=+-⋅⋅⋅--，从而结论成立，例3计算:)419)(417)(415)(413)(211()4110)(418)(416)(414)(212(4444444444++++++++++ 【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用414+x 来代替，再进行因式分解后找出规律．【解】 因为2222244214141x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212122x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121412122x x 所以，原式＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛41221412194129412741254123222222· 122222241219412174127412541234121-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝221.例4若a 是非负整数，则a 4 －3a 2＋9是合数还是素数？【解】 由于a 4－3a 2＋9＝(a 2＋3)2－(3a )2＝(a 2－3a ＋3) (a 2＋3a ＋3)，下面对a 讨论：当a ＝0时，原式＝9，是一个合数；当a ＝1时，原式＝7，是一个素数；当a ＝2时，原式＝13，是一个素数；当a ＞2时，因a 2－3a ＋3与a 2 ＋3a ＋3都是大于1的整数，故原式是一个合数．综上所述，当a ＝0或a ＞2时，a 4 －3a 2＋9是合数；当a ＝1或2时，a 4－3a 2 ＋9是素数.【注】在将原式分解成(a 2－3a ＋3)(a 2＋3a ＋3)后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证a 2－3a ＋3与a 2＋3a ＋3都大于1才能是合数．通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a 2－b 2的形式，然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5 求证：若n 是正整数，则存在无穷多个正整数k ，使得n 4＋k 是合数．【证明】 令k ＝4a 4（a 为正整数），则n 4 ＋k ＝n 4＋4a 2n 2＋4a 4－4a 2n 2＝(n 2＋2a 2)2－(2an )2＝ (n 2＋2an ＋2a 2)(n 2－2an ＋2a 2).当a ≥2时，n 2＋ 2an ＋2a 2与n 2－2an ＋2a 2都是大于1的正整数，因为a 有无穷多个，故存在无穷多个k ，使得n 4＋k 是合数，【注】 本题的关键在于构造k ＝4a 4，这用到了本章节例题3的代数形式．例6 对于不超过50的正整数n ，满足：恰有一对非负整数（a ，b ），使得a 2－b 2＝n ，试求满足条件的n 的数目.【解】 由于n ＝(a ＋b )(a －b )，且a ＋b 与a －b 同奇偶，所以n ≠2(mod 4).(1)当n 为奇素数时，仅有一对()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 满足条件； (2)当n 为奇合数时，不妨设n ＝uv （u ≥v ＞1，u ，v 为奇数），那么至少有2组非负整数解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 或⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2,2v u v u ，不满足题意，因此奇数中满足题意的共有： 1,3,5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47共计15个；(3)当4|n 时，如果4n 为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意．因此偶数中满足条件的为4，8，12，20，28，44共6个．综上所述，一共有21个正整数n 满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键．例7试求关于m ，n 的不定方程m 2－1＝p 2（n 2－1）的所有正整数解，其中p 为素数．【解】 因为(m －1)(m ＋1)＝p 2(n 2－1)，下面按照p 作分类讨论：(1)若p 为奇素数，则p 2| m －1或p 2 | m ＋1．若p 2|m －1，设m ＝kp 2＋1(k 为非负整数），则n 2＝k 2p 2＋2k ＋1，但是k 2p 2＜k 2p 2＋2k ＋1≤(kp ＋1)2从而k ＝0，进而m ＝n ＝1;若p 2|m ＋1，设m ＝kp 2－1(k 为正整数)，则n 2＝k 2p 2－2k ＋1，但是(kp －1)2＜k 2p 2－2k ＋1＜k 2p 2矛盾！(2)若p 为2，则2|m －1，2|m ＋1，设m ＝2k －1(k 为正整数)，那么n 2＝k (k －1)＋1＝k 2－k ＋1但是(k －1)2＜k 2－k ＋1≤k 2，故k ＝1，进而m ＝1，由此可得n ＝1综上所述，m ＝n ＝1【注】 本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式，并且利用了两个相邻平方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.11.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222201111311211 2.已知：2122+=-b a ，2122-=-c b ，求222222444a c c b b a c b a ---++的值3.证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数p 及怎样的正整数n 、k ，都不能表示成p ＋n 2k 的形式4.证明：对每个正整数n ，均存在正整数m ，使得：()121++=+m m n5.试确定实数a 、b 、c 的值，使得对任何正整数n ，∑-=++-+++=10323231n k ck bk ak ck bk ak n恒成立.练习1.11.原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201111201111211211 2011100620112012201120105654454334322321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2.因为()()()][21222222222222222444a c c b b a a c c b b a c b a -+-+-=---++，又因为,21,212222-=-+=-c b b a 两式相加得a 2－c 2＝2，从而原式＝()()52212121222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++ 3.若p ＋n 2k ＝m 2，则由平方差公式可得(m －n k )(m ＋n k )＝p ，由于p 为质数，则必有⎩⎨⎧=+=-pn m n m k k 1，从而p ＝2n k ＋1，m ＝n k ＋1。
2020年八年级数学下册因式分解专题02 平方差公式(提升教师版)
专题02 平方差公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 例1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--＝ （3）原式 （4）原式例2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】先化简，再求值：（2a +3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a =．【答案】解：原式=（2a +3b +2a ﹣3b ）（2a +3b ﹣2a +3b ） =4a ×6b =24ab ，当a =，即ab =时，原式=24ab =4． 类型二、平方差公式的应用例3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x +y ）（x 2+y 2），当x =9，y =9时，x ﹣y =0，x +y =18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x =10，y =10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解，得到4x 3﹣xy 2=x （2x +y ）（2x ﹣y ），然后把x =10，y =10代入，分别计算出2x +y =及2x ﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：原式=x （4x 2﹣y 2）=x （2x +y ）（2x ﹣y ）， 当x =10，y =10时，x =10，2x +y =30，2x ﹣y =10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．同步练习一.选择题1．分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A.（﹣2y ﹣x ）（x +2y ） B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y +x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C.D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①；② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积应等于（ ） A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； .8. 若，将分解因式为__________.9. 分解因式：_________.10. 若，则是_________.11.若A =（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 12.已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a bab -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5121211202311_________m m aa +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422nx xx x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-14.已知（2a +2b +3）（2a +2b ﹣3）=72，求a +b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）.（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；；. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ； 【解析】 22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a bab a a b a b a b -=+-=++-()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.填空题 7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4； 【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6， 所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y =﹣2，x +y =2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m aa a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a +b ）+3][2（a +b ）﹣3]=72，即4（a +b ）2﹣9=72， 整理得：（a +b ）2=，开方得：a +b =±． 15.【解析】解：（1） 又为非零的自然数， ∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-
专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。
特别需要注意“-”的处理。
类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。
(附答案)《平方差公式》典型例题
《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -=（3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y --．解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y --=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --=2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+=xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~22~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================y x xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式242(21)(21)(21)(21)(21)n=-++++L224222222(21)(21)(21)(21)(2)12141.n n n n ⨯=-+++=-=-=-L说明：添加)12(-极富技巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力。
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》知识全解
《平方差公式》知识全解
课标要求
熟练掌握平方差公式，学会运用平方差公式解题，会逆用平方差公式。
知识结构
平方差公式
文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式：（a+b）(a-b)=a2-b2
内容解析
本节从探究一种特殊形式的多项式乘法入手，介绍了平方差公式的运算方法，并从图形的角度说明了它的正确性。
接着给出了一些适合用公式解决的问题，让学生熟悉、巩固公式的应用。
重点难点
本节内容的重点和难点都是：应用平方差公式进行计算。
教法引导
引导学生自主学习。
要让学生通过自己阅读教材与思考探究获得知识。
学法建议
自主学习，与同学讨论交流，获取知识。
平方差公式的运用
平方差公式的运用第一篇：平方差公式的运用浅谈平方差公式在初中数学中的运用提要：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2是初中阶段的一个重要的公式，应用也十分广泛，必须引起教师的高度重视。
关键词：平方差整式乘法因式分解无理数平方差公式在初中数学上占据了重要位置，在近几年的中考和期末测试中经常出现，所以要求学生掌握并运用好平方差公式。
一、平方差公式乘法中的运用平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，其形式是：两项之和与这两项的差的乘积等于这个项的平方差，其中的a、b可以是具体数，也可以是单项式、多项式。
可用公式的都有两个共同特点：前一个因式与后一个因式中各有一项是相同，剩下的两项是互为相反数。
有些形式上不符合公式，但只要符合这个特点，可以根据公式的特点，应用加法加换律、结合律进行灵活变形，或者用提负号的方法把题转化成平方差公式。
（一）、整式乘法中的运用例1.(2x+3)(2x-3)分析：本题是整式乘法中的最简单的，是这两个项的和与这两个项的差的积等于这两项的平方差，可直接用公式进行计算。
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9例2．(-3a-2b)(3a-2b)分析：本类题是属于两个多项项式的乘积，这类题形首先要观察是否符合公式特点，看出前一个因式中与后一个因式中都是-2b，剩下的一个是-3a，一个3a，它们互为相反数，可以用公式。
计算本题有两种方法（1）是利用加法加换律调整位置，把它转化为一般式；（2）提一个负号转化成一般式，再用公式计算。
解法1、加法加换律进行调整其位置解法2、提取负号(-3a-2b)(3a-2b)(-3a-2b)(3a-2b)=(-2b-3a)(-2b+3a)=-(3a+2b)(3a-2b)=-(9a2-4b2)22=(-2b)-(3a)例3、(2x+y+z)(2x+y-z)=4b2-9a=-9a+4b分析：本类题每一个因式中都是三个或三个以上的项，所以先利用加法结合律，把一个因式中的多项式转化成两个式子的和差形式，再观察是否符合公式特点。
平方差公式的题
平方差公式的题平方差公式，这可是咱数学学习里的一个重要家伙！它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松打开好多数学难题的大门。
先来说说啥是平方差公式哈。
平方差公式就是：(a+b)(a - b) = a² - b²。
这看起来挺简单，对吧？可别小瞧它，运用起来那可是相当厉害。
就说我前段时间辅导我小侄子做作业的时候，就碰到了这么一道题：计算(5 + 3x)(5 - 3x) 。
这小家伙一开始抓耳挠腮，完全没头绪。
我就跟他说，咱可以用平方差公式啊！把 5 看作 a ，3x 看作 b ，那这不就是(a + b)(a - b) 的形式嘛！套上公式，就是 5² - (3x)²，算出来就是 25 -9x²。
小家伙一下子恍然大悟，眼睛都亮了，那表情别提多有趣。
再比如，有这么一道题：(101×99) 。
要是直接算，那可麻烦了。
但有了平方差公式，咱们可以把 101 看成 100 + 1 ，99 看成 100 - 1 ，这样就变成了 (100 + 1)(100 - 1) ，用公式一算，就是 100² - 1²，也就是10000 - 1 = 9999 。
是不是特别简单？还有啊，在一些几何问题里，平方差公式也能派上大用场。
比如说，一个正方形的边长增加了 5 厘米，面积就增加了 95 平方厘米，求原来正方形的边长。
咱们可以设原来正方形的边长为 x 厘米，那么新正方形的边长就是 (x + 5) 厘米。
新正方形的面积就是 (x + 5)²平方厘米，原来正方形的面积就是 x²平方厘米。
根据面积增加 95 平方厘米，就可以列出方程：(x + 5)² - x² = 95 。
这时候再用平方差公式把左边展开：(x +5 + x)(x + 5 - x) = 95 ，也就是 (2x + 5)×5 = 95 ，接下来解方程就能求出x 的值啦。
平方差公式的应用课件
差与和的乘积
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
一元二次方程求解
学习如何利用平方差公式求解一元二次方程，探索二次函数的性质和图像。
三角函数的应用
正弦函数
理解正弦函数的周期性和波形， 掌握平方差公式在三角函数计算 中的重要性。
余弦函数
研究余弦函数的性质，探索平方 差公式如何应用于三角函数的推 导和计算。
了解平方差公式在遗传学、生态学和生物化学等领域的广泛应用。
经济学中的应用
研究平方差公式在经济学中的应用，从市场分析到投资决策，发现数学与经济的共同之处。
金融学中的应用
探究平方差公式在金融学领域的应用，包括风险管理、投资组合优化和期权 估值等方面。
大数据分析中的应用
了解平方差公式在大数据分析和统计建模中的关键作用，发掘数据背后的规 律和趋势。
人工智能领域中的应用
研究平方差公式在机器学习和人工智能算法中的应用，了解数据处理和模型 优化的重要性。
平方差公式和数据挖掘的关系
发现平方差公式在数据挖掘中的实际应用，分析数据之间的变动和趋势。
平方差公式在图像处理中的应用
探索平方差公式在图像处理和计算机视觉中的重要作用，包括图像相似度度量和噪声处理。
平方差公式在信号处理中的应 用
研究平方差公式在信号处理领域的应用，如滤波器设计和频谱分析。
平方差公式在音频处理中的应用
了解平方差公式在音频处理和音乐分析中的关键作用，包括音频特征提取和信噪比计算。
平方差公式在视频处理中的应用
研究平方差公式在视频处理和视频编码中的应用，如帧间差分和视频质量评估。
运用平方差公式解决力学 中的力的平衡和合成问题。
探索平方差公式在电场和 磁场的计算中的应用。
平方差公式的应用课件
目
CONTENCT
录
• 平方差公式简介 • 平方差公式的应用场景 • 平方差公式的应用实例 • 平方差公式的应用练习题 • 总结与展望
01
平方差公式简介
公式定义
平方差公式
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
公式描述
表示两个数的平方差等于它们的和与差的乘积。
THANK YOU
感谢聆听
学习平方差公式不仅是为了应对考试 ，更是为了培养数学思维和应用能力 ，为未来的 叉融合，拓展自己的知识面和应用能 力，以更好地适应未来的发展需求。
在学习平方差公式的过程中，我们需 要注重实践和应用，通过解决实际问 题来加深对公式的理解和掌握。
面积和周长的计算
详细描述
在几何图形中，平方差公式可以用于计算图形的面积和周长。例如，在矩形、平行四边形等图形中，可以利用平 方差公式来计算面积和周长。
日常生活实例
总结词
日常生活中的数学应用
详细描述
平方差公式在日常生活中有着广泛的应用，如房屋装修、购物、金融投资等方面。通过运用平方差公 式，可以更好地理解和解决日常生活中的数学问题。
日常生活练习题
总结词：将平方差公式 的应用与日常生活相结 合，提高解决实际问题 的能力。
利用平方差公式解决购 物时遇到的数学问题， 例如：计算商品打折后 的价格。
利用平方差公式解决房 屋装修时的面积问题， 例如：计算墙纸需要购 买的面积。
利用平方差公式解决旅 行中的行程安排问题， 例如：计算两地之间的 距离和时间。
面积计算
在几何图形中，平方差公式常用于计 算某些图形的面积，例如直角三角形 中的两个直角边长分别为 a 和 b， 则其面积可以用 $0.5ab$ 来表示。
平方差公式练习题及答案
平方差公式练习题及答案第一题：已知 a² - b² = 9，求 a² + b²的值。
解答：我们知道平方差公式为 a² - b² = (a + b)(a - b)。
根据已知条件 a² - b² = 9，我们可以设立方程 (a + b)(a - b) = 9。
由于我们需要求解 a² + b²的值，我们可以采用如下的方法：将两边平方，得到 (a + b)²(a - b)² = 9²。
化简得 (a + b)²(a - b)² = 81。
再次采用平方差公式展开，得到 (a² + 2ab + b²)(a² - 2ab + b²) = 81。
根据平方差公式展开式的特点，我们可以得到：a⁴ - (2ab)² + b⁴ = 81。
进一步化简，得到 a⁴ - 4a²b² + b⁴ = 81 。
我们需要注意到， a² + b² = (a² + 2ab + b²) - 2ab。
而根据已知条件的平方差公式，我们可以将以上等式中的 (a² + 2ab + b²) 用 9 替换，得到：a² + b² = 9 - 2ab。
将这个等式代入到前面的等式中，我们可以得到：9 - 2ab - 4a²b² + b⁴ = 81。
简化合并同类项，得到：b⁴ - 4a²b² - 2ab + 72 = 0。
这是一个四次方程，我们可以通过求解这个方程来得到 a² + b²的值。
通过因式分解的方法，我们可以得到一个解为 b = 2 。
将 b = 2 代入到原方程中，可以得到 a = ±3。
初三数学中考复习：平方差公式大全
以下是⽆忧考为⼤家整理的关于初三数学中考复习：平⽅差公式⼤全的⽂章，供⼤家学习参考。
表达式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平⽅差，这个公式就叫做乘法的平⽅差公式公式运⽤ 可⽤于某些分母含有根号的分式： 1/（3-4倍根号2）化简： 1×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2)^2;=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2）/-23 [解⽅程] x^2-y^2=1991 [思路分析] 利⽤平⽅差公式求解 [解题过程] x^2-y^2=1991 (x+y)(x-y)=1991 因为1991可以分成1×1991，11×181 所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995 如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85同时也可以是负数 所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995 或x=96，y=85，或x=96，y=-85或x=-96，y=85或x=-96，y=-85 有时应注意加减的过程。
常见错误 平⽅差公式中常见错误有： ①学⽣难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”） ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应⽤难以掌握。
三⾓平⽅差公式 三⾓函数公式中，有⼀组公式被称为三⾓平⽅差公式： (sinA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(cosA)^2=sin(A+B)sin(A-B) (cosA)^2-(sinB)^2=(cosB)^2-(sinA)^2=cos(A+B)sin(A-B) 这组公式是化积公式的⼀种，由于酷似平⽅差公式⽽得名，主要⽤于解三⾓形。
注意事项 1、公式的左边是个两项式的积，有⼀项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平⽅差，相同项的平⽅减去相反项的平⽅。
【人教版】2020中考数学专题复习 平方差公式及其应用(含解析)
平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a） B.（﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b） D. （b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y）C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3） B. （a+b）（﹣a ﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a） D. （a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b） B.（a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b） D.（-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9） B.（x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9） D. （﹣x﹣9）（x ﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]D. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x） B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）D. （﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B. （a ﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________ ．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+ x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n ．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）•（x+ ）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99 ．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264 ，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a） B.（﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b） D. （b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y）C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3） B. （a+b）（﹣a ﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a） D. （a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2 ，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2 ，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b-a. 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b） B.（a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b） D.（-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B. （-a -1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9） B.（x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9） D. （﹣x﹣9）（x ﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]D. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]，故选C．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的特点进行计算即可．13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x） B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）D. （﹣x+y）（x﹣y）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x﹣y）（﹣y﹣x）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2﹣y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B. （a ﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6 【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 ，正确，不符合题意；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ，错误，符合题意；C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4 ，正确，不符合题意；D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．故选B．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．15.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y【答案】A【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，求出代数式.二、填空题16.分解因式：________·【答案】(x+3)(x-3)【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。
平方差公式与完全平方差公式综合运用
平方差公式与完全平方差公式综合运用平方差公式专项1、热身练习一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（13a+b）（b－13a） D．（a2－b）（b2+a）3．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．培优讲解：例1、添项拆项：（1）（2+1）（22+1）（24+1）.（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）..（32008+1）－4016 32例2、运用平方差公式简算（1）2009×2007－20082．（2）22007200720082006-⨯．（3）22007200820061⨯+．过关练习：1．利用平方差公式计算：2023×2113． 2．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．例3、解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．例4、阅读题型已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x ）（1+x+x 2+…+x n）=______．（n 为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n =______（n 为正整数）． ③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a －b ）（a+b ）=_______． ②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______． ③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______． 例5、实际运用1、广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？2、请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．完全平方公式专题完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ ab b a b a 4)(22=--+）（ bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++例题讲解：例1、直接运用变形公式1． 已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
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平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b） D. （b+m）（m﹣b）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y）C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1)5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3） B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a） D. （a+1）（a﹣2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b） B.（a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D . （-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9） D. （﹣x﹣9）（x﹣9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]D. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x） B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）D. （﹣x+y）（x﹣y）14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B. （a ﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣615.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y二、填空题16.分解因式：________·17.分解因式：________18.计算：（2m﹣n）（n+2m）=________ ．19.已知a2﹣b2=6，a﹣b=2，则a+b=________．20.若x2﹣y2=6，x+y=3，则x﹣y=________．21.计算：(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)=________．22.分解因式：4m2﹣9n2=________．三、计算题23.计算：（1）（5m﹣6n）（﹣6n﹣5m）；（2）（x2y2+3m）（﹣3m+ x2y2）．24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．26.计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2 ．（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3 ．（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4 ．（1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=________；（2）根据你的猜想进行下列运算：（a）（1﹣2）（1+2+22+23+24）=________；（b）（x﹣1）（x99+x98+…+x2+x+1）=________；（3）计算：2+22+23+…+2n ．四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）•（x+ ）28.计算：（1）（）﹣1+2×（﹣2）﹣2-（﹣π+3.14）0﹣（）﹣3（2）用简便方法计算：1252﹣124×126﹣4101×（﹣0.25）99 ．29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02 ， 12=42﹣22 ， 4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．五、综合题30.化简（1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264﹣1+1=264 ，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选C．【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A. （x+a）（x﹣a）B. （﹣x﹣b）（x﹣b）C. （a+b）（﹣a﹣b） D. （b+m）（m﹣b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选C．【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （x-y）（-x+y）B. （-x+y）（-x-y）C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y）【答案】A【考点】平方差公式【解析】【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2的左边的形式，判断能否使用．【解答】A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；B、两个括号中，-x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；故选：A．4.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. (2a＋b)(2b－a)B.C. (a＋b)(a－2b)D. (2x－1)(－2x＋1)【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选B.5.下列各式中能用平方差公式的是（）A. （2a﹣3）（﹣2a+3） B. （a+b）（﹣a﹣b）C. （3a+b）（b﹣3a） D. （a+1）（a﹣2）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、∵（2a﹣3）（﹣2a+3）=﹣（2a﹣3）（2a﹣3）=﹣（2a﹣3）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；B、∵（a+b）（﹣a﹣b）=﹣（a+b）（a+b）=﹣（a+b）2 ，∴不能用平方差公式，故本选项错误；C、∵（3a+b）（b﹣3a）=（b+3a）（b﹣3a），∴两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、∵平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a和a相等，﹣1和﹣2不互为相反数，∴不能用平方差公式，故本选项错误；故选C．【分析】提取﹣1后得出﹣（2a﹣3）（2a﹣3）推出﹣（2a﹣3）2 ，即可判断A；提取﹣1后得出﹣（a+b）（a+b）推出﹣（a+b）2 ，即可判断B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断C、D．6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（）A. b -aB. a -bC. -a -2ab+bD. -a +2ab+b【答案】A【考点】平方差公式【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b-a. 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A. （2a-b）（-2a+b） B.（a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b）D . （-2a-b）（2a+b）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可．【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式．故选C．【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积．8.下列能用平方差公式计算的是（）A. （﹣a+b）（a﹣b）B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1）【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项﹣2与1不同，不符合平方差公式．故选C．【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A. 2B. 4C. ±2D. ±4【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：∵（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4是一个完全平方式，∴2m=k，m2=4，解得：m=±2，k=±4，故选D．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A.（-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1）D.（a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解．【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1与a的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是a与1的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a与1都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为81﹣x2的是（）A. （x+9）（x﹣9）B. （x+9）（﹣x﹣9）C. （﹣x+9）（﹣x﹣9） D. （﹣x﹣9）（x﹣9）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：81﹣x2=（﹣x﹣9）（x﹣9）或者（9+x）（9﹣x）．故选D．【分析】本题是平方差公式的应用，选项D中，﹣9是相同的项，互为相反项是x与﹣x，据此即可解答．12.为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A. [x﹣（2y+1）]2B. [x+（2y+1）]2C. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]D. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1]【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】解：（x+2y﹣1）（x﹣2y+1）=[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）]，故选C．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的特点进行计算即可．13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A. （x﹣y）（﹣y﹣x） B. （x2﹣y2）（x2+y2）C. （a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）D. （﹣x+y）（x﹣y）【答案】D【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x﹣y）（﹣y﹣x）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2﹣y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+b﹣c）（﹣c﹣b+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣x+y）（x﹣y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意．故选：D．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．14.下列运算结果错误的是（）A. （x+y）（x﹣y）=x2﹣y2B. （a ﹣b）2=a2﹣b2C. （x+y）（x﹣y）（x2+y2）=x4﹣y4D. （x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6【答案】B【考点】平方差公式【解析】【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2 ，正确，不符合题意；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ，错误，符合题意；C、（x+y）（x﹣y）（x2+y2）=（x2﹣y2）（x2+y2）═x4﹣y4 ，正确，不符合题意；D、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，正确，不符合题意．故选B．【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解．15.下列多项式中，与-x-y相乘的结果是x2-y2的多项式是( )A. y-xB. x-yC. x+yD. -x-y【答案】A【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2．故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，求出代数式.二、填空题16.分解因式：________·【答案】(x+3)(x-3)【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。