哈尔滨工业大学结构动力学课件第十三次
本——哈工大版理论力学课件(全套)
解： T TA TAB
P
B
TA 3 Mv A 2 4
P为AB杆的瞬心 vA
PAw
C
vA
A
vA
wΑΒ lsin
JP 1 ml 2 3
TAB
2 JP wA2B
1 6si2n
mv 3
mvA2 AT
11 12
9M 4m 2 vA
z1 O
M
M2
mg z2
y
代入功的解析表达式得
z2
W 12 (mg)dz mg(z z z1
x
1 2)
质点系： W W imig(zi1 zi2) mg(zC1 zC2)
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。
h
4
理论力学
4
2、弹性力的功 弹簧原长l0，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内F k(r l0)r 0 k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。
F s
M1
s
2
单位：焦耳（Ｊ）； 1J 1Nm
h
理论力学
F M2
2
2
2
二、变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，力F在微小弧
段上所作的功称为力的元功，记为dW，于是有
δW Fcos ds
ds M'
M2
力F在曲线路程M1M2中作功为
M
W
s
F cosds
0
自然法表示的 功的计算公式
dr F
等于零，但变形体内力功之和不为零。
结构动力学课件
惯性力 M点位移
F i m y
y Fi m y
m y 0 y
13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立
建立方程
1）刚度法：
m
y
y yst yd
k ( yst yd ) m( st d ) W 0 y y
ky
kyst W st 0 y
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
具体例子比较:
y 1.例如设:st 0.4cm, h 10cm
h
则
g 980 49.5rad / s yst 0.4
A 0.42 2 10 0.4 2.86cm
0.4 arctg ( ) arctg 0.141 0.14rad 2 10
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
13.1.2 动力荷载的分类
第三类问题：荷载识别
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
建筑抗震设计原则 结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”
13.1.3 动力计算的自由度
动力自由度： 确定全部质量的位臵，所需独立几何参数的个数。 这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。 例：简支梁：
m
m
E、A、I、 R
m y
(忽略m )
体系振动自由度为？ 无限自由度
忽略轴向变形 忽略转动惯量
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
哈工大结构力学精品课件
结构力学张金生绪论§1 . 结构力学的内容和任务一.对象结构分为:杆系结构,板壳结构,实体结构三.内容 结构组成;内力,位移,临界力计算.二.任务 研究结构的刚度,强度,稳定性的 计算原理和计算方法结构：承受并传递荷载的骨架部分确定计算简图的原则： 1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容:1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)半铰结点铰结点刚结点确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)4.体系的简化: 空间结构 平面结构确定计算简图的原则：1.能反映实际结构的主要力学特性;2.分析计算尽可能简便§2 . 杆件结构的计算简图计算简图:在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)简化内容: 1.杆件的简化: 杆件 杆件的轴线2.结点的简化: 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)3.支座的简化: 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座)4.体系的简化: 空间结构 平面结构5.荷载的简化: 集中力、集中力偶、分布荷载§3 . 杆件结构的类型1.梁2.拱3.桁架4.刚架5.组合结构第一章杆件体系的几何组成分析(Geometric construction analysis)§1. 几何组成分析本章假定:所有杆件均为刚体§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系几何可变体系不能作为建筑结构结构必须是几何不变体系本章目的:判定一个体系是否能作为结构结构是如何构造的几何形状不能变化的平面物体几何不变体系的自由度一定等于零几何可变体系的自由度一定大于零§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系二. 刚片几何形状不能变化的平面物体三. 自由度确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置1. 链杆2. 单铰§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系 几何可变体系二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置1. 链杆 2. 单铰 3. 链杆与单铰的关系4. 虚铰3. 链杆与单铰的关系4. 虚铰§1. 几何组成分析2. 单铰 5. 复铰1. 链杆连接N 个刚片的复铰相当于N-1个单铰§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系 几何可变体系二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体 三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数四. 约束(联系) 能减少自由度的装置五. 计算自由度0632=−×=W 02936=×−×=W 032333=−×−×=W§1. 几何组成分析五. 计算自由度0632=−×=W 08936=×−×=W 032333=−×−×=W 链杆数单铰数刚片数链杆数结点数−×−×=−×=232W W 计算自由度大于零一定可变;若等于零则一定不变吗§1. 几何组成分析五. 计算自由度链杆数单铰数刚片数链杆数结点数−×−×=−×=232W W 计算自由度大于零一定可变;若等于零则一定不变吗六. 多余约束 必要约束计算自由度小于零一定不变吗计算自由度小于零一定有多余约束§1. 几何组成分析§1-1 基本概念一. 几何不变体系几何可变体系二. 刚片三. 自由度四. 约束(联系) 链杆单铰复铰虚铰实铰五. 计算自由度六. 多余约束必要约束P N=构成无多余约束的几何不变体系构成无多余约束的几何不变体系.§1. 几何组成分析§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则一. 三刚片规则二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连接一个新结点的装置.二. 两刚片规则在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质.三. 二元体规则§1. 几何组成分析§1-1 基本概念§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则§1-3 几何组成分析举例例1: 对图示体系作几何组成分析解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束的几何不变体系.§1. 几何组成分析§1-3 几何组成分析举例例2: 对图示体系作几何组成分析解:该体系为无多余约束的几何不变体系.方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分例3: 对图示体系作几何组成分析解: 该体系为无多余约束的几何不变体系.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.例4: 对图示体系作几何组成分析解: 该体系为瞬变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.例5:对图示体系作几何组成分析解: 该体系为常变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法4: 去掉二元体.例6:对图示体系作几何组成分析解: 该体系为无多余约束几何不变体系.方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.例7: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分练习: 对图示体系作几何组成分析方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.方法4: 去掉二元体.几何组成思考题§几何组成分析的假定和目的是什麽？§何谓自由度？系统自由度与几何可变性有何联系？§不变体系有多余联系时，使其变成无多余联系几何不变体系是否唯一？§瞬变体系有何特点？可变体系时如何区分瞬变还是常变？§瞬铰和实际铰有何异同？§无多余联系几何不变体系组成规则各有什麽限制条件？不满足条件时可变性如何？§按组成规则建立结构有哪些组装格式？组装格式和受力分析有无联系？§如何确定计算自由度？§对体系进行组成分析的步骤如何？几何组成作业题§1-1 b c§1-2 a d g h i j k l §交作业时间:本周 5§1. 几何组成分析作业:1-1 (1-1 (b)b)试计算图示体系的计算自由度 解:由结果不能判定其是否能作为结构1321138−=−×−×=W 110222531−=−×−×+×=W 或:§1. 几何组成分析作业:1-1 (c)试计算图示体系的计算自由度解:由结果可判定其不能作为结构131216=−×=W 13240328=−×−×=W 或:§1. 几何组成分析作业:1-2 (a)试分析图示体系的几何组成从上到下依次去掉二元体或从基础开始依次加二元体.几何不变无多余约束§1. 几何组成分析作业:1-2 (d)试分析图示体系的几何组成依次去掉二元体.几何常变体系§1. 几何组成分析作业:1-2 (f)试分析图示体系的几何组成有一个多余约束的几何不变体系§1. 几何组成分析作业:1-2 (h)( i)试分析图示体系的几何组成瞬变体系几何不变无多余约束作业:试分析图示体系的几何组成有一个无穷远铰:四杆不平行不变平行且各自等长常变平行不等长瞬变§1. 几何组成分析作业:1-2 (j)试分析图示体系的几何组成瞬变体系§1. 几何组成分析L)试分析图示体系的几何组成1-2 (L)作业:1-2 (几何不变无多余约束§1. 几何组成分析例:试分析图示体系的几何组成瞬变体系§1. 几何组成分析练习:试分析图示体系的几何组成几何不变无多余约束一个单刚结点相当于三个约束.单刚结点与其它约束的关系:复刚结点:刚片复刚结点相当于练习:试分析图示体系的几何组成无多余约束几何不变体系有两个多余约束的几何不变体系练习:试分析图示体系的几何组成无多余约束几何不变体系无多余约束的几何不变体系。
哈工大版理论力学课件(全套)课件
解：1.取杆AB与重物为研究
对象，受力分析如图。
zD
E
F2
F 30o
B
C F1
z
E F1
F 30o
B
a
a
A FA
G
y
FA
A
G
y
x
侧视图
理论力学
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4、空间任意力系简化为平衡的情形
当空间任意力系向一点简化时出现 主矢F'R＝0， 主矩MO＝0 ，这是空间任意力系平衡的情形。
理论力学
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§3-5 空间任意力系的平衡
一、空间任意力系的平衡方程
F'R=0，MO=0
Fx 0， Fy 0， Fz 0 Mx(F) 0， M y(F) 0， Mz(F) 0
理论力学
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理论力学
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2、力对轴之矩的解析表达式
设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，
z Fz
Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x，y，z)，则
F
B
M z(F) MO(Fxy)
A(x，y，z)
Fy
MO(Fx) MO(Fy) xFy yFx
同理可得其它两式。故有
M x(F) yFz zFy
Fx
O
先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投 影到x 、y轴上，这叫二次（间接）投影法。
z
Fx Fsing cosj
Fz
Fy Fsing sinj
gF
Fy y
Fz F cosg
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
结构动力学(课用ppt)
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注意！ 注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
n πx = u ( x, t ) = bn sin L n =1
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义 结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响 结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。 独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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结构动力问题的基本特征： 1、动力问题随时间而变化，必须建立反应时程中感兴趣的全部时间点 上的一系列解。 2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位移随时间迅速变化，从 而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
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动力反应的特点： 在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等） 都随时间变化，它的除与动荷载的变化规律有关外，还与结 构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则 在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能 确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
哈尔滨工业大学结构动力学PPT课件
x0 x0 ， x0 x0 xt c1n cosnt c2n sinnt
c1 x0 n ， c2 x0
第36页/共42页
x
t
x0
n
sin nt
x0
cos nt
令
x0 cos n
， x0 sin
则可化为
其中：
xt sinnt
2
x02
x0
n
tg x0n arctg x0n
T1
1 2
l 0
d
l
2
x2
1 2
(1 3
l)x2
1 m1 23
x2TΒιβλιοθήκη T1Tm1 2
m1 3
m
x2
1 2
meq x2
又因为: 弹簧的势能与弹簧质量无关, 则
V 1 kx2 2
由能量法，可得
meq x kx 0 弹性元件质量不能忽略时，利用等
效质量，将质量折算到质量块上， 弹性元件仍看作无质量的。
• 18世纪线性振动理论成熟期。
第11页/共42页
• 19世纪非线性振动理论，各种工程实际结构振动的近似 求解方法。
• 20世纪50年代初由于航空航天工程的发展，原本确定性 理论无法解释包含随机变化的工程问题，发展了随机振 动理论。
• 20世纪后期计算机技术的飞速发展，数值计算方法和理 论成为主要研究方法之一。
第7页/共42页
三、结构动力学研究的内容
结构动力学就是研究结构系统在激励力作用下产生的响 应规律的科学，研究激励力、结构和响应三者关系的科 学。
现代结构动力学主要研究以下三个方面的内容 第一类问题：响应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
哈工大结构力学课件.pdf
第三章静定结构的位移计算Displacement of Statically Determinate Structures１． 弹性杆件的变形与变形能计算２． 变形体虚功原理３． 单位荷载法４． 图乘法５． 其他外因引起的位移计算６． 互等定理７． 结论与讨论1 结构位移计算概述一、结构的位移 (Displacement of Structures)x Δy ΔA A ′βF P 线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移DC ΔΔ+相对线位移CD D ΔC ΔαF P γ相对角位移γα +制造误差 δ 等铁路工程技术规范规定: 二、 计算位移的目的引起结构位移的原因(1) 刚度要求如：荷载、温度改变 ΔT 、支座移动 Δc 、在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
（3）理想联结 (Ideal Constraint)。
三、 本章位移计算的假定(2) 超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principle of superposition)(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),返首2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)两种状态力状态位移状态F P F P /2F P /2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。
即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态完全无关；一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=F P ×Δ/2W=F P1×Δ11 /2W=F P2×Δ22 /2W=F P1×Δ12or W=F P2×Δ21变力功（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：1P F 2N F 1N F 2P F 1m 2m 二、变形杆件的虚功原理Σf i δr i =0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。
哈工大课件机械系统动力学DynamicsofMechanicalSyst
Rewriting:
x(t) a1(cosnt j sin nt) +a2 (cosnt j sin nt)
(a1 a2 ) cosnt j(a1 - a2 ) sin nt
Giving:
x(t) A1 cosnt A2 sin nt
Further manipulation
Solution we have: x(t) A1 cosnt A2 sin nt
system. That is why it is called the natural frequency of
vibration.
n
k m
Natural frequency
natural frequency from static deflection.
n
g
st
natural frequency from energy method.
Damping element
Damping force
Undamped Free Vibration
➢Differential equation
x(0) x0, x(0) v0
➢Solving ODE
Proposed solution:
x(t) aet
Into ODE you get the characteristic equation:
that is most observed In this course, we will use the viscous
damping model; i.e. damping proportional to velocity
Spring-mass-damper systems
结构动力学(课用ppt)
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1
结构动力学 ppt课件
7
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
EI
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
PPT课件 18
例4.
P(t )
1P
P(t)
P(t )
l Pl/4
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
PPT课件 17
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的 “动静法”。 m
结构力学——结构动力学PPT课件
由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。dS FE( )d
FE(t)
dS=FE()d
mdy
dy( ) FE ( )d
m
d
t
dy( ) FE ( ) (d )2
2m
0
瞬时激振作用效果就在于使质点在τ时
t
刻产生一个初速度，而初位移为零。质
点作以此初始条件引起的自由振动。
dy(t) dy0 sin(t )
y 0
2
A0
A1
A2
arctan
y0
y 0
A0 ——振幅（amplitude of vibration）
——初始相位角。
总动力位移
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第三节 单自由体系自由振动
1、无阻尼的自由振动 ( ＝ 0 )
T
2
f1 T
称周期（振动一次所需的时间） 称工程频率（单位时间内振动次数）
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第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法
y
Ae
y
t
s
i
n
(dt
)
发现
1/
衰减性振动；
Ae t
2/ 非周期性振动； 3/ 质点两次通过平衡位
o
t
置的时间间隔相等
2
Td d 准周期
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第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法 ① 阻尼对自振频率的影响.
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第四节 单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时
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a2 Y
d4Y dx4
要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等 于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只 有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。
可编辑ppt 7
故可以把这一常数记为－ω2 。
于是有
d 2T dt 2
2T
0
ddx4Y4 4Y0,
4
2
a2
第一个方程的通解为
T(t)C 1sint 为固有频率
简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：
Y x,t 0, x 0或
M
x, t
EI
2
y x,t
x2
0,
x
0或
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
可编辑ppt 11
（3）自由端 弯矩和剪力均为零
M
EI
2 y x2
0
x 0,
Q M EI 3 y 0
可编辑ppt 15
简支梁情形
简支梁的边界条件为
因此有：
x 0 时 Y (0) 0
x
0,
y
0,
t
0,
2
y0,
x2
t
0
x
l,
y
l,
t
0,
2
yl,
x2
t
0
Y ''(0) 0
x l 时 Y (l) 0 Y ''(l) 0
有 BD0 BD0 即 BD0
代入B=D=0
AsinlCshl 0 AsinlCshl 0 即 C 0
eix cosxisinx dx
dx
因此，得到主振动的表达式为
y n x , t A s i n x B c o s x C s h x D c h x s i n n t n
其中 A,B,C,D ,n,n 根据边界条件和初始条件确定。
可编辑ppt 10
常见的边界条件
六个任意数由初、边界条件决定. 典型边界条件: （1）简支（铰支）点
x
x3
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
梁端弯矩为零.
EI
3 y x3
,t k y
,t
,
EI
2 y x2
,t 0
可编辑ppt 12
梁端弯矩与弹性恢复力矩大小相等，但由于前图是
梁右端，端部弯矩方向是规定的正向（转角位移的
正向，逆时针），而恢复力矩与转角位移正向相反，
所以
EI
2 y x2
(l , t )
k
y x
(l , t )
梁端剪力为零
EI
3 y x3
0
可编辑ppt 13
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
频率方程为 sinl 0
特征值为
i
i,
l
i1,2,
Y ' ( x ) [ A c o s x B s i n x C c h x D s h x ]
Y ''( x ) 2 [ A s i n x B c o sx C s h x D c h x ] Y '''( x ) 3 [ A c o sx B s i n x C c h x D s h x ]
可编辑ppt 3
假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称 为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线 方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为 y轴 （向上为正），转角逆时针为正。
可编辑ppt 4
梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y y(x,t)
除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与 截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为
第二个方程是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特 征方程为
4 4 0
可编辑ppt 8
4 4 0
其特征值为
1 ,2 ,3 j,4 j
故上述第二个方程的通解为
Y ( x ) D 1 e x D 2 e x D 3 e j x D 4 e j x
引用双曲函数，可将上述通解改写成
上次课程回顾
• 弦的横向、杆的纵向、轴的扭转振动——波动方程
2 y t 2
c2
2 y x2
——波动方程
y (x ,t) X (x ) Y ( t) C s in c x D c o s c x s in t
其中： C’ 、D’ 、 、 由边界条件和运动的初始条件确定。
Y ( x ) A s i n x B c o s x C s h x D c h x
其中 A, B,C, D 为积分常数。
可编辑ppt 9
shx
ex
ex 2
chx ex ex
性质：
ch2 xsh2 x1
sh00,
ch01
2
ex chxshx
d shxchx, d chxshx
EI
2 y x2
M
又因为
QM, qQ
x
x
4y
则
EI q
x4
上述方程是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程
可编辑ppt 5
自由弯曲振动的微分方程
应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为
q
A
2 t
y
2
将上式代入上面方程，即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程
的普遍形式
2 y t2
a2
4 y x4
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。 前三种称为基本边界条件，后两种为非基本边
界条件。
可编辑ppt 14
在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率 与振型函数之前，先将边界条件中要用到的Y(x)的各 阶导导数列出如下：
Y ( x ) A s i n x B c o s x C s h x D c h x
可编辑ppt 1
第4章 连续弹性体的振动
可编辑ppt 2
4.4 梁的弯曲振动
梁挠曲线的微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10），有纵 向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3）变形时满足平面假设，并忽略剪力引起的变形
0
其中 a2 EI / A
上述方程是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当 的边界条件求解。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程 的边值问题。
可编辑ppt 6
弯曲振动的微分方程的解
采用分离变量法。假设弯曲振动方程的解可表示为
y(x,t)Y(x)T(t)
将上式代入方程弯曲振动方程，得
1 T
d2T dt2