2015数学花园探秘初赛五年q级

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2015迎春杯五年级初赛详解

101.4 2 12 ; 16.9
再根据勾股定理： AC 2 122 132 AC 5 ；从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为 12 5 7 ，则其面积为 7 2 49 ．
帅帅思维公众号：shuaiteacher
帅
101.4 2 则若设等腰三角形的腰为x ，如右图所 15.6 ， 13
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2015年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷A解析
一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分） 1．算式 5
(2014 12) 20 的计算结果是________． 930 830
【考点】分数计算【难度】☆ 【答案】2002 【分析】原式 5
2．数学小组原计划将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人加入小组，这样每个学生比原计划少发了1个苹果．那么，原来有_________名学生．【考点】因数与倍数【难度】☆☆ 【答案】18
10．如图，分别以一个面积为169的正方形的四条边为底，做4个面积为 101.4 平方厘米的等腰三角形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．
【考点】勾股定理&弦图
帅
【难度】☆☆☆☆ 【答案】49
AB
【分析】 169 132 ，可见大正方形的边长为13；等腰三角形的高为
示，根据勾股定理： x 2 6.52 15.62 x 16.9 ；则下图中
帅
若第一个数除以9余 a ，则第三个数和第四个数也余 a ，第五个数则余 2a ，五个数总和除以9余 4a ；
老
第 3 页兴趣是最好的老师
师
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三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分） 9．如图， A 、 B 为圆形轨道一条直径的两个端点．甲、乙、丙三个微型机器人在环行导轨上同时出发，作匀速圆周运动．甲、乙从 A 出发，丙从 B 出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动．出发后12秒钟甲到达 B ，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达 A 后，再过 __________秒钟，乙才第一次到达 B ．【考点】环形跑道【难度】☆☆☆ 【答案】56 【分析】设半周长为 [12, 21] 84 ，则甲的速度为 84 12 7 ；甲用 12 9 21 秒追上丙，可见甲丙的速度差为 84 21 4 ，则丙的速度为 7 4 3 ；乙丙21秒相遇，可见乙丙的速度和为 84 21 4 ，则乙的速度为 4 3 1 ；丙到达 A 需要 84 3=28 （秒），乙到达 B 需要 84 1 84 （秒）；可见，丙到达 A 后 84 28 56 （秒）乙到达 B ．

“数学花园探秘”5年级数学试卷及解答

x 3 3( y 3) 3 y x 12 x 7 若第一句和第三句是对的，则，即希希原来有 9 张积分卡， x 5 5( y 5) 5 y x 30 y 9
经验证符合题目要求. 7. 将 1 至 8 填入方格中，使得数列□□，9，□□，□□，□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是【作者】学而思培优胡浩【答案】198 【分析】第三个数比第一个数多 9，第四个数比第三个数多 9；若第一个数除以 9 余 a ，则第三个数和第四个数也余 a ，第五个数则余 2a ，五个数总和除以 9 余 4a ；而由于 1 2 3 ．
2015 年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷 A
（测评时间：2014 年 12 月 20 日 8:30—9:30）一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 32 分）
1. 算式 5
(2014 12) 20 的计算结果是 930 830
．
【作者】顺天府学叶培臣【答案】2002 【分析】原式= 5
× 1 0 2
．
5
【作者】学而思培优胡浩【答案】118
1 是被乘数的 5 倍，其百位数字不可能是 9，则乘积的百位处加法没有进【分析】如下左图所示， □□
位，易知 □0□ 的百位为 2，如右图所示；
× 1 0 2 2 0 2 5 × 1 5
20□ 作为一个两位数和一位知 a 0 ，即这五个数都是 9 的倍数；
若设第一个数为 18，则这五个数分别为 18，9，27，36，63；6 出现两次不符合要求；若设第一个数为 27，则这五个数分别为 27，9，36，45，81；符合要求. 所有项之和为 27 9 36 45 81 198 . 8. 甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有 5 种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订两份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有种不同的订阅方式．【作者】高思教育方非【答案】180 【分析】每两户恰有 1 份报纸相同，只有两种类型：（ab，ac，ad）和（ab，ac，bc）；

【决赛】2015年迎春杯小中组A卷

2015年“数学花园探秘”科普活动小学中年级组决赛试卷A1.算式)168421(135++++⨯⨯的计算结果是______.2.右图中7个小正方形拼成一个大长方形.如果这7个小正方形的边长从小到大依次是1、1、2、3、5、8、13，那么这个大长方形的周长是______.3.小数、小学、小花、小园、探秘5人获得了跳远比赛的前5名(无并列),他们说: 小数:“我的名次比小学好；小学:“我的名次比小花好”；小花:“我的名次不如小园”；小园:“我的名次不如探秘”；探秘:“我的名次不如小学”；已知小数、小学、小花、小园、探秘分别获得第A 、B 、C 、D 、E 名且他们都是从不说慌的好学生,那么五位数 ______=ABCDE .4. 有一根绳子,第一次把它按下左图方式对折,在对折处标记①;第二次我们将它按下中图方式对折,在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折,如果下右图中①号点和③号点之间的距离为30厘米,那么这根绳子的总长度是______厘米.（绳子之间无缝隙、绳粗以及转弯处模耗都忽咯不计）二、填空题Ⅱ5.期末了,希希老师买来同样数量的签字笔、圆珠笔和橡皮发给班上学生,发给每位学生2支签学笔、3支圆珠笔和4块橡皮后,发现圆珠笔还剩下48支,剩下的签字笔数量恰好是剩下橡皮数量的2倍,聪明的你赶紧算一算,希希老师班上一共有______名学生.6.右图的两个竖式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字，那么四位数______=ABCD .7.小明和小强常去图书馆看书,小明在一月份的第一个星期三去图书馆,此后每隔4天去一次（即第2次去是星期一）;小强是一月份的筹一个星期四去图书馆,此后每隔3天去一次;如果一月份两人只有一次同时去了图书馆,那么这一天是1月______号.8.请在下图的每个箭头里填上适当的数字,使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字,其中双向箭头表示箭头所指的两个方向的全部数字里有多少种不同的数字,那么下图中第二行从左左到右所填数字依次组成的四位数是______.（右图是一个3×3的例子）三、填空题Ⅲ.9.一个骰子,各面点数已画好,分别为1~6;从空间一点看,能看到的不同点数的组合共有______种.10.二十世纪（1900年~199年）的某一天,弟弟对哥哥说:“哥哥,你看,把你出生年份中的四个数字加起来,就是我的年龄.”哥哥接着说道:“亲爱的弟弟,你说得对!对我来说也是一样的,把你出生年份的四个数字加起来就是我的年龄.另外如果把我们各自年龄的两个数字对调一下就能得到对方的年龄.”已知兄弟俩出生的年份不同,那么这段对话发生在______年.11甲和乙在一张20×15的棋盘上玩游戏.开始时把一个皇后放在棋盘除丁右上角外的某格内;从甲开始,两个人轮流挪动皇后,每次可以按直线或者斜线走若干格,但只能往右、上或右上走；谁把皇后挪到了右上角的格子,谁就获胜,那么在这个棋盘上,有______个起始格是让甲有必胜策略的.。

2014-2015年度_五年级“数学花园探秘”初赛_考前辅导班_学生版

五年级（初赛）2014年11月巨人学校数学花园探秘学生用书考前辅导目录第一部分讲义使用说明 (1)第二部分授课讲义部分 (2)第一讲数论、计数、数字谜 (2)第二讲应用题 (6)第三讲计算、几何 (11)第三部分考试方法技巧 (15)第四部分2009年～2014年初赛真题试卷及答案 (19)2009年“数学解题能力展示”读者评选活动 (19)2010年“数学解题能力展示” 读者评选活动 (22)2011年“数学解题能力展示”读者评选活动 (24)2012年“数学解题能力展示”读者评选活动 (27)2013年“数学解题能力展示”初赛笔试试题 (29)2014年“数学花园探秘”（迎春杯）初赛 (31)第一部分讲义使用说明写给同学和家长1、提前预习．“数学花园探秘”题目偏难，各位家长最好能陪同孩子提前把题目做一下预习，这样，带着问题来听课，效果会非常地好.2、充满信心．“数学花园探秘”是所有竞赛中难度最高的一个，大家在听课过程中肯定会遇到一些问题，但是不管怎样，请各位家长和同学们牢记，一定要充满信心去面对这些困难，大家要知道,在去年“数学花园探秘”的复赛中，只要能做对一道题目就能获奖,就是胜利者．3、配合老师完成课上任务．我们的“真题串讲班”主要给大家讲授近五至十年的初赛真题,由于题目较难,老师可能在课上会给大家做些铺垫,这样,本来就很紧张的时间就更不够用．所以老师会有选择性地讲解一些题目，个别题目会选择不讲，而会更加注重给大家讲解技巧和方法,即如何在考试中处理这些题目,至于题目的最终答案,大家可以自己回家做，特别简单的题目教师讲方法、公布答案即可，节约课上时间．4、讲义部分内容编写说明在讲义题型部分出现的题目主要为09-14年这几年的初赛真题，大家会看到每个题目都标注了★，星号所代表的是题目难度，在课堂上，老师会结合自己班级学生的接受能力进行酌情处理，个别题目可以选择不讲．5、请大家关注由于我们的课程基本上都是每周一次课，所以有一些信息（例如竞赛、升学等）不能及时公布给大家，所以请家长和同学们都借助一下网络，多上一下巨人学校的网站关注一些及时公布的信息，相信大家会在网站上获取更多有用的东西．6、问题反馈如果大家在学习过程中存在不清楚的问题和信息，请大家及时问讯您的授课教师，或问讯您所在地区的巨人学校的前台工作人员，如果他们也还不能解决您的问题，请您到巨人学校的家长论坛中发表您的问题，会有教研室的工作人员为大家做集体解答．第二部分授课讲义部分第一讲数论、计数、数字谜例题精讲例题1. 20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字是________．例题2. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是ABCD 2011，那么ABCD ＝________．例题3. 己知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即：45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．例题4. 今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1、2个2、1个0、1个7．用这8个数字组成若干个合数再求和（每个数字恰用一次，首位数字不能为0，例如21110与217的和是21327），这些合数的和的最小值是________．例题5. 有一个奇怪的四位数（首位不为零），它是一个完全平方数，它的数字和也是一个完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还等于它的数字和，那当然也是完全平方数．如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是_______．例题6. 有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……，100，同时还向每位观众赠送单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备________种颜色的喇叭．例题7. 在右图中，共能数出________个三角形．例题8. 九个大小相等的小正方形拼成了下图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．例题9. 在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数Btavs =________．例题10. 有一个66⨯的正方形，分成36个11⨯的正方形．选出其中一些11⨯的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出________条对角线．例题11. 如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是_________．例题12. 在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是________．例题13. 在右图的除法竖式中，被除数是________．图不对□ □ □ ×2 □ □ □0 □ □ □ 1 □□ □□ □ □ □ □ □□ □ □× □ □ □ 0 □ □□ □ 3 2 □ □1作业1. 如果a ，b 均为质数，3741a b +=，则a b +=________．2. 把25拆成几个不同的质数的和，一共有________种方式，如果要求这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积等于________．3. 四个自然数的乘积为19305，且它们构成等差数列，那么这四个数是________．4. 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是________．5. 从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有________种不同的选取方法．A B Z 0 □ X □ 1 □ Y □ 2P Q □ □ □ □第二讲应用题例题精讲例题1.小懒虫每天早上从家出发以不变的速度步行前往学校．若7点15分出发，则开始上课时离学校还有600米，若7点20分出发，则开始上课时离学校还有975米．若小懒虫要在上课前赶到学校，那么最晚应于_______点________分从家出发．例题2.甲、乙两人从A地步行去B地，乙早上6:00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，速度的也是匀速步行，甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时就休息半小时，甲出发后经过______分钟才能追上乙．例题3.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离B地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的2倍；甲到B后立即调头，追上乙时，乙还有50米才到A．那么，AB间的路程长________米．例题4.如图，C，D为AB的三等分点；8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲，乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲，丙8点30分相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．A C D B例题5.甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，二人在距中点120米处相遇．如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇．则甲在途中停留了________分钟．例题6.小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．例题7.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分为10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元．如果每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元．最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋．每天生产第________档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是________元．例题8.某乐团女生人数是男生人数的2倍；若调走24名女生，那么男生人数是女生人数的2倍．该乐团原有男女学生一共________人．例题9.五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局则各积1分．比赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第1、2、3、4、5名分别平了A 、B 、C 、D 、E 场，那么五位数ABCDE ＝________．例题10. 甲、乙二人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载了一半时，由于网络故障出现断网的情况，而乙家的网络一直正常．当甲的网络恢复正常后，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需重新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆．例题11. 龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生42人，五年级二班是一班人数的76，五年级三班是二班人数的65，五年级四班是三班人数的1.2倍．五年级共有________人．例题12. 请从1，2，3，……，9，10中选出若干个数，使得1，2，3，……，19，20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出________个数．例题13. 一个村庄有2011个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子．戴红帽子时说真话；戴蓝帽子时说假话．他们可以改变帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．这一天他们总共最少改变了________次帽子的颜色．例题14.有两个三位数，百位上的数字分别是5和4，十位上的数字分别是6和7，个位上的数字分别是3和4．当这两个三位数分别是________和________时，它们的乘积最大．作业1.某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是162厘米．那么全班同学的平均身高是________厘米．2.小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要________分钟．3.下图是一个奥林匹克五环标识．这五个环相交成9 部分A、B、C、D、E、F、G、H、I．请将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入这9 个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数．这五个连续自然数的和的最大值是________．4. 有四种重量的砝码，分别是1 克、3 克、8 克和12 克，每种都有3个砝码．在称物品重量的时候，砝码只能放在天平的一边，而且每次最多用3个砝码．那么，用这些砝码称物品的重量时，不能称出来的整数克物品的最轻重量是________克．BACDEFGHI第三讲计算、几何例题精讲例题1. 计算：11116121933217222334⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯++-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．例题2. 算式50311111212012101÷÷⨯⨯的计算结果是________．例题3. 算式999999999888888887777777666666555554444333221-+-+-+-+ 的计算结果的各位数字之和是___________．例题4. 在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是________．例题5. 一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有________项是整数．例题6. 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）=________．例题7. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、⑤这两块的面积差是________．例题8. 在右图中，10BC =，6EC =，直角三角形EDF 的面积比直角三角形F AB 的面积小5．那么长方形ABCD 的面积是________．例题9. 如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于________．例题10. 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm ，那么较大正方形的面积是________cm 2例题11. 在右图中，线段AE 、FG 将长方形ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是2 cm 2、11cm 2，且E 是BC 的中点，O 是AE 的中点；那么长方形ABCD 的面积是________cm 2．GF例题12. 右图中平行四边形的面积是1080m 2，则平行四边形的周长为________m ．例题13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB 上有一点D ，已知5CD =，2BD AD -= ，那么三角形ABC 的面积是___________．例题14. 如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是________平方厘米．22.5m18AB C D第三部分考试方法技巧➢应试技巧（一）、考试前1、复习：切忌“题海”，尤其是“难题”海；复习一下基本的知识点，不要再去复习太难的题目．2、饮食：考试前少用“补药”，早饭必须吃．3、睡眠：适当的睡眠，不要早睡，尽量和平时保持一致，千万不要开夜车！4、考试前一晚适当的放松：逛公园、看电视、做游戏等等．5、做好准备工作，提前一天准备好要用的物品：证件（准考证、学生证），水壶、草稿纸、足够的笔、橡皮、手表……6、时间观念：尽量早到考场几分钟，熟悉一下周围的环境．（二）、考试中1、成绩要真实，绝对不要作弊！2、考试的阶段性：（1）快速浏览一遍试题，大概1分钟左右．（2）先把会的题目做完，过程中要仔细．（3）做剩下的题目，仔细推敲已知条件和所求问题，找出规律，或者将题型还原为基础问题．（4）使用多种方法验算，复查．3、决不轻言放弃，也不能掉以轻心：即使只会做一道题，也要想“其他人或许一道都不会”；如果感觉题目不难，应该想到“别人也一定做得很好，我只有仔细检查，避免错误，才能比别人更强！”4、不要受监考老师的影响，对题目有疑问可以随时找他沟通．5、不要受同一考场的同学的影响，可以假设所有人都不存在！6、合理分配考试时间，对于极难的题目给予一定的时间，但不要在它身上浪费太多的时间．7、保持平和的心态，不能因为题目简单而轻视，也不能因为题目困难或不对你的胃口而畏惧或者放弃．8、竞赛时要注意，第一试题型是填空题，做题时把握好时间，如果有题目一时想不出来，先做后面会做的，会做的做完了再考虑不会的．尽量做到对每一题都有把握，争取得满分．怎样才能算有把握呢？对每道题找到突破关键点的感觉，想象出题老师考的内容．解题时也可使用一些特殊方法，如：极限法、假设法、具体数字代入法等．9、把题目全部做完有剩余时间，可以把再检查一下试卷，看有没有错误，有没有不对劲的地方．（三）、试卷上要注意的事情：1、字迹一定要整齐，卷面一定要干净！！2、解答题一定要有过程！不能只写得数！3、写解答过程的时候，要按照从左到右，从上到下的顺序来写!4、题目的答案要写的明显，不能让阅卷老师看不见，找不到！!5、不能把试卷当草稿纸来用！！（四）、考试后1、时间到马上交卷，听从监考老师的指挥．2、总结考试经验．3、注意安全，考试后人比较多，回去的路上注意交通安全！➢竞赛中解题技巧1．列方程法【例1】牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩9只．这群羊在过河前共有只．答案：9只．此题用倒推法亦可．2．设特殊值法【例2】某校入学考试，报考的学生中有三分之一被录取，被录取者的平均分比录取分数线高6分，没被录取的学生的平均分比录取分数线低24分，所有考生的平均成绩是60分，那么录取分数线是________分．答案：设报考学生就3个人,则很容易求出录取分数线是74分．3．走极端【例3】下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．【分析与解答】既然没给左边正方形多大,那就直接假设它很小,就是一个点,就在D点,则三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）．4．猜答案(考试中绝对不允许让自己的答案空着，实在做不出，又没有时间继续思考时，就一定要把答案蒙出来，填上去．)【例4】31415926×31415926-31415925×31415927=【分析与解答】此种题目答案不是1就是0，粗略判断，6×6尾数是6，5×7尾数是5，则一定要猜是1．正确解法用拆项法或平方差公式即可．5．多解题目（一定要注意，现在竞赛有些题目的答案不只1个正确答案，那么在考试时就一定要把所有正确答案都写出来，否则题目要扣分或不得分的．）【例5】商场里有三种价格分别是3元，4元，6元的杯子．妈妈让小明去买杯子，小明付款30元，找回5元．小明买了_________ 个4元的杯子．答案：1或4个．【例6】把正六边形切掉一个角，还剩个角．答案：5或6或7．➢验算方法1、代入检验（将所得答案代入原题目中，如果符合条件，即为正确，否则答案错误，此处不设例题，清老师随意用前面的例题讲解即可）2、生活常识例如：人的年龄很少会超过100，如果算出来某人年龄是187岁，那……（老妖精了）人、汽车、火箭的速度都有常识，人的速度如果达到400米/秒，可想而知……（北京就不用堵车了）人、pig、大象的重量……第四部分 2009年～2014年初赛真题试卷及答案2009年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷解答（测评时间：2008年12月6日9：00—10：30）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. 计算：82.54835.2720.3822 6.23390.819 1.03+-÷+⨯--⨯=________．2. 某班女同学人数是男同学的2倍，如果女同学的平均身高是150厘米，男同学的平均身高是162厘米．那么全班同学的平均身高是________厘米．3. 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是________．4. 右图中三角形共有________个．5. 从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有________种不同的选取方法．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6. 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是________．7. 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、邮局三个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是________平方厘米．8.将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是________．9.计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）=________．10.200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有________名．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11.有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备________种颜色的喇叭．12.一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（右图是一个四层空心方阵的示意图）．后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有________个棋子．13.请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入右图的表格中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）．现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 各不相同；那么，五位数CDEFG 是________．14. A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游．每天早上，甲船从A 地、乙船从B 地同时出发相向而行．从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米．由于天气原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍，那么今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化________千米．15. 如右图，长方形ABCD 中被嵌入了6个相同的正方形．已知22AB =厘米，20BC =厘米，那么每一个正方形的面积为________平方厘米．2 3 1 4 5 8 9 A B C D E F G72010年 “数学解题能力展示” 读者评选活动五年级组初试试卷一、填空题I （每题8分，共32分）1．计算：11116121933217222334⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯++-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．2．小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．3．在长方形ABCD 中，5BE =4EC =，4CF =，1FD =，如图所示，那么△AEF 的面积是________．4．20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字是________．二、填空题II (每题10分，共40分)5．一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2010项中有________项是整数． 6．甲、乙两车同时从A 城市出发驶向距离300千米远的B 城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B 城市．那么，甲车在距离B 城市________千米处追上乙车．7．己知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即：45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．8．请从1，2，3，……，9，10中选出若干个数，使得1，2，3，……，19，20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出________个数．三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）9．如图，请沿虚线将77⨯的方格表分割成若干个长方形，使得每个长方形中恰好包含一个数字，并且这个数字就是此长方形的面积．那么第四列的7个小方格分别属于________个不同的长方形．10．九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．11．如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于BAFAB C D E 5 4 41是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________．12．如图，C ，D 为AB 的三等分点；8点整时甲从A 出发匀速向B 行走，8点12分乙从B 出发匀速向A 行走，再过几分钟后丙也从B 出发匀速向A 行走；甲，乙在C 点相遇时丙恰好走到D 点，甲，丙8：30相遇时乙恰好到A ．那么，丙出发时是8点________分．AB C D EF2 13 A C D B2011年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷一．填空题（每题8分，共40分）1. 计算12345678910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的结果是________．2. 十二月份共有31天，如果某年12月1日是星期一，那么该年12月19日是星期________．（星期一至星期日用数字1至7表示）3. 如图的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于________．4. 某乐团女生人数是男生人数的2倍；若调走24名女生，那么男生人数是女生人数的2倍．该乐团原有男女学生一共________人．5. 规定12010203=+=※...，232349=0+0+0=0※....，54567826=0+0+0+0=※.....，如果 15165a =※.，那么a 等于________．二．填空题（每题10分，共50分）6. 从如图正方体的顶点A 沿正方体的棱到顶点B ，每个顶点恰好经过一次，一共有________种不同的走法．7. 在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是________．8.两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为12cm ，那么较大正方形的面积是________cm□ □ □ ×2 □ □ □0 □ □ □ 1 □□ □□ □ □ □ □ □2．9. 如图的55⨯的表格中有6个字母，请沿格线将右图分割为6个面积不同的小长方形（含正方形），使得每个长方形中恰好有一个字母，且每个字母都在小长方形角上的方格中．若这六个字母分别等于它所在小长方形的面积，那么五位数ABCDE =________．10. 一个村庄有2011个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子．戴红帽子时说真话；戴蓝帽子时说假话．他们可以改变帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．这一天他们总共最少改变了________次帽子的颜色．三．填空题（每题12分，共60分）11. 如图，一个长方形被分成8个小长方形，其中长方形A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是26厘米、28厘米、30厘米、32厘米、34厘米，那么大长方形的面积最大是________平方厘米．。

2015年数学花园探秘(迎春杯)五年级试卷解析

5a 63 是 9 的倍数，所以 a 为 9 的倍数．若 a 18 ，五个数为 18，9，27，36，63，其中 3
和 6 出现两次，不符合题意．若 a 27 ，则五个数为 27，9，36，45，81，符合题意．所以所有项之和为 5 27 63 198 ．
8. 甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有 5 种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订两份不同的报
201 67 3 ，67 与 5 相乘得不到 □□ 1 ．
202 无法分解成两位数与一位数的乘积．
203 29 7 ，29 与 5 相乘得不到 □□ 1 ． 204 68 3 51 4 ，68 和 51 与 5 相乘得不到 □□ 1 ． 205 41 5 ，41 与 5 相乘得不到 □□ 1 ．
二、填空题（每小题
10 分，共 40 分）
5. A 和 B 是两个非零自然数，A 是 B 的 24 倍，A 的因数个数是 B 的 4 倍，那么 A 与 B 的和最小是
_____________．【知识点】因数倍数．【答案】100．【解析】若 B 1 ，则 A 24 23 3 ，B 的因数个数为 2，A 的因数个数为 4 2 8 ，不符合题意．若 B 2 ，则 A 48 24 3 ，B 的因数个数为 2，A 的因数个数为 5 2 10 ，不符合题意．
3. 在右上图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是_____________．
【知识点】竖式数字谜．【答案】118．【解析】因为两位数与 5 的乘积最大为百位是 4 的三位数，所以乘积的百位相加没有进位，所以 □0□ 的百位为 2．下面进行枚举，
200 40 5 50 4 ，但 50 和 40 与 5 相乘均得不到 □□ 1 ．

2015迎春杯五年级初赛试卷及答案详解

2015年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷A解析一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1．算式5⨯(2014-12)⨯20的计算结果是930-8302．数学小组原计划将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人加入小组，这样每个学生比原计划少发了1个苹果．那么，原来有_________名学生．3．在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是_______．4．右图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点．那么阴影部分面积是空白部分面积的倍．二、填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5．A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是________．6．珊珊和希希各有若干张积分卡．珊珊对希希说：“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍．”希希对珊珊说：“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍．”珊珊对希希说：“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍．”这三句话中有一句话是错的．那么，原来希希有________张积分卡．7．将1至8填入方格中，使得数列□□，9，□□，□□，□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是________．8．甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有5种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订两份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有________种不同的订阅方式．三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）9．如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点．甲、乙、丙三个微型机器人在环行导轨上同时出发，作匀速圆周运动．甲、乙从A出发，丙从B出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动．出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A后，再过__________秒钟，乙才第一次到达B．10．如图，分别以一个面积为169的正方形的四条边为底，做4个面积为101.4平方厘米的等腰三角形．图中阴影部分的面积是_________平方厘米．11．如果一个数的数字和与它3倍的数字和相同，却与它2倍的数字和不同，我们称这种数为“奇妙数”，那么，最小的“奇妙数”是________．12．请参考《2015年“数学花园探秘”科普活动初赛试题评选方法》作答．2015年“数学花园探秘”科普活动初赛试题答案解析1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.。

【初赛】2015年迎春杯五年级A卷

2015年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷A一、填空题Ⅰ1.算式83093020)122014(5-⨯-⨯的计算结果是______.2.数学小组原计划将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人加入小组，这样每个学生比原计划少发了1个苹果，那么，原来有______名学生.3.在如图所示的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么，两个乘数的和是______.4.右图六角星的六个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点，那么阴影部分的面积是空白部分面积的______倍.二、填空题Ⅱ5.A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是______.6.珊珊和希希各有若干张积分卡，珊珊对希希说：“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍.”希希对珊珊说：“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍.”珊珊对希希说：“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍.”这三句话中有一句话是错的，那么，原来希希有______张积分卡.7.将1至8填入方格中，使得数列□□，9，□□，□□，□□从第三项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是______.8.甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有5种不同的报纸可供选择，已知每户人家都定两份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所定的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有______种不同的订阅方式.三、填空题Ⅲ9.如图，A、B为圆形轨道一条直径的两个端点，甲、乙、丙三个微型机器人在圆形轨道上同时出发，甲乙从A出发，丙从B出发，乙顺时针转动，甲、丙逆时针转动，出发后12秒钟甲到达B，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇，那么当丙第一次到达A后，再过______秒钟，乙才第一次到达B.10.如图，分别以一个面积为169平方厘米的正方形的四条边为底，作4个面积为101.4平方厘米的等腰三角形，图中阴影部分的面积是______平方厘米.11.如果一个自然数的数字和与它三倍的数字和相同，却与它二倍的数字和不同，我们称这种数为“奇妙数”，那么，最小的“奇妙数”是______.。

2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)

2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为．答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为．答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值．解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值．解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-．故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件．故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件．因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >．反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=．显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ．从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ．解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <．由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。

“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷(小中组决赛b卷)

2015年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛B卷）一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）1．（8分）算式2015﹣20×15的计算结果是．2．（8分）如图中共能数出个长方形．3．（8分）有一根绳子，第一次把它按左图方式对折，在对折处标记①，第二次我们将它按中图方式对折，在对折处在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果右图中②号点和③号点之间的距离为20厘米，那么这根绳子的总长度是厘米（绳子之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）4．（8分）请将0～9折10个数分别填入如图的10个方框中，使得减法算式成立．如果“6”、“1”这两个数字分别填在被减数的前两个方框中，那么算式的差是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）5．（10分）现有四张卡片，分别写有2、0、1、5，甲、乙、丙、丁四人各分了一张卡片．甲说：你们三人拿的数字中没有我拿的数字差1的；乙说：你们三人拿的数字中必有我拿的数字差1的；丙说：我拿的数字不能作四位数的首位数字；丁说：我拿的数字不能作四位数的个位数字．如果发现，凡是拿偶数数字的都说假话，而拿奇数数字的都说真话．那么甲、乙、丙、丁四人所拿数字依次组成的四位数是．6．（10分）大长方形中如图摆放了四个小正方形，如果每个小正方形的边长都是6厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．7．（10分）一家玩具店出售一类拼装积木：星际飞船每个售价8元，机甲每个售价26元；一个星际飞船和一个机甲可以拼出终极机甲，终极机甲每套售价33元．如果店主一个星期共售出了星际飞船与机甲共31个，收入370元；那么其中单独售出的星际飞船共个．8．（10分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么图中第二行从左到右所填数字依次组成的四位数是（如图是一个3×3的例子）．三、填空题Ⅲ（每题16分，共48分）9．（16分）有六堆苹果，它们的个数刚好组成一个等差数列，俊俊挑选出其中一堆，拿出了其中的150个苹果，分配给其余5堆，每堆依次分配给其余5堆，每堆依次是10个、20个、30个、40个、50个．分配好了之后，俊俊神奇地发现，这5堆苹果的个数依次是被他选出那一堆的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍．那么这六堆苹果一共有个．10．（16分）图1是由2个小等边三角形组成的菱形纸片；图2是一个固定好的正六边形棋盘ABCDEF，它由24个同样大小的小等边三角形组成，现用12块菱形纸片完全覆盖正六边形棋盘，共有种不同的覆盖方法．11．（16分）现有一个三位数111，每次操作是将其中2位数字都变成这两位数字和的个位数字．例如：111→122→144→554→004（允许首位为0）．如果要将111变成777，那么至少需要操作次．2015年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛B卷）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）1．（8分）算式2015﹣20×15的计算结果是1715 ．【解答】解：2015﹣20×15＝2015﹣300＝1715故答案为：1715．2．（8分）如图中共能数出11 个长方形．【解答】解：根据分析可得，4+7＝11（个）答：图中共能数出11个长方形．故答案为：11．3．（8分）有一根绳子，第一次把它按左图方式对折，在对折处标记①，第二次我们将它按中图方式对折，在对折处在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果右图中②号点和③号点之间的距离为20厘米，那么这根绳子的总长度是120 厘米（绳子之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）【解答】解：由第二幅图可知：①到②、①到③、②到端点，③到端点的距离全相等；由第三幅图可知，②到端点的绳子被平均分成3份设每一份为x，则③到绳子末端的距离＝20+x，那么3x＝20+x，x＝10（厘米），则③到绳子末端的距离为30厘米，绳子的全长是30×4＝120（厘米）．故答案为：120．4．（8分）请将0～9折10个数分别填入如图的10个方框中，使得减法算式成立．如果“6”、“1”这两个数字分别填在被减数的前两个方框中，那么算式的差是59387 ．【解答】解：根据题意可知：首先确定结果的首位数字一定是5，因为百位数字有0，无借位所以结果中千位数字一定是9．在剩下的数字0，2，3，4，6，7，8中．看尾数符合的组合有7+5＝12，8+5＝13两组．当尾数是8+5组合时，没有满足条件的数字．当尾数是7+5＝12的组合时．十位数字需要向百位借位才满足条件，同时百位数字相差1．分析可得：故答案为：59387二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）5．（10分）现有四张卡片，分别写有2、0、1、5，甲、乙、丙、丁四人各分了一张卡片．甲说：你们三人拿的数字中没有我拿的数字差1的；乙说：你们三人拿的数字中必有我拿的数字差1的；丙说：我拿的数字不能作四位数的首位数字；丁说：我拿的数字不能作四位数的个位数字．如果发现，凡是拿偶数数字的都说假话，而拿奇数数字的都说真话．那么甲、乙、丙、丁四人所拿数字依次组成的四位数是5120 ．【解答】解：根据分析，若丙说的话是真的，则他拿的是奇数，而显然矛盾，故他拿的是偶数而且不是0，故他拿的是2；剩下一个偶数，和两个奇数，故还有两个人说的话是真话，有一个人说的是假话，而和2差1的只有1，故乙拿的是1，而没有相差1的数只有5，故甲拿的是5，剩下的是0显然就是丁拿的了，故答案是：5120．6．（10分）大长方形中如图摆放了四个小正方形，如果每个小正方形的边长都是6厘米，那么图中阴影部分的面积是126 平方厘米．【解答】解：6×6×3.5＝36×3.5＝126（平方厘米）答：图中阴影部分的面积是 126平方厘米．故答案为：126．7．（10分）一家玩具店出售一类拼装积木：星际飞船每个售价8元，机甲每个售价26元；一个星际飞船和一个机甲可以拼出终极机甲，终极机甲每套售价33元．如果店主一个星期共售出了星际飞船与机甲共31个，收入370元；那么其中单独售出的星际飞船共20 个．【解答】解：设单独出售星际飞船共x个，单独出售机甲为y个，打包销售共个8x+26y+×33＝370化简得：17x﹣19y＝283因为x和y都是小于31的整数，同时17x大于283，那么x＞16的整数．枚举法即可解得x＝20，y＝3．故答案为：208．（10分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么图中第二行从左到右所填数字依次组成的四位数是（如图是一个3×3的例子）．【解答】解：根据分析，从第二行第一个开始推导，故第一个应填1；第二个指向右边两空，只能填1或2，若填1，因第三个指向右边一个数故只能填1，故第四个箭头只能填1，而第四个箭头指向下面两个数，若为1则第三行第四个箭头只能填3，而第三行第四个指向上面两个数，不能填3，故矛盾，所以第二个指向只能填2；第二行第三个指向右边，而右边只有一个数，故只能填1；而第二行第四个指向下面两个，又前面第二个指向说明，第四个数和第三个数不同，故四个数只能填2．所以，第二行应填入的数是：1212，如图：故此四个数为：1212，故答案是：1212．三、填空题Ⅲ（每题16分，共48分）9．（16分）有六堆苹果，它们的个数刚好组成一个等差数列，俊俊挑选出其中一堆，拿出了其中的150个苹果，分配给其余5堆，每堆依次分配给其余5堆，每堆依次是10个、20个、30个、40个、50个．分配好了之后，俊俊神奇地发现，这5堆苹果的个数依次是被他选出那一堆的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍．那么这六堆苹果一共有735 个．【解答】解：设后来的每一份分别为：a，2a，3a，4a，5a，6a．那么他们原来就是a+150，2a﹣10，3a﹣20，4a﹣30，5a﹣40，6a﹣50．根据后面的数字得到公差为5a﹣40﹣（4a﹣30）＝a﹣10．那么根据根据公差2a﹣10前面应该是a﹣20．所以a+150为数列的最大值．a+150﹣（a﹣10）＝160．那么6a﹣50＝160．所以a＝35．故后来的数量为35，70，105，140，175，210．总数为35+70+105+140+175+210＝735（个）故答案为：73510．（16分）图1是由2个小等边三角形组成的菱形纸片；图2是一个固定好的正六边形棋盘ABCDEF，它由24个同样大小的小等边三角形组成，现用12块菱形纸片完全覆盖正六边形棋盘，共有20 种不同的覆盖方法．【解答】解：将正六边形棋盘分为内外两部份（分法见下图），接下来分类讨论：①内外两部份分开各自密铺：外面环形有2种密铺法，里面小正六边形也有2种密铺法，故此时有2×2＝4种；②里面有2个三角形与外面相邻的环形上2个三角形相接密铺，这2个三角形必须相邻或相对：当这2个三角形相邻时，共有6种密铺法；当这2个三角形相对时，共有3种密铺法；此时共有6+3＝9种；③里面有4个三角形与外面相邻的环形上4个三角形相接密铺，由于里面剩下的2个三角需要组成菱形，所以剩下这2个三角形相邻，故此时有6种密铺法：④里面有6个三角形与外面相邻的环形上6个三角形相接密铺时，此时有1种密铺法；综上，此题一共有4+9+6+1＝20种．故答案为：20．11．（16分）现有一个三位数111，每次操作是将其中2位数字都变成这两位数字和的个位数字．例如：111→122→144→554→004（允许首位为0）．如果要将111变成777，那么至少需要操作10 次．【解答】解：根据分析，逆向推导：①777←770←700←755←778←988←944←995←455←441←221←111；②777←770←700←773←433←449←599←554←144←122←111，③777←770←700←755←778←988←999←990←900←955←996←366 ←333←330←300←337←677←661←331←211←229←119←299←227←④777←770←700←755←778←988←999←990←900←991⑤777←770←700←易知，至少需要操作10次．故答案是：10．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/5 18:11:40；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。

2015年“迎春杯”数学花园探秘网试试卷(五年级)

2015年“迎春杯”数学花园探秘网试试卷（五年级）一、填空题Ⅰ（每题8分，共24）1．（8分）如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．在不超过100的整数中，一共可以找到对孪生质数．2．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了分钟．3．（8分）图中所示的图形是迎春小学数学兴趣小组的标志，其中，ABCDEF是正六边形，面积为360，那么四边形AGDH的面积是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共30分）4．（10分）如图，3×3的表面中有16小黑点，一个微型机器人从A点出发，沿格线运动，经过其他每个黑点恰好一次，再回到A点，共有种不同的走法．5．（10分）在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个．6．（10分）如图是挨在一起的大、中、小三个圆，半径分别为9cm，3cm，1cm；中圆顺时针向下沿着大圆内侧滚动；小圆逆时针向上沿着中圆内侧滚动，速度都是沿着圆周方向每秒1厘米．如果小圆上固定着一个箭头，那么中圆滚动一周回到出发点的过程中，箭头的旋转角度（小圆绕着自身中心）是度．三、填空题Ⅲ（每题15分，共30分）7．（15分）如图，从正方形ABCD四条边向外各作一个等边三角形（△ABF、△ADE、△CDH、△BCG），已知正方形ABCD的边长是10，则图中阴影部分面积是．8．（15分）（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是．四、亲子互动操作题Ⅳ（每题18分，共36分）9．（18分）手工课上，老师发给学生红、黄、蓝3种颜色的纸带，每种颜色的纸带都有足够多，老师要求选4条纸带有先后顺序地摆放，后面的纸带只能整体放在已摞放纸带的上面；4条纸带都放好之后，从上往下看的轮廓如图，4个交叉点位置的颜色分别是红、蓝、黄、黄（如图）．那么，不同的放置方法有种．（只要有某一步选的纸带颜色不同，或者有某一步放置的位置不同，就算不同的放置方法．10．（18分）如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是．2015年“迎春杯”数学花园探秘网试试卷（五年级）参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ（每题8分，共24）1．（8分）如果两个质数的差恰好是2，称这两个质数为一对孪生质数．例如3和5是一对孪生质数，29和31也是一对孪生质数．在数论研究中，孪生质数是最热门的研究课题之一．华裔数学家张益唐在该课题的研究中取得了令人瞩目的成就，他的事迹激励着更多的青年学子投身数学研究．在不超过100的整数中，一共可以找到8对孪生质数．【解答】解：在不超过100的整数中，以下8组：3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；59，61；71，73是孪生质数．故答案为8．2．（8分）6个同学约好周六上午8：00﹣11：30去体育馆打乒乓球，他们租了两个球桌进行单打比赛每段时间都有4 个人打球，另外两人当裁判，如此轮换到最后，发现每人都打了相同的时间，请问：每人打了140分钟．【解答】解：6÷2＝3（组）11时30分﹣8是＝3时30分＝210分210×2÷3＝420÷3＝140（分钟）答：每人打了140分钟．故答案为：140．3．（8分）图中所示的图形是迎春小学数学兴趣小组的标志，其中，ABCDEF是正六边形，面积为360，那么四边形AGDH的面积是160．【解答】解：根据分析，（1）△ABC面积等于六边形面积的，连接AD，四边形ABCD是正六边形面积的，故△ACD面积为正六边形面积的（2）S△ABC：S△ACD＝1：2，根据风筝模型，BG：GD＝1：2；（3）S△BGC：S CGD＝BG：GD＝1：2，故；故AGDH面积＝六边形总面积﹣（S△ABC+S△CGD）×2＝360﹣（+40）×2＝160．故答案是：160二、填空题Ⅱ（每题10分，共30分）4．（10分）如图，3×3的表面中有16小黑点，一个微型机器人从A点出发，沿格线运动，经过其他每个黑点恰好一次，再回到A点，共有12种不同的走法．【解答】解：如图，，机器人从A点出发，先经过B点，最后从C点回到A点一共有6种不同的走法，因为6×2＝12（种），所以一共有12种不同的走法．答：一共有12种不同的走法．故答案为：12．5．（10分）在所有正整数中，因数的和不超过30的共有19个．【解答】解：根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：10+9＝19个．故答案为：19．6．（10分）如图是挨在一起的大、中、小三个圆，半径分别为9cm，3cm，1cm；中圆顺时针向下沿着大圆内侧滚动；小圆逆时针向上沿着中圆内侧滚动，速度都是沿着圆周方向每秒1厘米．如果小圆上固定着一个箭头，那么中圆滚动一周回到出发点的过程中，箭头的旋转角度（小圆绕着自身中心）是2520度．【解答】解：大圆和中圆的半径比是3：1，那说明大圆的周长是小圆周长的3倍，如果中圆沿着大圆的周长做顺时针直线滚动，会绕自己圆心旋转3圈；现在中圆在大圆内部逆时针旋转1圈，所以中圆总计绕自己圆心顺时针转了2圈；同样的道理，小圆在中圆内部逆时针旋转一圈，实际上绕自己的圆心逆时针旋转了2圈，所以当小圆绕中圆3圈的时候，自己实际上绕自己圆心转动了6圈．因为它小圆转动的同时，中圆绕大圆逆时针转了一圈，所以小圆一共逆时针旋转了7圈．360×7＝2520故答案为：2520三、填空题Ⅲ（每题15分，共30分）7．（15分）如图，从正方形ABCD四条边向外各作一个等边三角形（△ABF、△ADE、△CDH、△BCG），已知正方形ABCD的边长是10，则图中阴影部分面积是50．【解答】解：根据分析，△FCD为等腰三角形，∠FBC＝150°，则∠BFC＝15°，∠BMF ＝90°，△BMF与△BMC面积相等，△ABC与△BMC面积相等，则△ABN的面积与△FCB的面积相等，则所求中间阴影部分的面积相当于正方形ABCD的面积减去△FCB和△ADH的面积，△FCB的面积为10×5÷2＝25，则阴影部分的面积＝100﹣25×2＝50．故答案是：50．8．（15分）（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是18．【解答】解：观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），再结合题意，认真思考，即可得出图中结论．因为5+5+5+1+2＝18，故答案为18．四、亲子互动操作题Ⅳ（每题18分，共36分）9．（18分）手工课上，老师发给学生红、黄、蓝3种颜色的纸带，每种颜色的纸带都有足够多，老师要求选4条纸带有先后顺序地摆放，后面的纸带只能整体放在已摞放纸带的上面；4条纸带都放好之后，从上往下看的轮廓如图，4个交叉点位置的颜色分别是红、蓝、黄、黄（如图）．那么，不同的放置方法有12种．（只要有某一步选的纸带颜色不同，或者有某一步放置的位置不同，就算不同的放置方法．【解答】解：右下角的黄色只能最后放，先放左上角，共有3种方法，再放红和蓝共有两种方法，则有3×2＝6种方法；先放左下角，共有3种方法；先放右上角，共有3种方法；综上所述，共有6+3+3＝12（种）方法．故答案为12．10．（18分）如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是504．【解答】解：依题意可知：①走2，那么乙必须走3，甲必须走7，乙必须走4，甲必须走6，乙必须走9，甲无法获胜．②走3，那么乙走2甲走8，无论乙怎么走，甲获胜．③走4，乙走8，甲走2，无论乙怎么走，甲获胜．④走6，甲乙轮流的顺序是6324789或6284739，甲都可以获胜．⑤走7，那么乙走4，甲必须走6，乙接着走8，甲走2获胜；乙接着走2，甲走8获胜；乙接着走3，甲走9获胜；乙走9，甲走3获胜；乙如果走8或者2，甲走2或者8获胜．乙如果走3或者9，甲走4必胜，乙如果走6，甲走4必胜．⑥走8，乙必须走4，甲必须走6，乙必须走3，甲走7，乙走9，甲不能获胜．⑦走9，乙走2或者8，甲走对立的8或者2，甲必胜；乙走3，甲走7，乙走8，乙必胜．故：3×4×6×7＝504．故答案为：504．。

2015迎春杯中年级复赛详解

从每条棱的正前方看过去，能看到与棱相邻的两个面，正方体共 12 条棱，所以有 12 种情况；从每个顶点看过去，能看到 3 个面，正方体有 8 个顶点，所以有 8 种情况．综上共有 6+12+8 26 种情况．
10. 二十世纪（1900 年～1999 年）的某一天，弟弟对哥哥说：“哥哥，你看，把你出生年份中的四个数字加起来，就是我的年龄．”哥哥接着说道：“亲爱的弟弟，你说得对！对我来说也是一样的，把你出生年份的四个数字加起来就是我的年龄．另外如果把我们各自年龄的两个数字对调一下就能得到对方的年龄．”已知兄弟俩出生的年份不同，那么这段对话发生在__________年．
2. 右图中 7 个小正方形拼成一个大长方形．如果这 7 个小正方形的边长从小到大依次是 1、1、2、3、 5、8、13，那么这个大长方形的周长是__________．
【考点】几何【难度】☆ 【答案】68 【分析】长方形的宽是最大正方形的边长，为 13；长方形的长为最大正方形与次大正方形的边长之和，
上周五开始，天数只有 30 天，因此这种情况不满足题意；
一二三四五六日
× × × ×√ △○
△○
○△
○
△
○
△○
△○
若为第 2 种情况，则 1 号周四，31 号周六，恰好只有 1 天两人同时去图书馆，这一天是 17 号．
一二三四五六日
× × ×○
○
△
○
△○
○△
Hale Waihona Puke ○△○△○
8. 请在下图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字，其中双向箭头表示箭头所指的两个方向的全部数字里有多少种不同的数字．那么下图中第二行从左到右所填数字依次组成的四位数是__________（右图是一个 3×3 的例子）．

2014-2015年度_五年级“数学花园探秘”初赛_考前辅导班_教师版

五年级（初赛）2014年11月巨人学校数学花园探秘教师用书考前辅导目录第一部分讲义使用说明——写给授课教师 (1)第二部分授课讲义部分 (2)第一讲数论、计数、数字谜 (2)第二讲应用题 (10)第三讲计算、几何 (18)第三部分考试方法技巧 (24)第四部分2009年～2014年初赛真题试卷及答案 (28)2009年“数学解题能力展示”读者评选活动 (28)2010年“数学解题能力展示” 读者评选活动 (31)2011年“数学解题能力展示”读者评选活动 (33)2012年“数学解题能力展示”读者评选活动 (36)2013年“数学解题能力展示”初赛笔试试题 (39)2014年“数学花园探秘”（迎春杯）初赛 (41)第一部分讲义使用说明-------写给授课教师一、授课建议1．提前备课“数学花园探密”题目偏难，希望大家能提前备课，同时让学生提前做一下预习，这样的授课效果会非常地好．2．给学生信心“数学花园探密”是所有竞赛中难度最高的一个，大家在授课过程中肯定会遇到一些问题（学生听不懂、个别题目要讲好长时间……主要是题目太难），但是不管怎样，请各位老师牢记，一定要鼓励学生充满信心，拿到能拿的分数、不留遗憾就是胜利者．3．把握上课时间有些题目主要给学生讲技巧和方法,不用把题目讲的非常细致,大家注意我们主要讲的是应试的技巧,即如何在考试中处理这些题目,至于题目的最终答案,可以让学生自己回家做，特别简单题目教师讲方法、公布答案即可，节约课上时间．4．讲义编写问题回馈由于时间紧，任务重，肯定有些题目的做法不一定是最简单的．给各位老师做出来，就是提供一个参考，如果您有更好的解答方式，希望您能不吝赐教，和我们分享一下，多谢大家了！二、讲义内容编写说明1．★：所代表的是题目难度，在课堂上，请老师结合自己班级学生的接受能力进行酌情处理，个别题目可以选择不讲．2．解答：只有教师版中出现，为大家备课提供一定的参考．3．拓展：只有教师版中出现，供提前完成学生版内容的教师作补充之用．4．题目：所有题目均为最近十年的比赛真题，如需铺垫和拓展题目，请教师自行安排．最后，衷心感谢各位授课教师的辛勤劳动，谢谢大家！第二部分授课讲义部分第一讲数论、计数、数字谜例题精讲一、计算例题1. （2010年迎春杯五年级初赛第4题，难度星级★★）20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字是________．【答案】：1．【分析与解答】：20102009200920092009⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字相当于20109999⨯⨯⋅⋅⋅⨯个的个位数字，9的乘方的个位数字为：9，1，9，1，9，1，……以2为周期，第2010个是1．例题2. （2012年迎春杯五年级初赛第5题，难度星级★★）一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是ABCD 2011，那么ABCD ＝________．【答案】：1221．【分析与解答】：2011123110119912110÷=；所以1231101221ABCD =-=．二、数论例题3. （2010年迎春杯五年级初赛第7题，难度星级★★★）己知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即：45abcba deed =⨯），那么这个五位回文数最大的可能值是________．【答案】：59895．【分析与解答】：abcba 能被45整除，因此abcba 一定是5的倍数，个位只能是0或5，而回文数的个位不能为0，因此5a =．abcba 一定小于6000，又6000451333÷≈，deed 最大是1331，验证可知133********⨯=满足条件．例题4. （2012年迎春杯五年级初赛第8题，难度星级★★★）今天是2011年12月17日，在这个日期中有4个1、2个2、1个0、1个7．用这8个数字组成若干个合数再求和（每个数字恰用一次，首位数字不能为0，例如21110与217的和是21327），这些合数的和的最小值是________．【答案】：231．【分析与解答】：因为0、1、2、7都不是合数，所以这些组成的合数都至少是两位数．若组成4个两位合数，由于11是质数，从而4个1必须分别位于四个两位合数中，其中必有1个1和7在同一个合数中，而17、71都是质数，矛盾！所以至少有一个合数是三位数或以上．若组成的合数中最大的为三位数，还剩5个数字，数字个数为奇数，不可能使剩下的合数全为两位数，所以还得有一个合数是三位数．设组成的合数为ABC 、DEF 、GH ，则有()()10010ABC DEF GH A D B E G C F H ++=⨯++⨯+++++ ()()1001110011227231≥⨯++⨯+++++=另一方面，这三个合数可以是102、117、12．综上所述，这些合数的和的最小值是231．例题5. （2013年五年级初赛试题第10题）有一个奇怪的四位数（首位不为零），它是一个完全平方数，它的数字和也是一个完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还等于它的数字和，那当然也是完全平方数．如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是_______．【答案】：2601．【分析与解答】：现在是平方数的有：这个四位数、这个四位数的数字和、这个四位数的约数个数，这个四位数的数字和有可能为1、4、9、16、25，经验证，由后两个平方数决定了该四位数的数字和为9，而且该四位数的分解质因数后的形式为223a ⨯ ，其中a 为质数，根据位数估算，32a < ，验证11、13、17、19、23、39、31，可得当17a = 时满足，此时四位数为2601．例题6. （2009年迎春杯五年级初赛第11题，难度星级★★★）有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，……，100，同时还向每位观众赠送单色喇叭．他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的．为了实现他自己的愿望，他最少要准备________种颜色的喇叭．【答案】：4种．【分析与解答】：给1号观众发放红色喇叭，则3号、4号、6号、8号、12号、14号、18号……不能发同色喇叭；继续给3号观众发放黄色喇叭，则6号、8号、14号……仍不能发同色喇叭；6号不能与1、3号相同，继续给6号观众发放蓝色喇叭，则8号……仍然不能发同色喇叭；8号不能与1、3、6号相同，还要继续给8号观众发放绿色喇叭，因此至少需要4种颜色的喇叭．给编号除以4余数相同的观众发放同一种喇叭，则拿到相同喇叭的观众编号之差都是4的倍数，没有质数，满足题目要求，因此答案就是4种．拓展（学生版无，教师选讲）（难度星级★★）现有一叠2元和5元的纸币若干，把它们分成钱数相同的两堆，第一堆中2元和5元的张数相同，第二堆中2元和5元的钱数相等，那么这一叠钱至少有________元．【答案】：280．【分析与解答】：因为第一堆中2元和5元的张数相同，所以第一堆的钱数是7的倍数，由于第二堆中2元和5元的钱数相等，所以第二堆的钱数的一半是2和5的公倍数，随意第二堆的钱数是20的倍数，所以这样可知每一堆的钱数是7和20的公倍数，最小是140，从而这一叠钱最少是280元．拓展（学生版无，教师选讲）（2009年25届迎春杯五年级初赛第10题，难度星级★★★）200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有________名．【答案】：8．【分析与解答】：每名同学向右转的次数就是他的编号的约数个数，面向东的同学是向右转了3次，7次、11次、……的同学，对应的编号约数是3个、7个、11个、……因此约数个数是奇数，所以一定是完全平方数，1至200中完全平方数有21至214，其中约数个数3个、7个、11个、……的有8个平方数，即面向东的同学有8名．拓展（学生版无，教师选讲）（2007年迎春杯五年级初赛第2题，难度星级★★★）甲，乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是________．【答案】：360．【分析与解答】：与数字和有关的一般看除以9的余数．甲除以9余1，乙除以9余8，则甲乙乘积除以9余8，则此五位数为31031．又310317111331=⨯⨯⨯，则甲、乙只能为217和143，所以和为360．三、计数例题7. （2012年迎春杯五年级初赛第4题，难度星级★★）在右图中，共能数出________个三角形．【答案】： 40．【分析与解答】：八边形被分成了17块，按组成三角形的块数来分类．一块的三角形：16；两块的三角形：16；三块的三角形：8．所以，三角形一共16＋16＋8＝40（个）．例题8. （2010年迎春杯五年级初赛第10题，难度星级★★★★）九个大小相等的小正方形拼成了下图．现从点A 走到点B ，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A 走到点B 共有________种不同的走法．【答案】： 9种．【分析与解答】：如上右图：从A 点到B 点只能经过图中的虚线，枚举可知：（1）A →G →C →D →H →B ；（2）A →G →C →D →H →G →E →F →H →B ；（3）A →G →C →D →H →F →E →G →H →B ；（4）A →G →H →B ；（5）A →G →H →D →C →G →E →F →H →B ；（6）A →G →H →F →E →G →C →D →H →B ；（7）A →G →E →F →H →B ；（8）A →G →E →F →H →G →C →D →H →B ；（9）A →G →E →F →H →D →C →G →H →B ．共有9种不同的走法．另外也可根据乘法原理，G 点有3条路线通往H ，不管通过哪一条路线到H ，再从H 到B 都有三条路线，因此共有339⨯=种不同走法．拓展（学生版无，教师选讲）（难度星级★★）狮子、老虎、河马、猩猩、长颈鹿排成一队洗澡，但长颈鹿和老虎不能挨着，有________种排队方式．【答案】：144种．【分析与解答】：利用排除法可得54542144A A -⨯=种． BEF D B四、数字迷例题9. （2008年迎春杯五年级初赛第5题，难度星级★★）在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =________．【答案】：1038tavs =．【分析与解答】：首先判断和的首位数一定是“1”，所以1t =；和的最后一位也是t ，可知0a =；v s +得到的个位数是1，所以要进位，就得到3v =，所以8s =；所以1038tavs =．例题10. （2012年迎春杯五年级初赛第12题，难度星级★★★★）有一个66⨯的正方形，分成36个11⨯的正方形．选出其中一些11⨯的正方形并画出它们的对角线，使得所画出的任何两条对角线都没有公共点，那么最多可以画出________条对角线．【答案】：21．【分析与解答】：如右图，标记了21个格点，画出的每条11⨯正方形的对角线都要以这21个标记格点中的某一个为顶点．而据题意，所画出的任何两条对角线都没有公共点，所以每个标记格点至多画出一条对角线，从而至多画出21条对角线．例题11. （2013年五年级初赛试题）如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是_________．【答案】：21．【分析与解答】：第四列第3、4两行的数字均为1，所以可知第一行的三位乘数为1□3，而根据乘积的尾数1可以得知，第二个乘数为17，那么1□3也□ □ □× □ □ □ 0 □ □ □ □ 3只能是143，所以两个乘数的和是17143160+=．例题12. （2011年迎春杯五年级初赛第7题，难度星级★★）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是________．【答案】：684【分析与解答】：如右图，首先确定A 为8或9，所以D 肯定是4，则E 为1或2，若为1，则F 为1，A 为8，B 为2或3，不可能进两位不合题意，所以E 为2，则B 为1，同上，A 不能为8，所以A 为9，于是可以推出原式为45522⨯□，考虑乘积第一行，可得原式为455229⨯．例题13. （2012年迎春杯五年级初赛第6题，难度星级★★）在右图的除法竖式中，被除数是________．【答案】：20952．【分析与解答】：首先，X ＝1，Y ＝9，则Z ＝1；由10ABC D ⨯=□，知D ＝1，A ＝1，B ＝0；由109C E ⨯=□2，知E ＝9，C ＝8；从而2972Y =□；由2972Y =□知PQ 取值38～47，又据108F PQ ⨯=□，得F ＝4．所以，被除数10819420952⨯=．□ □ □ □ 1 □ □ □ 2□ □ □ □ □ □A B Z 0 □ X □ 1 □ Y □ 2P Q □□ □ □ × 2 □ □ □0 □ □ □ 1 □□ □ 0□ □ □ □ □ □D F □ × 2E □ □ 0 □ □ C 1 □A B□ □ □ □ □ □作业1. （难度星级★★★）如果a ，b 均为质数，3741a b +=，则a b +=________．【答案】：7．【分析与解答】：由奇偶性分析可知a ，b 中必有一个为偶数，又a ，b 均为质数，因此有一个为2，检验可知，满足条件．因此．2. （难度星级★★★）把25拆成几个不同的质数的和，一共有________种方式，如果要求这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积等于________．【答案】：5；770．【分析与解答】：有223+，3517++，5713++，23713+++，25711+++一共5种方式．其中最大乘积最大的是25711770⨯⨯⨯=．3. （难度星级★★★）四个自然数的乘积为19305，且它们构成等差数列，那么这四个数是________．【答案】：9、11、13、15．【分析与解答】：分解质因数319305351113=⨯⨯⨯，容易得到这四个数是9、11、13、15．4. （2009年迎春杯五年级初赛第3题，难度星级★★）如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是________．【答案】：23．【分析与解答】：2126237=⨯⨯，这两个合数互质，乘积是126，只能是9和14，和为23．5. （2009年迎春杯五年级初赛第5题，难度星级★★★）从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数．那么共有________种不同的选取方法．【答案】：19种．【分析与解答】：取出数的和可能为3、6、9、12、18、21．和为3的有2种；和为6的有4种；和为9的有5种；而和为12的与和为9的情况相同，有5种；和为18的与和为3的情况相同，有2种；和为21的有1种．因此一共有24515219+++++=种．第二讲应用题例题精讲例题1. （难度星级★★）小懒虫每天早上从家出发以不变的速度步行前往学校．若7点15分出发，则开始上课时离学校还有600米，若7点20分出发，则开始上课时离学校还有975米．若小懒虫要在上课前赶到学校，那么最晚应于_______点________分从家出发．【答案】：7点7分．【分析与解答】：小懒虫步行每分钟走()975600(2015)75-÷-=米，那么600米需要走：600÷75=8分钟，所以需要比7点15分再早8分钟，则应该7点7分从家出发．例题2. （2013年五年级初赛试题）甲、乙两人从A 地步行去B 地，乙早上6:00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，速度的也是匀速步行，甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时就休息半小时，甲出发后经过______分钟才能追上乙．【答案】：330．【分析与解答】：设乙的速度为2千米/时，则甲的速度就为5千米/时．则当甲出发时，乙已经出发两个小时，距离甲有224⨯=千米，甲每一小时一个周期，一小时甲走0.55 2.5⨯=千米，一小时乙走122⨯=千米，每小时甲比乙多走0.5千米，但是当甲、乙相距()0.552 1.5⨯-=时家就能在半个小时追上，所以甲先走()4 1.50.55-÷=整周期，然后在经过半小时甲就能追上，所以需要330分钟．例题3. （2012年五年级初赛第9题，难度星级★★★☆）甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．第一次迎面相遇在距离B 地100米处，相遇后甲的速度提高到原来的2倍；甲到B 后立即调头，追上乙时，乙还有50米才到A ．那么，AB 间的路程长________米．【答案】：250【分析与解答】：如图，假设甲一出发，速度就提高到原来的2倍，那么在相同的时间内，甲还差10050150+=(米)就行满3个AB ；而与此同时，乙还差50米就行满1个AB ；所以，甲提速后，速度是乙的：()()3150503AB AB -÷-=倍．从而，甲原来的速度是乙的3÷2＝1.5倍．所以，AB 间的路程长()100 1.51250⨯+=(米) ．例题4. （2010年五年级初赛第12题，难度星级★★★★）如图，C ，D 为AB 的三等分点；8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲，乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲，丙8点30分相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．【答案】：8点16分．【分析与解答】：甲、丙相遇时，乙行了301218-=分钟，行了全程．因此从B到C乙用12分钟，即甲、乙在8点24分相遇，此时丙走到D点．甲走了24分钟，因此甲AC用24分钟，再过6分钟，甲走CD的14，与丙相遇，此时丙6分钟正好走了CD的34，所以丙走CD需要8分钟，丙出发时间是8点16分．例题5.（第16届迎春杯五年级初赛第11题，难度星级★★★）甲、乙二人从A、B两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，二人在距中点120米处相遇．如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在距中点120米处相遇．则甲在途中停留了________分钟．【答案】：7分钟．【分析与解答】：二人在距终点120米处相遇，则甲比乙多行240米．二人从出发到相遇经过()240806012÷-=分钟，A、B两地相距()1280601680⨯+=米．第二次相遇乙行了()168021206016÷+÷=分钟，甲行了()16802120809÷-÷=分钟，因此甲在途中停留了1697-=分钟．拓展（学生版无，教师选讲）（2010年五年级初赛第6题，难度星级★★★）甲、乙两车同时从A城市出发驶向距离300千米远的B城市．已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B城市．那么，甲车在距离B城市________千米处追上乙车．【答案】：150千米处．【分析与解答】：可用设数法，设乙车用4小时驶完全程，则甲车用2小时驶完全程，容易得到甲车在中点处追上乙车．拓展（学生版无，教师选讲）（2005年迎春杯高年级组初赛第10题，难度星级★★★★）甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出A C D B发相向而行，则相遇点E 距C 点5千米．则甲原来的速度是每小时________千米．【答案】：11．【分析与解答】：当乙每小时多行4千米时，如果二人相遇后继续往前走，则甲再走10千米到达C 点．而甲从A 点到C 点需要5小时，乙每小时多行4千米，因此乙此时距离C 点20千米，则相遇后乙又行了10千米．说明此时甲和乙速度相同．因此最初甲比乙每小时多行4千米．当甲每小时多行3千米时，如果二人相遇后继续往前走，则乙再走5千米到达C 点，而甲继续前进10千米（分析同上），说明此时甲的速度是乙2倍．因此最初甲的速度是乙的2倍少3．综上可知，甲原来的速度为每小时11千米．例题6. （2010年五年级初赛第2题，难度星级★★）小张有200支铅笔，小李有20支钢笔．每次小张给小李6支铅笔，小李还给小张1支钢笔．经过________次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．【答案】：4次．【分析与解答】：原来小张手中的铅笔比小李的钢笔多180支，每次交换后，小张手中的铅笔都减少6支，小李手中的钢笔减少1支，两者之差减少5．要使两者之差是小李手中钢笔数量的10倍，必须经过偶数次交换．经过2次交换后，两者之差为18010170-=支，小李手中钢笔数量为18支，不符合条件；经过4次交换后，两者之差为18020160-=支，小李手中钢笔数量为16支，符合条件．因此经过4次这样的交换后，小张手中铅笔的数量是小李手中钢笔数量的11倍．例题7. （难度星级★★★★)制鞋厂生产的皮鞋按质量共分为10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元．如果每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元．最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋．每天生产第________档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是________元．【答案】：第9档次；7776元．【分析与解答】：由题意，生产第n （1n =，2，…，10）档次的皮鞋，每天可生产()180191899921n n n --⨯=-=-（）双，每双利润为()()241618663n n n +-⨯=+=+元．所以每天利润()()()()6392154321n n n n +⨯-=⨯+⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，两个数的和一定时，这两个数越接近，甲乙两个数的乘积越大．上式中，无论n 等于几，(3)n +与(21)n -的和都是24．而当9n =时，(3)n +与(21)n -相等且都等于12，上述算式结果最大．所以当9n =，即每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润为54(39)(219)7776⨯+⨯-=元．例题8. （2011年五年级初赛第4题，难度星级★★）某乐团女生人数是男生人数的2倍；若调走24名女生，那么男生人数是女生人数的2倍．该乐团原有男女学生一共________人．【答案】：答案是48人．【分析与解答】：设男生人数为“1”，则原来女生人数为“2”，调走24名女生后，女生人数是男生人数的12，男生人数为1242162⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭人，原来男女生一共有()162148⨯+=人．例题9. （2012年五年级初赛第7题，难度星级★★★）五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场；每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局则各积1分．比赛完毕后，发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数．设第1、2、3、4、5名分别平了A 、B 、C 、D 、E 场，那么五位数ABCDE ＝________．【答案】：13213【分析与解答】：共赛25C ＝10场，每场两队得分和2或3，所以总分为210310⨯⨯．五个队的积分恰好是五个连续的自然数，而五个连续的自然数的和在210310⨯⨯有以下三种情况：26、37、48．若五个队的积分是26，则总分是20，从而所有比赛均为平局，每队都得4分，矛盾！若五个队的积分是48，则总分是30，从而无平局，每队得分都应是3的倍数，矛盾！所以，五个队的积分只能是37．总分为25，共平5场，2510A B C D E ++++=⨯= 第一名得7分，共赛4场，只能是胜2，平1，负1，所以1A =；第三名得5分，共赛4场，只能是胜1，平2，负1，所以2C =；第四名得4分，若全平，则和其它每队都平，从而3B ≥，4D =，3E =，那么1324110A B C D E ++++≥++++>，矛盾！所以第四名胜1，平1，负2，从而1D =；10101216B E A C D +=---=---=，而3B ≤，3E ≤，所以，只能3B =，3E =．综上所述，ABCDE ＝13213．例题10. （2008年迎春杯五年级初赛第9题，难度星级★★）甲、乙二人要从网上下载同一个100兆大小的软件，他们同时用各自家中的电脑开始下载，甲的网速较快，下载速度是乙的5倍，但是当甲下载了一半时，由于网络故障出现断网的情况，而乙家的网络一直正常．当甲的网络恢复正常后，继续下载到99兆时（已经下载的部分无需重新下载），乙已经下载完了，则甲断网期间乙下载了________兆．【答案】：80.2兆．【分析与解答】：当甲下载一半50兆的时候，乙下载50510÷=兆．当甲重新下载后又下载995049-=兆，在这段时间里乙下载了4959.8÷=兆，所以在甲断网的时候乙下载了100109.880.2--=兆．例题11. （2012年迎春杯五年级初赛第3题，难度星级★☆）龙腾小学五年级共有四个班．五年级一班有学生42人，五年级二班是一班人数的76，五年级三班是二班人数的65，五年级四班是三班人数的1.2倍．五年级共有________人．【答案】：144【分析与解答】：二班人数为642367⨯=(人)；三班人数为536306⨯=(人)；四班人数为30 1.236⨯=(人)；所以，五年级共有42363036144+++=(人) ．拓展（学生版无，教师选讲）（2008年迎春杯五年级初赛第4题，难度星级★★）箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次之后，乒乓球恰好没有了，羽毛球还有6个，则一共取了次，原来有乒乓球和羽毛球各个．【答案】： 3次；15个．【分析与解答】：盈亏问题方法解答：取一次使羽毛球比乒乓球多两个，623÷=次．所以乒乓球有5315⨯=个．拓展（学生版无，教师选讲）（2006年高年级组初试第4题，难度星级★★★）王老师到木器厂订做240套课桌椅，每套定价80元．王老师对厂长说：“如果1套桌椅每减价1元，我就多订10套．”厂长想了想，每套桌椅减价10％所获得的利润与不减价所获得的利润同样多，于是答应了王老师得要求．那么每套桌椅的成本是________元．【答案】：48元．【分析与解答】：减价10%就是每套减8元，王老师要多订 80 套．每套减少8元的总和就是多订的80套的利润，因此每套桌椅的利润为83208032⨯÷=元，成本是803248-=元．也可用方程解，设每套桌椅的成本是x 元，则()()8024072320x x -⨯=-⨯，解得48x =元．例题12. （2010年迎春杯五年级初赛第8题，难度星级★★★）请从1，2，3，……，9，10中选出若干个数，使得1，2，3，……，19，20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和．那么，至少需要选出________个数．【答案】：6个．【分析与解答】：10以内的偶数，只需要用两个相同的奇数相加即可得到，即选择1，3，5，7，9．但是20必须需要10才能得到，因此选择1，3，5，7，9，10这6个数字．例题13. （2011年迎春杯五年级初赛第10题，难度星级★★★）一个村庄有2011个小矮人，他们每个人不是戴红帽子，就是戴蓝帽子．戴红帽子时说真话；戴蓝帽子时说假话．他们可以改变帽子的颜色．某一天，他们恰好每两人都见了一次面，并且都说对方戴蓝帽子．这一天他们总共最少改变了________次帽子的颜色．【答案】：答案是2009次．【分析与解答】：任何两人见面时，都分别戴着不同颜色的帽子，因此至多能有两人帽子不变色，最少要改变2009次帽子的颜色．可以将2011个小矮人顺次编号，1号戴红帽子，其他戴蓝帽子．1号首先与所有人见面，然后2号改变帽子颜色并与3~2011号见面，3号改变帽子颜色并与4~2011号见面……最后2010号改变帽子颜色并与2011号见面．例题14. (2006年第22届迎春杯初试5，6年级组第2题，难度星级★★)有两个三位数，百位上的数字分别是5和4，十位上的数字分别是6和7，个位上的数字分别是3和4．当这两个三位数分别是________和________时，它们的乘积最大．【答案】：563和474．【分析与解答】：两数之和固定，两数越接近，其乘积越大．拓展（学生版无，教师选讲）（2008年迎春杯五年级初赛第14题，难度星级★★★★）给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则这5个砝码能称出的重量种类最多是________种．（天平的左右两盘均可放砝码）【答案】：94种．【分析与解答】：首先注意这种题是考察三进制的问题（若砝码只可以放在一边，则是考察二进制的），我们选的时候选三个最小的：1，3，9，因为这样可以测出的重量种类是最多的：1～13．又有50克和100克的两个砝码，则可以称出5013-，5012-，……，501-，50，501+，502+，……，5013+，10013-，10012-，……，1001-，100，1001+，1002+，……，10013+，15013-，15012-，……，1501-，150，1501+，1502+，……，15013+，所以能称出313694+⨯=种重量．。

2015年五年级数学花园探秘(原迎春杯)模拟题解析

二填空题每题10题填写结果即可5纯循环小数0abc写成最简分数时分子与分母之和是48那么三位数答案297分析37abcabcabc化简后的分母一定是现在的分母的约数而且小于48大于48的一半即24所以分母只可能是37或27但如果是27这个分数不是最简分数所以只能是37那么化简后的分数应该是1137那么这个循环小数是112970297379996如果一个边长为6厘米的正三角形的面积是155平方厘米那么一个边长为6厘米的正十二边形面积是平方厘米
A D O
【答案】50 【分析】根据条件，OB=4OD，推出三角形 ACD 的面积是 10，所以四边形 ABCD 的面积是 50。 3、60 的倍数中，恰有 60 个因数的最小数是。【答案】5040 【分析】这道题跟例 2 有所不同，所以满足要求的数可以有 3 或 4 个质因数， 60 22 3 5 ， a 如果只有 3 个质因数，那么满足要求的数是 2 3b 5c ，其中 a 1 b 1 c 1 60 ，经尝试得其中最小的一个是 24 33 52 10800 ；如果有 4 个质因数，那么满足要求的数是 2a 3b 5c M d ，其中 M 是大于 5 的质数，且 a 1 b 1 c 1 d 1 60 ，为了让所得的数尽量小，那么 M 取 7，满足要求的数的最小值显然是 24 32 5 7 5040 。综上所述，满足要求的数的最小值是 5040。 4、在小于 3000 的四位数中，能被 7 整除，并且数字和为 7 的数，一共有个。【答案】7 【分析】考虑到 7 的整除性是“三位一段” ，分别考虑：前两位是“10”的：1015；前两位是“11”的：1141；前两位是“12”的：1204；前两位是 “13”的：1330；前两位是“20”的：2023；前两位是“22”的：2212；前两位是“24”的： 2401。一共有 7 个满足要求的数。二、填空题（每题 10 分，共 4 题，填写结果即可） 5、纯循环小数 0.abc 写成最简分数时，分子与分母之和是 48，那么三位数 aபைடு நூலகம்c= 。【答案】297 abc abc 【分析】 0.abc ，化简后的分母一定是现在的分母的约数，而且小于 48 大于 3 999 3 37 48 的一半即 24，所以分母只可能是 37 或 27，但如果是 27，这个分数不是最简分数，所以 11 297 11 0.297 . 只能是 37，那么化简后的分数应该是，那么这个循环小数是 37 37 999

迎春杯五年级初赛试卷及答案详解

2015年数学花园探秘六年级初赛(解析)

2015年“数学花园探秘”科普活动六年级组初试试卷A 详解一．填空题I （每题8分，共32分）1. 计算：111111()2015315356399143__________．【考点】分数裂项【难度】☆☆ 【答案】930 【分析】1111111111116(1)3153563991433351113213， 62015653193013⨯=⨯⨯=．2. 如图，一道除法竖式中已经填出了“2015”和“0”，那么被除数是__________．2015□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□【考点】除法数字谜【难度】☆☆ 【答案】20685【分析】根据减法特点，得到下左图；利用确定的两行乘积，除数只能是105，填出一些确定的数字，如下中图；从下面的减法推断出，商的个位只能是6或7，不难尝试出6是不行的，最终得到下右图： 210101950□□□□□□□□□□□□□□□□□□□19152061051019450□□□□□□□□□□1971520685105101894573573503.A 牌电池的广告语是“一节更比六节强”，意义是A 牌电池比其他电池更耐用．我们就假定1节A 电池的电量是B 电池的6倍．有两种耗电速度一样的时钟，现在同时在甲钟里装了4节A 电池，乙钟里装了3节B 电池．结果乙时钟正常工作了2个月就耗尽了，那么甲时钟还能正常工作________月．【考点】基础应用题【难度】☆ 【答案】14【分析】乙钟2个月耗3节B 电池，甲钟相当于有24节，2432214÷⨯-=4. 右图六角星的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点．那么阴影部分面积是空白部分面积的__________倍．【考点】图形分割【难度】☆☆ 【答案】3【分析】如下图将原图形分割为完全相同的24个小三角形，其中空白部分6块，阴影部分18块，显然阴影部分面积是空白部分的3倍．二．填空题（每题10分，共40分）5. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的13，那么符合条件的A 最小是_______．【考点】因数个数定理【难度】☆☆☆ 【答案】12【分析】设121223n a a a x y n A p p p =⨯⨯⨯⨯⨯ ，则1211123!23n a a a x y n B A p p p --=÷=⨯⨯⨯⨯⨯则1212(1)(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)(1)]n n x y a a a xy a a a +++++=⨯+++即(1)(1)3x y xy ++=，xy 都取1不满足此式，所以取12,1,~0n x y a a ===得到最小值126. 有一批机器，共500台，每台使用了同一种类型的零件6个．这种一周内报废的零件必须在本周末换新零件．所有新零件第一周末有10％报废，第二周末有30％报废，最后的60％会在第三周末报废，没有零件能使用到第四周．那么，在第三周末需要换新的零件数是__________个．【考点】分百应用题【难度】☆☆ 【答案】1983【分析】第三周第一次换的零件300060%1800⨯=个第一周换上的第三周又换的零件300010%30%90⨯⨯=个第二周换上的第三周又换的零件300010%30%90⨯⨯=个连换三周的零件300010%10%10%3⨯⨯⨯=个1800909031983+++=7. 图中大圆的面积是120，那么，阴影部分面积是__________．【考点】圆与扇形【难度】☆☆☆☆ 【答案】40【分析】设大圆半径和小圆半径分别为2R 和2r ，画出大小圆半径会发现它们同处一个正三角形，如图1，两条粗线分别为大圆半径和小圆半径，由正三角形性质和勾股定理，有 22222(3)(2)3R r R R r +=⇒=，这说明大圆面积和小圆面积是3倍关系，即小圆面积为40；如图2，由于三个小圆面积等于大圆面积，所以图中红色部分面积等于灰色部分；如图3，可以看出，图2中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6个120度扇形，总和为2个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积，40．上排从左至右：图1、图2、图38. 甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有7种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订三份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有________多少种不同的订阅方式．【考点】计数问题【难度】☆☆☆ 【答案】5670【分析】甲户有37C 35=种选择；乙户要选甲户订的报纸订一种，另两种从甲没订过的选，所以有1234C C 18⨯=种选择；丙户要么选择甲乙都订的报纸，再选甲乙都没订的（就剩两种了），或者从甲乙订的互相不同的那两份报纸中各挑一份，再挑个甲乙都没订的，所以有111222C C C 19⨯⨯+=种选择；351895670⨯⨯=种三．填空题（每题12分，共48分） 9.如图，A 、B 为圆形轨道一条直径的两个端点．甲、乙、丙三个微型机器人在环行导轨上同时出发，作匀速圆周运动．甲、乙从A 出发，丙从B 出发；乙顺时针，甲、丙逆时针．出发后12秒钟甲到B ，再过9秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到A 后，再过_______秒钟，乙才第一次到B ．【考点】环形跑道【难度】☆☆☆ 【答案】56【分析】速度、时间、路程只涉及了时间，则可以设路程，求速度．设半周长为[12,21]84=，则甲的速度为84127÷=；甲用12921+=秒追上丙，可见甲丙的速度差为84214÷=，则丙的速度为743-=；乙丙21秒相遇，可见乙丙的速度和为84214÷=，则乙的速度为431-=；丙到达A 需要84328÷=（秒），乙到达B 需要84184÷=（秒）；可见，丙到达A 后842856-=（秒）乙到达B ．10. 珊珊和希希各有若干张积分卡．珊珊对希希说：“如果你给我2张，我的张数就是你的2倍．”希希对珊珊说：“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍．” 珊珊对希希说：“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍．” 希希对珊珊说：“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍．”后来发现以上四句话恰有两句正确，两句不正确，最后希希给了珊珊几张积分卡之后她们的张数就一样多了．那么，原来希希有_______张积分卡．【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆ 【答案】15【分析】由最后一句话，希希的积分卡多第三句 4x + 44x - 2x ≤ 5x 510x ≤，即5、10第四句 55x -5x +3x ≥6x618x ≥，即18、24、30、…356464x y x x y y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以希希原有36315⨯-=张11. 在空格内填入数字1~6，使得每行每列数字不重复，黑点两边的数是两倍的关系，白点两边的数差为1．那么第四行所填数字从左往右前5位组成的五位数是__________．【考点】黑白点数独【难度】☆☆☆☆ 【答案】21436【分析】先分析几个情况1. 两个格之间有黑点则只能是（1,2）、（2,4）、（3,6），即两个格都一定不会是52. 如果两个格之间有黑点，两个格都不能是2的话，则只能是（3,6）3. 如果两个格之间有黑点，一个格确定，则只有在这个格是2的时候不确定另一个格是1还是4，其他时候都能确定另一个数，但假如有一个格是1或4，则另一个格一定是2 4. 如果一排三个连续的格有两个黑点，则一定是（1,2,4）；5. 如果有一排连续的数中间都是白点，则一定是按顺序排列的连续数字；然后综合利用数独条件和黑白点条件来分析题目，（注意题目并没有说不标黑白点的地方就不满足黑白点的条件，所以不能利用这一点）：利用第二列的条件得到图1；利用第一、二行的条件得到图2：利用第五列、第三行的条件得到图3；利用第四行（注意利用条件2）的条件得到图4（题目所求已经得到了）；完整图如图5所示．上排从左至右：图1、图2、图3；下排从左至右：图4、图5。

2020年数学花园探秘笔试初赛_5年级A卷(答题卡版)

2020年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷A（测评时间：2019年11月30日8:30—9:30）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1. 算式2020(10110)÷+÷的计算结果是．2. 某宠物店中有小猫和小兔共33只，小兔分为白兔和黑兔两类．如果小猫数量是白兔数量的2倍，同时恰好是黑兔数量的3倍．那么这家宠物店有只小兔．3. 将0到8这九个数字不重复地填入下面算式的方框中，使等式成立．其中数字“0”、“2”、“4”、“6”已被填入，那么算式中的四位被减数是．4. 如图，三角形ABC 是等边三角形，三角形BCD 是等腰直角三角形，如果18BC =，那么三角形ACD 的面积是．二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5. 一个四位完全平方数，其前两位数字顺次组成的两位数比后两位数字顺次组成的两位数大4，那么这个四位数是．6. 在空格里填入数字1－6，使得每行、每列和每宫的数字都不重复．每一条箭头上经过的数字之和等于箭头尾圆圈里的数，那么，最后一行前五个数字从左到右组成的五位数是．4 0 6 － × 2 . = 2020A B D C7.用1、2、3、4、5组成数字不重复的五位数共有120个，将这120个五位数按从大到小的顺序排成一列，相邻两个数作差，得到的119个差中有个大于100．是．三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）9.从1到20这20个自然数中，最多能选出个数，使得任意一个选出的数都不是另一个选出的数的2倍或3倍．10.A、B、C、D、E五个同学之中要选出一个组长，每个人心里都已经有了一个排名，在推出的候选人中，一定会投票给自己心里排名最高的候选人．例：假设A心里的排名由高到底是ADEBC，如果候选人是C和D，那么A就会投票给D．某位候选人的得票数最高（不能并列）就会当选，现有以下情况：①每个人心中自己排名最高；②每个人在不同人心中的名次都互不相同（比如A在B心中排第2，A在别人心中就不是第2）；③如果候选人是B、C、D，那么C会当选；④如果候选人是A、D、E，那么D会当选；⑤如果候选人是B、C、E，那么E会当选；⑥在A心中，D比B更适合当组长．如果E在A、B、C、D、E心中的排名依次是a、b、c、d、e，那么abcde＝．11.在一条河流的上、下游分别有A、B两个港口，国国和庆庆开船分别从A、B这两个港口出发相向而行．国国出发时掉落了一个漂浮于水面上的箱子，而当他抵达B港的时候，庆庆刚好遇到了这个箱子，此时两船立刻调头返回．庆庆抵达B港后立刻再调头返回，并在再次遇到箱子时追上了国国，此地距离A港90千米．那么AB两个港口相距千米．12.第12题作答要求：请在答题卡第12题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；答题范围为01～11；请在答题卡第12题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别，最简单为“1”，最难为“9”，总计九个级别，答题范围为1～9；请在答题卡第12题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；答题范围为01～11．（所有答题范围内的作答均可得分，所有的评定都将视为本人对本试卷的有效评定，不作答或者超出作答范围不得分．）。

2015数学花园探秘复赛高年级(含解析)

2015年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试 A 卷（测评时间：2015 年 1 月 31 日 8:00 —9:30）一、填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫1．算式 1 - + - + - ⎪ ÷ + + ⎪ 的计算结果是__________．⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 4 5 6 ⎭2．一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两边的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是__________平方厘米．3．A，B，C，D四个人住进编号为1 ， 2 ，3， 4 的四个房间，每个房间恰住一人；那么B不住 2 号房间，并且B , C两人要求住在编号相邻房间的住法共有__________种．4．算式201519992015⨯14-20152011的计算结果是__________．5．哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为______ %．二、填空题Ⅱ题（每小题 10 分，共 50分）6．一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2 、1 、0道题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）．甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了 A 、B 、C、D 道题，那么四位数 ABCD =__________．7．右边算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果二零一五=2015，且两位数数学是质数，那么四位数数学花园= _________．二零一五=数学+花园⨯探⨯秘8．右图的图案由1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（ 2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）9．如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2=4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是________．10．一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；如果第1 小时、第 2 小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千米；那么轮船往返A、B两港共行_______千米．三、填空题Ⅲ题（每小题 12 分，共 60 分）11．三位数abc除以它的各位数字和的余数是1 ，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1 ．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc= _______．12．在右图的每个方格里填入数字1 ～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ABCDE =_______．13．某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1 ， 2 ，……，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2 号，……，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有________种不同的发放方式．14．图 2 的8 8表格中共含有168个如图1 的“ T ”形．现对图 2 中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“ T”形中黑白小方格各2个，则称这个“ T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“ T ”形至多有__________个．15．作答要求：（1）请在答题卡第15题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；如认为本试卷第 6 题出得最好，那么请在万位填涂“ 0 ”，千位填涂“ 6 ”．（2）请在答题卡第15题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别；最简单为“0”，最难为“ 9”，总计十个级别．（3）请在答题卡第15题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；如认为本试卷第14 题最难，那么请在十位填涂“1 ”，个位填涂“ 4 ”．2015年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试 A 卷（测评时间：2015 年 1 月 31 日 8:00 —9:30）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7答案 1 75 8 503 11 1203 8369题号8 9 10 11 12 13 14答案3096 1099 102 452 41244 48 132部分解析一、填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫1．算式 1 - + - + - ⎪ ÷ + + ⎪的计算结果是__________．⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 4 5 6 ⎭【考点】分数计算【难度】☆☆【答案】1⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫【分析】分子= 1 + + ⎪ - + + ⎪= 1 + + + + + ⎪ -  + + ⎪ ⨯ 2⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 2 4 6 ⎭ ⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 2 4 6 ⎭⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ 1 1 1= 1 + + + + + ⎪ - 1 + + ⎪ = + +⎝ 2 3 4 5 6 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭ 4 5 6可见原式=1．2．一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两边的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是__________平方厘米．【考点】几何【难度】☆☆【答案】 75【分析】设剪下来的四个等腰直角三角形的直角边为 a ，则正方形的面积为(4a)2÷2=100⇒a2=12.5，剪下来的部分其面积为12a2⨯4=2a2=2⨯12.5=25，则余下部分面积为 75 ．3．A , B , C , D四个人住进编号为1 , 2 , 3 , 4 的四个房间，每个房间恰住一人；那么B不住 2 号房间，并且 B ,C两人要求住在编号相邻房间的住法共有__________种．【考点】计数【难度】☆☆☆【答案】 8【分析】若 B 住在1号房间，则C住在2号房间， A 、 D 住在3、4号房间，共2种住法；若 B 住在3号房间，则C住在2号或4号房间， A 、 D 住在剩下两个房间，共2 ⨯ 2 = 4种住法；若B 住在4号房间，则C住在3号房间， A 、 D 住在1、2号房间，共2种住法；综上，合计 2 + 4 + 2 = 8 种住法．4．算式201519992015⨯14-20112015的计算结果是__________．【考点】分数计算【难度】☆☆☆【答案】 503【分析】原式= 20152+ 1999- 2011 ⨯ 4 = 20152- 6045 20152- 2015 ⨯ 32015 ⨯ 4 2015 ⨯ 4 2015 ⨯ 4= 2015 ⨯ 2012 = 503 ．2015 ⨯ 45．哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为______ %．【考点】浓度问题【难度】☆☆☆【答案】11【分析】设普通型“生死水”的浓度为x%，初始重量为100，连续两次加入的艾草浸液和⎧ x =9%⎧100 x - 9 a = 900⎪ 100 +a ⇒ x =11⎪ x + a= 23% ⎩100 x+ 54 a= 2300⎪⎩100 + 2a 综上，普通“生死水”的浓度为11%．二、填空题Ⅱ题（每小题 10 分，共 50分）时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了 3 句话（如下）．甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了 A 、B 、C、D 道题，那么四位数 ABCD =__________．【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆☆【答案】1203【分析】全对的人不会说自己对的题少于 3 ，故只有乙、丁可能全对．若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的“丁对了2道”是假话相矛盾；则丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第二名，又由丁的“甲考得不如乙”能知道第二名是乙，故丙全错，甲只有“丙考得不如丁”是真话，排名是丁、乙、甲、丙，即 ABCD =1203．7．右边算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果二零一五=2015，且两位数数学是质数，那么四位数数学花园= _________．二零一五=数学+花园⨯探⨯秘【考点】数字谜【难度】☆☆☆☆【答案】 8369【分析】数学中至多有 3 , 6 , 9 中的一个，则“花”、“园”、“探”、“秘”中至少有 3 , 6 , 9 中的两个，若两个都在“花园”中，则花园⨯探⨯秘=2015-47=1968是3的倍数，若有一个在“探”和“秘”中，花园⨯探⨯秘也是3的倍数，由此可见，“数学”与 2015 对 3 同余，即除以 3 余 2 ，作为质数，“数学”只能是47 , 83 和89；若数学= 37 ，则花园⨯探⨯秘=2015-47=1968 ，而1968=24⨯3⨯41，“花园”只能是 41 或82，均不符合要求；若数学= 83 ，则花园⨯探⨯秘=2015-83=1932，而1932 = 2 2⨯3 ⨯ 4 ⨯23 ，当“花综上，数学花园= 8369 ．8．右图的图案由1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（ 2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）【考点】几何【难度】☆☆☆☆☆【答案】 3096【分析】如下图，设小直角三角形的斜边长为 a ，大正方形的边长为 b ，则根据勾股定理a 2+ b2=1202=14400，b2表示大正方形的面积，a2表示4个小直角三角形的面积，恰好构成下图的总面积，即总面积为14400 ，则阴影面积为14400 - 3.14 ⨯ 602= 3096 ．9．如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2=4+5．如果相邻的两个自然数都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是________．【考点】数论，弃九法【难度】☆☆☆【答案】1099【分析】两位数没有符合要求的数， 99 、100亦不符合，故知至少为三位数．两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进1 次位（数字和加1 再减9），即这两个数是 ab9和a(b+1)0，必有a+b=9和a=b+1，故这两个数为549和550 ． 549 + 550 =1099 ．10．一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；如果第1 小时、第 2 小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时 2 千米；那么轮船往返A、B两港共行_______千米．【考点】行程，比例行程【难度】☆☆☆【答案】102【分析】第一小时若已经有逆水段，则第二小时、第三小时路程相同，不可能出现等差数列，故第一小时全顺水，同理第三小时全逆水，第二小时既有顺水又有逆水．且若路程是等差数列，第二小时必为半小时顺水半小时逆水．故顺水1.5 小时的路程恰好是逆水1.7 小时的路程，V顺：V逆=17 :15 ，且V顺- V逆=2⨯2=4千米每时，故V顺=34千米每时，往返共行34⨯1.5⨯2=102千米．三、填空题Ⅲ题（每小题 12 分，共 60 分）11．三位数abc除以它的各位数字和的余数是1 ，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1 ．如果不同的字母代表不同的数字，且a>c，那么abc= _______．【考点】数论，位值原理，整除分析【难度】☆☆☆【答案】 452【分析】 abc - cba =99(a - c)，故(a +b + c)⎡99(a - c)⎤，但(a + b + c)必定不是3的倍数，⎣⎦否则 abc 是3的倍数，abc÷(a+b+c)的余数必为3的倍数．故(a+b+c)11(a-c)，11是质数，且a+b+c>a-c，故(a+b+c)必为11的倍数．若 a + b + c =11，则 a + c - b =1，b =5，又a、b 、c互不相同，a > c ，故 a =4，c =2，abc=452；若 a + b + c =22，则 a + c - b =12，b =5，又a、b 、c互不相同，a > c ，故 a =9，c =8，但此解并未满足(a+b+c)⎡11(a-c)⎤的要求，故知此种情况无解．⎣⎦综上，本题有唯一答案 452 ．12．在右图的每个方格里填入数字1 ～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ABCDE =_______．【考点】数独【难度】☆☆【答案】 41244【分析】通过百位分析，显然 A =4，进而个位要凑出0必须1+3+6，可知第一行为423516；类似地，第二行第一个数为 2 ，个位5+6+4，215364，B=1 ；第三行第一个数为 3 ，个位 5 + 1 + 2 ， 342651，C= 2 ；第四行第一个数为 5 ，个位 2 + 1 + 3 ， 561432 ，D= 4 ；第五行个位 6+5+4 ，136245 ，E=4；第六行 654123 ．13．某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1 ， 2 ，……，30；他们手中的电影票恰好为某排的1 号，2 号，……，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有________种不同的发放方式．【考点】组合，数论，计数【难度】☆☆☆☆【答案】 48【分析】1 号学生有29人是其倍数，故1 号学生只能拿1 号电影票；2 号学生有14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有6人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；8 号学生必须是 2 号学生（ 2 ）的倍数，也必须是 4 号学生（ 4 ）的倍数，同时有 2人是其倍数，综上， 8 号学生只能拿 8 号电影票；9号学生必须是 3 号学生（ 3 ）的倍数，还不能是 6 ，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学生只能拿 9 号电影票；2 人是其倍数，综上，10号学生只能拿10号电影票；12 号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（ 4 ）的倍数，同时有1人是其倍数，综上，12 号学生只能拿12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；14 号学生必须是 2 号学生（ 2 ）的倍数，也必须是7号学生（7）的倍数，同时有1 人是其倍数，综上，14 号学生只能拿14 号电影票；同时28号学生只能拿28号电影票；15 号学生必须是 3 号学生（ 3 ）的倍数，也必须是 5 号学生（ 5 ）的倍数，同时有1人是其倍数，综上，15 号学生只能拿15 号电影票；同时30号学生只能拿30号电影票；之后的数，[2,9] =18 ，18必拿18，同时是9的倍数的27号只能拿27；20 = [4,5] ，20 必拿 20 ；21 = [3,7] ，21 必拿 21 ；24=[3,8] ，24 必拿 24 ，同时是8的倍数的16号只能拿16 ；28 = [4,7] ，28必拿28；30 = [5,6] ，30必拿30，同时是 5 的倍数的25 号只能拿 25 ．目前还没有确定的数有：11、 22 、13、26、17、19、23、29号．11、 22 互为一组成倍数，13 、26亦互为一组成倍数，有两种拿法：11号拿11， 22 号拿 22 ，13 号拿13 ，26号拿26；或11号拿13 ，22 号拿26，13 号拿11，26号拿22 ．17、19 、23、29是大质数，没有限制，可随意拿，有 A 44= 24 种拿法．故共有 2 ⨯ 24 = 48种拿法．14．图 2 的8⨯8表格中共含有168个如图1 的“ T ”形．现对图 2 中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“ T”形中黑白小方格各2个，则称这个“ T”形为“和谐”的；那么对图 2 的各种染色方案，“和谐”的“ T ”形至多有__________个．【考点】组合，染色问题，构造与论证【难度】☆☆☆☆☆【答案】132【分析】考察每一个“”形，枚举可知，其中的四个“”形最多只有3个“和谐”的（举例：）．在一个8⨯8的方格阵中，共有36个“”形，故知必然至少有 36 个“”形不是“和谐”的．即本题理论最大值为168 - 36 =132 ．下面是一个132 的例子：15．作答要求：（1）请在答题卡第15题的万位＋千位，填涂上你认为本试卷中一道最佳试题的题号；如认为本试卷第 6 题出得最好，那么请在万位填涂“ 0 ”，千位填涂“ 6 ”．（2）请在答题卡第15题的百位，填涂上你认为本试卷整体的难度级别；最简单为“0”，最难为“ 9”，总计十个级别．（3）请在答题卡第15题的十位＋个位，填涂上你认为本试卷中一道最难试题的题号；如认为本试卷第14 题最难，那么请在十位填涂“1 ”，个位填涂“ 4 ”．11 / 11。

2015年迎春杯初赛_5年级试题

2015 年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷 A（测评时间：2014年12月20日8:30—9:30）一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共32 分）1.算式83093020)122014(5-⨯-⨯的计算结果是。

【北京顺天府学叶培臣】2. 数学小组原计划将 72 个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6 人加入小组，这样每个学生比原计划少发了1 个苹果．那么，原来有名学生。

【北京智康教育尹彪】3. 在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是。

【北京学而思培优胡浩】4. 右图六角星的6 个顶点恰好是一个正六边形的6 个顶点。

那么阴影部分面积是空白部分面积的倍。

【北京资优教育科技中心陈平】二．填空题Ⅱ（每小题10 分，共40 分）5. A 和B 是两个非零自然数，A 是B 的24 倍，A 的因数个数是B 的4 倍，那么A 与B 的和最小是。

【北京巨人教育高峻巍】6. 珊珊和希希各有若干张积分卡．珊珊对希希说：“如果你给我3 张，我的张数就是你的3 倍. ”希希对珊珊说：“如果你给我4 张，我的张数就是你的4 倍. ”珊珊对希希说：“如果你给我5 张，我的张数就是你的5 倍. ”这三句话中有一句话是错的。

那么，原来希希有张积分卡。

【北京优才教育饶海波】7.将 1 至8 填入方格中，使得数列□□，9，□□，□□，□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是。

【北京学而思培优胡浩】8.甲、乙、丙三户人家打算订阅报纸，共有 5 种不同的报纸可供选择，已知每户人家都订两份不同的报纸，并且知道这三户人家每两户所订的报纸恰好有一份相同，那么三户人家共有种不同的订阅方式。

【北京高思教育方非】三．填空题Ⅲ（每小题12 分，共48 分）9. 如图，A、B 为圆形轨道一条直径的两个端点。

甲、乙、丙三个微型机器人在环行导轨上同时出发，作匀速圆周运动。

甲、乙从A 出发，丙从B 出发；乙顺时针运动，甲、丙逆时针运动．出发后12秒钟甲到达B，再过9 秒钟甲第一次追上丙时恰好也和乙第一次相遇；那么当丙第一次到达A 后，再过秒钟，乙才第一次到达B。

2020年“春笋杯”数学花园探秘科普活动试卷(五年级初赛b卷)

我们称这种数为“奇妙数”，那么，最小的“奇妙数”是
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2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（五年级初赛 B 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题 1．（8 分）算式 2015×（ + ）的计算结果是 220 ．
【解答】解：2015×（ + ）
＝2015× + ×2015 ＝155+65 ＝220 故答案为：220． 2．（8 分）有一个特殊的计算器，当输入一个数后，计算器先将这个数乘以 3，然后将其结果是数字逆序排列，接着再加 2 后显示最后的结果，小明输入了一个四位数后，显示结果是 2015，那么小明输入的四位数是 1034 ．【解答】解：依题意可知：经过了乘以 3，再逆序排列，再加上 2 得到的数字是 2015．那么要求原来的数字可以逆向思维求解． 2015﹣2＝2013，再逆序变成 3102，再除以 3 得 3102÷3＝1034．故答案为：1034 3．（8 分）一个大于 1 的正整数加 1 能被 2 整除，加 2 能被 3 整除，加 3 能被 4 整除，加 4 能被 5 整除，这个正整数最小是 61 ．【解答】解：根据分析：这个数除以 2，3，4，5 均余 1，那么这个数减去 1 后就能同时被 2，3，4，5 整除； 2，3，4，5 的最小公倍数是 60，则这个数为 60 的倍数加 1．又因为这个数大于 1，所以这个数最小是 61．故答案为：61． 4．（8 分）在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是 118 ．
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【解答】解：依题意可知：
结果的首位是 2，那么在第二个结果中的首位还是 2．
再根据第一个结果中有一个 1，那么就是有和数字 5 相乘以后数字 1 的进位同时十位数字