3刚体的平面运动例题 PPT
刚体的平面运动
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
平面图形内任意A、B两点间速度关系： v ' MO
vB v A vBA
vM
vO '
MB
O' A
vO '
大小 vBA AB 方向 垂直于 AB，朝向图形转动的一方
PAG 9
y'
o'
x'
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
y
任意平面运动的分析 在平面图形上任取一点O 做为基点； 在O点假想地做一个平移 参考系Oxy；
y'
x' O'
o
x
平面图形运动时,动坐标轴O'x' 轴、O'y' 轴始终分别 平行于定坐标轴Ox 轴、Oy 轴。 随着基点的平移
用一个平行于固定平面的平面 截割连杆； 截面S ：一个平面图形 过平面图形上任一点作垂直于 图形的直线； 刚体作平面运动 直线作平移
连 杆
平面图形上各点的运动可以代 表刚体内所有点的运动。 刚体的平面运动可简化为平面 图形在它的自身平面内运动。
S
PAG 7
Northeastern University
vO '
M
动系：O'x'y' （平移坐标系）
牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动 绝对运动： 两个运动的合成 vM ve vr vO' vMO'
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
刚体的进动与平面平行运动课件
03
刚体的进动和平行运动 的关系
进动与平面平行运动的联系
进动和平行运动都是刚体在旋 转运动中的表现形式。
进动和平行运动都涉及到刚体 的旋转轴和旋转角度的变化。
进动和平行运动在某些情况下 可以相互转化，例如在陀螺的 旋转运动中。
进动与平面平行运动的区别
进动是刚体绕自身旋转轴的旋转运动，而平面平行运动是刚体绕一个固定点的旋转 运动。
为$x - x_0$和$y - y_0$。
平面平行运动的速度计算
总结词
速度是描述刚体在平面平行运动中位置 变化的快慢程度，可以通过位移量和时 间的变化计算得出。
VS
详细描述
在平面平行运动中，速度可以通过位移量 和时间的变化计算得出。假设刚体在$t$ 时刻的位移量为$(x, y)$，经过的时间为 $Delta t$，则速度$v_x$和$v_y$分别为 $frac{Delta x}{Delta t}$和$frac{Delta y}{Delta t}$。
04
刚体进动的计算方法
进动角速度的计算
总结词
进动角速度是描述刚体绕自身轴线旋 转的角速度。
详细描述
进动角速度的计算公式为ω=IωIomega = IomegaIω=Iω，其中IWIW是刚体的 转动惯量，ωomegaω是刚体的旋转角 速度。通过已知的转动惯量和旋转角速 度，可以计算出进动角速度。
进动周期的计算
刚体进动的条件
刚体的质量分布相对 于转轴是不均匀的， 即存在质量偏心。
刚体的自转轴线在惯 性空间中是进动的旋 转轴。
刚体受到一个与自转 轴线不重合的外力矩 作用。
刚体进动的特点
进动的角速度矢量与外力矩矢量 成正比，即M=k×w，其中M为 外力矩，w为角速度，k为转动
刚体基本运动.ppt
运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
11
运动学
第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
6
运动学
第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章：刚体的平面运动
y
w
M
O
A
B
vA
x
y vMD vM
M
vD O A
D
w vD B
1、求vM
vD= vA= 2m/s vA 基点：D点 x
vMD MD w 2rw 2.12 m S
vM vVM VD O
w VD B
vMD 2.12 m S
vM vM2 x vM2 y 3.8 m
B
C
A II wII
D
wO
O
I
vA wO OA wO (r1 r2 )
分析两轮接触点D
vD＝0
vD vA vDA
0 vA vDA
vDA＝vA＝wO(r1+r2)
wII
vDA DA
wO (r1
r2
r2 )
B
C
vA A II wII
vA D
wO
vDA
O
I
以A为基点，分析点B的速度。
第八章 刚体的平面运动
§8–1 刚体平面运动的概述和运动分解 §8–2 求图形内各点速度的基点法 §8–3 求平面图形内各点速度的瞬心法 §8–4 用基点法求平面图形内各点的加速度 §8–5 运动学综合应用
注重学习分析问题的思想和方法
刚体的平面运动
• 重点 • 刚体平面运动的分解； • 熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。 • 求平面图形上任一点的加速度。
3、刚体绕基点转动的角速度ω和角加速度α是刚体自 身的运动量 与基点的选择无关。
注意：
虽然基点可任意选取
选取运动情况已知的点作为基点。
§8-2 求图形内各点速度的基点法
一．基点法
va ve vr
刚体平面运动
第十章刚体的平面运动一、内容提要1、基本概念（1）刚体的平面运动的定义刚体运动时，若其上任一点至某个固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。
（2）刚体的平面运动的简化刚体的平面运动可以简化为平面图形在自身平面内的运动。
（3）刚体平面运动方程为x o'=f1(t) , y o'=f2(t) , ϕ=f3(t) ,（4）刚体平面运动的分解平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
2、平面图形上各点的速度（1）基点法（速度合成法）V M= V O+V MO（2）速度投影法（V M）MO=（V O）MO（3）速度瞬心法V M=MC∙ω（C点为速度瞬心）3、平面图形上各点的加速度加速度分析主要用基点法（加速度合成法）a M= a O+aτMO+a n MOaτMO =MO∙ε方向垂直于MO，并与ε的转向一致。
a n MO =MO∙ω2 方向由点M指向基点O。
二、基本要求1、熟练掌握平面图形上各点的速度的求解。
2、熟练掌握平面图形上各点的加速度的求解。
三、典型例题例如图所示平面机构，由四杆依次铰接而成。
已知AB=BC=2R，C D=DE=R，AB杆和DE杆分别以匀角速度ω1与ω2绕A、E轴转动。
在图示瞬时，AB与CD铅直，BC与DE水平。
4142 试求该瞬时BC 杆转动的角速度和C 点加速度的大小。
解 AB 杆和DE 杆作定轴转动，BC 杆CD 杆均作平面运动。
（1）求BC 杆的角速度ωBC 因为V B =2R ω1 ， V D =R ω2 分别以B 点和D 点为基点，分析C 点速度，有V C = V B + V CB （1）V C = V D + V CD （2） 所以 V B + V CB = V D + V CD （3） 沿BC 方向投影式（3）得V B = V CD则CD 杆的角速度ωCD = V CD /CD=V B /R=2ω1 （逆时针） 沿DC 方向投影式（3）得V CB = V D则BC 杆的角速度ωBC = V CB /BC=V D /2R=0.5ω2 （逆时针）（2）求C 点的加速度a C 因为a B =a B n =2R ω12 ，a D =a D n =R ω22分别以B 点和D 点为基点，分析C 点加速度，有 a C = a B + a CB τ + a CB n （4）a C =a D +a CD τ+a CD n （5）所以 a B + a CB τ + a CB n =a D +a CD τ+a CD n （6） 沿CD 方向投影式（6）得a B n - a CB τ = a CD na CB τ=a B n - a CD n =2R ω12-R(2ω1)2=-2R ω12又将式（4）分别沿x 、y 轴投影式得a Cx =-a CD n =-2R ωBC 2= -0.5R ω22a Cy =-a B n + a CB τ = -2R ω12-2R ω12= - 4R ω12故C 点加速度大小a C =22cy cx a a +=4241642ωω+R43。
《工程力学》教学课件 第8章 刚体的平面运动
行四边形，并由图中几何关系得
因此，B 端的速度为
vB
vA
tan
tan vA ， sin φ vA
vB
v BA
设杆 AB 的角速度为 ，由于 vBA AB l ，则
vBA
vA sin φ
l
因此，杆 AB 的角速度为 ω vA l sin φ
03 用瞬心法求平面图形内各点 的速度
3 用瞬心法求平面图形内各点的速度
其方向垂直于 OA； vBA 垂直于杆 AB，大小未知； vB 沿水平方向，大小未知。由此可以得出速度平行
四边形，并由图中几何关系得 其方向水平向左。
vB
vA cos15
162.54
(cm/s)
2 用基点法求平面图形内各点的速度
例 8-2 如图 8-8 所示的机构中，A 端以速度 vA 沿 x 轴负方向运动， AB l 。试求：当杆 AB 与 x 轴负方向的夹角为 φ 时，B 端的速度以及杆 AB 的 角速度。
动可看作是先随基点 A 平动到位置 O2 A1 ，然后再绕点 A1
顺时针转过 2 到位置 O1A1 。
图8-4
1.2 刚体平面运动的分解
实际上平动和转动是同时进行的。当 t 0 时，上述分析就趋近于真实情况。因此，平面图
形的运动，即刚体的平面运动，可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
根据上述分析可知，在平面图形上选取不同的基点，平动的位移 OO1 或 AA1 是不同的。因而， 平动的速度和加速度也是不同的，即平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关。
此时车轮的角速度为 ω vO v r 3a
于是可求得点 A，B，D，E 的速度大小为
v 7v vA AC ω (R r) ω (4a 3a) 3a 3
《刚体的平面运动 》课件
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
刚体平面运动讲解
周运动, 但 P 点的轨道并非圆周. ω × r ′ 和 ω × r ′ ′ ω r ′ ω 均与 r ′ 垂直, 大小分别为 ωr 和 . × (ω × r ′)
2 指向基点 A , 大小为 ω r ′ .
刚体做平面平行运动时 , P 点绕基点 A 做 圆
ω 5. 对刚体转动的角速度 应注意以下两点: (1) 刚体上 不 同点的 速 度 v 和 加速 度 a 不 同 , 但刚体的角速度 ω 是惟一的; (2) 选取 不 同的基点 , 则运动的分解 不 同 , 但对不同基点转动的角速度 ω 是相同的.
vP = vC + ω × CP = vi − Rθ cosθi + Rθ sin θ j = v(1 − cos θ )i + v sin θ j
→ → aP = aC + ω × CP + ω × (ω × CP ) 2 2 = −a i − Rθ cos θi + Rθ sin θ j + Rθ sin θi + Rθ cos θ j
证毕. 在上述证明中找到的 P0 点称为转动中心. 有两种不被上述证明包括的特殊情况: (1) AB // A′B′ , 此时刚 体为平动, 平动可视为转动中 心于无穷远处的转动. (2) AA′ 和 BB ′ 的垂直平 分线重合,上述定理亦成立. 2. 瞬时转动中心 (简称瞬心). 把 平面平行运动分解为一 系列 无限小的位置 变化 . 我们把 对 应每 一 瞬 时的无限小转动的转动 中 心 称为 瞬 时转动中 心 , 简称 瞬心 . 因此平面平 行运动刚体 每瞬 时的运动 , 都可以 看 成 是 绕 瞬心 的纯转动. 刚体做平面平行运动时 , 在任一 瞬 时 , 瞬心 都 是惟 一确定的 , 即为 该瞬 时 刚体上 ( 可在刚体 外 , 只需 与 刚体固连) 速度为零的点. 例 无滑滚动的圆盘
《刚体的平面运动》课件
刚体平动的实例分析
总结词
刚体平动的实例分析主要介绍了刚体在平面内沿某一方向做直线运动的情况，包 括匀速平动和加速平动。
详细描述
刚体平动的实例分析中，我们可以通过观察汽车在路面上行驶、火车在铁轨上飞 驰等实际现象，理解刚体平动的概念和特点。同时，通过分析匀速平动和加速平 动的动力学特征，可以深入了解刚体的平动运动规律。
03
刚体的平面运动的动力学
刚体的平动的动力学方程
平动的动力学方程：$F = ma$
描述刚体在平面内平动时的加速度和力之 间的关系。 适用于刚体在平面内直线运动或曲线运动 的情况。 考虑了刚体的质量对运动的影响。
刚体的定轴转动的动力学方程
定轴转动的动力学方程：$T = Ialpha$
描述刚体绕固定轴转动时的角加速度和力 矩之间的关系。 适用于分析刚体在平面内定轴转动的情况 。 考虑了刚体的转动惯量对运动的影响。
特点
刚体上任意一点的速度方 向都与该固定轴线平行， 且各点的速度大小相等。
应用
许多机械的运动可以简化 为刚体的定轴转动，如车
轮、电机转子等。
刚体的平面运动
定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动的运 动。
特点
刚体的运动轨迹是一个平面曲线，同时具 有平动和定轴转动的特征。
应用
许多复杂的机械运动可以简化为刚体的平 面运动，如曲柄连杆机构、凸轮机构等。
刚体的平面运动的运动学方程
平面运动定义
刚体在平面内既有平动又有定轴转动 。
运动学方程
解释
该方程描述了刚体在平面内既有平动 又有定轴转动的复杂运动，需要综合 考虑平动和定轴转动的运动学方程来 描述其运动轨迹。
需要将平动和定轴转动的运动学方程 结合起来，描述刚体在平面内的运动 轨迹。
《理论力学》课件 第九章
第九章刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动，它可以看作为平移与转动的合成，也可以看作为绕不断运动的轴的转动。
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。
注意与平移区别()Oϕ'--基点，转角，Oxy--定系用一个平面图形代表作平面运动的刚体；用平面内的任意线段的位置来确定平面图形的位置；用线段上任意点0′的坐标和一个夹角来确定该线段的位置。
平面图形的运动方程对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O′，称为基点。
在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy，平面的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。
平移坐标系-'''y x O平移-----牵连运动转动-----相对运动四、重要结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。
其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关.任何平面图形的运动可分解为两个运动(1)牵连运动，即随同基点O′的平移；(2)相对运动，即绕基点O′的转动。
平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。
注意：此处动点、动系、基点在同一个刚体上。
但属于刚体上的不同点。
点M 的牵连速度v v点M的相对速度v vω'M O v v v v 'ωv v AB v v ω结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
平面图形内任意两点A 和B 的速度确定基点A ，一般应使V A 为已知条件。
O’M 上速度分布图角速度与相对速度有关AABAABBAvlABvωϕ=v v v应使V B位于平行四边形的对角线上V BA=AB·ω，此处ω是尺AB的角速度3、角速度分析例9-2图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
《刚体运动学》课件
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
02-23.3 平面运动刚体的运动微分方程(课件)
3、平面运动刚体的运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程y x C ''：过质心平移参考系平面运动随质心平移 绕质心转动()()e e ()C C C ma FJ M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2e 22e 2d d d ()d C C C r m F tJ M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()()()e e e ()Cx xCy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()()()e te ne ()Ct C n C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭以上各组均称为刚体平面运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C 例 1M平面运动刚体的运动微分方程解： N 2Cx Cy C ma Fma F mg m M Fr ρα⎫=⎪=-⎬⎪=-⎭()()2222N ,,,CC C C F r Mra M r m r F ma F mgρρ+==+==纯滚动的条件： s NF f F ≤即22s Cr M f mgρ+≤C a 0C a r α=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
由平面运动刚体运动微分方程：平面运动刚体的运动微分方程例2已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C 的运动规律.平面运动刚体的运动微分方程t Ca rα=解: t sin Cma F mg θ=-C J Frα=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θr R s -=0d d 2322=-+s rR gt s )sin(00βω+=t s s ()r R g -=3220ω0,0v s== s 初始条件 ()gr R v s 23,000-==β运动方程为()⎪⎫ ⎛⋅-=t gr R v s 2sin 30分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
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例1
已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄 OA以匀角速 转动。 求：当 = 45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
解一：基点法解 （1）以B点为动点，
动系固结于A点 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动， VA=ω*l，Va=VB，Ve=VA，Vr=VBA 速度矢量图如图
例3
解：（1）取整体为研究对象 （2）运动分析 AB 杆作刚体平面运动 圆柱也作刚体平面运动 C点为圆柱的瞬心 E点为AB杆的瞬心 速度及角速度如图所示。
例3
（3）速度瞬心法解
VA AB VD O
AE DE DC ΔADC为等边三角形
DCDE 3R 30.50.866m AE 3DC 30.8661.5m
ω A
（3）应用瞬心法解
C
设轮的角速度为ω
由V0 ＝Rω 得到:
B
O
D
vO
V0 ,
R
VA 0
ω A
VB AB 2V0
VC AC2V0 VD AD 2V0
例3
如图，杆AB靠在一半径为0.5m的圆柱上， 其一端A以匀速VA=6m/s沿地面向右运动。 杆与圆柱间有足够的摩擦力带动圆柱向右滚 动，设圆柱与杆 及地面间均无滑动，求 图示位置时杆及圆柱的 角速度。
（3）应用速度合成定理
VBVAVBA
VB
VA
cos
l
cos45
2l () VBA VA tan l tan45 l
AB
VBA l
AB l
（
）
解二：速度投影法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动 VA=ω*l 速度矢量图如图。
（3）应用速度投影定理
vAvBcos
解得：
vBcvA osclo 4s52l( )
• 速度投影法不能直接求出ωAB
解三：速度瞬心法解 （1）以整体为研究对象 （2）做运动分析
OA杆做定轴转动； 滑块B做直线运动； AB杆做平面运动， 其速度瞬心C如图所示。
（3）应用瞬心法解
vA AB vB
vA l AC l BC 2l
AB
vA AC
l
l
vB BC AB 2l ( )
例1
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
已知：半径为R的圆轮在直线轨道上滚而 不滑。轮心速度为V0 。求：轮缘上A、B、C、 D四点的速度。
C
B
O
D
vO
A
解：
（1）以轮为研究对象
C
（2）做运动分析 圆轮做平面运动
B
O
D
vO
轮与地面接触点A为 轮的速度瞬心。