高阶微分方程小结
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分中重要的研究对象。
它的研究内容涉及到高等数学、物理学、工程学等学科领域。
在这篇文章中，我们将对高阶微分方程的定义、求解方法及其应用进行全面介绍。
一、高阶微分方程的定义高阶微分方程是指包含导数的方程中，导数的阶数高于一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(x\) 是自变量，\(y = y(x)\) 是因变量，\(y', y'', ..., y^{(n)}\) 分别表示\(y\) 相对于\(x\) 的各阶导数。
二、高阶微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的自变量和因变量分别放在方程两侧，并进行积分求解的方法。
这种方法适用于一些具有特殊形式的高阶微分方程。
2. 常系数线性微分方程的特征方程法对于常系数线性微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先，假设原微分方程的解为指数函数形式，然后将其代入方程中，得到一个关于未知常数的方程，通过求解这个特征方程即可得到原方程的通解。
3. 常数变易法常数变易法是指假设微分方程的特解形式为常数乘以一个已知的函数形式。
通过求解这个常数变易方程，可以得到特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
4. 线性非齐次微分方程的待定系数法对于线性非齐次微分方程，可以通过待定系数法求解。
假设非齐次方程的解为线性组合形式，将其代入方程中，得到关于未知系数的代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到方程的特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、高阶微分方程的应用高阶微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用示例：1. 振动方程振动方程描述了各种振动系统的运动规律。
例如，弹簧振子的运动可以由高阶微分方程进行建模。
2. 电路方程电路方程可以描述电子电路中电流和电压的关系。
高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
高阶微分方程的通解
高阶微分方程的通解
高阶微分方程的概念：
高阶微分方程是指求解变量未知函数y的多个（大于2个）自变量的微分阶数都大于1的微分方程。
这样的方程比一般的普通微分方程难度更大。
高阶微分方程的通解：
（1）可降低阶的方法：当方程中出现多个高阶（大于2阶）分量时，可以采用先求某一路分量的函数及其导数，再求其它分量的方法，即可降低方程的阶数。
（2）变量替换法：例如将方程中的原函数、导数等分量通过某种变换替换成新的分量，有时可以使方程的表示更加简单，更易于求解。
（3）分部积分法：当方程表达式比较复杂时，可以采用分部积分法，即分几个之间使得每计段都存在一个解。
（4）其它方法：此外，还可以采用参数变换、偶解等方法对高阶微分方程进行求解。
总结：
高阶微分方程相对于普通微分方程难度更大，其常用的通解技术主要有可降低阶的方法、变量替换法、分部积分法以及参数变换、偶解法等技术。
最终由于高阶微分方程的复杂性，合理运用多种技术可以综合考虑最终求出通解。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用和重要性。
本文将对高阶微分方程的概念、求解方法和应用进行介绍。
1.概念高阶微分方程是指方程中的未知函数的最高阶导数大于等于2的微分方程。
一般形式为：$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$，其中$y$是未知函数，$y^{(n)}$表示它的$n$阶导数，$F$是一个关于$x,y,y',y'',...,y^{(n)}$的函数。
高阶微分方程可以是线性或非线性的，可以是常系数或变系数的。
2.求解方法求解高阶微分方程的方法多种多样，常见的方法有特征根法、常数变易法、级数法等。
下面以特征根法为例进行说明。
特征根法适用于线性常系数高阶齐次微分方程。
首先假设$y=e^{mx}$是方程的一个解，代入原方程得到特征方程$F(m)=0$，然后求解特征方程，得到特征根$r_1,r_2,...,r_n$。
根据特征根的性质，可得到方程的通解形式$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}$，其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
通过给定的初始条件，可以确定常数的值，从而得到特定的解。
除了特征根法，我们还可以使用常数变易法和级数法等方法来求解高阶微分方程。
不同的方程形式和初始条件可能会适合不同的方法，选择合适的方法是解决高阶微分方程的关键。
3.应用高阶微分方程在许多科学和工程问题中都有着广泛应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以通过二阶微分方程来描述物体的运动。
在电路分析中，电感电容电阻（RLC）电路可以通过二阶微分方程来描述电压和电流的变化。
在工程中，高阶微分方程经常出现在振动系统、控制系统和信号处理等领域。
总结高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
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PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
微分方程解法小结
微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。
解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。
令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。
4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。
二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。
(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。
)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。
多元微积分、微分方程小结
多元函数及多元微分学一 内容1．主要概念及其关系：●主要概念：多元函数，函数的极限，函数在一点连续，偏导数，可微，方向导数，梯度向量 设 2),(),,(R D y x y x f ⊂∈ 二重极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00累次极限：),(lim lim 00y x f x x y y →→，),(lim lim 00y x f y y x x →→连续：),(),(l i m00),(),(00y x f y x f y x y x =→偏导数：xy x f y x x f xf x M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim00000yy x f y y x f yf y M ∆-∆+=∂∂→∆),(),(l i m 000000可微： )(ρo y b x a f +∆+∆=∆，其中 22)()(y x ∆+∆=ρ全微分 bdy adx df +=，其中 x f a ∂∂=，yfb ∂∂= 方向导数：tM f tv M f vft M )()(lim000-+=∂∂→， T v v v ),(21=是单位向量设),,(z y x f 可微，单位向量 T v )cos ,cos ,(cos γβα=γβαcos cos cos zf y f x f v f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 梯度向量： 设),(y x f 可微，0),(),(00M Tyf x f y x gradf ∂∂∂∂=●各概念之间的关系：逻辑关系，数量关系。
2．微分法：复合函数微分法，隐函数微分法 3．二元函数的泰勒公式4．曲面的切平面，法向量；曲线的切向量，法平面。
5．极值与条件极值二 典型问题1． 研究某个函数在某点的可微性，连续性等。
2． 求初等函数的导数，微分，方向导数，梯度，泰勒展开3． 抽象函数求导数：复合函数微分法，隐函数微分法的运用。
例如 求 22,dxu d dx du ，其中 0),,(,0),,(),,,(===z y x h z y x g z y x f u4．求曲面的切平面，法向量；曲线的切向量，法平面，以及相关问题。
高阶常微分方程
高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中含有高于一阶导数的微分项的微分方程。
在数学和物理学的研究中，高阶常微分方程是一种常见且重要的方程形式。
本文将探讨高阶常微分方程的定义、性质以及解法方法，以及一些实际应用。
高阶常微分方程的定义高阶常微分方程是指方程中包含有高于一阶导数的微分项的方程。
一般形式可以写为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y 是自变量 x 的函数，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y'' 是 y 对 x的二阶导数，以此类推，y^(n) 是 y 对 x 的 n 次导数。
而 F 是一个关于x、y、y'、y''、...、y^(n) 的函数。
这样的方程被称为 n 阶常微分方程。
高阶常微分方程的性质高阶常微分方程具有以下性质：1. 线性性质：n 阶常微分方程可以表示为 y^(n) + p_1(x) y^(n-1) + ... + p_n(x) y = f(x)，其中 p_1(x)、...、p_n(x)、f(x) 是已知函数。
这种形式的方程是线性的，可以使用线性微分方程的解法。
2. 齐次性质：如果 f(x) = 0，则方程为齐次的。
齐次方程的解集合是线性空间，且满足加法封闭性和数乘封闭性。
高阶常微分方程的解法方法高阶常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 常数变易法：假设方程的解具有特定的形式，然后将其代入方程中，通过解求解常数的值。
2. 初值问题法：给出方程的初值条件，通过代入初值条件解方程，确定特定的解。
3. 特殊函数法：对于某些特殊的高阶常微分方程，我们可以通过特殊函数来求解，如指数函数、三角函数和伽马函数等。
应用实例高阶常微分方程在物理学、生物学、经济学等领域有着广泛的应用。
以下是一些实例：1. 天体运动模型：高阶常微分方程可以用来描述天体的运动模型，如行星绕太阳的运动、人造卫星的轨道等。
高阶常微分方程知识小结
一般线性微分方程理论n阶标量的实系数线性微分方程,在变换下，化为n维矢量x的微分方程,其中是n阶实连续函数方阵，, ,;的其余元素全为零. 是实连续函数矢量.因此，利用n维矢量的线性方程一般理论给出标量的n阶线性微分方程的相应结论.(存在唯一性)定理1若, , 和在上连续，则对任何及n个数，n阶方程存在唯一满足初始条件，, 的解，它在区间上有定义.一、齐线性方程1．定理2(叠加原理) 如果, , 为齐次方程的k个解，则对任给的常数, ，线性组合也是齐次方程的解.2. 对于定义在区间上的n个函数，. 如果存在n个不全为零的常数,, 使得在上它们的线性组合，则称这n个函数在上线性相关，否则就称它们线性无关.3.设, , 是n个在上次连续可微的函数，那么行列式，(,.)称为这些函数的朗斯基行列式 (Wronskian),朗斯基行列式的值记作.定理3如果函数, . 在上线性相关，则在上它们的Wronskian 的值.定理4如果n阶齐次方程的解函数, , 在上线性无关，则它们的 Wronskian 在上无零点. 且满足关系式:.定理5n阶线性齐次方程存在n个实的线性无关解.定理6如果,, 是n个实的线性无关解，则它的通解为线性组合，其中, , 为任意实常数；而且这个通解包含了一切解.推论:n阶线性齐次方程的线性无关解的最大个数为n. 于是n阶线性齐次方程的解集构成一个n维实线性空间. 我们称任何n个实的线性无关解为它的一个基本解组. 二、非齐线性方程命题 1若为非齐次方程的解，为对应的齐次方程的解，则为非齐次方程的解.命题 2若和都是同一个非齐次方程的解，则差为对应的齐次方程的解.(非齐次方程的通解结构)定理设为非齐次线性方程的任一特解, 设,为对应的齐次方程的基本解组，则非齐次方程的通解为, 其中, 为任意常数. 且该通解包含了方程的一切解.常数变易公式: 设已知非齐次方程所对应的齐次方程的基本解为, ,则非齐次方程的一个特解可以表示为积分:，其中常(实)系数线性方程一、常(实)系数线性方程讨论n阶常(实)系数线性齐次微分方程.定义:记的多项式, 称为方程的特征多项式，特征多项式的根称为方程的特征值. 设, ，为的n个特征值(相同的根重复计算)，则.定理:方程的基本解组由以下n个解组成:若是特征多项式的k重根, 则：当时, 有形如,, , 的个解.当时, 有形如, , 的k个解.二、欧拉方程所谓 Euler 方程就是如下的线性齐次方程,其中均为实常数.解法是: 写出如下关于的n次方程(称为 Euler 方程的指数方程 (indicial equation):.求出它的所有的根, 若是k重虚根, 则有个解,, ; .若是k重实根, 则有k个解, ;这样一共可得n个线性无关实解, 即基本解组.(注意, 若时有意义, 则可将解中的绝对值号去掉, 对也一样).三、常系数线性非奇次方程求特解的比较系数法对于一般的常系数线性非齐次方程, 我们都可以用常数变易公式求特解. 但是对于一类特殊的非齐次项, 有简单的特殊方法求特解.这类非齐次项有如下一般形式:,其中和均为t的实系数多项式，是实常数. 由 Euler 公式：,这种非齐次项总可以写成某个复值函数的实部，其中，是t的复系数多项式. 实际上，.由于我们有定理：若复值函数是实常系数线性非齐次微分方程的解，则复值函数的实部是方程的解.因此，我们可以只考虑非齐次项为如下的拟多项式，(其中，是t的m次多项式)的方程.解法: 设为t的系数待定的m次多项式，若为(它也称为非齐次方程的特征方程)的k重根, 则特解有形式,(若不是特征方程的根，取, 即, 若,则.将代入方程,,两边消去得,通过比较方程两边多项式同次幂的系数求出待定的系数即得特解z. 当是虚数时,是原方程的一个特解; 当是实数时, 取z为x即可. 这就是所谓的比较系数法.高阶方程的降阶法一般非线性高阶方程或变系数线性方程都没有通用的解法，但设法降低其阶数却是一个基本原则；因为降低方程的阶数即可降低解题的难度；特别对于二阶线性变系数方程，若能找出其对应齐次方程的一个特解，则可将它降低一阶，从而求出对应齐次方程的通解，然后利用常数变易法而得到原方程的通解.1. n阶方程中不显含的情形考虑形为的方程. 若令，则降为关于y的阶方程.于是若求出通解,则经过k次积分即得通解,其中为任意常数.2. 不显含自变量t的方程考虑方程. 若以x为自变量，令为新的未知函数, 则可将它降低一阶. 实际上，这时, ,,….利用数学归纳法可以证明，可用来表示. 将这些表达式代入可得,从而把方程降低了一阶.3. 高阶齐次方程的降阶先考虑二阶变系数线性齐次方程,如果知道它的一个解，作未知函数的变换, 即变成关于z的一阶方程,由此解得,其中为任意常数. 于是原方程的通解为.因为容易看出与是两个线性无关解.一般来说，只要知道关于x的n阶线性齐次方程的k个线性无关解，.令之后即可把原方程化成一个关于z的阶的线性齐次方程, 若, 则, ,是这个z的齐次方程的个已知的线性无关解(本讲复习思考题 3). 用同样的方法, 作未知函数的变换可以把它变成一个阶的关于u的齐次方程；依次类推, 最后可得一个阶的线性齐次方程.。
高阶微分方程
高阶微分方程微分方程是微积分的基础，微积分是一门涉及大量微分方程、以及它们的应用的学科。
随着经济和社会的不断发展，人类对世界规律的认识也不断深入，人们越来越需要将定量的、多样化的信息表达成统一的、多样化的形式，这就使得越来越多的问题可以用微积分表达。
人们为了把自然界中的某些现象和变化用数学形式描述出来，需要解决更加复杂的数学模型，因此，研究微分方程必将推动对数学及应用数学的发展。
因此，研究高阶微分方程具有重要的理论价值和实际意义。
1.1高阶微分方程的主要特点高阶微分方程的特征在于其对数与矩阵都具有非负性。
所谓“非负性”，是指该函数的绝对值不等于零。
1.2高阶微分方程的研究进展高阶微分方程的研究领域较广，而且每年都有一些新的研究进展。
但由于各种原因，其中有一些还没有引起足够的关注。
下面介绍几个主要的研究领域：①几何分析方法：在不定式的数值求解过程中，人们发现方程的解空间和原问题的解空间之间存在许多共同的性质，从而导致用不定式的方法解决原来不能求解的微分方程问题。
如若按照微分方程对初值的要求来确定解空间的形状，则必然遇到困难，最终发展成利用几何方法对微分方程作数学上的处理。
微分方程的几何理论目前仍是微分方程数值解法的一个重要组成部分。
②不定式方法：不定式方法的核心思想是寻找解微分方程的初值问题，不定式方法的实质就是将微分方程转化为对数与矩阵都可计算的方程。
虽然这些解往往比原方程简单，但因方程的系数全部取实数，且均满足相应的边界条件，故不定式方法无法像常微分方程的解法那样直接解出初值问题。
尽管不定式方法具有一定的优越性，但是由于不定式方法的局限性，使其很难取代解线性方程组的其他方法。
③随机微分方程方法：随机微分方程方法的基本思想是将含有随机微分项的微分方程通过离散化，变换为其他类型的方程，然后再对其中的随机项作定量分析，从而得到所求解的问题。
高阶微分方程有很多有趣的应用，但目前都还处于探索阶段，人们还没有完全揭开高阶微分方程神秘的面纱。
高阶常系数线性微分方程
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
2.已知y1 e , y2 e 是二阶常系数线性齐次 方程
r1 x r2 x
的解，如何求微分方程 ？
特征根为 特征方程:
则齐次方程为 :
3.已知y xe 是二阶常系数线性齐次 方程的解，
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数)
三、二阶常系数齐次线性微分方程
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r pr q ) e
2
rx
0 r 2 pr q 0
§7.4 高阶线性微分方程
一、二阶微分方程：
d2y dy P ( x ) Q( x ) y f ( x ) 2 dx dx
当 f ( x ) 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f ( x ) 0时，二阶线性非齐次微分方程
其中，P(x)、Q(x)、f(x)为x的已知函数；
当P(x)、Q(x)为常数时，称为常系数二阶线性 微分方程；否则为变系数二阶线性微分方程。
r1 x
3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
高阶微分方程的求解
微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的变化关系。
在实际问题中，许多物理、化学、生物等领域的问题都可以转化为微分方程来描述。
而高阶微分方程是其中一类更加复杂的微分方程，它包含了二阶、三阶甚至更高次数的导数。
高阶微分方程的求解需要掌握一系列的技巧和方法。
首先，最基本的方法是分离变量法。
这种方法适用于可以通过对方程两边同时积分来解出的微分方程。
其次，我们可以使用换元法来将一个高阶微分方程转化为一阶方程组，然后利用常微分方程的解法来求解。
此外，可以使用特殊函数的性质和解法来求解一些常见的高阶微分方程，例如Bessel函数、Legendre函数等。
在实际问题中，高阶微分方程的求解常常需要借助于一些特殊的数学技巧和工具。
例如，线性高阶微分方程可以通过特征方程的求解来得到其通解。
特征方程是通过将高阶微分方程转化为代数方程，并求解其根来得到的。
而对于非线性高阶微分方程，可能需要借助于变量的代换或者适当的变换来简化问题，从而求得其解。
高阶微分方程的求解往往需要运用到微分方程的基本理论和技巧。
我们需要了解微分方程的分类、性质和解法，掌握一些常用的变换和技巧，并且需要能够合理的选择适合问题的求解方法。
此外，数值解法也是高阶微分方程求解中重要的手段。
通过将微分方程转化为差分方程，可以使用数值计算方法来求得近似解。
为了更好地解决高阶微分方程的求解问题，我们需要不断拓展和深化我们的数学知识，不仅仅局限于微分方程的基本理论和技巧。
我们可以学习更多高级的数学方法和工具，例如变分法、分式行列式和复变函数等。
同时，了解一些实际问题中常见的高阶微分方程，了解其特性和求解思路，可以帮助我们更快更准确地求解问题。
总之，高阶微分方程的求解是数学中一个重要的课题，也是实际问题求解的关键。
通过学习和掌握微分方程的基本理论和解法，运用数学工具和技巧，我们可以有效地解决高阶微分方程的求解问题，并应用于实际问题的解决中。
这些方法和技巧的应用不仅在学术研究中有着重要的意义，也对于推动科学技术的发展有着重要的促进作用。
高数 第三节 高阶微分方程
线性无关. 线性无关 则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 y1 = 2 ( y1 + y2) = eα x cos β x 1 y2 = 2i ( y1 − y2) = eα x sin β x
因此原方程的通解为
y = eα x (C cos β x +C2 sin β x) 1
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2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x )p′ = 2xp
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln(1+ x ) + ln C , 1 利用 y′
= 3, 得C = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0 1
3
两端再积分得 y = x +3x +C2 利用 y
x =0
, =1, 得C2 =1 因此所求特解为
第三节 高阶微分方程
一、 y
(n)
第六章
= f (x) 型的微分方程
二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数线性齐次微分方程
一、1、y(n) = f (x) 型的微分方程 、
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x)dx + C 1
高阶线性微分方程的解法和特解法
高阶线性微分方程的解法和特解法微分方程作为数学中的一门重要的分支和研究方向，已经被广泛地应用于生产、科研、教育等各个领域。
其中，高阶线性微分方程作为微分方程中的一种常见形式，其解法及特解法也是应用最广泛的一个方向。
本文将从高阶线性微分方程的定义入手，一步一步地介绍它的解法和特解法。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如以下形式的方程：$y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+a_2y^{(n-2)}(x)+\cdots+a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=f(x)$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n$为已知函数，$f(x)$为已知函数。
其中，$y^{(n)}(x)$表示$y(x)$的$n$阶导数。
二、高阶线性微分方程的解法针对高阶线性微分方程，其解法主要可以分为两种方式：齐次方程和非齐次方程。
1.齐次方程齐次方程指的是当$f(x)=0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x)$其中，$C_1,C_2,\cdots,C_n$为常数，$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$为$n$个线性无关的特解。
解法如下：（1）特征方程法：通过求解高阶线性微分方程的特征方程，可以求得其通解。
（2）常数变易法：设$y(x)$为齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y=C(x)y(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
将通解代入方程中，用待定常数法求解出$y(x)$。
2.非齐次方程非齐次方程指的是当$f(x)\neq 0$时的高阶线性微分方程，它的通解的形式为：$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$其中，$y_h(x)$是对应的齐次方程的通解，$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解。
解法如下：（1）常数变易法：设$y_p(x)$为非齐次方程的一个特解，则其通解可表示为$y_p(x)=C(x)y_h(x)$，其中$C(x)$为任意常数函数。
关于高阶微分方程的解法
关于高阶微分方程的解法
高阶微分方程是指次数大于等于2的微分方程，解法相对于一阶微分方程更为复杂。
一般来说，高阶微分方程的解法需要用到一些特殊的技巧和方法，以下是一些常见的解法：
1. 常系数齐次线性微分方程的解法：这类方程的特征方程是一
个关于未知函数的二次方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的通解。
2. 非齐次线性微分方程的解法：这类方程需要先求解对应的齐
次线性微分方程的通解，然后再通过常数变易法来求解非齐次方程的特解，最终得到方程的通解。
3. 变量分离法：对于一些可化为变量分离形式的高阶微分方程，可以通过变量分离法来求解。
这类方程需要将变量分离后，再进行积分求解。
4. 幂级数法：对于一些特殊的高阶微分方程，可以通过幂级数
法来求解。
这种方法需要将未知函数表示为幂级数的形式，然后带入方程求解。
5. 特殊函数法：对于一些含有特殊函数的高阶微分方程，可以
通过特殊函数的性质和定义来求解。
例如，对于一些含有Bessel函
数的方程，可以通过Bessel函数的性质来求解。
总的来说，高阶微分方程的解法需要掌握一些特殊的技巧和方法，需要对微积分和常微分方程有比较扎实的掌握。
- 1 -。
高阶微分方程小结
设 特 解 形 式 y x k e x Q m ( x ) ,
其 中 Q m ( x ) 是 与 P m ( x ) 同 次 的 待 定 多 项 式 .
0 不是特征根 k1 是特征单根
2 是特征重根
y p y q y f(x )
( 2 )f ( x ) e x P m ( x ) c o sx 型
两边再求导，得 xf(x)f(x)0
由原方程和(1)式,得初始条件
f (1) 1
f
(1)
1
求解初值问题
xf (x) f (x) 0
f
(1)
1,
f
(1)
1
令 zf(x),方 程 变 为 xdzz,
dx
解 之 ， 得 zC1x, 由 初 始 条 件 ， 得 C 11 ,
于 是 z x ， 即 f(x ) x
问题2. 以 y1ex,y2xex
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
y2yy0
答：正确.
y1ex,y2xex
特 征 根 为 r1r21 (r1)2 0 即r22r10, y2yy0
四 典型题目
例1 求通解 y1y2 .
解 方程不显含x. 2y
令PyddPyP ,12则 yPy2,P 解 dd得 Py， , 代1 入P 方2程C ，1得y,
y ( n ) P 1 y ( n 1 ) P n 1 y P n y 0
特征方程为 r n P 1 r n 1 P n 1 r P n 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r ( C 0 C 1 x C k 1 x k 1 ) e rx
若是k重共轭 [C (0C 1x C k 1xk 1)co xs
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
高阶微分方程小结
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
பைடு நூலகம்
5高阶微分方程内容总结
常微分方程高阶微分方程内容小结1 三类可降阶的高阶微分方程一主要内容1 n阶线性微分方程二1 n阶常系数线性微分方程三()1.()n yf x =2."(,')y f x y ='()y p x =令，),('p x f p =1(,),p x C ϕ=求得通解为='y n 积分次，得到其通解：12121()(1)!(2)!n n n nn C x C xy f x dx C x C n n ---=+++++--⎰⎰次1,,.n C C 其中为任意常数方程不含未知函数()y p x '''=则，原方程化为再积分得12(,).y x C dx C ϕ=+⎰3"(,')y f y y =(,)dpp f y p dy ='()y p y =令，1(,),p y C ϕ=求得通解为='y .x 方程不含自变量dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===则，原方程化为再积分得21.(,)dyx C y C ϕ=+⎰n 阶线性微分方程的一般形式为 二、n 阶线性微分方程定理1（齐次线性微分方程通解的结构）12,,,(2),n x x x n 若是齐次方程的个线性无关的解1122n nx C x C x C x =+++.,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为则它的任一解x 11(),(),,(),(),.n n P t P t P t F t t I -其中是的已知函数且在内连续()(1)11()()()()(1)n n n n x P t xP t x P t x F t --++++=齐次非齐次()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=定理2（非齐次线性方程通解的结构）1122(2),n n X C x C x C x =+++是对应的齐次方程的通解(1),x *设是非齐次线性方程的任一特解)()()(t x t X t x *+=非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=可表为的通解则非齐次线性方程)()1(t x定理41212(),()(1),()()(2).x t x t x t x t -若是方程的解则是对应的解()(1)1211()(1)12(),()()(),n n n n n n x t x t x P x P x f t x P xP x f t **--+++=+++=若分别是方程及的特解是则)()(21t x t x **+()(1)112()().n n n x P x P x f t f t -+++=+的特解定理3（解的叠加原理）()(1)11()()()0(2)n n n n xP t xP t x P t x --++++=()(1)110.n n n n x a xa x a x --++++=求解 (2)根据特征值写对应的特解：111(1)0nn n n a a a λλλ--++++=求特征方程；1）高阶常系数齐次线性方程 特征方程的根对应的线性无关的特解k λ若是重实根tk t t ette e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe tt βte t βe t βe t t βte t βe tαk tαtαtαk t αt α-- 1122(3).n n x C x C x C x =+++通解)(21t F x a x a x =++ ,)()()1(t e t F m tϕμ=,μ其中为常数10().mm m t b t b t b ϕ=+++可设特解为,2,2,1,0⎪⎩⎪⎨⎧=重特征根是是单特征根不是特征根μμμk ().0111B t B tB t B t Z m m mm m ++++=-- 2）二阶常系数非齐次线性方程*()()().x t X t x t =+通解为 *()(),k tm x t t e Z t μ=)(21t F x a x a x =++ 2）二阶常系数非齐次线性方程*()()().x t X t x t =+通解为 t υt e t F t υt e t F tμt sin )()(cos )()()2(ϕϕμ==或12(),()(),Z t Z t t ϕ是与同次的实系数多项式设特解为 ()*12()()cos ()sin k μtx t t eZ t υt Z t υt =+{0,.1,iv k iv μμ±=±不是特征根是特征根类似求解n 阶常系数非齐次线性方程的特解.3）可化为常系数线性方程的方程——欧拉方程()11111n n n n n n n n d x d x dx t a t a t a x f t dt dt dt----++++=.,,,21均为常数其中n a a a 求解： 作变量变换 ,ln t e t ==ττ或dx dx d dt d dt ττ=22d x d dx dt dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1,dx t d τ=2221,d x dx t d d ττ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入得到以 为自变量的常系数线性方程. τ三、高阶常系数线性微分方程。
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xf ( x ) f ( x ) 0 求解初值问题 f (1) 1, f (1) 1 dz 令 z f ( x ), 方程变为 x z, dx 解之，得z C1 x, 由初始条件，得C1 1,
于是 z x，即 f ( x ) x 1 1 2 从而 f ( x ) x C 2 由初始条件，得C 2 , 2 2 1 2 因此，所求函数为 f ( x ) x 1 2
的特解,那么 y y 就是原方程的特解.
* 1 * 2
3. 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
微分方程
特征方程为
y py qy 0
r pr q 0
叠加
几个函数之和, 如 而 y 与 y 分别是方程,
* 1 * 2
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
即 r 40
2
y 4 y 0
1 例4 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 2 解 特征方程 r 4 0, 特征根 r1, 2 2i , 对应的齐次方程的通解为
设原方程的特解为 y y y . * * * (1) 设 y1 ax b, 则 ( y1 ) a, ( y1 ) 0, 1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
问题2. 以
y1 e , y2 xe
x
x
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
y 2 y y 0
x
答：正确.
y1 e , y2 xe
2
2
x
特征根为r1 r2 1
(r 1) 0 即r 2r 1 0, y 2 y y 0
例3 试确定以 y sin 2 x 为特解的二阶常系数齐次线性方程. 解 由y sin2 x为一个特解,可知r1 2i为特征根.
由于复根总是成对出现的,所以r2 2i 也是特征根， 因此特征方程为 r 2i r 2i 0
从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为
y
(n)
P1 y
( n 1)
Pn 1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1 r n 1 Pn 1 r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
复根 j
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
由解的结构定理得方程的通解为
1 y C1 C 2 x . x
2
( y ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
* 2
1 代入 y 4 y cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x , 2 1 c 0， 4d ， 1 * 2 即 由 1 y2 8 x sin 2 x; d ， 4c 0， 8
四
典型题目
例2 设连续函数 f ( x )满足 x f (t ) f ( x ) 1 x 2 dt , 求f ( x ). 1 t 右端积分可导. 解 f ( x )连续， x x f (t ) f (t ) 积分变形为 x 2 dt x dt 2 1 1 t t x f (t ) f (t ) 方程两边求导 f ( x ) 1 2 dt x 2 t x 两边再求导，得 xf ( x ) f ( x ) 0 f (1) 1 由原方程和(1)式,得初始条件 f (1) 1
通解的表达式
2
特征根的情况
实根 r 1 实根 r 1 复根 r
r2 r2
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x rx y (C1 C 2 x )e y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
推广： n阶常系数齐次线性方程解法
2 1 y 例1 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , 则y P , 代入方程，得 dy 2 dP 1 P 2 P , 解得， 1 P C1 y, dy 2y dy P C1 y 1, 即 C1 y 1, dx 2 故方程的通解为 C1 y 1 x C 2 . C1
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解 （ C1 , C 2 是常数）. 解的叠加 定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个
线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是 方程(1)的通解.
的解.C1 , C 2为任意常数，则该方程的通解是 A. C1 y1 C 2 y2 C 3 y3 ; 答：选择C
B. C. D.
C1 y1 C 2 y2 C1 C 2 y3 ;
C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3 ; C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3
和 f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ) 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式．
二
一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程
内容提要
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
其中Y 是对应齐次方程的通解， y 是非齐次的特解 .
用待定系数法求特解 y
y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e Pm ( x ) 型
k x
x
设特解形式 y x e Qm ( x ) ,
其中Qm ( x)是与Pm ( x)同次的待定多项式.
0 不是特征根 k 1 是特征单根 2 是特征重根
y py qy f ( x )
(2) f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x 型
设特解的形式
x
y x e [ R ( x )cos x R ( x )sin x ],
第十二章
高阶微分方程小结
一 基本要求
1. 了解特殊高阶微分方程的降阶法： y
( n)
f ( x )，y f ( x , y )，y f ( y , y)
2. 理解二阶线性微分方程解的结构； 4. 掌握自由项为 f ( x ) Pm ( x )e
x
x
3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 例5 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ， x 2 对应的齐次方程有一特解为 x ，试求： (1) p( x ), f ( x ) 的表达式； (2) 此方程的通解 .
2 p( x )2 x 0, 解 (1)由题设可得： 2 1 p ( x )( ) f ( x ), 3 2 x x 解此方程组，得 1 3 p( x ) , f ( x ) 3 . x x
1 3 (2) 原方程为 y y 3 . x x 2 显见 y1 1, y2 x 是原方程对应的 齐次方程的两个线性无关的特解， 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x
dp 解法 令 y P ( x ), y P , dx (3) y f ( y , y ) 型 不显含自变量 x . dp 解法 令 y P ( x ), y P , dy
2. 线性微分方程解的结构 (1) 二阶齐次方程解的结构: 形如 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
* * 1 * 2
Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
由
1 1 4a ， 1 a ， * y1 x; 2 解得 8 8 b 0， 4b 0，
* 2
(2) 设 y x(c cos 2 x d sin2 x), * 则 ( y2 ) (c 2dx)cos2 x (d 2cx)sin2 x,
待 特征方程及其根 定 对应的通解形式 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
变量代换
特解形式
1.可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
特点
解法 接连积分n次,得通解．
(2) y f ( x , y )型 不显含未知函数 y .
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2)
定理3 设y*是(2)的一个特解, Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y
*
是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
设非齐次方程(2)的右端 f ( x 是
k x
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m
(1) m (2) m
(2) m