可降阶的高阶微分方程的解法

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作业
P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3; 4
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第七节 目录 上页 下页 返回 结束
第3.5节 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
第3章
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一、 y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x) dx + C1
即 同理可得 y(n−2) = ∫[
3
两端再积分得 y = x + 3x + C2 利用 y
x =0
=1, 得C2 =1, 因此所求特解为
y = x3 + 3 x +1
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三、y′′ = f ( y, y′Fra Baidu bibliotek 型的微分方程
dp d p dy 令 y′ = p (y), 则y′′ = = ⋅ dx dy dx
]dx + C2
= ∫[
]dx + C1x + C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
2x ′ 解: y′′ = ∫ e − cos x dx + C1
(
)
1 2x ′ = e − sin x + C1 2 1 2x + cos x + C′x + C y′ = e 1 2 4 1 2x y = e + sin x + C1x2+ C2x + C3 8
故所求通解为
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y′′ − e2y = 0 例7. 解初值问题 y x =0 = 0 , y′ x =0 =1 解: 令 y′ = p (y), 则y′′ = p dp , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
故方程化为 设其通解为 p = ϕ( y, C1), 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 ln p = ln y + ln C1 , 即 p = C y, 1
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
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思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7
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二、 y′′ = f (x, y′) 型的微分方程
设 y′ = p (x) , 设其通解为 则得 原方程化为一阶方程
p = ϕ (x, C1) y′ = ϕ (x, C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y = ∫ϕ (x, C1) dx + C2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 − e− y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = −1 由 故所求特解为
1− e− y = x
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例3. 求解 解:
(1+ x )y′′ = 2xy′
2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x ) p′ = 2x p
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln (1+ x ) + ln C1 , 利用 y′
= 3 , 得C1 = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0