离散型随机变量的方差教案

§2．3．2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散

型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2

Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，

p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数

学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问

题

授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：

一、复习引入：

1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(

2.若ξB （n,p ），则E ξ=np

二、讲解新课：

1. 方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，

n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,

ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ

的期望．

2. 标准差:

ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．

3.方差的性质：

（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；

（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )

三、讲解范例：

例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

从而

111111

123456 3.5666666

EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;

2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666

11

(5 3.5)(6 3.5) 2.92

66

DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯

+-⨯+-⨯≈

1.71X σ=≈.

例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1

= 1400 ,

DX1 = (1200-1400) 2×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3

+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1

= 40 000 ;

EX2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l

= 160000 .

因为EX1 =EX2, DX1

如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

例3．设随机变量ξ的分布列为

求D ξ

解：（略）1

2

n E ξ+=, 2n -1D 12ξ=

例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为

离散型随机变量2ξ的概率分布为

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；

471

)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD

471

3.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；

2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .

四、课堂练习：

1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 答案：1.D

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

五、小结 ：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：

⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业： 同步试卷 七、板书设计（略） 八、教学反思：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤

⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要