沪教版(上海)高二上学期数学第 九 章 矩阵和行列式初步
高二数学沪教版9.3.2_二阶行列式 (共11张PPT)
当 D Dx Dy 0 时，方程组有无穷多解
例1.利用行列式判断下列方程组解的情形：
2 3 2 x 3 y 7 D 0 有唯一解 (1) 5 2 5 x 2 y 1 3 2 4 x 2 y 3 D 0, Dx 0 无解 (2) 5 9 18 x 9 y 5
则
Dy Dx ,y 当 D 0 时，解为 x D D
一、二元线性方程组解的其它情形
a1 x b1 y c1 当 a1b2 a2b1 0 时, 没有唯一解 a2 x b2 y c2 a1 b1 c1 b1 a1 c1 若记 D , Dx , Dy a2 b2 c2 b2 a2 c2
8 6 4 x 6 y 8 D 0 , Dx 0 (3) 4 3 2 x 3 y 4 4 8 Dy 0 无穷多解 2 4
mx 2 y m 4 例2.解关于 x, y 的方程 2 x my m
解： D (m 2)(m 2) , Dx m(m 2) , Dy (m 4)(m 2) ①当 m 2 即 D 0 时，方程组有唯一解：
x1 二阶行列式 y1
y
x2 表示平面上 OA, OB 所张成的 y2
推论2： O, A, B 构成 AOB
平行四边形的有向面积. (证明利用第八章知识，这里略)
B( x2 , y2 )
SOAB
A( x1 , y1 )
O
1 x1 2 y1
x2 y2
x
课外阅读材料——二阶行列式几何意义证明
证： SOACB | OA || OB | sin
(选讲)二、二阶行列式的几何意义
2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案(1) 沪教版
2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案（1）沪教版一、教学内容分析本节课内容是高中二年级第一学期课本9.1节. 矩阵是一种数学记号，在数学的各个领域都有应用. 本节从线性方程组对应的矩形数表引出矩阵，介绍用矩阵变换的方法解线性方程组，从而使学生初步理解矩阵的概念，为今后深入研究矩阵和行列式的学习打好基础.二期课改的教材内容有时代气息，反映了社会进步和科技发展对数学课程内容的要求，体现了经济、文化比较发达的地区的特点.在数学课程中，应该融入一些现代信息技术.如今，计算机（计算器）已经普及，计算机（计算器）用矩阵处理问题时更加方便、简洁. 因此，对矩阵进行一些初步的学习是很有必要的.二、教学目标设计1.理解矩阵的概念，理解线性方程组和矩阵的关系；2.掌握用矩阵变换的方法解线性方程组；3.形成从特殊到一般的数学归纳能力.三、教学重点及难点掌握用矩阵变换的方法解线性方程组.四、教学用具准备传统教学用具.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入用加减消元法解下列二元一次方程组：我们把方程组的系数和常数项写成矩形数表. 在解方程组的过程中，方程组逐步会发生变化，相应的矩形数表也发生变化.这样，矩形数表的最后一列恰好是方程组的解.我们把上述矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素.［说明］从学生熟悉的解二元一次方程组引出矩阵，使学生易于接受.二、学习新课1．思考为了得到二元一次方程组的解，矩阵最终应变为什么形式？答：变为的形式，方程组的解就是2．问题矩阵应按什么规则进行变化？答：每次变化不外乎是以下两个步骤之一：将某一行的每个数乘以一个非零数，加到另一行上；将某一行的每个数乘以一个非零数，再替换该行.3．讨论如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？答：第1步，把二元一次方程组的系数的某数项写成一个矩阵；第2步，逐步变化矩阵，每一步或是将某一行的每个数乘以一个非零数，加到另一行上，或是将某一行的每个数乘以一个非零数，再替换该行. 最后，使矩阵成为的形式，则方程组的解就是［说明］通过开始的例子，让学生进行观察，归纳、总结出用矩阵变换的方法解二元一次方程组的一般方法，培养了学生从特殊到一般的归纳能力. 4．例题分析《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？.21202134.2120,2134212010213401212010211700521201010252021010254025101025852102521.852,1025.51)2(2112)5(两金两金，每只羊值答：每头牛值所以方程组的解是行）、第①、②分别表示矩阵的矩阵变换过程如下：（根据题意，得两金两金，每只羊值解：设每头牛值①加到①②②加到②①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=+=+⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯y x y x y x y x［说明］通过应用题，演示用矩阵变换的方法解二元一次方程组，加深对这种方法的理解，体会其方便性.此外，本题是《九章算术》中的一道题，让学生对中国古代的数学有所了解.三、巩固练习解下列二元一次方程组：［说明］在刚才学习的基础上进行简单的巩固练习.四、作业布置解下列二元一次方程组：2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案（2）沪教版一、教学目标设计1．初步掌握用矩阵变换的方法解三元、四元一次方程组；2．培养从特殊到一般的数学归纳能力.三、教学重点及难点掌握用矩阵变换的方法解三元、四元一次方程组.四、教学用具准备传统教学用具.五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 复习解下列二元一次方程组：［说明］这节课是上一节课的延伸和扩展.先复习上节课学习的方法，以便顺利向这节课的内容过渡.二、问题拓展能不能用矩阵变换的方法解三元一次方程组？试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++.15225,723,6z y x z y x z y x 行）、、分别表示矩阵的第①、②、矩阵变换过程如下：（321③.3,2,131002010100162006030230023102206030230023152258032230023152257213611121③31②32①③32②③310①②34①①21③②1)(③===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯z y x 所以加到加到加到加到加到和解二元一次方程组相似，上述过程的目的是把矩阵变成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 100010001的形式，其中6个数为零.一般地，按如下的顺序把这6个数变为零：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 1⑥⑤①1④②③1 其中，①、②从第3行出发变为零，③从第2行出发变为零，④、⑤从第1行出发变为零，⑥从第2行出发变为零.［说明］虽然已经学过了用矩阵变换解二元一次方程组的方法，解三元一次方程组的方法也类似，但由于过程复杂得多，学生难以独立找到变换的有效方法，因此仍需要先介绍具体的变换方式，然后再让学生训练. 三、例题分析甲乙丙三人做一批零件. 若甲乙两人合作，甲做8天，乙做5天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做6天，丙做9天恰好完成；乙丙两人合作，乙做10天，丙做6天恰好完成. 如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？32851,691,106 1.11123()8501850116091615020106101061x y z x y x z y z y z ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩⎛⎛⎫ ⎪ −−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝③加到②解：设甲单独做需天，乙需天，丙需天，则1（将、、分别记作为m 、n 、k ，则原方程组可看作为三元一次方程组）x 矩阵变换过程如下：（①、②、③分别表示矩阵的第、、行）这一步由学生完成133253110115165100061615020106155100010006601501015010106110063110012101015100118⨯⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⨯⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎛⎫ ⎪⎫ ⎪⎪ ⎪⎪−−−−→-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→--−−−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛−−−−→⎝②加到①①加到②②加到③①②③12,15,121518.18,x y z ⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以即甲单独做需天，乙需天，丙需天［说明］这里再举了一道应用题，让学生试着用矩阵变换的方法解三元一次方程组.四、巩固练习(1) 已知一个线性方程组对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---832541275134，写出其对应的线性方程组.(2) 解(1)中的方程组.［说明］学习了用矩阵变换的方法解二元一次方程组、三元一次方程组，那么解四元以上方程组的方法也比较清楚了.在这里进一步进行推广，试一试四元一次方程组.五、作业布置作业：解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=++;2,12,4z y x z y x z y x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++.023,72,52z y x z y x z y x［说明］用矩阵变换的方法解三元以上的方程组不是重点，作业只进行简单的巩固练习.。
高二数学上册 9.1《矩阵的概念》课件3 沪教版
单位矩阵
概念巩固：
2x 3y 1 1、二元一次方程组3x 4y 5
的增广矩阵为
2 3
3 4
15
它是 2 行 3 列的矩阵，可记作 A2×3，这个矩阵的两个行向 量为（2 ，3 ，1）、（3，－4，5） ；
2、 二元一次方程组 33xy54yx76的系数矩阵为
（1）可以将某一行的每个数乘以一个非零数； （2）可以将某一行的每个数乘以一个非零数再加到另一行上 ； （3）可以互换矩阵的两行； （4）变化的最终形式一般是系数矩阵变为单位矩阵。
例题分析：
5x 2y 10, 例1、用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组2x 5 y 8;
例2、《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二值金十两，牛 二羊五值金八两. 问每头牛羊各值金几何？
2 1 0 1 6、 关于x、y、z的三元一次方程组的增广矩阵为0 2 5 2 ，
0 1 2 8
2x y 1 2 y 5z 2 其对应的方程组为 y 2z 8
讨论总结： 问：类比二元一次方程组求解的变化过程，方程组相应的增广矩阵 的行发生着怎样的变换呢？变换有规则吗？请讨论后说出你的看法。
4
x 3, (5)
y
1.(4)
3113,, 1122,,
8585
2行2列矩阵，记作A2×2
矩2增阵阶广的方矩行矩阵向阵量 2行3列矩阵，
10
2 7
57
记作A2×3
矩阵
10
2 1
51
总结： 你能总结出用矩阵变换的方法解线性方程组的一般步骤吗？
（1）写出方程组的增广矩阵； （2）对增广矩阵进行行变换，把系数矩阵变为单位矩阵； （3）写出方程组的解。
沪教版(上海)高二数学上册第9章矩阵和行列式初步复习课件
5 t
,且AB
O,则
3 5 3
t
.
3) 已知
A
2 3
31, f ( x) x2 5 x 3,
则 f (A)
.
4) 若n阶矩阵A满足方程A2 2 A 3E 0,则
A1
.
3 0 0
5) 设A 0 1 0,则An
.
0 0 4
0 0 2
6) 矩阵A 0 5 0的逆矩阵A1 8 0 0
1 0 1
注：对一般的 n 阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An 。
例2 解：
0 1 0
设
A
1
0
0 ，求 A2004 2 A2 .
0 0 1
0 1 0 0 1 0
因为
A2
1
0
0 1 0
0
0 0 1 0 0 1
＝
1 0
0 1
00 ，
0 0 1
故 A4 E，从而 A2004 ( A4 )501 E 501 E .
6 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证。 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。
典型例题
一、矩阵的运算 二、有关逆矩阵的运算及证明 三、矩阵方程及其求解方法
一、矩阵的运算
矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算 性质及运算规律，可极大地提高运算效率。
例1
设α (1，0， 1)T，A ααT，求 An .
故 A(C B)T B. 从而
1 1 0 1 0 0
A B[(C B)T ]1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1
3 1 0 3 3 1
1 2 1
2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案(2) 沪教版
2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案（2）沪教版一、教学目标设计1．初步掌握用矩阵变换的方法解三元、四元一次方程组；2．培养从特殊到一般的数学归纳能力.三、教学重点及难点掌握用矩阵变换的方法解三元、四元一次方程组.四、教学用具准备传统教学用具.五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习解下列二元一次方程组：［说明］这节课是上一节课的延伸和扩展.先复习上节课学习的方法，以便顺利向这节课的内容过渡.二、问题拓展能不能用矩阵变换的方法解三元一次方程组？试用代入消元法、加减消元法和矩阵变换的方法分别解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++.15225,723,6z y x z y x z y x 行）、、分别表示矩阵的第①、②、矩阵变换过程如下：（321③.3,2,131002010100162006030230023102206030230023152258032230023152257213611121③31②32①③32②③310①②34①①21③②1)(③===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯z y x 所以加到加到加到加到加到和解二元一次方程组相似，上述过程的目的是把矩阵变成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 100010001的形式，其中6个数为零.一般地，按如下的顺序把这6个数变为零：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 1⑥⑤①1④②③1 其中，①、②从第3行出发变为零，③从第2行出发变为零，④、⑤从第1行出发变为零，⑥从第2行出发变为零.［说明］虽然已经学过了用矩阵变换解二元一次方程组的方法，解三元一次方程组的方法也类似，但由于过程复杂得多，学生难以独立找到变换的有效方法，因此仍需要先介绍具体的变换方式，然后再让学生训练. 三、例题分析甲乙丙三人做一批零件. 若甲乙两人合作，甲做8天，乙做5天恰好完成；若甲丙两人合作，甲做6天，丙做9天恰好完成；乙丙两人合作，乙做10天，丙做6天恰好完成. 如果甲、乙、丙单独做，各需多少天才能完成？32851,691,106 1.11123()8501850116091615020106101061x y z x y x z y z y z ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩⎛⎛⎫ ⎪ −−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝③加到②解：设甲单独做需天，乙需天，丙需天，则1（将、、分别记作为m 、n 、k ，则原方程组可看作为三元一次方程组）x 矩阵变换过程如下：（①、②、③分别表示矩阵的第、、行）这一步由学生完成133253110115165100061615020106155100010006601501015010106110063110012101015100118⨯⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⨯⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎛⎫ ⎪⎫ ⎪⎪ ⎪⎪−−−−→-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→--−−−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛−−−−→⎝②加到①①加到②②加到③①②③12,15,121518.18,x y z ⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以即甲单独做需天，乙需天，丙需天［说明］这里再举了一道应用题，让学生试着用矩阵变换的方法解三元一次方程组.四、巩固练习(1) 已知一个线性方程组对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---832541275134，写出其对应的线性方程组.(2) 解(1)中的方程组.［说明］学习了用矩阵变换的方法解二元一次方程组、三元一次方程组，那么解四元以上方程组的方法也比较清楚了.在这里进一步进行推广，试一试四元一次方程组.五、作业布置作业：解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=++;2,12,4z y x z y x z y x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++.023,72,52z y x z y x z y x［说明］用矩阵变换的方法解三元以上的方程组不是重点，作业只进行简单的巩固练习.2019-2020年高二数学上册 9.1《矩阵的概念》教案（3） 沪教版一、教学目标： （一）知识与技能目标：1、理解并掌握矩阵的有关概念：矩阵、方程组的系数矩阵、增广矩阵、矩阵中的元素、矩阵的行向量和列向量、方矩阵和方矩阵的阶、单位矩阵、零矩阵等；2、掌握矩阵变换的三种变换方法，并能通过矩阵变换解一些简单的线性方程组。
上海高二数学行列式初步(有详细答案)绝对精品
2013年暑期高二数学行列式初步§9.1.1 二阶行列式(1)——二阶行列式一．引入观察二元一次方程组的解法，设二元一次方程组11122212a xb yc a xb yc 用加减消元法来解，211221122112b b a b a b xc b c b ; 121221122121a a ab a b ya c a c 当12210ab a b 时，有12211221221122c b c b xa b a b a c a c ya b a b.二. 定义二阶行列式及展开用记号1122a b a b 来表示算式122a b a b ,即1112222a b a b a b a b .说明:二阶行列式表示的是四个数的一种特定的算式思考与运用1. 解方程:3621x x .解:231661204321x xx x x x orxx.2. 求函数2212sin22cos12x fxx 的值域.解:2222212sin212sincos1sin cos 0,1222cos12x x x f xxxx .3．行列式a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析： a b c d＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为 6.答案：6三. 利用二阶行列式解二元一次方程组将1221c b c b 和1221a c a c 分别用行列式来表示,可以表示为1122c b c b 和1122a c a c ,即11220a b Da b ,1122xc b D c b ,1122ya c D a c ,于是上述二元一次方程组的解可以表示为x y D x D D yD(0D ).§9.1.2二阶行列式(2)——作为判别式的二阶行列式一．练习与复习(一)展开下列行列式: 1.21111a aa231111a aaa ;2.22cos sin cos sin1sin cos ;3.353253235;4.sin cos sin cos2cos sin 2sinsin 2cos 2.(二)解下列方程组1.12103214515x x y xyy; 2.791313313312177135132x x y xyyx y ; 3.231232x y xy无解; 4.231462x y xy无穷多解.二. 作为判别式的二阶行列式通过加减消元法将二元一次方程组111222a xb yc a xb yc 化为x yD x D D yD ,(1)当0D 时,方程组有唯一解(2)当0D时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0xy D D ,则方程组有无穷多解.感受与体验 P10 练习9.1(2) 1; P10习题9.1 3思考与运用例解关于,x y 的二元一次方程组,并对解的情况进行讨论:1323mx y mx mym .解: 133m Dm mmm,11323xD mmm,11323yD m mm,当0D ,即0m 且3m 时有唯一解11,x y m m; 当0m 时,0D ,而30x D ,方程组无解;当3m时,0D,且0xyD D ,方程组有无穷多解.□三. 拓展与提高例1 已知三角形的三个顶点坐标分别为0,0,11,x y ,22,x y ,试用行列式表示三角形的面积.1121212211111222Sx y x x y y x y x y 11222112112211111111222222x y x y x y x y x y x y x y 111221221122x y x y x y x y .□例2 （1）计算行列式2346、792127、34-912的值；（2）从上述结果中得出一个一般的结论，并证明.解: (1) 均为0;(2) 0a b kakb,证明:0a b kab kab kakb.同理0a ka bkb□§9.2.1 三阶行列式(1)——三阶行列式的展开(1)一. 三阶行列式的概念用记号111222333a b c a b c a b c 表示算式123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ,称为三阶行列式.二. 三阶行列式的展开(一) 按对角线展开例计算三阶行列式124221342D . 解: 122213424D a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32a 12a 21a 33a 13a 22a 3111422242314.感受与体验 P12 练习9.2(1)(二)按一行(或一列)展开1. 余子式把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去,将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式称为该元素的余子式.例如1133a c a c 和1133a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的余子式. 2. 代数余子式把余子式添上相应的符号,某元素所在行列式中的位置第i 行第j 列,该元素的代数余子式的符号为1i j例如2211331a c a c 和2311331a b a b 分别是111222333a b c a b c a b c 中元素2b 和2c 的代数余子式. 注：各元素代数余子式的符号如图所示:3. 按一行(或一列)展开111222111111333a b c a b c a A b B c C a b c 112233a A a A a A 例按第一行和第一列展开行列式124221342D . 解: 按第一行展开:124212122221124423234342D14;按第一列展开: 12421242422112314424221342D.感受与体验 P15 练习9.2(2) 1; 2§9.2.2 三阶行列式(2)——三阶行列式的展开(2)一.复习按对角线或按一行（一列）展开三阶行列式的方法完成练习 P21 习题 9.2 1 (用适当的方法)二.例题与练习例1 若行列式0021040938k,求k 的值.解:002108405938kkk.□例2 已知行列式11110211,求的值.解:211113441211or.□例3 已知211215fx x x,若0f x ,求x 的取值范围.解:2221121212152252750555f xx xx xx xx xxx5,1,2x . □例4 把下面的算式写成一个三阶行列式:(1)023*******22132313113312; (2)112211112233332233111x y x y x y x y x y x y x y x y x y . (答案不唯一)□例5 验证三阶行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和为零.解: 例如三阶行列式111222333a b c a b c a b c 的第二行元素222,,a b c 分别与第一行的元素111,,a b c 的代数余子式相乘,即222222212121222333333b c a c a b a A b B c C a b c b c a c a b 2112222222223332222223330a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c . □例5 在直角坐标系中,不在一直线的三点:11,A x y ,22,B x y ,33,C x y 依逆时针顺序排列.(1)探求用行列式表示ABC 的面积公式;(2)当,,A B C 三点依顺时针顺序排列式,ABC 的面积公式有何变化?解: (1)记梯形,,EBCF EBAD DACF 的面积分别为123,,S S S ,123321122S EB FC EFx x y y ,同理有2121212S x x y y ,3313112S x x y y ,则12323321331122112SS S S x y x y x y x y x y x y 1122111122333322331111221x y x y x y x y x y x y x y x y x y(2)11223311121x y Sx y x y . [说明] 本例可得两个结论:(1)定点坐标分别为11,A x y ,22,B x y ,33,C x y 的ABC 的面积为11223311121x y Sx y x y ; (2)平面上三点11,A x y ,22,B x y ,33,C x y 共线的充要条件为1122331101x y x y x y .三.布置作业§9.2.3三阶行列式(3)——三元一次方程组的行列式解法一. 复习二元一次方程组的行列式解法及解的情况的判别方法对于二元一次方程组x yD x D D yD 当0D 时,方程组有唯一解;当0D时,若x D ,y D 中至少有一个不为零,则方程组无解;若0x yD D ,则方程组有无穷多解.二. 三元一次方程组的行列式解法对于三元一次方程组111122223333a xb yc zd a x b y c z d a xb yc zd ,记其系数行列式为111222333a b c Da b c a b c , 用D 中第一列元素的代数余子式123,,A A A 依次乘以方程组的各方程,得11111111a A x b A y c A zd A , 22222222a A x b A yc A zd A , 33333333a A x b A y c A zd A ,将上述三个等式相加,得112233112233112233112233a A a A a A x b A b A b A y c A c A c A d A d A d A ，其中记111112233222333xd b c D d A d A d A d b c d b c ，则x D x D ,同理可得y D yD ，z D z D ，于是方程组xy zD xD D y D D zD 当0D 时有惟一解x y z D xDD yD D zD.例解三元一次方程组:632752215xy z x y z xy z .解: 1113129522D,61171291522xD ,161372185152yD ,116317275215zD ,1,2,3x y z. □感受与体验 P19练习9.2(3) 用行列式解下列方程组三. 当系数行列式0D 的情况当0D 时三元一次方程组可能无解,也可能有无穷多解.例求关于,,x y z 的方程组13xy mz x mu z m xy z有惟一解的条件,并在此条件下写出该方程组的解.解: 11111101111m Dm m m m,又111411311xm D m m m m ,31y D m m ,41z D m ,所以当1m时,方程组的解为43141xmy m zm .□注意与二元一次方程组解的情况相区别。
沪教版(上海)高二数学上册9.2矩阵的运算_课件
解：（（12））原当方向程量组 aa12可与以表bb12示 不为平：行x a时a12 ，
y
b1 b2
c1 c2
由平面向量分解定理知，存在唯一实数
x,y，使
x
a1 a2
y
b1 b2
c1 c2
，即
方程组有唯一解。
当向量
a1 a2
与
b1 b2
平行时，
对任意的x,y，a
x
பைடு நூலகம்
a1 a2
y
b1 b2
都与
a1 a2
1、思考题：统计你家今年第二季度水、电、煤气使用情况：
月份 4月
用水（m3） 排水（m3） 电（千瓦时） 煤气（m3）
5月
6月
单价（元） 1.03
0.90
0.61
1.05
用矩阵运算求：
(1)按月计算去第二季度4、5、6月份水、电、煤气的开支费用； (2)分别计算第二季度水、电、煤气的开支费用； (3)计算第二季度水、电、煤气总开支费用。
3. 矩阵的相等 若A=(aij)和B=(bij)是同阶矩阵，且矩阵A中每 一个元素与矩阵B中相同位置的元素都相等， 即aij=bij，则称两矩阵相等，记做A=B。
问题一：已知A22=
x 6
4 y
，B22=
1 v
u 3
，
若A=B，求x、y、u、v.
解： ∵A=B ∴x=1, y=3, u=4, v=6.
英语
平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末 甲 80 70 75 90 80 85 70 80 75 乙 90 70 80 80 80 75 80 90 85 丙 60 80 70 80 90 95 90 80 85
沪教版高二上册数学高二上册教案矩阵运算
9.2矩阵运算一、教学内容分析这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法.例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与2 3阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算.必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律.例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.二、教学目标设计1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.三、教学重点及难点1、提高矩阵的运算能力是重点;2、矩阵乘法是教学难点.四、教学流程设计:五、教学过程设计（一）情景引入小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分. 1、 观察：2、 思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩3、 讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？（二）学习新课 1、矩阵的加法 （1）引入记期中成绩答题数为A 期末答题数为B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3592310A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=337448B确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=68166718B A C（2）矩阵的和（差）当两个矩阵A ，B 的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A ， B 的和（差）,记作：A+B （A-B ）（3）运算律加法运算律：A+B=B+A加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ） （4）举例：P80 例2，例32、数乘矩阵（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+34835.3921B A （2）矩阵与实数的积设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵.记作：αA（3）运算律：（γλ、为实数）分配律：()B A B A γγγ+=+ ；A A A λγλγ+=+)( 结合律：()()()A A A γλλγγλ== （4）举例：P81 例43、矩阵的乘积（1）引入：P83的两次线性变换 （2）矩阵的乘积：一般，设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C=AB（3）运算律分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)( 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB = 注：交换律不成立，即BA AB ≠ （4）举例 例1（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛13321221 （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12211332（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011211724543 （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-724543011211 （5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122645243011211答案：1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5718 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-7514 3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4591019617 4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022212 5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--402101212 注：（1）（2）结果不同.（3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.例2：P85 例8（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩. （四）课堂练习：P83，P86 （五）课堂小结（六）布置作业：见练习册七：教学设计说明1、 通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.2、 课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.3、 对矩阵运算律只进行总结，不进行证明.旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算.这里特别强调乘法的交换律不成立.这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视. 4、 加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.。
沪教版(上海)高二上学期数学 9.1-9.2矩阵的概念 矩阵的运算 课件(共38张ppt)
１ 矩阵的定义
由 个数 排成的 行 列的数表
称为一个 行 列矩阵或
矩阵. 记为 或
称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
2. 几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的 矩阵，记为:O或 行矩阵: 只有一行的矩阵。
列矩阵: 只有一列的矩阵。
方阵: 行数列数皆相等的矩阵。 上三角方阵:
非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方. 对角方阵:
数量矩阵: 单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵.
矩阵相等: 如果两个矩阵 阵,且各对应元素也相同,即
是同型矩
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
例8
注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求
以及 及
，再求
及
就麻烦多了. 因此，在求解矩阵方程时，一定要注
意先化简方程.
例9
回章目录
第二章 自测题
一、填空题(8分/题)
1) 为3阶方阵,已知
则
.
3) 已知 则
二. 证明题 (26分)
自测题答案
一. 1) 3, 1/3, 9, 3) 0;
一个
矩阵，称为 的转置矩阵，记作
转置矩阵的运算性质
对称阵: 设 为 阶方阵，如果满足
，即.
则 称为对称阵.
反对称阵: 伴随方阵: 设 是行列式
中元素 的代数
余子式,称方阵 为方阵 的伴随方阵.
4. 方阵的行列式
由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质
沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第9章 矩阵和行列式初步 9.3二阶行列式
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行
列式初步 9.3二阶行列式
一、解答题
(★★) 1. 展开并化简下列行列式：.
(★★) 2. 利用行列式解方程组：
(★★) 3. 利用行列式解此方程组：
(★★) 4. 不等式的解集为__________.
(★★★) 5. 求和：.
(★★) 6. 利用行列式解下列方程组：
（1）；（2）；（3）.
(★★) 7. 利用行列式解方程组：
二、双空题
(★★) 8. 展开并化简下列行列式：
（1）__________；
（2）____________.
三、填空题
(★) 9. 将代数式用行列式表示为___________.
(★★) 10. 计算是否正确？______________.
(★) 11. 已知，则________.
(★★★) 12. 已知关于的方程组有唯一解，则实数 a的取值范围是 __________ .
四、单选题
(★) 13. 设二元一次方程组为若，则为（）. A．B．C．D．(★) 14. 已知互不相同的三个实数，则行列式可能的值有（）. A．3个B．4个C．5个D．6个。
沪教版高二数学第一学期课程目录与教学计划表
沪教版高中数学高二上期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第7章数列与数学归纳法
一数列
7.1数列
7.2等差数列
7.3等比数列
本节综合
二数学归纳法
7.4数学归纳法
7.5数学归纳法的应用
7.6归纳-猜想-论证
本节综合
三数列的极限
7.7数列的极限
7.8无穷等比数列各项的和
本节综合
本章综合与测试
第8章平面向量的坐标表示
8.1向量的坐标表示及其运算
8.2向量的数量积
8.3平面向量的分解定理
8.4向量的应用
本章综合与测试
第9章矩阵和行列式初步
一矩阵
9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算本节综合
二行列式
9.3二阶行列式9.4三阶行列式本节综合
本章综合与测试第10章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图
本章综合与测试。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 九 章 矩阵和行列式初步
格致中学 王国伟
第一课时 9.1 矩阵的概念（1）
[教学目标]
1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；
2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念；
3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念；
4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。
[教学重点]
1、与矩阵有关的概念；
2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。
[教学难点]
学习矩阵的目的。
[教学过程]
一、情境设置、引入：
引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫
⎪⎝⎭
；
引例2：2008
我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
；
引例3：将方程组231
324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪
-⎝⎭
；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭。
二、概念讲解：
1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪
-
⎪ ⎪
-⎝
⎭这样的矩形数表
叫做矩阵。
2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数
组成的向量12
n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，
m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。
有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第
j
（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。
4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。
如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个23
⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），
可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。
在一个
n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余
元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。
如矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
为
3阶单位矩阵。
6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪
-⎝⎭
，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增
广矩阵。
三、应用举例：
例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的
（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。
解：（1）2627292811029262628109⎛⎫
⎪⎝⎭
（2）有两个行向量，分别为：()126
272928110a =，
()229262628109a =，
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩； 有五个列向量，分别为1234526272928110,,,,29262628109b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。
例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。
解：由题意知：22x y x y -=⎧⎨
=⎩解得：24x y =-⎧⎨=-⎩，又由2
22214
b a x a b x y -=-=⎧⎨+=+=⎩解得：2
6a b =⎧⎨=⎩， 22414A ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）23203250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩
解：（1）231416⎛⎫ ⎪-⎝⎭； （2）123213252113--⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
--⎝⎭
例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭ 解：（1）23524x y x y +=-⎧⎨-+=⎩ （2）22
321323
x y y z x z -=⎧⎪
-=⎨⎪+=-⎩
例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，求()sin αβ-的值。
解：由单位向量定义可知：sin cos 1sin cos 0ααββ+=⎧⎨+=⎩，,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，2
34
παπβ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
(
)sin sin 42παβ⎛⎫
∴-=-=- ⎪
⎝⎭。
四、课堂练习：
1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1-
表示，相同则为0）。
解：0111
01110-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
2、奥运会足球比赛中国队所在C 组小组赛单循环比赛结果如下：
中国平新西兰1∶1 巴西胜比利时1∶0 中国负比利时0∶2
巴西胜新西兰5∶0 中国负巴西0∶3 比利时胜新西兰0∶1
（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为
顺序排列）
（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的
得分情况；（排列顺序与（1）相同）
（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两
个矩阵确定各队名次。
解：（1）
0320
3015
2101
0510
--
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-
⎪
--
⎝⎭
（2）
0001
3033
3003
1000
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
（3）名次为巴西、比利时、中国、新西兰。
五、小结：
本课学习了矩阵及与矩阵相关的一些概念。
六、作业：
习题册P45习题9.1A组1、2；P46 习题9.1B组1。