可降阶的高阶方程

可降阶的高阶方程

求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。

1.右端仅含x的方程：y"=f(x)

对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程

，

再次积分，即可求出方程得通解。

例题：求方程y"=cosx的通解。

解答：一次积分得：

二次积分即得到方程得通解：

2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')

我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：

这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。

例题：求方程的通解。

解答：令y'=p.，代入方程，得

分离变量后，得

积分，得

.即

再积分，即得原方程的通解：

.

3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')

我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有

代入原方程，得

这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。

例题：求方程的通解

解答：令代入原方程得：

它相当于两个方程：

由第一个方程解得：y=C;

第二个方程可用分离变量法解得

p=C

y

1

从而

由此再分离变量，解得：

这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）