乘法原理 加法原理 - 学生版
五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)
学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法？【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法？【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站（不包括北京、广州）,从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种？【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和．【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票？【试题来源】【题目】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法？【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种．【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理是数学中常用的计数原理，它们可以帮助我们解决计数问题。
乘法原理是指如果一个事件可以分解为若干个步骤，且每个步骤的选择数目是相互独立的，那么整个事件发生的总数就是这些步骤的选择数目的乘积。
简单来说，乘法原理可以用于计算多个选择的组合情况。
举个例子来说，假设有一家餐厅有3种主菜（牛排、鸡肉、鱼肉）可供选择，每种主菜都有2种口味（烤的、炸的）。
那么，如果要选择一道主菜和口味的组合，根据乘法原理，我们可以计算出总共的组合数为3种主菜选择的乘积，即3 × 2 = 6种
组合。
加法原理是指如果一个事件可以分解为几个互斥的情况，那么整个事件发生的总数就是这些情况的选择数目的和。
简单来说，加法原理可以用于计算多个情况的总和。
举个例子来说，假设要统计某班学生喜欢的体育项目。
如果有
8个学生喜欢篮球，5个学生喜欢足球，3个学生喜欢乒乓球，那么根据加法原理，总共喜欢的体育项目数就是这些情况的选择数目的和，即8 + 5 + 3 = 16个学生喜欢体育。
综上所述，乘法原理和加法原理是解决计数问题时常用的原理。
它们能帮助我们计算出一系列事件或情况的总数，从而更好地分析和理解数学问题。
小升初必考专题加乘原理数学六年级下册(含答案)全国通用
一、乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤(缺一不可)，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，第3步有m 3种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N ＝m 1×m 2×m 3×…×m n 种不同的方法。
二、加法原理：一般地，如果完成一件事有n 类方法(每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情)，第1类有m 1种不同的方法，第2类有m 2种不同的方法，第3类有m 3种不同的方法，……，第n 类有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N ＝m 1＋m 2＋m 3＋…＋m n 种不同的方法。
八字要诀：“加法分类，类类独立”。
“乘法分步，步步相关”。
培养目标：综合运用乘法原理和加法原理。
在分步分析中结合分类讨论，在分类讨论中结合分步分析；明确哪些是分步，哪些是分类。
了解与加、乘原理的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合。
例1一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌号是由1，4，6，7，8五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了。
如果在电脑中随机的输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么，输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是( )(填几分之一)。
知识要点袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有_____种可能。
例3一个七位数，其数码只能是2或3，且没有两个3是相邻的。
请问这样的七位数共有多少个？例4用0～5这六个数字可组成_____个没有重复数字的四位偶数。
例6玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。
这家厂可生产种颜色不同的玩具棒。
小明的妈妈给了小明9块一样的糖，让他在接下来的4天正好吃完，每天至少吃一块，则小明有多少种不同的吃糖方案？测试题1．大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？2．有三个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。
小学奥数基础教程(加法乘法原理)ppt课件
这也叫做加法原理
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例2:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条
路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
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从刚才的例子可以看出： 做一件工作必须分两（或
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
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运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场
那2队有几场呢？注意不重复哦。
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
4+3+2+1＝10（场）
加法原理
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运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不 同的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
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第一步
第三步
百位
十位
个位
小百 小十小个 位 位位 最 最最
2 03
3种2、 3种：余 3、6 下3个
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
注意：整数首位不 能为“0”哟
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练习2： 1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？ 2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤有 2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要吃一 菜一汤又有几种呢？ 3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
乘法原理和加法原理(小学奥数5年级)
加法原理和乘法原理知识方法一、分类计数原理（加法原理）1、完成一件事情，有n类方法，在第1类方法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事有N=m1+m2+……+m n 种不同的方法2、分类计数原理的特点：针对的是“分类”问题，各类方法是相互独立的。
二、分步计数原理（乘法原理）1、完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事有N=m1×m2×……×m n 种不同的方法2、分不计数原理的特点：针对的是“分步”问题，各类方法是相互依存的。
例1：从资阳到成都可乘火车，也可乘汽车，一天中，火车有3列，汽车有12辆，一天中乘坐这些交通工具从资阳到成都有多少种不同的方法？例2：陈老师从资阳到美国，第1天，乘高铁到成都有3辆，次日，从成都乘飞机到美国有5班，陈老师从资阳到美国有多少种不同的乘车方法？变式：一个盒子里装有5个小球。
另一个盒子里装有9个小球。
所有这些小球的颜色各不相同。
（1）从两个盒子中任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒子中各取一个球，有多少种不同的取法？例3：4个数字3、5、6、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？变式：有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数？（每个数字只能用1次）例4、用4种不同颜色给下面的图形涂色。
使相邻两个长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法？变式：在A 、B 、C 、D 四个长方形区域中涂上红黄蓝黑这4种不同颜色，使相邻两个长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法？例5、南京与上海的动车组特快列车，中途只停靠常州，无锡，苏州三个火车站。
共要准备多少种不同的车票？（考虑往返）变式：北京到广州的火车中间要停靠8个大站。
火车站要准备多少种不同的车票？有多少种不同的票价？（考虑往返）练习题1、小军小蓝和小红三个朋友排成一排照相，有多少种不同的排法？2、书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书，如果从中各取一本科技书，一本故事书和一本英语书，那么总共有多少种取法？3、有8、0、2、4、6五个数字，可以组成几个不同的五位数？4、五一前夕，学校举行亲子活动。
小学奥数加法原理乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
(沪教版2022选修二)2022年上海高二数学同步讲义-第1讲 乘法原理和加法原理(学生版)
第1讲 乘法原理和加法原理考点定位精讲讲练一、乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．二、加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有nm 种不同的方法．那末完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．三、加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那末计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那末计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．考点一：乘法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出遨游，约定每【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性.人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那末甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A．29B．23C．14D．12例2．（2022·上海·高三专题练习）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）A．14条 B．12条 C．9条 D．7条例3．（2022·上海·高二专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1535种 D．767种例4.．（2022·上海市七宝中学高二期中）在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每一个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法．例5．（2022·上海市建平中学高二期中）用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（结果用数字作答）例6．（2022·上海·复旦附中高二期中）甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以浮现的不同结果数为___________种.例7．（2022·上海·复旦附中高二期中）360的正约数共有___________个.例8．（2022·上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）270的不同正约数共有___________个.例9．（2022·上海·复旦附中高二期中）2n个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.例10.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．例11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那末函数解析式为2y x=-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个例12.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【巩固训练】1．如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那末不同的安排方法共有种．2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位男生和一位女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ； （3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序罗列 ． 4．7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．5．远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或者三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．6．六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？7．三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一位男歌手,则共有出场方案 种．8．从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x ym n+=中的m和n，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x=<，，且||9}y<内的椭圆个数为（ ）A．43B．72C．86D．909．从集合{4321012345}----，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A．10B．32C．110D．22010．某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A．90个 B．99个 C．100个 D．112个考点二：加法原理例1．（2022·上海·高三专题练习）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那末可以表示的三位数的个数为（ ）A．46B．44C．42D．40例2．（2022·上海·高二专题练习）如图，在某海岸P 的附近有三个岛屿Q ，R ，S ，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不浮现立体交叉形式，则不同的连接方式有（ ）.A．24种 B．20种 C．16种 D．12种例3.（2022·上海·复旦附中高二期中）学校组织春游活动，每一个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.例4．（2022·上海交大附中高二期中）已知在矩形ABCD 中，72AB =，56AD =，若将AB 边72等分，过每一个等分点分别作AD 的平行线，若将AD 边56等分，过每一个等分点分别作AB 的平行线，则这些平行线把整个矩形分成为了边长为1的7256⨯个小正方形，于是，被对角线AC 从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC 上的点）共有______个．例5．（2022·上海徐汇·高二期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________例6.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则nm等于（ ）A.0B.41C.21D.43例7.用100元钱购买2元、4元或者8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?例8.袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有____种可能．【巩固训练】1．从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？2．高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一位学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．3．一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序挨次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着挨次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A．324B．328C．360D．6485．用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．6．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．7．1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?8．2022的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?考点三：综合应用例1.用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）例2.若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那末，小于1000的“可连数”的个数为（ ）232425A．27B．36C．39D．48例3.由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？例4.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或者“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A．2000B．4096C．5904D．8320例5.如图，一环形花坛分成A B C D，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A．96 B．84 C．60 D．48例6.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）例7.分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．例8.某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）例9.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，， 的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．A．72B．108C．144D．192【巩固训练】1．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法．2．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A.12种B. 24种C. 36种D. 48种3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那末不同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．1204．足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那末一个队打14场共得19分的情况有（ ）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市遨游，要求每一个城市有一人遨游，每人只遨游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎遨游，则不同的选择方案共有（ ）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种9876543216．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部份（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部份栽种一种且相邻部份不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）7．如图所示,问从A到D每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)8．球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？一、单选题1．（2022·上海·高二专题练习）从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A．98 B．56 C．84 D．492．（2022·上海·高三专题练习）现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种3．从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A .208B .204 C.200D.196二、填空题4．（2022·上海·高二专题练习）一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．5．（2022·上海·高二专题练习）请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不同的所有四位数奇数，它们分别是______. 6．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都不能在本班监考，则监考的方法数有_______种. 7．（2022·上海·高二专题练习）在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.8．（2022·上海交大附中高三开学考试）如图，将网格中的三条线段沿网格线上、下或者左、右平移，组成一个首尾相连的三角形，若最小的正方形边长为1格，则三条线段一共至少需要挪移__________格.9．（2022·上海·高二专题练习）乘积（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开后共有_____项．10．（2022·上海中学高二阶段练习）将1，2，3填入33 的方格中，要求每行､每列都没有重复数字，如图是其中一种填法，则不同的填写方法共有___________种.11．（2022·上海宝山·高二期末）640的不同正约数共有______个12．（2022·上海·高三专题练习）一个三位数，个位､十位､百位上的数字挨次为x y z ､､，当且仅当y x >且y z >时，称这样的数为“凸数”(如341)，则从集合{}1,2,3,4,5中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答）14．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种． 三、解答题15．（2022·上海市奉贤中学高二期中）现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？ (2)每一个年级选一位组长，有多少种不同的选法？(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？16．在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？17．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？⑤④③②①。
小六数学第6讲：加乘原理(学生版)
第六讲加乘原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。
在每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。
还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。
加法原理：乘法原理：1.加法原理和乘法原理是计数方法中常用的重要原理，在应用时要注意它们的区别。
2.加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
3.乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积。
例1：一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：①从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个盒子内各取一个小球，有多少种不同的取法？例2：从1到399的所有自然数中，不含有数字3的自然数有多少个？例3:用5种颜色给图1的五个区域染色，相邻的区域染不同的颜色，每个区域染一种颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？例4：学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。
（l）要挑选一名男队员和一名女队员组成一对男、女混合双打选手，有多少种不同的搭配方法？（2）该羽毛球队在比赛中获团体总分第一名，学校选一名运动员去领奖，有多少种选法？例5:找出图2中从A点出发，经过C点和D点到B点的最短路线，共有多少条？例6：现有壹元的人民币4张，贰元的人民币2张，伍元的人民币5张，如果从中至少取一张，至多取11张，那么共可以配成多少种不同的钱数？例7:由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为9的没有重复数字的三位数？⑤百位为9的没有重复数字的三位偶数？A1．从0、1、2、3、4这五个数字中任取3个，可以组成______个无重复数字的三位数。
四年级思维拓展-加法原理与乘法原理 (1)
加法原理和乘法原理☜知识要点1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法，这就是加法原理。
2.乘法原理做一件事，完成它需要分成m个步骤，做第一步有a1种不同的方法，做第二步有a2种不同的方法，…，做第n步有a n种不同的方法，那么完成这件事共有：M= a1×a2×…× a n种不同的方法，这就是乘法原理。
3.运用加法原理和乘法原理解题常用的方法：枚举法、分类法、配对法、图表法。
☜精选例题【例1】下图是某街区人行路示意图，从A到D有多少种走法？DA☝思路点拨：从A到D的走法有两类：第一类从A经C到D有3走法，分别经过P，M，N；第二类从A经B到D，有2种走法，分别经过E，F。
两类走法种每种走法都能独立完成从A到D。
☝标准答案：3+2=5（种）答：从A到D有5种走法。
✌活学巧用1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？2. 一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。
若从两个盒子里任取一球，有多少种不同的取法？3.上海去江苏某地，每天有5班火车、3班汽车。
试问：乘坐这些交通工具有多少种不同的走法？4.学校羽毛球队有12名男队员，10名女队员。
现要推选一名运动员去台上领奖，有多少种选法？【例2】学校四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人。
从中任选一人当升旗手，有多少种选法？☝思路点拨：解决这个问题有3类办法，分别从（1）班、（2）班、（3）班男生中选1人。
从四（1）班18名男生中任意选一人有18种选法；同理从四（2）班20名男生中任意选一人有20种选法；从四（3）班16名男生中任意选一人有16种选法；所以根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：☝标准答案：18+20+16=54（种）答：共有54种选法。
四年级 加法原理与乘法原理
加法原理 ：
完成一件工作共有N类不同的方法;在 第一类方法中有m1种不同的方法;在第二 类方法中有m2种不同的方法;……;在第N 类方法中有mn种不同的方法;那么完成这 件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同方法& 秘诀：加法原理就是一步到位．
例2、由甲村去乙村有3条道路;由乙村去丙村有4条道路& 甲村经乙村到丙村共有多少种不同的走法？
第四关：思维碰撞
用印有数字0、2、4、7、8的五张卡片能组成多少不 同的三位数？能组成多少个不同的三位偶数？
解:由乘法原理;共可组成443=48个不同的三位数&而要组成 一个三位偶数;其个位只能取0、2、4、8;而这又受到百位是 否取到2、4、8的影响;因此必须分情况讨论&第一类; 百位 取7没有取到2、4、8;有一种方法；个位取0、2、4、8中的 任意一个;有4种方法；十位取除了百位和个位已用去两张卡 片外的剩余3张卡片中的任意一张;有3种方法；十位取除了 百位和个位已用去两张卡片外的剩余3张卡片中的任意一张; 有3种方法& 由加法原理和乘法原理;共可组成143+333=39个不同的三位 偶数&
3、分步也是进行“不重复、不遗漏”计数的基本方法&分步时要注意 两大要点：一是不同步骤的先后顺序会影响到解题的难易度;要认真思考; 不可随意；二是当某一步中的选取方法受到前一步中的选取方法的影响时; 就必须对前一步进行分类;从而将加法原理与乘法原理结合起来使用&
1第71页;第1、2题 2第73页;第5、6题
使
用
&
小马虎要买一本数学书;一本语文书;一本英语书; 在书店里他发现有4种数学书;3种语文书; 5种英语书可供选择;他有多少种不同的选择方法？
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理◆温故知新：1. 加法原理：如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.2.乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.3.分类是指完成一件事有几类不同的方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理.4.分步是指完成一件事情有几步不同步骤,每一步都必须执行,他们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理.5.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类,而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.6.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论；（2）步骤之间有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,直到最后.7.标数法的运用.◆练一练1.小明去吃午饭,发现附近的中餐厅有9个,西餐厅有3个,日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭,一共有多少种不同的选择？2.小明进入一家中餐厅后,发现主食有3种,热菜有4种.他打算主食和热菜各买一种,一共有多少种不同的买法？3.电影院里有10个空座位,小红和小丽去看电影,每个人坐一个座位,共有多少种不同的坐法？◆例题展示例题1小高一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画,大头要从书架上任意取一本书,有多少种不同的取法？例题2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的编写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同的涂色方法？练习2把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色,每个字母只能涂一种颜色.共有多少种涂色方法？例题3老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法？练习 3 （1）小高在练习本上写出一个加法算式,要求其中一个加数是四位数,另一个加数是两位数,请问小高一共有多少种不同的写法？（2）有6个不同的文具盒,5支不同的铅笔,3支不同的钢笔,2把不同的尺子.若从中各取一个,配成一套学习用具,最多可以配成多少套不同的学习用具.例题4 书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同.请问：（1）如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本,共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法？练习4商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔.铅笔有4种颜色,钢笔有3种颜色,圆珠笔有2种颜色.（1）要买任意一支笔,有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支,有多少种买法？（3）要买两支不同类的比,有多少种买法？◆拓展提高拓展1从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？练习1有两个不同的骰子,每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.任意摆放这两个骰子,如果要求朝上的面所标数字之和为偶数,共有多少种放法？拓展2 在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA练习2 图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA◆思维挑战挑战如图所示,蚂蚁在线段上爬行,只能按照箭头的方向行走.请问：从A点走到B点的不同路线有多少条？◆作业1、题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,要从三种类型的题目中取出一道题目,共有多少种不同的取法？2、传说地球上有7颗不同的龙珠,如果找齐这7颗龙珠,并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠,但是他不知道排列的特定顺序.请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？3、图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书.（1）小莫要去图书馆借1本书,有多少种不同的选择？（2）小莫三种书都要各借一本,有多少种不同的选择？4、萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法？5、图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA。
五年级加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理一、原理描述加法原理：如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例、从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？乘法原理：如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例、用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
三、加法原理和乘法原理的应用例1．从1、2、3、4、5这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例2．从数字1、2、3、4、5中选若干个数字组成一个三位数，可以组成多少个三位数（数字可以重复用）？例3．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？例4．从0、1、2、3、4这五个数字中选3个来组成一个三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？例5．从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？例6．有6个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？例7．A、B、C、D、E 5人排成一排，如果C不站在中间，一共有多少有种不同的排法？例8．（涂色问题）如图，用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、3、4号的长方形，要求任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？例9．成都市的电话号码全是8位数，第一位必须是8，问成都市一共可以有多少个不同的电话号码？五、练习1、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位数？2、用2、4、6、8这四个数字可以组成多少个4位数（数字可以重复用）？3、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的4位偶数（双数）？4、从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有4条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？5、从1到100的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？6、有5个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？7、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不站在最左端并且E不站在最右端，一共有多少有种不同的排法？8、A、B、C、D、E、 5人排成一排，如果A不能站在最左端也不能站在最右端，一共有多少有种不同的排法？9、编号是1、2、3、4的四位同学，坐在编号是1、2、3、4的四个位置上，要求编号和位置要不同（比如1号同学不能坐在1号位置上），一共有多少种坐法？10、用红、黄、蓝三种颜色去涂下面的图形，要求相邻的区域不能同色，一共有多少种涂法？。
排列组合(加法与乘法原理)
第1讲排列组合（加法与乘法原理）1、加法原理：完成一件工作共有N类方法.在第一类方法中有m1种不同地方法，在第二类方法中有m2种不同地方法，……，在第N类方法中有mn种不同地方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法.运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏.要求每一类中地每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务地任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏).合理分类也是运用加法原理解决问题地难点，不同地问题，分类地标准往往不同，需要积累一定地解题经验.2、乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m 1×m2×…×mn种方法.运用乘法原理计数，关键在于合理分步.完成这件工作地N个步骤，各个步骤之间是相互联系地，任何一步地一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此工作地方法也不同.运用两个原理解决地都是比较复杂地计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题.计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理.灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂地计数问题.例1：（1）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中取一本，共有多少种不同地取法？（2）教室图书角放有4种不同地故事书，有7种不同地漫画书，从中各取一本，共有多少种不同地取法？练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同地走法？（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤.他要各买一样，共有多少种不同地买法？例2：用1角、2角和5角地三种人民币（每种地张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g地砝码各一个，能称出多少种不同地重量？例3：各数位地数字之和是24地三位数共有多少个？练习：在所有四位数中,各位上地数之和等于34地数有种.例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同地四位数；（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同地四位数.练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位数？（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同地四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过.问：这只甲虫最多有几种不同地走法？练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近地道路有几条？（2）如果沿图中地线段，以最短地路程，从A点出发到B点，共有多少种不同地走法？巩固练习：1、学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种.2：学生饭堂有主食3种，副食有6种.从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种.3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法.4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法.5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.6：小红有不同地上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同地穿着方法？7.数字和是4地三位数有个.8：小芳要买数学、语文、外语地参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同地选择方法？9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.10.“IMO”是国际数学奥林匹克地缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色地笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配地“IMO”.11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色地小旗各取一款，有（）不同地取法.12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同地进出路线.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.Users may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bear legal liability such as copyright.。
四年级加法原理与乘法原理
加法原理和乘法原理是数学中的两个基本原理，也是四年级数学学习中的重点内容。
在接下来的文章中，我将详细介绍加法原理和乘法原理，并且给出一些实际问题的解决方法。
一、加法原理加法原理是指在进行加法运算时，两个数相加所得的和不受数的顺序和加数的分组方式的影响，即a+b=b+a。
在解决实际问题时，可以运用加法原理来解决一些计数问题。
例子：小明有10块钱，他想买一本书，书的价格有5元和8元两种，那么小明一共有多少种买书的选择？解法：我们可以使用加法原理来解决这个问题。
小明可以选择花5块钱买书，也可以选择花8块钱买书。
所以小明一共有2种买书的选择。
二、乘法原理乘法原理是指在进行乘法运算时，将两个数相乘所得的积不受数的顺序和因数的分组方式的影响，即a×b=b×a。
在解决实际问题时，可以运用乘法原理来解决一些排列组合的问题。
例子：小明有3种上衣和2种裤子，那么小明一共有多少种搭配的选择？解法：我们可以使用乘法原理来解决这个问题。
小明可以选择第一种上衣（3种）搭配第一种裤子（2种），也可以选择第一种上衣搭配第二种裤子，以此类推。
所以小明一共有3×2=6种搭配的选择。
综合运用加法原理和乘法原理：有时候，解决问题需要同时使用加法原理和乘法原理。
例子：商店有3种颜色的衬衫和2种款式的裤子，如果小红想买一套搭配，那么小红一共有多少种搭配的选择？解法：我们可以使用乘法原理来解决这个问题。
小红可以选择第一种衬衫（3种）和第一种裤子（2种）组成一套搭配，也可以选择第一种衬衫搭配第二种裤子，以此类推。
所以小红一共有3×2=6种搭配的选择。
在以上的例子中，我们使用了乘法原理计算小红的搭配方式的总数。
而如果我们要计算小明和小红一共有多少种搭配方式，那么我们需要通过加法原理将两个人的搭配方式的总数相加。
加法原理和乘法原理是数学中非常基础但非常重要的原理。
掌握了这两个原理，我们可以更好地解决一些计数和排列组合的问题，为数学学习打下坚实的基础。
小学四年级数学：加法乘法原理讲义
小学四年级数学：加法乘法原理一、什么是加法原理？完成一件事情，可以有n类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法；在第二类方法中有m2种不同的方法；..........；在第n类方法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1+m2+........+m n种不同的方法。
这就是加法原理。
要点：①每一类方法是完全独立；②每类方法之间互不相干；③每类方法都可以单独完成这件事情。
1、小明要去旅游，现在有武当山，华山，黄山三个风景区。
小明可以选择去1个景区，也可以选择去2个景区，当然也可以选择去3个景区。
问小明要做一个选择，小明一共有多少种选择呢？2、现在有1、2、3、4四个数字，问可以组成多少个不含重复数字的数？3、数字和是4的四位数有多少个？4、1到20中，每次取2个不同的自然数相加，和大于20的取法有多少种？5、用20元钱购买1元，2元或者4元的练习本若干册，没有剩余的钱。
一共有多少种买法？6、设有长度为1、2、3、4......、9的线段若干条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，一共有多少种不同的取法？规定线段除了端点外不可以重叠，线段也不能折断，弯折。
7、某人射击10枪，命中了5枪，其中刚好4枪是连在一起的，问一共有多少种不同的情况？二、什么是乘法原理？完成一件事情，需要n个步骤。
在第一步中有m1种不同的方法；在第二步中有m2种不同的方法；..........；在第n步中有m n种不同的方法。
那么完成这件事情一共有：m1×m2×........×m n种不同的方法。
要点：①每一步都不是单独的；②几个步骤相辅相成；③几个步骤一起做完才能做完这件事情。
1、现在小明早上起来需要准备一套文具。
包含1个文具盒，1支钢笔，1支铅笔，1块橡皮，1把尺子。
已知，文具盒有5个不同的，10支钢笔，铅笔有4支不同的，橡皮有4块不同的，尺子有10把不同的，问小明选择一套文具有多少种选法？2、周末，小熊同学要去爸爸单位体验上班生活。
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理1、理解加法原理和乘法原理；2、解决具体的加乘原理的题目加法原理和乘法原理【知识导入 1】我们先来看这样一些问题：问题1：从西安到北京，每天有3 个航班的飞机，有4 个班次的火车，有两个班次的汽车.那末，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？问题2：用一个大写英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的坐位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题3：一个学生从3 本不同的物理资料、4 本不同的英语资料、6 本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？【提炼特点】(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类；(2)每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。
【抽象概况】分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1 类办法中有m 种不同的方法，在第2 类办法中有1m 种不同的方法……在第 n 类办法中有m 种不同的方法.那末完成这件事共有2 nN = m + m + . . . + m1 2 n种不同的方法.注意：○1 这个原理也称为“加法原理”；分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例题学习【例 1】用 1 角、 2 角和 5 角的三种人民币(每种的张数没有限制)组成 1 元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成 1 元，有 3 种方法： 10 张 1 角； 5 张 2 角； 2 张 5 角。
②取两种人民币组成 1 元，有 5 种方法： 1 张 5 角和 5 张 1 角；一张 2 角和8 张 1 角； 2 张 2 角和 6 张 1 角； 3 张 2 角和 4 张 1 角； 4 张 2 角和 2 张 1 角。
③取三种人民币组成 1 元，有 2 种方法： 1 张 5 角、 1 张 2 角和 3 张 1 角的； 1 张 5 角、 2 张 2 角和 1 张 1 角的。
加法原理、乘法原理
加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？[答疑编号5721040101]1【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数2比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？3[答疑编号5721040102]【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.[答疑编号5721040103]【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.[答疑编号5721040104]【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数45字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？[答疑编号5721040105]【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例1.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.[答疑编号5721040201]【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：6第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例2.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?[答疑编号5721040202]【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例3.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？[答疑编号5721040203]【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，71和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例4.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？[答疑编号5721040204]【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；8第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例5.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？[答疑编号5721040205]【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.9另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例6. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？[答疑编号5721040206]【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B 进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染10色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E 同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行11染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.例7.如果一个数与11作竖式乘法的过程中不需要进位，那么就称这个数是“好数”.例如，11、131和142就都是“好数”，而65、78和75都不是“好数”.那么小于300的三位数中共有________个“好数”.[答疑编号5721040207]【解答】首先看首位数字是1的“好数”，其十位数字不能是9.在十位数字是8的“好数”中，只有180和181；在十位数字是7的“好数”中，只有170，171和172这3个……在十位数字是0的“好数”中，有100，101……109这10个.因此首位数字是1的“好数”有2＋3＋……＋10=54个.同样方法，可以求出首位数字是2的“好数”有3＋4＋……＋10=54个.因此，小于300的“好数”有54+52=106个.12。
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第九讲乘法原理
在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．
例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：
第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：
注意到 3×1=3．
如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：
共有六种走法，注意到3×2=6．
在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．
在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．
一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有
N=m1×m2×…×m n种不同的方法．
这就是乘法原理．
例1某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
例2右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？
例3书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？
例4王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？
例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：
①可组成多少个不相等的三位数？
②可组成多少个没有重复数字的三位数？
例6由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
例7右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？
例8现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？
习题九
1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4
条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？
2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？
3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少
个不同的减法算式？
4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？
5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个
①三位数？
②三位偶数？
③没有重复数字的三位偶数？
④百位为8的没有重复数字的三位数？
⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？
6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？
习题九解答
1．3×2×4=24（种）．
2．1×4×3=12（个）．
3．90×9=810（个）．
4．4×4×3×2×1=96（种）．
5．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；
③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；
⑤1×3×6=18（个）．
6．9×10×10×10×10×10=900000（部）．
第十讲加法原理
生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．
例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？
分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有
N=m1+m2+…+mk
种不同的方法．
这就是加法原理．
例1学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．
问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．
事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．
例3如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
例4如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？
例5有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
例6从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
例7如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？
习题十
1．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？
2．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？
3．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？
4．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？
5．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？
6．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
习题十解答
1．3×3+2×4=17（种）．
2．6+7+15+21+6×7=91（种）．
提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．
3．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．
4．9+180+3=192（个）．
5．8+8×8+3×8×8=264（个）．
6．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．。