高阶微分方程小结

第十二章
高阶微分方程小结
一 基本要求
1. 了解特殊高阶微分方程的降阶法： y
( n)
f ( x )，y f ( x , y )，y f ( y , y)
2. 理解二阶线性微分方程解的结构； 4. 掌握自由项为 f ( x ) Pm ( x )e
x
x
3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
2 p( x )2 x 0, 解 (1)由题设可得： 2 1 p ( x )( ) f ( x ), 3 2 x x 解此方程组，得 1 3 p( x ) , f ( x ) 3 . x x
1 3 (2) 原方程为 y y 3 . x x 2 显见 y1 1, y2 x 是原方程对应的 齐次方程的两个线性无关的特解， 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x
例3 试确定以 y sin 2 x 为特解的二阶常系数齐次线性方程. 解 由y sin2 x为一个特解,可知r1 2i为特征根.
由于复根总是成对出现的,所以r2 2i 也是特征根， 因此特征方程为 r 2i r 2i 0
从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为
待 特征方程及其根 定 对应的通解形式 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
变量代换
特解形式
1.可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
特点
解法 接连积分n次,得通解．
(2) y f ( x , y )型 不显含未知函数 y .
* * 1 * 2
Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
由
1 1 4a ， 1 a ， * y1 x; 2 解得 8 8 b 0， 4b 0，
* 2
(2) 设 y x(c cos 2 x d sin2 x), * 则 ( y2 ) (c 2dx)cos2 x (d 2cx)sin2 x,
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2)
定理3 设y*是(2)的一个特解, Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y
*
是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解 （ C1 , C 2 是常数）. 解的叠加 定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个
线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是 方程(1)的通解.
y
(n)
P1 y
( n 1)
Pn 1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1 r n 1 Pn 1 r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
复根 j
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
通解的表达式
2
特征根的情况
实根 r 1 实根 r 1 复根 r
r2 r2
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x rx y (C1 C 2 x )e y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
推广： n阶常系数齐次线性方程解法
即 r 40
2
y 4 y 0
1 例4 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 2 解 特征方程 r 4 0, 特征根 r1, 2 2i , 对应的齐次方程的通解为
设原方程的特解为 y y y . * * * (1) 设 y1 ax b, 则 ( y1 ) a, ( y1 ) 0, 1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
dp 解法 令 y P ( x ), y P , dx (3) y f ( y , y ) 型 不显含自变量 x . dp 解法 令 y P ( x ), y P , dy
2. 线性微分方程解的结构 (1) 二阶齐次方程解的结构: 形如 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
和 f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ) 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式．
二
一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程
内容提要
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
xf ( x ) f ( x ) 0 求解初值问题 f (1) 1, f (1) 1 dz 令 z f ( x ), 方程变为 x z, dx 解之，得z C1 x, 由初始条件，得C1 1,
于是 z x，即 f ( x ) x 1 1 2 从而 f ( x ) x C 2 由初始条件，得C 2 , 2 2 1 2 因此，所求函数为 f ( x ) x 1 2
( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
k 1 [( C C x C x ) cos x 若是k 重共轭 0 1 k 1
4.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
Biblioteka Baidu
y py qy f ( x )
通解

y Y y
0 不是特征根 k 1 是特征单根 2 是特征重根
y py qy f ( x )
(2) f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x 型
设特解的形式
x
y x e [ R ( x )cos x R ( x )sin x ],

其中Y 是对应齐次方程的通解， y 是非齐次的特解 .
用待定系数法求特解 y

y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e Pm ( x ) 型
k x
x
设特解形式 y x e Qm ( x ) ,
其中Qm ( x)是与Pm ( x)同次的待定多项式.

k x
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m
(1) m (2) m
(2) m
(m max{l , n})
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
三 问题与思考
问题1 设线性无关函数y1 , y2 , y3都是 y p( x ) y q( x ) y f ( x )
由解的结构定理得方程的通解为
1 y C1 C 2 x . x
2
问题2. 以
y1 e , y2 xe
x
x
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
y 2 y y 0
x
答：正确.
y1 e , y2 xe
2
2
x
特征根为r1 r2 1
(r 1) 0 即r 2r 1 0, y 2 y y 0
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 例5 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ， x 2 对应的齐次方程有一特解为 x ，试求： (1) p( x ), f ( x ) 的表达式； (2) 此方程的通解 .
的特解,那么 y y 就是原方程的特解.
* 1 * 2
3. 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
微分方程
特征方程为
y py qy 0
r pr q 0
四
典型题目
例2 设连续函数 f ( x )满足 x f (t ) f ( x ) 1 x 2 dt , 求f ( x ). 1 t 右端积分可导. 解 f ( x )连续， x x f (t ) f (t ) 积分变形为 x 2 dt x dt 2 1 1 t t x f (t ) f (t ) 方程两边求导 f ( x ) 1 2 dt x 2 t x 两边再求导，得 xf ( x ) f ( x ) 0 f (1) 1 由原方程和(1)式,得初始条件 f (1) 1
叠加
几个函数之和, 如 而 y 与 y 分别是方程,
* 1 * 2
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
的解.C1 , C 2为任意常数，则该方程的通解是 A. C1 y1 C 2 y2 C 3 y3 ; 答：选择C
B. C. D.
C1 y1 C 2 y2 C1 C 2 y3 ;
C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3 ; C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3
2 1 y 例1 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , 则y P , 代入方程，得 dy 2 dP 1 P 2 P , 解得， 1 P C1 y, dy 2y dy P C1 y 1, 即 C1 y 1, dx 2 故方程的通解为 C1 y 1 x C 2 . C1
( y ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
* 2
1 代入 y 4 y cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x , 2 1 c 0， 4d ， 1 * 2 即 由 1 y2 8 x sin 2 x; d ， 4c 0， 8