线性代数
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7
课程内容
四、线性变换（10学时） • 线性映射与线性变换 • 线性函数与对偶空间 • 像空间与核空间、秩不等式 • 不变子空间、特征多项式 • 相似三角化、零化多项式、最小多项式 • 特征子空间、相似对角化
8
课程内容
五、复数域上的相似标准形问题（10学时） • 根子空间 • 循环子空间 • Frobenius标准形 • Jordan标准形
25
向量组S的极大无关组M • 定理：<M>=<S>。 • 定理：任意两个极大线性无关组的元素数目相同。 • 定义：向量组的秩 = 极大线性无关组的向量个数。 线性空间的基、维数 向量v在基M下的坐标x
v∈V x∈FM，其中x具有有限非零分量。
26
同态与同构
• 同态：满足(1)(2)的映射σ：V1→V2。 • 同构：满足(1)(2)的一一映射σ：V1→V2。
27
子空间的交、和、直和、补 • (任意多个)子空间的“交”是子空间。 • (任意多个)子空间的“和”定义为生成的子空间。 • 若“和” 的分解式是唯一的，则“和”称为“直和”。 例．设{ai}是V的一组基，则V是一维子空间<ai>的直和。 定理：dim(V1+V2) = dim(V1) + dimV2－dim(V1∩V2) • 若V=U⊕W，则W称为U在V中的一个补空间。
D CA1B I
A1B I
I
BD1 I
A
B
D1C
D
D
I 1C
I
•
A C
B D
1
(
A
B D1C ) 1
(
D
CA1
B)
1
I CA1
BD1 I
• Binet-Cauchy公式：当 m n时，
1
det Anm Bmn 1k1 kn m A k1
n kn
B
k1 1
kn n
• Binet-Cauchy公式的几何解释。
18
a11(x) a1n (x)
• 例．设 f (x) ，求f’(x), f”(x), …
的形式，其中P,Q是幺模阵, D=diag(d1,…,dr,O)是对角 阵，d1|…|dr≠0。
23
三、线性空间
24
域F上的线性空间(V,F,+,∙) • 线性空间V：具有加法、数乘运算的非空集合。 • V的子空间：对V的加法、数乘运算封闭的非空子集。 常见的线性空间 • Fn、Fm×n、F[x]、F[x1,…,xn]、Cn(Ω)、Lp(Ω) 向量组S的线性组合 向量组S的线性相关性 向量组S生成的子空间<S>
an1(x) ann (x)
•
例．设A是复矩阵，则
det(
A
T
A
)
0
。
• 例．Vandermonde、Sylvester、Cauchy矩阵的行列式
m
• 例．设 fk (x) ak,i xi，则 i0
f1(x1) f1(xn )
a1,k1
a1,kn
x k1 1
x k1 n
fn (x1)
fn (xn )
a 0k1 kn m n,k1
an,kn
xkn 1
xkn n
19
分块运算
• 方阵的幂级数 f ( X ) ak X k 何时收敛？ k 0
•
Schur公式
A C
B I D CA1
I A
20
•
例．若AC=CA，则
det
A C
B D
det(AD
CB)
A11 • 例．
Ak1
ak 1,k 1
(det A)k1
ak 1,n
A1k Akk
an,k 1 ann
张量积 A B aij B
• 性质： A1 B1A2 B2 ( A1A2 ) (B1B2 )
• 例．X↦AXB的矩阵表示。 • 例．f(x)=det(xI-A)，f(A)=0。
21
初等变换
• 平延 x x ( T x)
• 旋转
x
cos sin
sin cos
x
• 反射
x
x
2
Tx
T
• （LU分解）每个矩阵A∈Fmxn都可表为A=PLU的形式，
28
两个线性空间的直积 • U×V = { (u,v) | u∈U,v∈V }
(u1,v1)+(u2,v2) = (u1+u2,v1+v2) λ(u,v) = (λu,λv) • 无穷多个线性空间的直积 ∏Vi ≠ 直和 ∑Vi 商空间 • 设U是V的子空间，V/U = { v+U | v∈V } ≌ W， 其中W是U在V中的一个补空间。
的特征向量，φA(x)=det(xI－A)称为A的特征多项式。 • 线性变换A的特征多项式与表示矩阵A的选取无关。
34
线性变换的特征多项式 • 设 A (x) xn 1xn1 2 xn2 (1)n n 。
σk等于A的所有k阶主子式之和。 • 设 A (x) (x 1) (x n ) 。
5
课程内容
二、矩阵运算（10学时） • 行列式（Laplace、Binet-Cauchy公式） • 分块运算（幂级数、Schur公式、张量积） • 初等变换（LU分解、QR分解） • 幺模变换（Smith标准形）
6
课程内容
三、线性空间（10学时） • 抽象线性空间 • 同态与同构 • 子空间（交、和、直和、补） • 积空间 • 商空间
• 定义及初等变换
• Laplace展开定理：给定 1 i1 ir n ，则
det
A
1 k1
(1)i1
kr n
ir k1
kr
A
i1 k1
ir kr
A
ir 1 kr 1
in kn
• Laplace展开定理的几何涵义。
f
m
可逆。
gn
15
• F[x]中每个多项式可唯一分解为不可约因式的乘积 • f(x)没有重因式gcd(f(x),f’(x))=1 • 代数基本定理：次数≥1的复系数多项式在复数域中至
少有一个复根。 • 实系数不可约多项式的次数不超过2
16
二、矩阵运算
17
行列式的计算
（A4）有加法逆元
a+(–a)=(–a)+a=0
（M1）乘法结合律
(a∙b)∙c=a∙(b∙c)
（M2）乘法交换律
a∙b=b∙a
（M3）有乘法单位元1 a∙1=1∙a=a
（M4）有乘法逆元
a∙(a-1)=(a-1)∙a=1,∀a≠0
（D1）加乘分配律
a∙(b+c)=a∙b+a∙c
14
• 域的例子：C、R、Q、Q[ 2]、Q[ 2]、Fq 不是域的例子：Z、Q[π]、F[x]
数乘运算下构成域F上的线性空间。 • V* = L(V,F) = {V上线性函数全体} 称为V的对偶空间。 • L(V1,V2) ≌ Fmxn，其中m=dim(V1)，n=dim(V2)。 • 当V是有限维时，V* ≌ V。
32
线性映射的像与核 • Im(f) = { f(x) | x∈V1 }，Ker(f) = { x∈V1 | f(x)=0 } • Im(f)和Ker(f)分别是V2和V1的子空间。 • Im(f) ≌ V1 / Ker(f) • dim(V1) = dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) • （Frobenius秩不等式）：
其中P是置换阵，L是可逆下三角阵，U是上三角阵。
• （QR分解）每个实矩阵A∈Rmxn都可表为A=QR的形式，
其中Q是正交阵，R是上三角阵。
22
幺模变换 • 幺模阵：行列式为±1的整数方阵，或行列式为非零常
数的多项式方阵。 • 每个整数/多项式矩阵A都可表为A=QR的形式，其中Q
是幺模阵, R是上三角阵。 • Smith标准形：每个整数/多项式矩阵A都可表为A=PDQ
11
课程内容
八、二次型（8学时） • 二次型的定义 • 二次型的相合标准形 • 二次型的正定性 • 二次型的应用
12
一、数域与多项式
• 域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质：
（A1）加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
（A2）加法交换律
a+b=b+a
（A3）有加法单位元0 a+0=0+a
准对角块均为1或2阶方阵。 推论 • 设n阶复方阵A的全体特征值是{λ1,…,λn}，f是复系数多
(1)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x,y∈V1 (2)σ(a∙x) = a∙σ(x)，a∈F, x∈V1 • 域F 上的有限维线性空间V与Fn同构，其中n=dimV。
• 例．设V1={[0,1]上连续函数}, V2={[0,1]上可微函数}
: f (x)
x
0
f
(t)dt
是同态、是单射、非满射。
9
课程内容
六、一般数域上的矩阵相似问题（10学时） • 特征方阵 • 行列式因子、不变因子、初等因子 • 相似标准形 • 实相似与复相似
10
课程内容
七、内积空间（10学时） • 内积、Euclid空间 • 标准正交基、正交变换 • 正交方阵、实规范方阵 • 实方阵的正交相似、正交相抵 • 酉内积、酉空间 • 双线性函数
rank(AB)+rank(BC)≤rank(B)+rank(ABC) • 例．设A是n阶方阵，则 rank(An) = rank(An+1) = …
33
线性变换的不变子空间 • 设线性变换A：V→V，U是V的子空间。若A(U)⊂U，则
U称为A不变子空间，AU：U→U称为A在U上的限制. • 例．{0}、Im(A)、 Ker(A)、V都是A不变子空间。 • A不变子空间的交空间、和空间都是A不变子空间。 • 一维不变子空间<x>满足A(x)=λx，x称为属于特征值λ
• F[x]中多项式的带余除法
• F[x]中两个多项式的最大公因式的定义
• 辗转相除法求两个多项式的最大公因式
• gcd(f,g)=1存在a,b使得a(x)f(x)+b(x)g(x)=1
f0 f1
Sylvester Matrix
f0
g0 g1
g0
fm f1 gn g1
29
四、线性变换
30
线性映射 f：V1→V2 •Biblioteka Baiduf(x+y)=f(x)+f(y)，f(cx)=c f(x)，∀c∈F，x,y∈V1 • 线性映射 f：V→V 也称为线性变换。
线性映射的运算
• 加法 (f+g)(x) = f(x)+g(x)
• 数乘 (cf)(x) = c f(x) 线性映射的表示
k k (1, , n ) 是 1, , n 的k次初等对称多项式。 • 设 A (x) (x 1)n1 (x t )nt ， 1, , t 各不相同。
n1, , nt 分别称为 1, , t 的代数重数。
35
方阵的相似三角化 • 任意复方阵复相似于一个上三角的复方阵。 • 任意实方阵实相似于一个准上三角的实方阵，其中每个
1. 《线性代数》，李尚志，高等教育出版社， 2006年5月第1版。
2. 《线性代数》，李炯生、查建国，中国科学技 术大学出版社，1989年4月第1版，2010年1月 第2版。
4
课程内容
一、域与多项式（4学时） • 域的定义 • 域上的多项式 • 最大公因式、辗转相除法 • 因式分解、重根、重因式 • 复/实系数不可约多项式
线性代数
王新茂 中国科学技术大学数学系
线性代数的研究对象
线性代数所研究的是 • 具有线性结构的数学对象。 例如：向量空间、函数空间、整数模、矩阵群…
2
线性代数的研究方法
线性代数的研究方法主要有 • 几何方法 — 线性空间 • 代数方法 — 矩阵运算 以上方法各有优缺点，通常需要结合起来使用。
3
教材及参考书
V1 f V2
F n A F m
• (f(α1),…, f(αn))=(β1,…, βm)A
A 称为 f 在基{α1,…,αn}和{β1,…, βm}下的矩阵。
31
• 线性映射在不同基下的矩阵B=Q-1AP。 • 线性变换在不同基下的矩阵B=P-1AP。 对偶空间 • L(V1,V2) = {V1到V2的线性映射全体} 在线性映射的加法、
课程内容
四、线性变换（10学时） • 线性映射与线性变换 • 线性函数与对偶空间 • 像空间与核空间、秩不等式 • 不变子空间、特征多项式 • 相似三角化、零化多项式、最小多项式 • 特征子空间、相似对角化
8
课程内容
五、复数域上的相似标准形问题（10学时） • 根子空间 • 循环子空间 • Frobenius标准形 • Jordan标准形
25
向量组S的极大无关组M • 定理：<M>=<S>。 • 定理：任意两个极大线性无关组的元素数目相同。 • 定义：向量组的秩 = 极大线性无关组的向量个数。 线性空间的基、维数 向量v在基M下的坐标x
v∈V x∈FM，其中x具有有限非零分量。
26
同态与同构
• 同态：满足(1)(2)的映射σ：V1→V2。 • 同构：满足(1)(2)的一一映射σ：V1→V2。
27
子空间的交、和、直和、补 • (任意多个)子空间的“交”是子空间。 • (任意多个)子空间的“和”定义为生成的子空间。 • 若“和” 的分解式是唯一的，则“和”称为“直和”。 例．设{ai}是V的一组基，则V是一维子空间<ai>的直和。 定理：dim(V1+V2) = dim(V1) + dimV2－dim(V1∩V2) • 若V=U⊕W，则W称为U在V中的一个补空间。
D CA1B I
A1B I
I
BD1 I
A
B
D1C
D
D
I 1C
I
•
A C
B D
1
(
A
B D1C ) 1
(
D
CA1
B)
1
I CA1
BD1 I
• Binet-Cauchy公式：当 m n时，
1
det Anm Bmn 1k1 kn m A k1
n kn
B
k1 1
kn n
• Binet-Cauchy公式的几何解释。
18
a11(x) a1n (x)
• 例．设 f (x) ，求f’(x), f”(x), …
的形式，其中P,Q是幺模阵, D=diag(d1,…,dr,O)是对角 阵，d1|…|dr≠0。
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三、线性空间
24
域F上的线性空间(V,F,+,∙) • 线性空间V：具有加法、数乘运算的非空集合。 • V的子空间：对V的加法、数乘运算封闭的非空子集。 常见的线性空间 • Fn、Fm×n、F[x]、F[x1,…,xn]、Cn(Ω)、Lp(Ω) 向量组S的线性组合 向量组S的线性相关性 向量组S生成的子空间<S>
an1(x) ann (x)
•
例．设A是复矩阵，则
det(
A
T
A
)
0
。
• 例．Vandermonde、Sylvester、Cauchy矩阵的行列式
m
• 例．设 fk (x) ak,i xi，则 i0
f1(x1) f1(xn )
a1,k1
a1,kn
x k1 1
x k1 n
fn (x1)
fn (xn )
a 0k1 kn m n,k1
an,kn
xkn 1
xkn n
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分块运算
• 方阵的幂级数 f ( X ) ak X k 何时收敛？ k 0
•
Schur公式
A C
B I D CA1
I A
20
•
例．若AC=CA，则
det
A C
B D
det(AD
CB)
A11 • 例．
Ak1
ak 1,k 1
(det A)k1
ak 1,n
A1k Akk
an,k 1 ann
张量积 A B aij B
• 性质： A1 B1A2 B2 ( A1A2 ) (B1B2 )
• 例．X↦AXB的矩阵表示。 • 例．f(x)=det(xI-A)，f(A)=0。
21
初等变换
• 平延 x x ( T x)
• 旋转
x
cos sin
sin cos
x
• 反射
x
x
2
Tx
T
• （LU分解）每个矩阵A∈Fmxn都可表为A=PLU的形式，
28
两个线性空间的直积 • U×V = { (u,v) | u∈U,v∈V }
(u1,v1)+(u2,v2) = (u1+u2,v1+v2) λ(u,v) = (λu,λv) • 无穷多个线性空间的直积 ∏Vi ≠ 直和 ∑Vi 商空间 • 设U是V的子空间，V/U = { v+U | v∈V } ≌ W， 其中W是U在V中的一个补空间。
的特征向量，φA(x)=det(xI－A)称为A的特征多项式。 • 线性变换A的特征多项式与表示矩阵A的选取无关。
34
线性变换的特征多项式 • 设 A (x) xn 1xn1 2 xn2 (1)n n 。
σk等于A的所有k阶主子式之和。 • 设 A (x) (x 1) (x n ) 。
5
课程内容
二、矩阵运算（10学时） • 行列式（Laplace、Binet-Cauchy公式） • 分块运算（幂级数、Schur公式、张量积） • 初等变换（LU分解、QR分解） • 幺模变换（Smith标准形）
6
课程内容
三、线性空间（10学时） • 抽象线性空间 • 同态与同构 • 子空间（交、和、直和、补） • 积空间 • 商空间
• 定义及初等变换
• Laplace展开定理：给定 1 i1 ir n ，则
det
A
1 k1
(1)i1
kr n
ir k1
kr
A
i1 k1
ir kr
A
ir 1 kr 1
in kn
• Laplace展开定理的几何涵义。
f
m
可逆。
gn
15
• F[x]中每个多项式可唯一分解为不可约因式的乘积 • f(x)没有重因式gcd(f(x),f’(x))=1 • 代数基本定理：次数≥1的复系数多项式在复数域中至
少有一个复根。 • 实系数不可约多项式的次数不超过2
16
二、矩阵运算
17
行列式的计算
（A4）有加法逆元
a+(–a)=(–a)+a=0
（M1）乘法结合律
(a∙b)∙c=a∙(b∙c)
（M2）乘法交换律
a∙b=b∙a
（M3）有乘法单位元1 a∙1=1∙a=a
（M4）有乘法逆元
a∙(a-1)=(a-1)∙a=1,∀a≠0
（D1）加乘分配律
a∙(b+c)=a∙b+a∙c
14
• 域的例子：C、R、Q、Q[ 2]、Q[ 2]、Fq 不是域的例子：Z、Q[π]、F[x]
数乘运算下构成域F上的线性空间。 • V* = L(V,F) = {V上线性函数全体} 称为V的对偶空间。 • L(V1,V2) ≌ Fmxn，其中m=dim(V1)，n=dim(V2)。 • 当V是有限维时，V* ≌ V。
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线性映射的像与核 • Im(f) = { f(x) | x∈V1 }，Ker(f) = { x∈V1 | f(x)=0 } • Im(f)和Ker(f)分别是V2和V1的子空间。 • Im(f) ≌ V1 / Ker(f) • dim(V1) = dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) • （Frobenius秩不等式）：
其中P是置换阵，L是可逆下三角阵，U是上三角阵。
• （QR分解）每个实矩阵A∈Rmxn都可表为A=QR的形式，
其中Q是正交阵，R是上三角阵。
22
幺模变换 • 幺模阵：行列式为±1的整数方阵，或行列式为非零常
数的多项式方阵。 • 每个整数/多项式矩阵A都可表为A=QR的形式，其中Q
是幺模阵, R是上三角阵。 • Smith标准形：每个整数/多项式矩阵A都可表为A=PDQ
11
课程内容
八、二次型（8学时） • 二次型的定义 • 二次型的相合标准形 • 二次型的正定性 • 二次型的应用
12
一、数域与多项式
• 域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质：
（A1）加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
（A2）加法交换律
a+b=b+a
（A3）有加法单位元0 a+0=0+a
准对角块均为1或2阶方阵。 推论 • 设n阶复方阵A的全体特征值是{λ1,…,λn}，f是复系数多
(1)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x,y∈V1 (2)σ(a∙x) = a∙σ(x)，a∈F, x∈V1 • 域F 上的有限维线性空间V与Fn同构，其中n=dimV。
• 例．设V1={[0,1]上连续函数}, V2={[0,1]上可微函数}
: f (x)
x
0
f
(t)dt
是同态、是单射、非满射。
9
课程内容
六、一般数域上的矩阵相似问题（10学时） • 特征方阵 • 行列式因子、不变因子、初等因子 • 相似标准形 • 实相似与复相似
10
课程内容
七、内积空间（10学时） • 内积、Euclid空间 • 标准正交基、正交变换 • 正交方阵、实规范方阵 • 实方阵的正交相似、正交相抵 • 酉内积、酉空间 • 双线性函数
rank(AB)+rank(BC)≤rank(B)+rank(ABC) • 例．设A是n阶方阵，则 rank(An) = rank(An+1) = …
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线性变换的不变子空间 • 设线性变换A：V→V，U是V的子空间。若A(U)⊂U，则
U称为A不变子空间，AU：U→U称为A在U上的限制. • 例．{0}、Im(A)、 Ker(A)、V都是A不变子空间。 • A不变子空间的交空间、和空间都是A不变子空间。 • 一维不变子空间<x>满足A(x)=λx，x称为属于特征值λ
• F[x]中多项式的带余除法
• F[x]中两个多项式的最大公因式的定义
• 辗转相除法求两个多项式的最大公因式
• gcd(f,g)=1存在a,b使得a(x)f(x)+b(x)g(x)=1
f0 f1
Sylvester Matrix
f0
g0 g1
g0
fm f1 gn g1
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四、线性变换
30
线性映射 f：V1→V2 •Biblioteka Baiduf(x+y)=f(x)+f(y)，f(cx)=c f(x)，∀c∈F，x,y∈V1 • 线性映射 f：V→V 也称为线性变换。
线性映射的运算
• 加法 (f+g)(x) = f(x)+g(x)
• 数乘 (cf)(x) = c f(x) 线性映射的表示
k k (1, , n ) 是 1, , n 的k次初等对称多项式。 • 设 A (x) (x 1)n1 (x t )nt ， 1, , t 各不相同。
n1, , nt 分别称为 1, , t 的代数重数。
35
方阵的相似三角化 • 任意复方阵复相似于一个上三角的复方阵。 • 任意实方阵实相似于一个准上三角的实方阵，其中每个
1. 《线性代数》，李尚志，高等教育出版社， 2006年5月第1版。
2. 《线性代数》，李炯生、查建国，中国科学技 术大学出版社，1989年4月第1版，2010年1月 第2版。
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课程内容
一、域与多项式（4学时） • 域的定义 • 域上的多项式 • 最大公因式、辗转相除法 • 因式分解、重根、重因式 • 复/实系数不可约多项式
线性代数
王新茂 中国科学技术大学数学系
线性代数的研究对象
线性代数所研究的是 • 具有线性结构的数学对象。 例如：向量空间、函数空间、整数模、矩阵群…
2
线性代数的研究方法
线性代数的研究方法主要有 • 几何方法 — 线性空间 • 代数方法 — 矩阵运算 以上方法各有优缺点，通常需要结合起来使用。
3
教材及参考书
V1 f V2
F n A F m
• (f(α1),…, f(αn))=(β1,…, βm)A
A 称为 f 在基{α1,…,αn}和{β1,…, βm}下的矩阵。
31
• 线性映射在不同基下的矩阵B=Q-1AP。 • 线性变换在不同基下的矩阵B=P-1AP。 对偶空间 • L(V1,V2) = {V1到V2的线性映射全体} 在线性映射的加法、